Máquina de Turing Quântica e Complexidade Computacional

Máquina de Turing Quântica e Complexidade Computacional
Marcos P. Serafim
Universidade de Franca (UNIFRAN)
Av. Dr. Armando Salles Oliveira, 201, Parque Universitário, Franca – SP – Brazil
[email protected]
Abstract. This informative article presents the advances in computational
complexity theory in relation with the quantum Turing machine presented by
Deutsch and its implications with the same theory classically defined.
Resumo. Este artigo informativo apresenta os avanços obtidos na teoria da
complexidade computacional em relação com a máquina de Turing quântica
definida por Deutsch e suas implicações com a mesma teoria definida
classicamente.
1. Máquina de Turing Quântica
2. Complexidade quântica
A definição fornecida por Deutsch (1985) para a máquina de Turing quântica constituise de uma generalização da máquina de Turing clássica que evolui através de
operações unitárias (desta forma, reversíveis) no espaço complexo de Hilbert. Assim
como a máquina de Turing clássica, a sua versão quântica possui:
●
●
●
Para que o resultado do processamento da máquina de Turing quântica seja obtido,
utiliza-se um mecanismo que difere da sua implementação clássica. Na máquina de
Turing definida classicamente, para que cheguemos ao resultado do processamento
realizamos uma medida na fita depois que o processamento tenha terminado. Em sua
alternativa quântica não é possível realizar um monitoramento da fita pois esta medida
acabaria por perturbar o sistema. Segundo Deutsch para que este problema seja sanado
deve-se utilizar uma das observáveis definidas para o processador (normalmente n0 )
e apenas esta seria medida continuamente, de maneira que seu valor seria fixado em 1
quando o processamento da máquina terminasse.
um processador que define os estados através de um conjunto finito de
observáveis:
{ n i } ( i∈ℤM )
uma fita consistindo de um conjunto infinito de observáveis
{ m i } ( i∈ℤ )
uma observável indicando a posição na fita da célula atualmente sendo trabalhada
{ x }
Estas três componentes formam os estados computacionais bases que através dos
autovalores simultâneos de x , n , m
 são representados a partir de um autovetor
unitário:
Ao longo do tempo vários modelos de computação tem sido utilizados para representar
processos computacionais e nos permitir analisar os recursos necessários à resolução
de um problema. O tempo de processamento, o espaço (normalmente referenciado
como quantidade de memória necessária), a aleatoriedade entre outras características
são alguns destes recursos agrupados em classes de acordo com a quantidade
necessária de cada um para execução de certos algoritmos.
O poder computacional de máquinas de Turing quântica é objeto de estudo de
vários pesquisadores, Bernstein e Vazirani (1993) por exemplo, fazem algumas
comparações com os modelos de classes de complexidade clássicos com aqueles
criados com base nas evoluções obtidas na computação quântica. As classes BQP,
EQP e ZQP acabaram por fundamentar as bases da teoria da complexidade quântica.
Como indicado por Tetsushi (2004):
●
●
Já a dinâmica de evolução da máquina é governada por uma transformação dada
pela superposição de estados na base computacional:
∣ nT ⟩ =U n∣ 0 ⟩
+
n∈ℤ
●
Onde U é um operador unitário constante chamado de operador de evolução no
tempo (cada escolha diferente de U define uma máquina de Turing quântica diferente),
n é o número de passos, T é a duração de tempo de cada passo e  0 o estado
inicial.
A função de transição para a máquina através do operador U de evolução no
tempo leva a uma operação finita. Para qualquer estado ∣x , n , m ⟩ e ∣x ' , n ' , m ' ⟩
temos:
⟨ x' , n ' , m '∣U∣x , n , m ⟩ =
[x'   n , m x , m ' x , 1, n ' x'  n , mx , m ' x , 0, n ' x'   n , m x , m ' x ,−1, n ']  my
x+1
x
x-1
m'y
y≠ x
De forma que o produtório à direita garante que apenas um bit da memória
x±1
participa de cada passo da execução. Os termos x' garantem que durante cada
passo a posição x da fita não pode mudar mais do que uma unidade e a função
 n , m x , m ' x , d , n ' com d∈{−1, 0, 1} , chamada de função de transição local, trata
do processamento da máquina.
Bernstein e Vazirani também forneceram essa primeira evidência que
BQP≠BPP , indicando que possivelmente máquinas de Turing quânticas que
trabalham em tempo polinomial são mais poderosas que as máquinas de Turing
probabilísticas de mesma categoria.
Com base no trabalho de Simon (1994) , Shor (1994) propôs um algoritmo para
fatoração numérica que é executado em tempo polinomial e como classicamente este
problema é tido como pertencente à classe NP é levantada a questão se não seria o
caso de NP⊆BQP .
Conclusão
O novo paradigma da computação quântica tem criado uma expectativa muito grande
com respeito ao seu poder de processamento. Ainda não se possui uma prova
conclusiva que uma máquina de Turing quântica seria mais poderosa que a sua versão
clássica, mas evidências tem aparecido que podem levar a esse resultado. Uma
confirmação de que certos algoritmos seriam executados com uma eficiência maior em
um computador quântico do que em uma máquina de Turing probabilística definida
classicamente poderia invalidar a tese forte de Church-Turing levando a teoria da
complexidade computacional a um novo patamar.
Referências
∣ ⟩ =∣x , n , m ⟩
A computação da máquina de Turing quântica na visão de Deutsch se dá em
passos de duração fixa T em que apenas o processador e uma finita parte da fita
interagem, permanecendo o restante dela estática.
Esta última afirmação nos leva ao problema que, como descrito por Nielsen e Chuang
(2005) se os computadores quânticos forem mais poderosos que os clássicos a seguinte
relação irá surgir BQP≠BPP e conseqüentemente teríamos que BPP≠PESPAÇO
de onde apareceriam outras implicações na teoria da complexidade clássica.
Uma linguagem L está na classe BQP (Bounded Error Quantum Polynomial
Time) se e apenas se existe uma máquina de Turing quântica tal que para qualquer
entrada x uma observação de uma certa célula da fita após um processamento de
tempo polinomial, ela retorna 1 com probabilidade maior que 2/3 se x pertencer a
L ou 0 com probabilidade maior que 2/3 caso contrário.
Uma linguagem L está na classe EQP (Exact Quantum Polynomial Time) se e
apenas se existe uma máquina de Turing quântica e um polinomial p tal que para
qualquer entrada x uma observação de uma certa célula da fita após um
processamento de p(|x|) passos retorna 1 com probabilidade 1 se x pertencer a L
ou 0 com probabilidade 1 caso contrário.
Uma linguagem L está na classe ZQP (Zero Error Quantum Polynomial Time) se
e apenas se existe uma máquina de Turing quântica tal que para qualquer entrada
x uma observação de uma certa célula da fita (célula indicadora de parada da
máquina) após um processamento de tempo polinomial de seu tamanho ela
retorna 1 com probabilidade maior que 1/2 e então se uma observação de outra
célula (célula de decisão) retorna 1 com probabilidade 1 se x pertencer a L, 0 com
probabilidade 1 caso contrário.
Na teoria da complexidade clássica, a classe BPP (Bounded Error Probabilistic
Polynomial Time) é tida como a classe que comporta todas as linguagens que são
eficientemente computáveis em uma máquina de Turing probabilística.
O trabalho de Bernstein e Vazirani (1993) apresenta mais alguns resultados
interessantes no aspecto de relacionamento entre as classes de complexidade entre a
máquina de Turing clássica e a quântica. A começar pela definição de que como
máquinas de Turing reversíveis são um caso especial das máquinas de Turing
quânticas temos que P⊆EQP e BPP⊆BQP , além disso é demonstrado que
BQP⊆PESPAÇO , o que implica na cadeia de inclusões BPP⊆BQP⊆PESPAÇO .
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