Máquina de Turing Quântica e Complexidade Computacional
Propaganda
Máquina de Turing Quântica e Complexidade Computacional Marcos P. Serafim Universidade de Franca (UNIFRAN) Av. Dr. Armando Salles Oliveira, 201, Parque Universitário, Franca – SP – Brazil [email protected] Abstract. This informative article presents the advances in computational complexity theory in relation with the quantum Turing machine presented by Deutsch and its implications with the same theory classically defined. Resumo. Este artigo informativo apresenta os avanços obtidos na teoria da complexidade computacional em relação com a máquina de Turing quântica definida por Deutsch e suas implicações com a mesma teoria definida classicamente. 1. Máquina de Turing Quântica 2. Complexidade quântica A definição fornecida por Deutsch (1985) para a máquina de Turing quântica constituise de uma generalização da máquina de Turing clássica que evolui através de operações unitárias (desta forma, reversíveis) no espaço complexo de Hilbert. Assim como a máquina de Turing clássica, a sua versão quântica possui: ● ● ● Para que o resultado do processamento da máquina de Turing quântica seja obtido, utiliza-se um mecanismo que difere da sua implementação clássica. Na máquina de Turing definida classicamente, para que cheguemos ao resultado do processamento realizamos uma medida na fita depois que o processamento tenha terminado. Em sua alternativa quântica não é possível realizar um monitoramento da fita pois esta medida acabaria por perturbar o sistema. Segundo Deutsch para que este problema seja sanado deve-se utilizar uma das observáveis definidas para o processador (normalmente n0 ) e apenas esta seria medida continuamente, de maneira que seu valor seria fixado em 1 quando o processamento da máquina terminasse. um processador que define os estados através de um conjunto finito de observáveis: { n i } ( i∈ℤM ) uma fita consistindo de um conjunto infinito de observáveis { m i } ( i∈ℤ ) uma observável indicando a posição na fita da célula atualmente sendo trabalhada { x } Estas três componentes formam os estados computacionais bases que através dos autovalores simultâneos de x , n , m são representados a partir de um autovetor unitário: Ao longo do tempo vários modelos de computação tem sido utilizados para representar processos computacionais e nos permitir analisar os recursos necessários à resolução de um problema. O tempo de processamento, o espaço (normalmente referenciado como quantidade de memória necessária), a aleatoriedade entre outras características são alguns destes recursos agrupados em classes de acordo com a quantidade necessária de cada um para execução de certos algoritmos. O poder computacional de máquinas de Turing quântica é objeto de estudo de vários pesquisadores, Bernstein e Vazirani (1993) por exemplo, fazem algumas comparações com os modelos de classes de complexidade clássicos com aqueles criados com base nas evoluções obtidas na computação quântica. As classes BQP, EQP e ZQP acabaram por fundamentar as bases da teoria da complexidade quântica. Como indicado por Tetsushi (2004): ● ● Já a dinâmica de evolução da máquina é governada por uma transformação dada pela superposição de estados na base computacional: ∣ nT ⟩ =U n∣ 0 ⟩ + n∈ℤ ● Onde U é um operador unitário constante chamado de operador de evolução no tempo (cada escolha diferente de U define uma máquina de Turing quântica diferente), n é o número de passos, T é a duração de tempo de cada passo e 0 o estado inicial. A função de transição para a máquina através do operador U de evolução no tempo leva a uma operação finita. Para qualquer estado ∣x , n , m ⟩ e ∣x ' , n ' , m ' ⟩ temos: ⟨ x' , n ' , m '∣U∣x , n , m ⟩ = [x' n , m x , m ' x , 1, n ' x' n , mx , m ' x , 0, n ' x' n , m x , m ' x ,−1, n '] my x+1 x x-1 m'y y≠ x De forma que o produtório à direita garante que apenas um bit da memória x±1 participa de cada passo da execução. Os termos x' garantem que durante cada passo a posição x da fita não pode mudar mais do que uma unidade e a função n , m x , m ' x , d , n ' com d∈{−1, 0, 1} , chamada de função de transição local, trata do processamento da máquina. Bernstein e Vazirani também forneceram essa primeira evidência que BQP≠BPP , indicando que possivelmente máquinas de Turing quânticas que trabalham em tempo polinomial são mais poderosas que as máquinas de Turing probabilísticas de mesma categoria. Com base no trabalho de Simon (1994) , Shor (1994) propôs um algoritmo para fatoração numérica que é executado em tempo polinomial e como classicamente este problema é tido como pertencente à classe NP é levantada a questão se não seria o caso de NP⊆BQP . Conclusão O novo paradigma da computação quântica tem criado uma expectativa muito grande com respeito ao seu poder de processamento. Ainda não se possui uma prova conclusiva que uma máquina de Turing quântica seria mais poderosa que a sua versão clássica, mas evidências tem aparecido que podem levar a esse resultado. Uma confirmação de que certos algoritmos seriam executados com uma eficiência maior em um computador quântico do que em uma máquina de Turing probabilística definida classicamente poderia invalidar a tese forte de Church-Turing levando a teoria da complexidade computacional a um novo patamar. Referências ∣ ⟩ =∣x , n , m ⟩ A computação da máquina de Turing quântica na visão de Deutsch se dá em passos de duração fixa T em que apenas o processador e uma finita parte da fita interagem, permanecendo o restante dela estática. Esta última afirmação nos leva ao problema que, como descrito por Nielsen e Chuang (2005) se os computadores quânticos forem mais poderosos que os clássicos a seguinte relação irá surgir BQP≠BPP e conseqüentemente teríamos que BPP≠PESPAÇO de onde apareceriam outras implicações na teoria da complexidade clássica. Uma linguagem L está na classe BQP (Bounded Error Quantum Polynomial Time) se e apenas se existe uma máquina de Turing quântica tal que para qualquer entrada x uma observação de uma certa célula da fita após um processamento de tempo polinomial, ela retorna 1 com probabilidade maior que 2/3 se x pertencer a L ou 0 com probabilidade maior que 2/3 caso contrário. Uma linguagem L está na classe EQP (Exact Quantum Polynomial Time) se e apenas se existe uma máquina de Turing quântica e um polinomial p tal que para qualquer entrada x uma observação de uma certa célula da fita após um processamento de p(|x|) passos retorna 1 com probabilidade 1 se x pertencer a L ou 0 com probabilidade 1 caso contrário. Uma linguagem L está na classe ZQP (Zero Error Quantum Polynomial Time) se e apenas se existe uma máquina de Turing quântica tal que para qualquer entrada x uma observação de uma certa célula da fita (célula indicadora de parada da máquina) após um processamento de tempo polinomial de seu tamanho ela retorna 1 com probabilidade maior que 1/2 e então se uma observação de outra célula (célula de decisão) retorna 1 com probabilidade 1 se x pertencer a L, 0 com probabilidade 1 caso contrário. Na teoria da complexidade clássica, a classe BPP (Bounded Error Probabilistic Polynomial Time) é tida como a classe que comporta todas as linguagens que são eficientemente computáveis em uma máquina de Turing probabilística. O trabalho de Bernstein e Vazirani (1993) apresenta mais alguns resultados interessantes no aspecto de relacionamento entre as classes de complexidade entre a máquina de Turing clássica e a quântica. A começar pela definição de que como máquinas de Turing reversíveis são um caso especial das máquinas de Turing quânticas temos que P⊆EQP e BPP⊆BQP , além disso é demonstrado que BQP⊆PESPAÇO , o que implica na cadeia de inclusões BPP⊆BQP⊆PESPAÇO . Benioff, Paul (1997) “Models http://arxiv.org/abs/quant-ph/9708054 of Quantum Turing Machines”, Bernstein, Ethan et al. (1996) “Strengths and Weakness of Quantum Computing”, http://arxiv.org/abs/quant-ph/9701001 Bernstein, Ethan e Vazirani, Umesh (1993) “Quantum Complexity Theory”, em th Proceedings 25 ACM Symp. On Theory of Computation, pág. 11-20. Deutsch, David (1985) “Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer”, em Proceedings of the Royal Society of London A 400, pág. 97-117. Nielsen, Michael A. e Chuang, Isaac L. “Computação Quântica e Informação Quântica”, tradução Ivan S. Oliveira, Porto Alegre, Bookman, 2005. Nishumura, Harumichi e Ozawa, Masanao (2005) “Perfect Computational Equivalence between Quantum Turing Machines e Finitely Generated Uniform Quantum Circuit Families”, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0511117 Shi, Yu (2002) “Remarks on http://arxiv.org/abs/quant-ph/9908074 Tetsushi, Matsui (2004) “A http://arxiv.org/abs/cs/0411037 Note Universal on Buk Quantum Quantum Turing Computer”, Machine”, Shor, Peter W., “Algorithms for Quantum Computation: Discrete Logarithms and th Factoring”, Proceedings of the 35 IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1994, pág. 124-134. Sicard, Andrés e Vélez, Mario (1999) “Some relations between quantum Turing machines and Turing machines” , http://arxiv.org/abs/quant-ph/9912012 th Simon, Daniel R., “On the Power of Quantum Computation”, Proceedings of the 35 Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1994, pág. 116-123.
