O atrito de rolamento.

engrenagens. Observe-se que as forças de atrito de rolamento
r
r
representadas na figura (Fa e f a ) têm sentidos opostos. (Sugerimos
que você, antes de prosseguir, procure criar um modelo que permita
explicar as forças de atrito de rolamento).
"Raffiniert ist der Herr Gott, aber boschaft ist Er nicht" (A. Einstein)
"Natura Simplicitatem Amat"(J. Kepler)
O atrito de rolamento.
Uma força de interação bastante complicada - mas que não
podemos deixar de considerar neste nosso curso, uma vez que ela
desempenha um papel preponderante num grande número de
fenômenos que se desenrolam ao nosso redor - é a força de atrito de
rolamento. São forças de atrito de rolamento, por exemplo, que nos
permitem aumentar ou diminuir a velocidade de um automóvel, nas
condições usuais. A fim de justificar - ao menos em parte - a nossa
afirmativa inicial de que as forças de atrito de rolamento são
complicadas, estamos representando na figura um esquema da ação ,
sobre as rodas de um automóvel, das forças de atrito de rolamento.
Geralmente as forças de atrito de rolamento, assim como as
de atrito estático a de deslizamento, resultam do fato de não serem
perfeitamente polidas as superfícies reais; isto equivale a dizer que as
forças de atrito de rolamento usuais nada mais são do que reações
vinculares. Nas figuras abaixo estamos indicando esquematicamente
o comportamento das forças de atrito de rolamento. Note-se que só
aparecem forças de atrito de rolamento se a superfície rolante estiver
angularmente acelerada, ou se houver tendência para adquirir
aceleração angular.
Figura 2
Figura 1
r
r
Tais forças , na figura, são Fa e f a . Por hipótese o automóvel
r r
representado está sendo "acelerado”: o binário motor ( f1 , f 2 ) está
sendo aplicado à roda motriz pela ação de um sistema adequado de
acelerado, através de tal mecanismo (que é, essencialmente, o
mecanismo utilizado num automóvel). Nas figuras 3 e 4 estamos
imaginando o modelo mecânico explanatório de como o centro de
massa do disco pode ser acelerado como uma conseqüência da ação
das forças internas. Tal modelo introduz, de forma natural, as forças
r
de atrito de rolamento (representadas nas figuras 3 e 4 por f a ). Na
fig. 2 a ação das forças internas ao disco é equivalente a zero, isto é,
não dá origem a binário algum; não aparecem, então, forças de atrito
de rolamento e a velocidade do centro de massa do disco se mantém
constante.
Figura 3
Uma esfera homogênea é abandonada sobre uma rampa plana
a inclinada em relação à horizontal. Sabendo-se que a esfera rola sem
deslizar, pede-se calcular qual será a velocidade vc do seu centro no
momento em que tal centro estiver passando num ponto 1 situado a
uma distância vertical h abaixo do ponto O onde ele estava
inicialmente situado (e em repouso). Sabe-se que o momento de
inércia de uma esfera, relativo a um diâmetro, vale 0,4mR 2 , caso a
esfera seja homogênea (sendo m e R a massa e o raio da esfera).
Figura 4
Em cada uma das figuras (2, 3 e 4) estamos representando um
disco circular rolando sobre uma superfície plana a horizontal.
Exageramos a representação das rugosidades da periferia do disco e
da superfície de apoio a fim de acentuar o modelo mecânico que
estamos utilizando para explanar as forças de atrito de rolamento.
Na fig. 2 um sistema de forças internas ao disco dá origem a um
r r
binário motor ( f1 , f 2 ) que tende a aumentar a velocidade angular do
disco, enquanto que na fig. 3 o sistema de forças internas dá origem
r r
a um binário retardador ( f1 , f 2 ) que tende a diminuir a velocidade
angular do disco. Essas forças internas não poderiam acelerar o
centro de massa do disco, de acordo com o teorema do movimento
do centro de massa. No entanto o centro de massa do disco pode ser
Figura 5
Solução:
Escolhamos como referencial um eixo cartesiano, OX,
paralelo às retas de declive máximo da rampa a cuja origem O
coincida com o ponto 0 onde fica inicialmente situado o centro da
esfera. Tal referencial sendo galileano sobre a esfera atuarão apenas
forças de interação, as quais serão, no caso, as seguintes: o seu
r
r
próprio peso p , a reação vincular n exercida pela rampa de apoio, e
r
a força de atrito de rolamento f a exercida pela rampa. De acordo
com os teoremas do movimento do centro de massa a de d'Alembert,
a representando-se por acx a componente da aceleração do centro da
esfera, relativa ao eixo OX, por α a sua aceleração angular, por I, e
seu momento de inércia, relativo ao seu diâmetro horizontal, e por ϕ
o ângulo que a rampa forma com a horizontal, pode-se escrever que :
 mgsenϕ - fa = macx

f a R = Icα

donde, tendo-se em conta que
I c = 0,4mR2
e
acx = α R , vem que:
 mgsenϕ - fa = macx


0,4mR2 acx
 f a R =
R
logo
5
a cx = gsenϕ =constante ≠ 0
7
o que nos mostra que o centro da esfera se move com movimento
uniformemente variado. Conseqüentemente pode-se escrever que:
5
vc2 = 2 g ( senϕ ) x1
7
onde x1 é a abscissa do ponto 1 (fig. 5) vê-se que
h = x1 senϕ ∴ x1 =
h
.
senϕ
Levando-se uma expressão na outra, vem:
vc2 =
10 gh
10 gh
∴vc =
7
7
Observação.
Demonstra-se que a energia cinética, Ec , de um sistema rígido
animado de um movimento qualquer é calculável pela seguinte
expressão:
Ec =
1 2 1
mv + I cω 2
2
2
onde m é a massa do sistema, v, é a velocidade do seu centro de
massa, I, é o seu momento de inércia relativo a um eixo que passe
pelo seu centro de massa e seja paralelo ao seu eixo de rotação e ω é
a sua velocidade angular. Tendo-se em conta esta informação,
calculemos a energia cinética, Ec , da esfera considerada no exemplo
anterior, no instante em que o seu centro estiver passando no ponto 1
situado a uma distância vertical h abaixo do ponto O onde ele estava
inicialmente em repouso. De acordo com a equação anterior e tendose em conta que
vc = ω R
e
I c = 0,4mR2 ,
pode-se escrever que:
Ec =
1 2 1
v2
mvc + (0,4mR 2 )( c2 ) ∴ Ec = 0,7mvc2
2
2
R
donde, tendo-se em conta que
vc =
Observação. É bastante interessante o fato da força de atrito de
rolamento não trabalhar, isto é, de ser sempre nulo o trabalho
realizado por forças de atrito de rolamento. Na fig. 6 estamos
representando um disco circular que se move apoiado sobre uma
superfície plana a horizontal, o disco estando submetido à ação de
um sistema de forças internas que dão origem a um binário motor
r r
( f1 , f 2 ) . Sob a ação de tal binário o disco está acelerado
angularmente, e, em conseqüência, submetido à ação de uma força
de atrito de rolamento.
10 gh
,
7
vem que:
10 gh
Ec = 0,7 m(
) ∴ Ec = mgh
7
expressão esta que nos mostra que a energia cinética da esfera, no
ponto 1, e igual à sua energia potencial no ponto 0 (escolhendo-se
para plano horizontal de referência o plano horizontal que contém o
ponto 1). Mas então a energia mecânica da esfera é constante, o que
nos permite dizer que as forças de atrito de rolamento são
conservativas. Permite- nos dizer, além disto, que a nulo o trabalho
realizado entre dois pontos quaisquer pelas forças de atrito de
rolamento que atuam sobre um sistema rígido ; realmente, de acordo
com o teorema da energia cinética o trabalho realizado entre dois
pontos pelas forças que atuam sobre um sistema material qualquer é
igual à variação da energia cinética do sistema entre os pontos
considerados, a de acordo com
Ec = mgh
a variação da energia cinética w: esfera, entre os pontos 0 e 1, é igual
a mgh; e como mgh é o trabalho realizado, entre os pontos 0 e 1, pelo
peso da esfera, vem que é nulo o trabalho realizado entre os pontos 0
e 1 pela força de atrito de rolamento.
Figura 6
Extraído e adaptado de “Mecânica”, de L. P. Maia