Experimento 1 : Filtros

Experimento 2 : Integrador e Diferenciador RC
Grupo: Daniela Sato
Maria Silvia C. Franciscon
André De Caroli
RA: 090849
RA: 084489
RA: 072796
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Resumo:
Neste experimento, com o uso do osciloscópio, realizamos medidas para
verificar a utilização da derivação e integração das curvas de tensão nos
circuitos RC. Para as imagens obtidas, obtivemos resultados esperados.
Pudemos observar a atuação da resistência do capacitor para o circuito em que
o canal 1 do osciloscópio está entre os terminais do capacitor. Para as outras
duas curvas, obtivemos a derivada (curva com saltos) para o circuito RC
diferenciador, e a integrada (curva dente de serra) para o circuito RC integrador.
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Introdução:
O integrador RC, equivalente ao filtro RC passa-baixos, é caracterizado pela
constante de tempo τ = RC e é utilizado em maior escala do que o similar
integrador RL. A transmitância do integrador RC é maior quanto menor (mais
próximo de zero) for a frequência.
De modo análogo, o diferenciador RC, equivalente ao filtro RC passa-altos,
é caracterizado pela constante de tempo τ = RC e é utilizado em maior escala do
que o similar diferenciador RL. A transmitância do diferenciador RC aumenta
quanto maior a frequência.
Nesse experimento, avaliamos circuitos do tipo RC, tanto o integrador como
o diferenciador, analisando as ondas de saída, via osciloscópio, para sinais de
entrada com formatos de onda quadrada, senoidal e triangular.
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Teoria:
Dado um circuito RC, similar aos apresentados nas figuras 1 e 2, a tensão é
dada pela equação (1).
Ε(t) - VR - VC =0 (1)
Figura 1: Circuito RC diferenciador
Figura 2: Circuito RC integrador
Integrador
Para frequências muito maiores que 1, Ε(t) ≈ VR(t) e Vc(t) ≈ 0,
caracterizando, assim, um integrador (passa-baixas frequências). A impedância
do capacitor, em módulo, é caracterizada pela equação │Zcap│= 1/(ωC).
Assim, quando a frequência f (inverso do período) e, portanto, também a
frequência angular ω=2πf, é muito alta, a impedância do capacitor é perto de
zero e o osciloscópio mostra tensão com pouca precisão. Entretanto, para
frequências f e ω baixas, o osciloscópio mede de modo mais eficiente a tensão
nesse trecho do circuito.
A equação que representa a tensão no capacitor é:
Vc(t) = q/C
(2)
Derivando -a em relação ao tempo:
[d Vc(t)] /[dt] ≈ (1/C)(dq/dt)
[d Vc(t)] /[dt] ≈ (i/C)
i(t) ≈ C*[d Vc(t)] /[dt]
(3)
Mas Ε(t) ≈ VR(t)= Ri(t), substituindo (3) nessa última equação obtem-se
Ε(t) [dt] ≈ RC*[d Vc(t)]
Integrando ambos os lados
Vc(t) ≈ (1/RC)
+ Vc(t0)
(4)
Diferenciador
Por semelhança com o efetuado anteriormente, para frequências
extremamente baixas, menores do que 1:
Ε(t) ≈ Vc(t) = q/C (5),
configurando um diferenciador (passa-altas frequências). Derivando a
equação (5) em relação ao tempo:
[dΕ(t)] /[dt] ≈ (1/C)(dq/dt)
Multiplicando o resultado por R, tem-se:
R[dΕ(t)] /[dt] ≈ (R/C)(dq/dt)
RC[dΕ(t)] /[dt] ≈ (R)(dq/dt)
RC[dΕ(t)] /[dt] ≈ (R)(i)
RC[dΕ(t)] /[dt] ≈ VR.
Portanto,
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VR(t) ≈ RC (dΕ /dt)
(6).
Metodologia Experimental:
- Materiais:
Multímetro;
Capacitor de 0,22µF;
Resistor de 149,9 Ω;
Protoboard;
Cabos;
Osciloscópio;
Gerador de freqüências;
Multímetro.
- Métodos:
Para iniciar o experimento, montamos o circuito RC diferenciador,
como mostrado na figura 1.
Ligando o gerador de freqüência no modo de onda quadrada, e
variando o nível dc do gerador entre -1 V e +1 V, anotamos as
alterações observadas.
Em seguida, capturamos a tela do osciloscópio nos modos de onda
quadrada, triangular e senoidal para três valores de f, sendo eles f ≈ 1/τ,
f « 1/τ e f » 1/τ.
Na segunda parte do experimento, montamos o circuito RC
integrador, como o mostrado na figura 2.
Em seguida, repetimos o procedimento adotado para o circuito
diferenciador, capturando todas as imagens como mencionado.
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Resultados e Análise de dados:
Sabendo que C = 0,22 ± 0,02 µF e R = 149,9 ± 1,5 Ω, podemos calcular o
valor da constante de tempo τ para o experimento, onde τ = RC. E obtemos que
τ = 32,978 µs.
No osciloscópio, teríamos que observar o período T para verificar a
correspondência com a constante de tempo, mas, para facilitar, calculamos o
inverso da constante de tempo (1/τ) e o inverso do período T (1/T), que é igual
a freqüência f que aparece no canto inferior direito da tela do osciloscópio.
Assim, temos que 1/τ é, aproximadamente, igual a 30 kHz.
Depois de montados os circuitos das figuras 1 e 2, e ligando o gerador no
modo de onda quadrada, podemos observar descontinuidades nas ondas.
Analisando cada caso podemos observar nas descontinuidades que, para o
circuito diferenciador, ∆V1>∆V2 e para o circuito integrador ∆V1≈∆V2.
Além disso, analisamos a forma de onda enquanto variamos o nível dc do
gerador entre -1V e +1V. Sabemos que alterações no nível dc “acrescenta” uma
constante na função de onda de entrada, logo, a onda varia em torno de outro
ponto que não o zero. No caso do circuito diferenciador, a onda não varia, pois
a derivada de uma constante é zero. Já no circuito integrador, a função de onda
varia junto com a função de onda de entrada.
Agora, em cada circuito capturamos as imagens da tela do osciloscópio para
três valores de freqüência, e nos três modos de onda (quadrada, triangular e
senoidal).
Para o circuito RC diferenciador com f = 30,123 kHz, ou seja, f ≈ 1/τ,
obtivemos as imagens mostradas nas figuras 3, 4 e 5.
Figura 3: Tela do osciloscópio para f ≈ 1/τ, no modo de onda quadrada.
Figura 4: Tela do osciloscópio para f ≈ 1/τ, no modo de onda triangular.
Figura 5: Tela do osciloscópio para f ≈ 1/τ, no modo de onda senoidal.
Para o circuito RC diferenciador com f = 100,002 Hz, ou seja, com f « 1/τ,
obtivemos as imagens mostradas nas figuras 6, 7 e 8.
Figura 6: Tela do osciloscópio para f « 1/τ, no modo de onda quadrada.
Figura 7: Tela do osciloscópio para f « 1/τ, no modo de onda triangular.
Figura 8: Tela do osciloscópio para f « 1/τ, no modo de onda senoidal.
E para o circuito RC diferenciador com f = 104,324 kHz, ou seja, para f »
1/τ, obtivemos as imagens mostradas nas figuras 9 e 10.
Neste caso não poderemos mostrar a imagem com a função de onda
quadrada, pois houve um problema na gravação desta imagem.
Figura 9: Tela do osciloscópio para f » 1/τ, no modo de onda triangular.
Figura 10: Tela do osciloscópio para f » 1/τ, no modo de onda senoidal.
Repetindo o procedimento de captura de imagens para o circuito RC
integrador com f = 30,227 kHz, ou seja, para f ≈ 1/τ, obtivemos as imagens
mostradas nas figuras 11, 12 e 13.
Figura 11: Tela do osciloscópio para f ≈ 1/τ, no modo de onda quadrada.
Figura 12: Tela do osciloscópio para f ≈ 1/τ, no modo de onda triangular.
Figura 13: Tela do osciloscópio para f ≈ 1/τ, no modo de onda senoidal.
Para o circuito RC integrador com f = 306,555 kHz, ou seja, com f » 1/τ,
obtivemos as imagens mostradas nas figuras 14, 15 e 16.
Figura 14: Tela do osciloscópio para f » 1/τ, no modo de onda quadrada.
Figura 15 Tela do osciloscópio para f » 1/τ, no modo de onda triangular.
Figura 16: Tela do osciloscópio para f » 1/τ, no modo de onda senoidal.
Para o circuito RC integrador com f = 100,029 Hz, ou seja, com f « 1/τ,
obtivemos as imagens mostradas nas figuras 17, 18 e 19.
Figura 17: Tela do osciloscópio para f « 1/τ, no modo de onda quadrada.
Figura 18: Tela do osciloscópio para f « 1/τ, no modo de onda triangular.
Figura 19: Tela do osciloscópio para f « 1/τ, no modo de onda senoidal.
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Discussão e Conclusão:
Com isso demonstramos que as formas de ondas encontradas na teoria são
realmente as mesmas encontradas experimentalmente. Também mostramos o
comportamento de Vdc para os circuitos diferenciador e integrados. No primeiro
caso, Vdc é sempre zero enquanto no segundo caso o valor de Vdc é o mesmo na
entrada e na saída.
Outro ponto observado foi que para frequências altas, no circuito integrador, a
onda possui um comportamento diferente daquele que foi exposto pela teoria, ou
seja, a onda não se comporta como uma derivada.
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Referências Bibliográficas:
FRAGNITO, Hugo L. “Circuitos de Corrente Alternada - Notas de Física
Experimental”. Disponível em http://www.ifi.unicamp.br/~calderon/livro.pdf
Acesso em 31/08/10