Aula 10 - Energia de cargas e campos
Propaganda
Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoI EletromagnetismoI Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia Eletrostática (Capítulo 4 – Páginas 100 a 104) • Energia potencial de um grupo de cargas pontuais. • Energia de uma distribuição contínua de carga. • Densidade de energia no campo eletrostático. EletromagnetismoI 2 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia potencial de um grupo de cargas pontuais • Vimos que diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga. • No caso de o potencial de referência ser adotado como o infinito (V∞ = 0): VA = − ∫ A ∞ ! ! E ⋅ dl [V ] • Se trouxermos uma carga desde o infinito até um ponto imerso num campo elétrico, isto requer a realização de trabalho. (e o trabalho é igual ao potencial no ponto vezes a carga). • Este trabalho é igual à energia potencial da carga quando ela está situada no ponto imerso no campo elétrico. EletromagnetismoI 3 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia potencial de um grupo de cargas pontuais • A energia potencial de um grupo de cargas positivas é igual ao trabalho para trazer estas cargas desde o infinito até a posição onde estão situadas. • O trabalho para trazer as cargas Q1, Q2 e Q3 do infinito até as posições P1, P2 e P3 é: z WE = 0 +Q2V2, 1 +Q3(V3, 1 +V3, 2) Q1 ∞ Q2 Q1 Q3 V2, 1: Potencial na posição P2 devido a Q1 EletromagnetismoI 4 x y Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia potencial de um grupo de cargas pontuais • O trabalho calculado deve ser igual ao trabalho para trazer as cargas na ordem reversa: primeiro Q3, depois Q2 e depois Q1. • O trabalho para trazer as cargas Q3, Q2 e Q1 do infinito até as posições P3, P2 e ∞ P1 é: z WE = 0 +Q2V2, 3 +Q1(V1, 2 +V1, 3) Q1 Q2 Q3 Q3 V1, 2: Potencial na posição P1 devido a Q2 EletromagnetismoI 5 x y Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia potencial de um grupo de cargas pontuais • Se somarmos as duas equações obtidas anteriormente, teremos 2WE = Q1(V1, 2 +V1, 3) + Q2(V2, 1 +V2, 3) + Q3(V3, 1 +V3, 2) • A energia potencial no sistema de 3 cargas é: WE = 1 (Q1V1 + Q2V2 + Q3V3 ) 2 • V1 = V1,2 + V1, 3 é o potencial total no ponto 1. Pelo princípio da superposição ele é a soma do potencial devido às outras cargas presentes no sistema. EletromagnetismoI 6 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia potencial de uma distribuição contínua de carga • Generalizando, a energia potencial de um sistema de ‘N’ cargas pode ser calculado: N WE = 1 Qi Vi ∑ 2 i = 1 • Para uma distribuição espacial contínua de cargas, com densidade ρv, a energia potencial pode ser calculada por: 1 WE = 2 ∫ vol. ρvV dv (vol.: volume que contém a densidade volumétrica de cargas ρv ) Pergunta: E se tivermos uma densidade superficial de cargas em uma superfície? EletromagnetismoI E no caso de uma densidade linear ? 7 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático • A expressão anterior permite calcular a energia de um sistema se conhecermos a distribuição de cargas e o potencial em uma região do espaço. • É possível calcular a energia através dos campos gerados pelas cargas ou distribuições contínuas de cargas. • A expressão equivalente é obtida substituindo ρv na expressão anterior pelo ! divergente da densidade de fluxo elétrico ( ρv = ∇ ⋅ D ): 1 WE = 2 EletromagnetismoI ∫ ( vol. 8 ! ∇ ⋅ D V dv ) Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático • É mais interessante expressar a equação anterior para a energia em termos somente dos campos vetoriais (E e D). • Para fazer isso, é possível utilizar a seguinte identidade vetorial: ( ! ! ! ∇ ⋅ A f = ∇ ⋅ fA − A ⋅ ∇f ) ( ) • Substituindo f = V e A = D, podemos reescrever a expressão para a energia: 1 WE = 2 EletromagnetismoI ! ⎡∇ ⋅ VD ⎤ dv − 1 ∫ vol. ⎣ ⎦ 2 ( ) 9 ∫ ( vol. ! D ⋅ ∇V dv ) Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático • De acordo com o teorema de Gauss, podemos substituir a integral volumétrica (primeiro termo do lado direito da eq. Anterior) por uma integral de superfície fechada: ! ! ! ∫ vol. ⎡⎣∇ ⋅ VD ⎤⎦ dv = "∫ S VD ⋅ dS ( ) ( ) • Usando esta igualdade, podemos reescrever a expressão para a energia: ! 1 ! 1 WE = " VD ⋅ dS − ∫ S 2 2 ( ) EletromagnetismoI 10 ∫ ( vol. ! D ⋅ ∇V dv ) Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático • O volume envolvido pela superfície ‘S’ deve conter todas as cargas e campos. Podemos escolher uma superfície esférica com raio infinito. • O potencial elétrico de uma carga finita é proporcional ao inverso do raio (r -1) e D é proporcional a ‘r -2’. • Assim, o integrando cai com r -3 e a integral de superfície aumenta com r 2. • Por este razão, a integral de superfície tende a zero para r → ∞. 1 WE = − 2 EletromagnetismoI ∫ ( vol. ! D ⋅ ∇V dv 11 ) Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático • Utilizando a relação entre o campo e o potencial: ! E = −∇V • A energia pode ser expressa em termos de D e E somente. No espaço livre: 1 WE = 2 ∫ ( vol. ! ! ε0 D ⋅ E dv = 2 ) ∫ vol. !2 E dv • É útil definir a densidade de energia eletrostática: dWE 1 ! ! wE = = D ⋅ E [J / m 3 ] dv 2 EletromagnetismoI 12 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo Três cargas pontuais Q1 = -1nC, Q2 = 4nC e Q3 = 3nC estão localizadas em (0, 0, 0)m, (0, 0, 1)m e (1, 0, 0)m, respectivamente. Determine a energia interna do sistema. EletromagnetismoI 13 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo Uma distribuição esférica de cargas tem densidade: ⎧⎪ 60µC / m 3 r ≤ 1mm ρv = ⎨ ⎪⎩ 0 r > 1mm Utilizando a Lei de Gauss, determinamos que: Determine: ⎧ 2 20r â [ µ C / m ] r ≤ 1mm r ! ⎪ D = ⎨ 20 2 ⎪ 2 âr [ fC / m ] r > 1mm ⎩ r (a) V em todos os pontos. (b) A energia armazenada na região r ≤ 1mm. EletromagnetismoI 14 Prof.DanielOrquiza
