introdução à resolução de sistemas não lineares

87
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES
y
, sen(x), ex+z,
z
etc, é chamada não-linear em x, y, z, ..., porque ela não pode ser escrita como
Uma equação que contenha uma expressão do tipo x2, y-2, x.y,
ax + by + cz + ... = cte
que é uma equação linear em x, y, z, ...
Um sistema de n equações e n incógnitas x1, x2, ..., xn é chamado de não-linear se
uma ou mais equações é não-linear. Trazendo todos os termos diferentes de zero à esquerda
de todas as equações, tem-se uma forma geral que pode ser usada para qualquer sistema
não-linear.
 f1 ( x1 , x2 ,..., xn )  0
 f ( x , x ,..., x )  0
 2 1 2
n


 f n ( x1 , x2 ,..., xn )  0
ou simplesmente
 f1 ( x )  0
 f ( x)  0
 2


 f n ( x)  0
em que xT= ( x1 , x2 ,..., xn ).
Em notação vetorial, o sistema linear acima pode ser escrito como: F(x) = 0, em que
 x1 
 
x
x  2
 
 
 xn 
e
 f1  x  


 f 2  x 
F(x) = 




 f  x 
n


Um vetor que x  ( x1 , x2 ,..., x n ) que satisfaz F( x) = 0 é denominado raiz do sistema
não-linear.
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88
Exemplos:
 x 2  y 2  4
 2
 x  y 2  1
1)
Reescrevendo este sistema na forma do sistema, temos:
Este sistema não-linear admite quatro soluções, que são os pontos onde as curvas
x + y = 4 e x2 - y2 = 1 se interceptam.
2
2
 f1 x, y   x 2  y 2  0.2  0

 f 2 x, y   x 2  y  1  0
2)
Este sistema não tem solução, ou seja, não existem pontos onde as curvas
x  y  0.2  0 e x 2  y  1  0 se interceptem.
2
2
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89
Método de Newton
O método mais amplamente estudado e conhecido para resolver sistemas de
equação não lineares é o Método de Newton.
No caso de uma equação não linear a uma variável, o Método de Newton consiste
em se tomar um modelo local linear da função f(x) em torno de xk, e este modelo é a reta
tangente à função em xk.
Considerando inicialmente um sistema de equações não lineares com duas equações
e duas incógnitas, temos:
 f 1  x, y   0

 f 2  x, y   0
Desta forma, buscamos determinar o vetor solução (𝑥̅ , 𝑦̅) tal que 𝐹(𝑥̅ , 𝑦̅) = 0 e
𝑓 (𝑥, 𝑦)
𝐹(𝑥, 𝑦) = ( 1
).
𝑓2 (𝑥, 𝑦)
Seja (x0,y0) uma aproximação inicial para a solução (𝑥̅ , 𝑦̅) do sistema. Expandindo
𝑓1 (𝑥, 𝑦) e 𝑓2 (𝑥, 𝑦) por série de Taylor em torno do ponto (x0,y0) até a derivada de primeira
ordem e igualando a zero a série truncada, temos:
𝑓1 (𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓1 (𝑥0 , 𝑦0 ) +
𝑓2 (𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 ) +
{
 𝑓1 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑥
 𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑥
(𝑥 − 𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 ) +
 𝑓1 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑦
 𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑦
(𝑦 − 𝑦0 ) = 0
(𝑦 − 𝑦0 ) = 0
Este sistema pode ser reescrito como:
−𝑓1 (𝑥0 , 𝑦0 ) =
−𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 ) =
{
 𝑓1 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑥
 𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑥
(𝑥 − 𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 ) +
 𝑓1 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑦
 𝑓2 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑦
(𝑦 − 𝑦0 )
(𝑦 − 𝑦0 )
A solução deste sistema fornece uma nova aproximação para a solução (𝑥̅ , 𝑦̅)
desejada. Na forma matricial, temos:
 f1 f1 


 x y   x  x0     f1 ( x0 , y0 ) 
 f 2 f 2   y  y0    f 2 ( x0 , y0 ) 
 x y 

J  x0 , y0 
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Definindo J(x0, y0) a matriz Jacobiana avaliada no ponto (x0, y0), temos:
 x  x0    f1 ( x0 , y0 ) 
  

J x0 , y0 
y

y

f
(
x
,
y
)
0

 2 0 0 
Denotando dx = (x – x0) e dy = (y – y0), temos o sistema linear:
 dx    f (x , y ) 
J  x0 , y0      1 0 0 
 d y    f 2 ( x0 , y0 ) 
Resolvendo este sistema por um método numérico, temos os valores de dx e dy.
Desta forma, a nova aproximação (x, y) é determinada por:
x = x0 + dx
e
y = y0 + dy
Os valores obtidos para x e y não são os valores de 𝑥̅ e 𝑦̅, mas são os valores de uma
nova aproximação, ou seja:
x1 = x0 + d x0
y1 = y0 + d y0
Repetindo o procedimento de linearização em torno do ponto obtido (x0,y0), isto é,
fazendo a expansão das funções f1 e f2 por série de Taylor até a derivada de 1ª ordem,
obtemos uma nova aproximação (x2, y2). Assim, sucessivamente, no ponto (xi,yi), temos o
processo iterativo:
 x  x    f (x , y ) 
J xk , yk  k 1 k    1 k k   Processo iterativo de Newton
 yk 1  yk    f 2 ( xk , yk ) 
Denotando ri = (xi+1 – xi) e si = (y i+1 – yi), resolvemos o sistema de equações lineares
obtido anteriormente e determinamos a nova aproximação (xk+1, yk+1) por:
xk+1 = xk + d xk
yk+1 = yk + d yk
Convergência:
Condições para a convergência do método de Newton:
1. As funções fi = (x, y), i = 1, 2 e as derivadas até 2ª ordem devem ser contínuas e
limitadas numa vizinhança da raiz (𝑥̅ , 𝑦̅).
2. Det[ J ( xk , yk ) ] ≠ 0.
3. A solução inicial (x0, y0) deve ser próxima da raiz (𝑥̅ , 𝑦̅).
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Critério de Parada:

Erro absoluto:
xk 1  xk   e yk 1  yk   .



Erro relativo:
xk 1  xk
xk 1
 e
yk 1  yk
yk 1
 .
Análise de F(x,y) = 0
f1 ( xk , yk )  
e
f 2 ( xk , yk )   .
Se um dos critérios acima estiver satisfeito pare o método.
Generalização do Processo Iterativo de Newton:
Seja
 f1 ( x1 , x2 ,..., xn )  0
 f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 



f
(
x
,
x
,...,
x
)

0
 2 1 2
n
 f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 

F
(
x
,
x
,...,
x
)

0;
em
que,
F
(
x
,
x
,...,
x
)


1
2
n
1
2
n






 f n ( x1 , x2 ,..., xn )  0
 f n ( x1 , x2 ,..., xn ) 
O processo iterativo de Newton é dado por:
 f1
 x
 1
 f 2

 x1


 f n
 x
 1
f1
x2
f1
xn
f 2
x2
f 2
xn
f n
x2
f n
xn
k 1
k
  x1  x1    f ( x k , x k ,..., x k ) 
n
  x k 1  x k   1 1 2

2
 2




   f ( x k , x k ,..., x k ) 


n
 2 1 2














k
k
k 

  k 1 k    f n ( x1 , x 2 ,..., x n ) 
  xn  xn 
De modo simplificado, temos:
k
k
k
 x1k 1  x1k    f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) 

 k 1
 
x  x 2k    f 2 ( x1k , x 2k ,..., x nk ) 
k
k
k  2
J ( x1 , x 2 ,..., x n ) 




 
 x k 1  x k    f ( x k , x k ,..., x k ) 
n 
 n
n
 n 1 2

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em que J ( xk , xk ,..., xk ) é a matriz Jacobiana avaliada no ponto ( xk , xk ,..., xk ) .
1
2
1
n
Denotando d  x
k
1
k 1
1
 x1 ; d  x
k
k
2
k 1
2
x
k
2
k 1
n
... d  x
k
n
2
n
 xn , temos o sistema de equações
k
lineares para ser resolvido:
k
k
k
 d1k    f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) 


 k
k
k
k



f
(
x
,
x
,...,
x
)
d
2
(k )
(k )
(k )
1
2
n
J ( x1k , x 2k ,..., x nk )  2   
  J ( x )  d   F ( x )
 


 k 
 d n    f n ( x1k , x 2k ,..., x nk ) 
em que:
d (k )
 f1 ( x ( k ) ) 
 d1k 
 x1k 


 k
 
(k )
d 2  ( k )  x2k 
 f2 ( x ) 
(k )


; x 
e F (x )  

 
 


 k 
 k 
 f ( x( k ) ) 
 dn 
 xn 
 n

Utilizando um método direto para resolver este sistema linear obtido, temos os
valores de d1k ; d 2k ... d nk e a nova solução aproximada x1k 1 , x2k 1 , ..., xnk 1 é dada por:
 x1k 1   x1k   d1k 
 k 1   k   k 
 x2    x2    d 2   ( x ( k 1) )  ( x ( k ) )  (d ( k ) )

    
 k 1   k   k 
 xn   xn   d n 
Convergência:
Condições para a convergência do método de Newton generalizado:
1. As funções fi ( x1 , x2 ,..., xn ) ; i = 1, 2, ..., n e suas derivadas até 2ª ordem devem ser
contínuas e limitadas numa vizinhança da raiz ( x1 , x2 ,...., xn )T .
2. Det[ J ( xk , xk ,..., xk ) ] ≠ 0, para k = 0,1,...
1
2
n
3. A solução inicial ( x0 , x0 ,..., x0 )T deve ser próxima da ( x1 , x2 ,...., xn )T .
1
2
n
OBS: A sequência gerada pelo Método de Newton ( xk , xk ,..., xk )T , a partir de uma solução
1
0
0
0 T
2
n
2
n
inicial ( x , x ,..., x ) suficientemente próxima da solução do sistema, converge para
1
T
( x1 , x2 ,...., xn )
, e a convergência é quadrática.
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Critério de Parada:

Análise de F ( x1 , x2 ,..., xn ) = F ( x) = 0:
F ( x( k ) )


max fi ( x( k )  

1i  n
Análise do Erro absoluto:
x( k 1)  x( k )



max xik 1  xik  
1i  n
Análise do Erro relativo:

x( k 1)  x( k )
x ( k 1)


max
1i  n
xik 1  xik
 .
xik 1

Nas expressões acima as fórmulas podem ser simplificadas considerando-se:
x( k 1)  x( k )  d ( k ) e xik 1  xik  dik
Exemplo:
Resolver o sistema de equações não lineares utilizando o método de Newton com
(x0, y0) = (0.5, 0.5) e ε = 0.01.
 x 2  y 2  1
 2
 x  y  0
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94
Exercício:
Resolver o sistema de equações não lineares utilizando o método de Newton com
(x0, y0) = (1, 5) e ε = (0.01).
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95
 x2  y 2  9  1

x  y  3  0
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 x   0.002654 
Solução :  

 y   3.002654 
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Método de Newton Modificado
A modificação sobre o Método de Newton consiste em tomar a cada iteração k a
matriz J(x0, y0, ..., z0), em vez de J(xk, yk, ..., zk). A partir de uma aproximação inicial (x0, y0,
..., z0), uma sequência de soluções é gerada a partir da solução do sistema linear:
 rk    f1 ( xk , yk ,..., z k ) 
 s    f ( x , y ,..., z ) 
k
2
k
k
k 
J ( x0 , y0 , ,..., z0 )   
 


  

 t k    f n ( xk , yk ,..., z k ) 
Desta forma, a matriz Jacobiana é avaliada apenas uma vez e, para todo k, o
sistema linear a ser resolvido a cada iteração terá a mesma matriz de coeficientes:
J ( x0 , y0 , ,..., z0 ) .
Se usarmos a fatoração LU para resolvê-lo, os fatores L e U serão calculados
apenas uma vez e, a partir da 2ª iteração, será necessário resolver apenas dois sistemas
triangulares para obter os valores de rk, sk, ..., tk.
Exemplo:
Resolver o sistema de equações não lineares utilizando o método de Newton
Modificado com (x0, y0) = (1, 3) e ε = 0.01.
y  x  2
 2
2
x  y  9
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97
Exercícios
1
Resolva pelo Método de Newton, com ε =10-3, os sistemas a seguir.
a.
 x12  x22  1
1.5 

0
 
com
x

 2
1
2
 3.2 
 x1  x2  
2

b.
3.x12 .x2  x23  4
 2.1 
0
 
com
x

 2
 x1  x1.x23  9
 2.5 
c.
( x1  1) 2  x22  4
0
0
 
com
x

 2
 x1  ( x2  1) 2  4
 2
d.
 x12  x22  1
 1
com x 0   
 3
 x1  x2  0
  1
e.
 x12  4.x1  x22  0
 3
0
 
com
x

 2
 x1 .x2  2.x12  1
  2
f.
 x1  3. ln x1  x22  0
 3.5 
com x 0   
 2
2.x1  x1.x2  5.x1  1  0
 2.2 
g.
 x12  x22  x32  1
 0.5 
 
 2
2
0
2.x1  x2  4.x3  0 com x   0.5 
 2
 0.5 
 
3.x1  4.x2  x3  0
 x13  2.x2  x3  4
 1
 
 2
h. 2.x1  x22  4.x3  1 com x 0   1
 2
 2
 
3.x1  4.x2  x3  0
2
Resolva pelo Método de Newton Modificado, com ε =10-3, os sistemas 2, 3, 4 e 5 do
exercício anterior.
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98
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