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Moléculas em Titã
Série Rádio Cangália
Objetivos
1. Apresentar uma conexão entre figuras
geométricas e moléculas.
Moléculas em
Titã
Série
Rádio Cangália
Conteúdos
Geometria, Simetrias, Geometria
métrica.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar uma conexão entre
figuras geométricas e
moléculas.
Sinopse
O programa apresenta a notícia
de que o satélite natural de
Saturno, Titã, tem moléculas
orgânicas como as que a Terra
teve no passado. Ao comentar
sobre as moléculas o professor
Leumas enfatiza as suas
características geométricas.
Material relacionado
Vídeos: Naturalmente, Você disse
cristalografia, Lenda de Dido,
Sinfonia de poliedros;
Áudios: O que é poliedro;
Experimento: Espelhos e
simetrias;
ÁUDIO
Moléculas em Titã 2/12
Introdução
Sobre a série
A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de
variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de
conhecimentos gerais, com comentários de um professor de
matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas
oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos
interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O
programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem
preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em
torno de um conteúdo e reforçar a descontração.
Sobre o programa
A atmosfera de Titã, a Lua de Saturno, tem as condições similares às
que a Terra teve antes do aparecimento de vida aqui, há 4 bilhões. Titã
tem raio de 2.600 quilômetros, é maior do que a nossa Lua ou até
mesmo o planeta Mercúrio e a temperatura média de sua atmosfera é
180 graus célsius negativos. Nada atraente para a vida como
conhecemos.
No entanto, a cientista da Universidade do Arizona, Sarah Horst,
simulou em laboratório a composição da atmosfera desse ativo satélite
e concluiu em 2010 que todos os blocos para as moléculas primordiais
da vida estão lá, ainda que a água não esteja presente.
As moléculas mais importantes para a vida têm características que
podem ser compreendidas por suas configurações geométricas. Por
exemplo: Água (H2O), gás carbônico CO2, fosfato (KO4).
O programa foi desenvolvido a partir das seguintes falas, que não têm
a ortografia nem as concordâncias gramaticais corrigidas, mas servem
para acompanhar o desenvolvimento do áudio:
ÁUDIO
Moléculas em Titã 3/12
• Alô alô marcianos, aqui quem fala é da Terra!
• Alô Ivone, mas que jeito é esse de começar nossa Rádio Cangália
hoje? Já estamos assim tão famosos, é?
• (risos) Famosos? Claro que sim!!!! (risos) Mas quem sabe quando
for descoberta a vida fora da Terra não teremos uma versão Rádio
Cangália, sei lá, em Marte, Júpiter, Saturno...?
• Eita... que doideira é essa Ivone? Que cê tá falando?
• Henrique, Henrique, você se esqueceu do nosso tema de hoje?
• Ah, é mesmo!!! Hoje a minha, a sua, a nossa Ráaaaaaaaaaaadio
Cangália vai falar sobre (fala de jeito diferente, para dar medo) Vida
fora da Terra...uhhhh...
• É preciso provas para tal afirmação, Henrique. Provas científicas!!!
• Oi Professor, você vai bem, vai? (irônico, entediado)
• Oi, Henrique, você não me parece muito feliz em me ver hoje...
Algum problema?
• Só hoje???
• Como assim?
• Meninos, meninos, no meio do programa não!!!
• Mas...
• Mas nada!!!
• Siiiiim, Ivone!!! (em uníssono/ meio cantado)
• Vocês parecem que vieram de planetas diferentes!!! Ok, voltando...
• Ai ai...
• Como estávamos falando, hoje o assunto da nossa curiosidade é
vida fora na Terra, ou melhor, a possibilidade de vida fora da Terra,
mais precisamente nos arredores de Saturno.
• Saturno é o sexto planeta do Sistema Solar, o nosso sistema!!! Este,
por sua vez, está localizado na Galáxia Via Láctea. E, olha que
interessante, em termos de diâmetro, ele é o segundo maior,
depois de Júpiter!
• Mas vocês sabiam que ele é o menor em densidade???
• Sério? Mas como pode se...sei lá, todos aqueles anéis e... (confusa)
• Sim, apesar de ser o segundo maior, é um dos menos densos. Isso
porque Saturno é formado por grande quantidade de gases.
• Nossa, professor, você é tão inteligente, isso nem tava no script...
• Que é isso Ivone...
• Não, é verdade, você sempre sabe tanta coisa de tantos assuntos...
(empolgada)
• É, eu sei mesmo pois... (risos “se achando”)
• (interrompendo) Aham aham (com a garganta), VOLTANDO...Em
2010, a cientista Sarah Horst, da Universidade do Arizona, fez
algumas experiências e simulações em seu laboratório, estudando
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a composição da lua de Saturno, também conhecida como Titã.
Ela descobriu que todos os blocos para as moléculas primordiais da
vida estão presentes por lá, exceto a água.
Sim, o ambiente por lá é muito semelhante com o que tínhamos há
4 bilhões de anos aqui na Terra, antes do aparecimento da vida no
nosso planeta...
Quer dizer que existe uma chance de, algum dia, surgir vida por
lá???
Não se pode afirmar ainda, Ivone. O que se sabe é sobre essas
semelhanças...Existem outros aspectos que devem ser analisados.
Pois é professor. Acho que tamanho, pelo menos, não seria um
problema, já que a Titã é maior do que a nossa Lua e maior até
que o planeta Mercúrio.
O problema mesmo é a falta de água e a temperatura... Lá, a
temperatura média da atmosfera é de menos cento e oitenta graus
célsius!!!!
Nossa, isso é bem frio, hein? Ainda mais para a vida como nós
conhecemos.
É, realmente Ivone. É instigante e curioso pensarmos que talvez a
vida lá fora não seja como a que nós conhecemos.
É mesmo... Mas e esse nome, Titã, de onde vem? Vocês sabem?
Ah!!!! Essa é uma curiosidade muito interessante.
Vocês repararam nos nomes dos planetas? Todos são inspirados
em deuses da mitologia romana antiga.
Eu adoro mitologia antiga!!!
Eu também!!! Saturno, por exemplo, é o nome do deus da justiça e
da força. Na mitologia grega também era conhecido como Cronos.
Sim, e os titãs eram seres que vieram antes dos deuses e eram
muito grandes e muito fortes. Os titãs eram aliados do deus
Saturno, por isso da principal lua de Saturno se chamar Titã.
Nossa, muito bacana mesmo.
E já que acabamos caindo nesse assunto da Antiguidade grecoromana, que tal uma frase bem antiga de Sócrates, mas que ainda
é muito verdadeira?
Sócrates me lembra o cara do futebol... (risos)
Mas não é desse Sócrates que estamos falando não, Henrique.
(meio indignado e provocando)
SIM, EU SEI. Foi só uma piadinha... (bravo) O Sócrates que estamos
falando é o importante filósofo grego, mentor de Platão!
Foi ele quem disse a célebre frase...
“Só sei que nada sei”.
A cada dia que você aprende uma coisa nova, mais você se dá
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conta que ainda tem muuuuuuito o que aprender.
Sim, o aprendizado é algo constante. Quem acha que já sabe tudo,
deixa de procurar o conhecimento, assim deixa de aprender mais
coisas.
Esse é o verdadeiro sábio!
Que humilde!!! Tem gente precisando aprender algumas coisas
com Sócrates, não acha professor?
Henrique! Mas ora essa...hunf!
(interrompendo) Parem com isso!!! Hoje vocês tão que tão, hein?
Melhor darmos uma pausa!!! Vamos para o intervalo, e enquanto
isso vocês dois se controlem, hein?!!!
(mudando o tom para se dirigir ao espectador) E os nossos
ouvintes podem pensar sobre a Lua de Saturno, chamada Titã e a
possibilidade de vida por lá.
(para HENRIQUE, mais baixo) Mas você hein Henrique, só fica
falando essas coisas para provocar o professor... (fade out)
Fiquem ai que a “Rádio Cangália” volta já!
Olá olá ouvintes, voltamos para falar de Titã, a Lua de Saturno, e
das moléculas orgânicas encontradas lá !!!
E antes que os ânimos esfriem, vamos a nossa piadinha do dia.
Então lá vai: Qual é o doce preferido do átomo?
Ai, essa eu sei. Preparem-se, ouvintes, essa é de doer. (risos)
Qual é professor?
O Pé de Moléculas!!!! (risos)
Ahhhh... (desapontada)
Gostou, Ivone?
Bem, hã...pelo menos funcionou para iniciarmos nosso tema
matemático...
Mas eu gosto tanto dessa piadinha... moléculas, átomos,
entenderam???
Sim, Professor, a gente entendeu... É que não tem...bem...
Vixe, Ivone, deixa pra lá... Melhor começar a explicar a conexão do
assunto com a matemática.
Pois bem, vamos a ele... Todos os alunos de papel e caneta nas
mãos?
Então, como o professor nos deu a dica, na sua óooootima piada
do dia (um pouco irônica), o assunto é a geometria dos átomos e
moléculas.
Em uma molécula, os átomos podem ocupar diversas posições
espaciais, assemelhando-se a figuras geométricas conhecidas pelos
matemáticos.
Diferentes substâncias podem ser formadas se mudarmos a
posição dos átomos dentro da sua estrutura. Por exemplo, a
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Glicose e a Frutose. Ambas as moléculas são formadas por seis
átomos de carbono, doze de hidrogênio e seis de oxigênio.
Só que pela sua diferente distribuição na estrutura da molécula,
acabam por formarem dois carboidratos diferentes.
É...então nesse caso a ordem dos fatores altera sim o resultado.
(risos)
Pois bem! E isso acaba também por determinar diferentes funções
orgânicas dessas moléculas..
Um bom e conhecido exemplo é o do Benzeno. Benzeno são seis
hidrogênios e seis átomos de carbono distribuídos nos vértices de
um hexágono.
Anotem ai: um hexágono, por sua vez, é um polígono com seis
lados e seis vértices.
E vocês sabem o que o padre estava fazendo com seis carbonos?
Uma piadinha agora?
Sim! Ele estava “benzeno”!!! (risos) Viu como não foi fora de hora,
Ivone?
(risos) Sim professor. (risos)
Na verdade ele interrompeu minha explicação sobre o que é um
hexágono! (meio bravinho)
Ai Henrique, só foi um momento de descontração.
Bem, como eu estava falando, um hexágono é um polígono com
seis lados. Se ele for do tipo regular, vai ser formado por seis lados
iguais com ângulos internos de cento e vinte graus em cada
vértice.
Certo Henrique. A gente pode explicar esse ângulo interno
percebendo que podemos decompor o hexágono em seis
triângulos equiláteros!
Equilátero é aquele triângulo com três ângulos de 60 graus e os
três lados iguais, não é...?
Sim Ivone, por isso que chama e-q-u-i-l-á-t-e-r-o. (meio irônico)
Os outros dois tipos de triângulos conhecidos são o isósceles e o
escaleno.
O isósceles é aquele que tem pelo menos dois lados iguais e dois
ângulos iguais, ou seja, congruentes. E o escaleno...
(interrompendo) É aquele que é tudo diferente, né???
Lembreeeeei!!!
Isso Ivone! Podemos também citar como exemplo a molécula de
metano.
Metano é o gás que podemos encontrar nas decomposições de
material orgânico...E qual é o seu formato?
A molécula de metano CH4 tem dez elétrons que fazem as ligações
entre os átomos de Carbono e os quatro Hidrogênios. Esses, por
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sua vez, vão se colocar nos quatro vértices de de um tetraedro.
Lembrando que o tetraedro é uma espécie de pirâmide formada
por quatro triângulos.
Mas como a natureza é perfeita, não é? Até as moléculas são tão
organizadinhas, com formatos tão certinhos...
O que significa ser organizadinhas, minha cara? Perfeição é um
conceito ... (para si, filosofando) Bem! Não vem ao caso.
Voltando às moléculas, podemos citar o hexafluoreto de enxofre
que, por exemplo, se assemelha a um octaedro. Nesse composto,
os átomos de flúor ocupam os seis vértices externos, e o enxofre
fica no centro do octaedro.
Nossa, só nome difícil! E essas moléculas do nosso dia
a dia... a água, o gás carbônico...?
O gás carbônico tem a fórmula CO2, com um átomo de carbono e
dois de oxigênio distribuídos de forma linear, como três pontos em
uma reta.
Parabéns, Ivone, é isso mesmo! Já a molécula da água, tem um
oxigênio com oito prótons e dois hidrogênios com um próton cada
um. O total são dez elétrons que fazem as ligações e mantém o
equilíbrio das cargas elétricas.
Isso aê! E a molécula da água tem a forma geométrica de um
triângulo isósceles onde o oxigênio ocupa um dos vértices e os
hidrogênios os outros dois vértices.
O ângulo entre as ligações H-O-H é por volta de 104,5
graus.
Nossa, quanta coisa! Galera, tá tudo mundo fazendo seus desenhos
e anotando tudo, né?
Ora, espero que sim...
Ufa! Por hoje chega, né?
É, realmente aprendemos muitas coisas hoje. E descobrirmos que
temos mais um monte para aprender.
“Só sei que nada sei”, como diria Sócrates!
Isso! Então, acho que nos despedimos por aqui, caros alunos e
professores.
Tchau gente!!! Até a próxima!
Saudações, amigos!
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Moléculas em Titã 8/12
Sugestões de atividades
Antes da execução
Lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo (plano)
qualquer é 180° ou radianos.
Problema
Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono (plano) convexo
qualquer?
Solução
Considere um dos vértices A1 entre os lados a1 e a2 do polígono como
na figura abaixo. O ângulo interno, como indicado, é e assim o
ângulo externo correspondente será . Argumento similar pode
ser usado para todos os demais vértices. O polígono convexo vai se
fechar com n ângulos internos, digamos , , , ⋯ , . Claramente a
soma dos ângulos externos deve ser 2 ou 360° (uma volta completa).
Temos então que
∑ 2 ⟺ ∑ 2 ⟺ ∑ 2
Isto é, a soma dos ângulos
internos de um polígono plano
convexo qualquer é 2.
Se esse polígono for regular
(quando todos os ângulos
internos e todos os lados
tiverem as mesmas medidas
correspondentes) então o valor
de cada ângulo interno é dado
por
2
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Moléculas em Titã 9/12
Durante a execução
Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no
programa à medida que eles forem falados.
Depois da execução
A molécula amônia NH3 pode ser representada geometricamente por
um tetraedro no qual os quatro átomos de estariam nos seus vértices
Se considerarmos os quatro átomos por pontos, em princípio, os
quatro pontos poderiam se distribuir em um plano (ou até mesmo um
segmento de reta). Acontece que o Nitrogênio, que tem número
atômico 7, tem três lugares para acomodar três elétrons na sua órbita
mais externa. A configuração de equilíbrio desses três elétrons
externos seria aquela na qual a distância entre eles forem igual. Por
essa
razão
consideramos
a
geometria
do
tetraedro. A situação
é mais complicada na
realidade,
pois
a
última camada do
átomo de Nitrogênio
já tem 5 elétrons e
assim, a configuração
conjunta não é trivial,
mas para o nível de
Ensino
Médio
a
aproximação por um
tetraedro
é
satisfatória.
Figura 1 Amônia: Nitrogênio (azul) e três Hidrogênios (cinza claro)
Problemas
1. Qual é o ângulo entre as arestas de um tetraedro regular?
ÁUDIO
Moléculas em Titã 10/12
Solução
Como cada face deve ser um triângulo eqüilátero, então todos os
ângulos internos entre as arestas são 60°
2. Se o tetraedro é composto por um triângulo eqüilátero e três
triângulos isósceles (que é o modelo da molécula amônia), o que
podemos dizer dos ângulos internos entre as arestas desse tetraedro?
Solução
Os Entre as arestas da face eqüilátera, os ângulos são 60°. Os demais
ângulos vão depender dos tamanhos relativos das arestas. No entanto,
podemos considerar os casos extremos: Os quatros pontos estão no
mesmo plano ou triângulo eqüilátero colapsa para um ponto.
No caso dos quatro pontos no plano
temos a configuração ao lado. A
soma dos ângulos internos em torno
do vértice N é 360°. Assim, cada
ângulo interno tem 120°.
Por outro lado, se os três vértices
colapsarem para um ponto, o ângulo
teria o limite 0°.
Assim podemos dizer que os ângulos
internos entre as arestas do vértice N
devem ser iguais e podem variar, em princípio entre 0° e 120°.
3. Se a distância entre os Hidrogênios for 60% maior que a distância
entre o Nitrogênio e os Hidrogênios, qual é o ângulo entre as ligações
do Nitrogênio e os Hidrogênios?
Solução
Se considerarmos as ligações entre o Nitrogênio e cada Hidrogênio da
molécula Amônia por um segmento de reta, na aproximação de um
tetraedro como no problema anterior, basta calcularmos os ângulos do
triângulo isósceles de lados 1,6 e 1. É fácil obter o ângulo de
interesse. Veja a figura abaixo.
ÁUDIO
Moléculas em Titã 11/12
Os dados mais precisos da molécula de Amônia fornecem o ângulo
107,8° entre as ligações Nitrogênio-Hidrogênio.
Sugestões de leitura
M. Paiva (2002). M ATEMÁTICA: CONCEITOS, LINGUAGEM E APLICAÇÕES.
Editora Moderna. Vol 2, cap 28.
Ficha técnica
Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
ÁUDIO
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