Teoria quântica de campos para férmions interagentes no plano a

Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciência
Instituto de Física Armando Dias Tavares
Pedro Henrique Amantino Manso
Teoria quântica de campos para férmions interagentes no plano a
temperatura e potencial químico finitos, na presença de um campo
magnético externo oblíquo
Rio de Janeiro
2011
Pedro Henrique Amantino Manso
Teoria quântica de campos para férmions interagentes no plano a temperatura e
potencial químico finitos, na presença de um campo magnético externo oblíquo
Dissertação apresentada como requisito parcial
para obtenção do título de Mestre, ao Programa
de Pós-Graduação em Física, da Universidade
do Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. Rudnei de Oliveira Ramos
Rio de Janeiro
2011
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ/ REDE SIRIUS/ BIBLIOTECA CTC/D
M 289
Manso, Pedro Henrique Amantino.
Teoria quântica de campos para férmions interagentes no plano a
temperatura e potencial químico finitos, na presença de um campo
magnético externo oblíquo / Pedro Henrique Amantino Manso. – Rio de
Janeiro, 2011.
88 f. : il. color.
Orientador: Rudnei de Oliveira Ramos.
Dissertação (Mestrado) – Universidade do Estado do Rio de Janeiro,
Instituto de Física Armando Dias Tavares.
1. Teoria quântica de campos (Física) - Teses. I. Ramos, Rudnei de
Oliveira. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de Física
Armando Dias Tavares. III. Título.
CDU 530.145
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação,
desde que citada a fonte.
__________________________________________________________
Assinatura
_______________________
Data
Pedro Henrique Amantino Manso
Teoria quântica de campos para férmions interagentes no plano a temperatura e
potencial químico finitos, na presença de um campo magnético externo oblíquo
Dissertação apresentada como requisito parcial
para obtenção do título de Mestre, ao Programa
de Pós-Graduação em Física, da Universidade
do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 01 de Dezembro de 2011.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Rudnei de Oliveira Ramos (Orientador)
Instituto de Física Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Eduardo Cantera Marino
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci
Instituto de Física Armando Dias Tavares – UERJ
Rio de Janeiro
2011
AGRADECIMENTOS
Agradeço a minha família, a minha namorada Larissa, ao professor Rudnei Ramos e a
todos os meus amigos.
Agradeço também ao Programa de Pós-Graduação em Física da UERJ e ao CNPq pelo
apoio financeiro.
RESUMO
MANSO, Pedro Henrique Amantino. Teoria quântica de campos para férmions interagentes
no plano a temperatura e potencial químico finitos, na presença de um campo magnético
externo oblíquo. 2011. 88 f. Dissertação (Mestrado em Física) – Instituto de Física Armando
Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2011.
Neste trabalho, os efeitos de um campo magnético oblíquo externo no modelo de GrossNeveu (2+1)-dimensional, que inclui as componentes paralela e perpendicular do campo em
relação ao sistema, são estudados no contexto da simetria quiral e discreta do modelo. Nosso
principal interesse está nos efeitos deste campo sobre o diagrama de fase do sistema, onde também incluímos os efeitos combinados de temperatura e potencial químico. Os diagramas de fase
são obtidos através do potencial efetivo a 1 loop para o modelo, derivado em primeira ordem
na expansão 1/N . Transições de fase relevantes que podem ser estudadas através deste modelo
são, por exemplo, metal-isolante em matéria condensada e na teoria quântica de campos de
férmions planares em geral. A relação entre a transição de fase com quebra da simetria quiral
e discreta e o surgimento de um gap (ou a presença de um valor esperado no vácuo do campo
escalar diferente de zero), como função do campo magnético oblíquo, é analisada em detalhes.
Palavras-chave: Teoria de campos a temperatura finita. Sistemas fermiônicos planares.
Transições de fase. Quebra de simetria quiral.
ABSTRACT
MANSO, Pedro Henrique Amantino. Quantum field theory for interacting planar fermions at
finite temperature and chemical potential, in the presence of an external oblique magnetic
field. 2011. 88 f. Dissertação (Mestrado em Física) – Instituto de Física Armando Dias
Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2011.
In this work, the effects of an external oblique magnetic field in the (2+1)-dimensional
Gross-Neveu model, and that therefore includes both parallel and perpendicular components of
the applied field, are studied in the context of the model’s discrete chiral symmetry. Our main
concern is in the effects of such a field in the system’s phase diagram and that also includes
the combined effects of temperature and chemical potential. The phase diagrams are obtained
through the one-loop effective potential for the model, derived in the leading order in the 1/N
expansion. Relevant phase transitions that can be studied through this model are, for example,
metal-insulator ones in condensed matter and in the quantum field theory of planar fermions in
general. The relation between the phase transition with (discrete) chiral symmetry breaking and
the emergence of a gap (or the presence of a chiral nonvanishing vacuum expectation value) in
the planar fermionic system, as a function of the external oblique magnetic field, is analyzed in
details.
Keywords: Field theory at finite temperature. Planar fermionic systems. Phase transitions.
Chiral symmetry breaking.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
1 - Esboço do potencial dado por (56). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 - Contorno Cq utilizado em (73). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 - Potencial efetivo Vef f,R (para T = µ = 0) para os casos λR < 0 e λR > 0. .
4 - Potencial efetivo Vef f,R (para µ = 0) para T < Tc , T = Tc e T > Tc . . . . .
5 - Parâmetro de ordem σ̄ (para µ = 0) em função da temperatura T . . . . . .
6 - Potencial efetivo Vef f,R (para T = 0) para µ < µc , µ = µc e µ > µc . . . . .
7 - Parâmetro de ordem σ̄ (para T = 0) em função do potencial químico µ. . .
8 - Parâmetro de ordem σ̄ em função do potencial químico µ para T = 0, 2σ0 ,
T = 0, 5σ0 e T = 0, 7σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 - Parâmetro de ordem σ̄ em função da temperatura T para µ = 0, 1σ0 , µ =
0, 7σ0 e µ = 0, 9σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 - Diagrama de fase T × µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 - (a) Potencial efetivo a T = µ = 0 e δµ = 0 em função de σ para B⊥ =
1e−1 σ02 , B⊥ = 5e−1 σ02 e B⊥ = 10e−1 σ02 . (b) A variação de σ̄ com o campo
B⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 - (a) Potencial efetivo Vef f,R (T = µ = B⊥ = 0) para δµ < δµc , δµ = δµc e
δµ > δµc . (b) Parâmetro de ordem σ̄ (para T = 0) em função da assimetria
δµ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 - Potencial efetivo a T = µ = 0 em função de σ, com B⊥ = 1, 0e−1 σ02 fixo:
(a) Para δµ = 0, δµ = 0, 30σ0 , δµ = δµc ≈ 0, 76σ0 e δµ = 1, 40σ0 ; (b)
Comportamento do potencial efetivo devido aos níveis de Landau. . . . . .
14 - Potencial efetivo a T = µ = 0 e δµ = δµc ≈ 0, 76σ0 (fixo) em função de σ
para B⊥ = 0, 7e−1 σ02 , B⊥ = 1, 0e−1 σ02 e B⊥ = 1, 3e−1 σ02 . . . . . . . . . .
15 - Diagramas de fase T × µ com δµ = 0 fixo, para B⊥ = 0, B⊥ = 5e−1 σ02 ,
B⊥ = 7e−1 σ02 e B⊥ = 10e−1 σ02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 - Diagramas de fase T × µ com B⊥ = 0 fixo, para δµ = 0, δµ = 0, 50σ0 ,
δµ = 0, 80σ0 e δµ = 0, 95σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 - Diagramas de fase T × µ. (a) Campo B⊥ = 7e−1 σ02 é mantido fixo e casos
δµ = 0, δµ = 0, 800σ0 , δµ = 0, 897σ0 e δµ = 1, 500σ0 ; (b) assimetria
δµ = 1, 5σ0 é mantida fixa e casos B⊥ = 5e−1 σ02 , B⊥ = 7e−1 σ02 , B⊥ =
9e−1 σ02 e B⊥ = 35e−1 σ02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 - Diagramas de fase T × µ com campo magnético perpendicular B⊥ =
7e−1 σ02 . (a) δµ = 0; (b) δµ = 0, 800σ0 ; (c) δµ = 0, 897σ0 ; e (d) δµ =
1, 500σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
26
39
41
42
43
44
45
46
47
59
60
62
63
68
69
71
72
SUMÁRIO
1
1.1
1.2
1.3
1.3.1
1.3.2
1.4
1.5
2
2.1
2.1.1
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.3
3
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA . . . .
A função de partição termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O formalismo de tempo imaginário (Matsubara) . . . . . . . . . . . . . . .
Introdução do potencial químico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoria de campos escalares carregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoria de campos fermiônicos de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quebra espontânea de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo das somas sobre as frequências de Matsubara . . . . . . . . . . .
INTRODUÇÃO ÀS CARACTERÍSTICAS DO MODELO DE GROSSNEVEU EM 2+1 DIMENSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O modelo de Nambu-Jona-Lasinio e o potencial efetivo . . . . . . . . . . .
O potencial efetivo a 1 loop na expansão 1/N . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O modelo de Gross-Neveu em 2+1 dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 1: T = µ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 2: T 6= 0 e µ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 3: T = 0 e µ 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 4: T 6= 0 e µ 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicação de campos magnéticos (separadamente) ao modelo de GrossNeveu em 2+1 dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ESTUDO DO SISTEMA PLANAR FERMIÔNICO NA PRESENÇA DE
CAMPO MAGNÉTICO OBLÍQUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Densidade de Lagrangiana e o potencial efetivo a 1 loop . . . . . . . . . . .
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 1: T = µ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 2: T 6= 0 e µ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 3: T = 0 e µ 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 4: T 6= 0 e µ 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso onde a constante de acoplamento tem sinal oposto . . . . . . . . . . . .
CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APÊNDICE A – Formalismo funcional para o cálculo do potencial efetivo e a
expansão 1/N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APÊNDICE B – Cálculo do traço da equação (110) . . . . . . . . . . . . . .
APÊNDICE C – Níveis de Landau e autofunções . . . . . . . . . . . . . . .
APÊNDICE D – Cálculos relativos à função zeta de Riemman generalizada .
8
10
10
17
19
20
21
22
25
29
29
31
36
39
40
41
44
46
54
54
57
58
61
64
65
70
74
76
79
82
84
87
8
INTRODUÇÃO
Teoria de campos em duas dimensões espaciais tem sido de fundamental importância
para a compreensão de muitos sistemas físicos que podem ser aproximados para planares, como
supercondutores a temperaturas elevadas e o efeito Hall quântico. Em física da matéria condensada, existem exemplos tais como a transição metal-isolante (metal-insulator transition-MIT)
(ABRAHAMS; KRAVCHENKO; SARACHIK, 2001) ou o grafeno, que consiste numa camada
de carbono de espessura de um átomo, na qual o transporte eletrônico é essencialmente governado pela equação de Dirac relativística (NOVOSELOV et al., 2005) num plano. No entanto, é
possível tratar muitos desses sistemas planares da física da matéria condensada usando modelos de teoria quântica de campos para férmions em 2+1 dimensões (duas dimensões espaciais e
uma temporal).
Há vários modelos úteis em teoria de campos para descrever um grande número de fenômenos em matéria condensada; entre eles, aqueles que consideram uma interação de quadriférmions têm sido muito utilizados. Modelos como os de Nambu-Jona-Lasinio (NJL) (NAMBU;
JONA-LASINIO, 1961a; NAMBU; JONA-LASINIO, 1961b) e Gross-Neveu (GN) (GROSS;
NEVEU, 1974), uma particularização do primeiro, são exemplos de modelos fermiônicos usados para descrever tais sistemas. O modelo de NJL foi proposto com motivação justamente
na teoria BCS da supercondutividade (BARDEEN; COOPER; SCHRIEFFER, 1957), em 1961,
enquanto o modelo de GN foi proposto mais tarde, em 1974. O modelo de GN, por exemplo,
tem sido considerado apropriado para estudar baixas excitações de energia de supercondutores
a altas temperaturas (LIU, 1999).
Tais modelos também são atraentes para a cromodinâmica quântica, principalmente no
estudo de transição de fase hadrônica para a fase de plasma de quark-glúon (associada à quebra da simetria quiral), que representa um dos maiores objetivos dos experimentos de colisão
de íons pesados em física de altas energias (HARRIS; MüLLER, 1996). A matéria que interage fortemente é descrita pela QCD, que é assintoticamente livre. Isto significa que, a curtas
distâncias (altas energias), quarks e glúons parecem ser fracamente acoplados, enquanto que a
grandes distâncias (baixas energias), a constante de acoplamento torna-se forte, caracterizando
o confinamento de quarks e glúons dentro dos hádrons. Com isso, a teoria de perturbação usual
da teoria quântica de campos torna-se inviável. Os modelos de NJL e GN servem como teorias
efetivas para a QCD, para tratar, por exemplo, de propriedades relacionadas à transição de fase
relativa à simetria quiral.
O modelo que vamos desenvolver neste trabalho é o modelo de Gross-Neveu em 2+1
dimensões, que consiste basicamente de N tipos de férmions de quatro componentes que interagem entre si no plano. Estudaremos os efeitos de um campo magnético externo oblíquo, com
componentes perpendicular e paralelo ao plano de interação, quando este é aplicado ao sistema.
O estudo consistirá da obtenção de diagramas de fase T × µ e sua evolução estrutural com a
9
variação das componentes do campo magnético externo.
Um campo magnético aplicado na direção paralela ao sistema fermiônico planar acoplase apenas com os spins dos férmions, gerando um efeito Zeeman intrínseco que polariza o
sistema; este caso foi estudado em Caldas e Ramos (2009), para o modelo de GN em 2+1 dimensões, onde foi mostrado que o campo magnético paralelo contribui simplesmente com um
deslocamento no potencial químico para férmions de spin up e down (assimetria na densidade
de spins). Por outro lado, um campo magnético aplicado perpendicularmente ao mesmo plano
acopla-se com o movimento orbital dos férmions, gerando os conhecidos níveis de Landau,
como estudado em Gusynin, Miransky e Shovkovy (1995); e Vshivtsev, Klimenko e Magnitsky
(1996). Um efeito interessante devido a presença de campo perpendicular é a catálise magnética, que consiste na geração de massa dinâmica para os férmions não só para valores negativos
da constante de acoplamento, mas também para valores positivos, diferentemente do caso sem
este campo.
O estudo realizado nesta dissertação é calcado na teoria quântica de campos a temperatura finita. Em particular, utilizamos o formalismo de tempo imaginário, ou formalismo de
Matsubara, que definimos no primeiro capítulo. Neste capítulo, o objetivo principal é introduzir
a teoria quântica de campos a temperatura finita requerida através do formalismo funcional que,
para nossos interesses, tem vantagens sobre os demais do ponto de vista prático.
No segundo capítulo, desenvolvemos o modelo de GN em 2+1 dimensões, na intenção
de calcularmos o potencial efetivo a 1 loop na expansão 1/N a temperatura e potencial químico finitos. Este objeto é de fundamental importância para o estudo de transições de fase de
um sistema físico que possa vir a ser descrito pelo modelo, pois a partir dele podemos estudar a
quebra de simetria, intimamente ligada à transição de fase. No final, calculamos o potencial efetivo para os casos nos quais um campo magnético externo paralelo ou perpendicular ao sistema
é considerado. O objetivo principal deste capítulo é familiarizar o leitor com as características
do modelo de GN em 2+1 dimensões e com o cálculo do potencial efetivo.
No terceiro capítulo, o potencial efetivo a 1 loop, sob temperatura e potencial químico
finitos, é calculado para o modelo de GN em 2+1 dimensões na presença de um campo magnético oblíquo. Através dele, obtemos todos os elementos interessantes para a construção dos
diagramas de fase, como pontos críticos, tricríticos e linhas de transição de fase. Observamos
como tais diagramas se comportam frente a uma variação das componentes paralela e perpendicular do campo magnético externo. Como uma prévia dos resultados, podemos adiantar que os
diagramas de fase que obtemos têm estrutura detalhada em elementos, com efeitos interessantes
originados da combinação dos campos magnéticos paralelo e perpendicular.
10
1 TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA
Neste capítulo, apresentamos de maneira sucinta o formalismo da teoria de campos a
temperatura finita, principal ferramenta utilizada para o desenvolvimento deste trabalho. Isto
porque estamos interessados basicamente em investigar as transições de fase (e, possivelmente,
a termodinâmica) de um certo sistema físico. Este, por sua vez, será considerado imerso em
um meio, que consiste em um reservatório de volume infinito de partículas reais e em equilíbrio
termodinâmico.
O formalismo que adotamos neste trabalho é o chamado formalismo (funcional) de
tempo imaginário, ou Matsubara. Portanto, iniciamos o assunto com a usual conexão entre
a mecânica estatística e a teoria quântica de campos, através da função de partição e do funcional gerador das funções de Green. Obtemos, sem maiores detalhes, as formas para os funcionais geradores das funções de Green para campos escalares bosônicos e fermiônicos, com suas
condições de periodicidade e antiperiodicidade, respectivamente. Em seguida, fazemos uma redefinição particular para o parâmetro tempo (utilizando o contorno de Matsubara), tornando-o
imaginário e, consequentemente, encontrando as conhecidas frequências de Matsubara. Por fim,
mostramos como inserir o potencial químico na teoria, além de uma breve revisão de quebra de
simetria em teoria quântica de campos e do método de integrais de contorno para o cálculo das
somas sobre frequências de Matsubara.
1.1 A função de partição termodinâmica
Sabemos, da mecânica estatística no equilíbrio, que podemos encontrar três tipos básicos
de ensembles1 : o microcanônico, que descreve um sistema isolado com energia E, número de
partículas N e volume V fixos; o canônico, que descreve um sistema em contato com um
reservatório a temperatura T , N e V fixos; e o grã-canônico, que descreve um sistema que troca
energia e partículas com o reservatório, ou seja, o potencial químico µ, T , e V são fixos. Aqui,
T e µ determinam, respectivamente, a energia média e o número médio de partículas de um
sistema. Por conveniência, vamos utilizar o ensemble grã-canônico em nosso desenvolvimento.
1
Coleção de um número grande de “cópias” de um sistema, idênticas macroscopicamente, porém diferentes
microscopicamente.
11
A média no ensemble de um operador  é
A =
Tr ρ̂Â
Tr ρ̂
A =
Tr e−β (Ĥ−µi N̂i ) Â
,
Tr e−β (Ĥ−µi N̂i )
(1)
onde ρ̂ é a matriz densidade estatística, Ĥ é o operador hamiltoniano do sistema, β ≡ 1/kb T e
uma soma em i deve ser considerada2 . O denominador da equação acima é chamado de função
de partição grã-canônica (KAPUSTA, 1993; TODA; KUBO; SAITô, 1983),
Z = Tr e−β (Ĥ−µi N̂i ) ,
(2)
que é uma função de extrema importância para a termodinâmica, uma vez que dela (ou mais
precisamente de seu logaritmo natural e derivadas) podem ser extraídas as propriedades termodinâmicas do sistema em estudo. Para fins práticos 3 , consideraremos a função de partição sem
o termo de potencial químico
Z = Tr e−β Ĥ
(3)
e o reintroduziremos mais tarde.
Para tratarmos de fenômenos quânticos e relativísticos, necessitamos de uma teoria
quântica de campos. Isto significa que tratamos partículas como sendo excitações de campos.
No Modelo Padrão, existem dois tipos de partículas: bósons, com spin inteiro e férmions, com
spin semi-inteiro, segundo o teorema spin-estatística. As partículas fundamentais conhecidas
são: férmions de spin 1/2, como quarks e elétrons, bósons escalares (Higgs) e vetoriais, como
os campos mediadores das interações. Não desenvolveremos neste trabalho os cálculos para
um embasamento em teoria de campos a temperatura zero, mas estes podem ser encontrados na
extensa literatura já existente, particularmente em Peskin e Schroeder (1995); e Das (1993).
Relembrando da mecânica quântica, podemos reescrever a equação (3) utilizando um
conjunto completo de autoestados de um operador campo Φ̂(x) bosônico4 , na representação de
2
A constante kb é a constante de Boltzmann, que faremos igual a 1 por simplicidade, bem como c = } = 1.
3
O desenvolvimento a seguir é baseado em Das (1997); Modugno (1998); e Palhares (2008).
4
Usamos campos escalares bosônicos de spin zero e sem carga (reais) para os cálculos e, com o resultado,
prolongamos para o caso de campos fermiônicos.
12
Heisenberg5 (Φ̂(x) ≡ eiĤt φ̂(0, x)e−iĤt ), num instante t
Φ̂(x) |φ(x), ti = φ(x) |φ(x), ti ,
(4)
sabendo também que, por esta ser uma base contínua, calcular o traço significa integrar em φ:
Z
Z=
dφ hφ(x), t| e−β Ĥ |φ(x), ti .
(5)
Esta forma de escrevermos a função de partição nos mostra uma semelhança com o
propagador bosônico (amplitude de probabilidade de uma partícula bosônica se propagar de
(x, 0) para (y, t)), que pode ser escrito como:
hφ(y), t|φ(x), 0i = hφ(y), 0| e−iĤt |φ(x), 0i ,
(6)
pois |φ(x), ti = eiĤt |φ(x), 0i.
Portanto, o operador exp(−β Ĥ) age sobre o estado |φ(x), ti como um operador de
evolução temporal, porém para tempos imaginários. Logo, a função de partição toma a forma
Z
Z =
dφ hφ(x), 0| e−iĤt e−β Ĥ |φ(x), ti
Z
Z =
dφ hφ(x), t − iβ|φ(x), ti .
(7)
Como passaremos a trabalhar no plano complexo (agora os campos dependem de tempos
complexos!), é interessante definirmos um operador de ordenamento temporal de produto de
campos Tc , análogo ao operador de ordenamento temporal usual, para um contorno geral t =
zc (τ ) no plano complexo6 , onde τ é uma variável real que parametriza o contorno:
Tc Φ̂(x)Φ̂(x0 ) = θc (t − t0 )Φ̂(x)Φ̂(x0 ) + θc (t0 − t)Φ̂(x0 )Φ̂(x).
(8)
Na definição acima, θc (t − t0 ) ≡ θ(τ − τ 0 ), onde θc (t − t0 ) = 1 se t > t0 e θc (t − t0 ) = 0 se
t0 > t.
Podemos agora definir funções de Green termodinâmicas, análogas aquelas da teoria
5
Vetores em 3 dimensões espaciais são escritos em negrito (x), enquanto quadrivetores são escritos normalmente
(x). Portanto, x = (t, x), com a métrica (+, −, −, −).
6
Não necessariamente o contorno de Matsubara, que será apresentado mais adiante.
13
quântica de campos usual:
1
Tr Tc Φ̂1 (x) . . . Φ̂n (x)e−β Ĥ
Z
≡ hTc Φ̂1 (x) . . . Φ̂n (x)i.
G(c) (x1 , . . . , xn ) ≡
(9)
Essas funções podem ser geradas pelo funcional gerador que, convenientemente, é definido por
Z[J], onde J = J(x) é chamada de fonte:
Z[J] = Z[0]hTc ei
R
c
dD xJ(x)Φ̂(x)
i,
(10)
Aqui, Z[0] = Z é a função de partição definida em (7) e D ≡ 1 + d é o número de dimensões
do espaço-tempo (d é o número de dimensões espaciais). Em uma forma compacta, podemos
escrever:
δ n Z[J(x)]
(−i)n
(c)
,
(11)
G (x1 , ..., xn ) =
Z[0] δJ(x1 ) . . . δJ(xn ) J=0
onde o operador δ/δJ(xi ) representa a derivada funcional em relação a J(xi ), definida por:
δZ[J(y)]
Z[J(y) + δ(x − y)] − Z[J(y)]
≡ lim
.
→0
δJ(x)
(12)
Precisamos garantir que as funções de Green de todas as ordens sejam analíticas em seus
argumentos temporais, o que implica em certas condições que devemos impor ao contorno C.
Como a função de Green de dois pontos Gc (x, x0 ) está associada com o propagador bosônico,
vamos começar por estudá-la. Para isso, vamos reescrevê-la da seguinte forma:
G(c) (x1 , ..., xn ) = θc (t − t0 )C > (x, x0 ) + θc (t0 − t)C < (x, x0 ) ,
(13)
D
E
onde C > (x, x0 ) = Φ̂(x)Φ̂(x0 ) = C < (x0 , x) e é chamada de função de correlação de dois
pontos. Introduzindo um conjunto completo de autoestados do operador hamiltoniano, |ni, de
14
modo que Ĥ |ni = En |ni e
P
= |ni hn| = 1, podemos escrever7 :
n
1
Tr Φ̂(x)Φ̂(x0 )e−β Ĥ
Z
1X
=
hn| Φ̂(x) |mi hm| Φ̂(x0 )e−β Ĥ |ni
Z n,m
1X
0
0
=
hn| eiĤt φ̂(0, x)e−iĤt |mi hm| eiĤt φ̂(0, x0 )e−iĤt e−β Ĥ |ni
Z n,m
1X
0
0
=
hn| φ̂(0, x) |mi hm| φ̂(0, x0 ) |ni eiEn (t−t +iβ) e−iEm (t−t ) .
Z n,m
C > (x, x0 ) =
(14)
Para que a soma acima convirja, é necessária a condição −β < Im(t − t0 ) < 0. Fazendo
o procedimento análogo para C < (x, x0 )
1
Tr Φ̂(x0 )Φ̂(x)e−β Ĥ
Z
1X
=
hn| Φ̂(x0 ) |mi hm| Φ̂(x)e−β Ĥ |ni
Z n,m
1X
0
0
hn| eiĤt φ̂(0, x0 )e−iĤt |mi hm| eiĤt φ̂(0, x)e−iĤt e−β Ĥ |ni
=
Z n,m
1X
0
0
=
hn| φ̂(0, x0 ) |mi hm| φ̂(0, x) |ni eiEn (t −t+iβ) e−iEm (t −t) ,
Z n,m
C < (x, x0 ) =
(15)
obtemos a condição para que a soma acima convirja: 0 < Im(t − t0 ) < β. Portanto, a condição
de convergência para (13) é:
−β < Im(t − t0 ) < β.
(16)
Vale lembrar que esta condição é suficiente para garantir que as funções de Green de ordens
superiores sejam analíticas. Além disso, esta condição claramente restringe o contorno C.
Nosso objetivo agora é encontrar uma expressão simplificada para o funcional gerador
Z[J]. Para isso, vamos relembrar, por meio de integrais de caminho8 , a forma do elemento de
matriz de um produto ordenado de campos9 dado por um funcional F [Φ̂]:
0
0
00
00
Z
+∞
hφ , t | T F [Φ̂] |φ , t i = N
Z
φ00 (x)
Dπ
−∞
DφF [φ]ei
R t00
t0
dt
R
dd x[π φ̇−H]
,
φ0 (x)
(17)
7
Importante lembrar que En é um número real.
8
Para revisão de integrais de caminho, ver Peskin e Schroeder (1995); Das (1993); e Palhares (2008).
9
Esta é conhecida como a fórmula de Feynman-Matthews-Salam (MODUGNO, 1998).
15
onde T é o operador de ordenamento temporal usual, N é uma constante de normalização
dependente de t − t0 e do volume espacial Vd , dd x é o diferencial de volume espacial (d é o
número de dimensões espaciais), π ≡ ∂L/∂ φ̇ é o momento canônico conjugado a φ, com L
sendo a densidade de Lagrangiana10 , φ̇ ≡ dφ/dt e H é a densidade de Hamiltoniana11 . Além
~
~
disso, vale ressaltar que φ = φ(x), φ̇ = φ̇(x), π = π(x), H = H(φ, π, ∇φ),
L = L(φ, φ̇, ∇φ)
e as condições de contorno para os campos foram definidas como φ(t0 , x) ≡ φ0 (x) e φ(t00 , x) ≡
M
Q
dπi dφi /2π simboliza a integração funcional.
φ00 (x), e DπDφ ≡ lim
M →∞ i=1
Fazendo uma continuação analítica no tempo para que este possa assumir valores complexos, num contorno C que satisfaça às condições dadas por (16) e as condições de contorno
requeridas acima para os campos, temos:
0
0
00
+∞
Z
00
hφ , t | Tc F [Φ̂] |φ , t i = N
Z
φ00 (x)
DφF [φ]ei
Dπ
R
c
dD x[π φ̇−H]
.
φ0 (x)
−∞
(18)
Agora temos condições de reescrever o funcional gerador das funções de Green Z[J],
dado em (10), na forma encontrada em (18) e obtermos
Z[J] = Z[0]hTc ei
R
R
c
dD xJ(x)Φ̂(x)
i
D
i c d xJ(x)Φ̂(x) −β Ĥ
= Tr
e
Z Tc e
R D
=
dφ hφ(x), t − iβ| Tc ei c d xJ(x)Φ̂(x) |φ(x), ti
Z
Z φ(t−iβ,x)
Z +∞
R D
Dφei c d x[πφ̇−H+Jφ]
Dπ dφ
= N
−∞
+∞
φ(t,x)
Z
= N
Z
Dφei
Dπ
−∞
R
c
dD x[π φ̇−H+Jφ]
,
φ(t,x)=φ(t−iβ,x)
(19)
onde escrevemos (PESKIN; SCHROEDER, 1995)
Z
Z
Dφ =
φ(t,x)=φ(t−iβ,x)
Z
φ(t−iβ,x)
dφ
Dφ
(20)
φ(t,x)
e as condições de contorno para campos bosônicos são periódicas (DAS, 1997; PALHARES,
10
11
Podemos chegar à densidade de Lagrangiana de um sistema a partir de sua densidade de Hamiltoniana fazendo
simplesmente uma transformada de Legendre do tipo H ≡ π φ̇ − L.
R
Lembrando que H ≡ dd xH.
16
2008), ou seja,
φ(t − iβ, x) = φ(t, x).
(21)
Supondo que a Hamiltoniana não possui acoplamentos de derivadas, podemos integrar12
sobre os momentos canônicos π(x) e absorver o resultado na constante de normalização, de
modo a obtermos finalmente a forma do funcional gerador das funções de Green para campos
escalares bosônicos:
Z
R D
Z[J] = N
Dφei c d x[L+Jφ] .
(22)
φ(t,x)=φ(t−iβ,x)
Até agora não foi dada atenção especial à constante de normalização N propositalmente,
uma vez que esta não depende dos campos e, para os cálculos de valores médios usando (11),
ela sempre se cancelará.
O funcional gerador das funções de Green para campos fermiônicos pode ser obtido
analogamente ao caso de campos escalares, porém devemos tomar o cuidado de expressá-los
como campos de Grassman, cuja estrutura é
ψ(x) =
X
ψi ϕi (x) ,
(23)
i
onde ψi são números de Grassman (DAS, 1993; PESKIN; SCHROEDER, 1995; PALHARES,
2008), cuja álgebra é construída de forma que os campos fermiônicos obedeçam ao Princípio
de exclusão de Pauli13 , ou seja, que os campos satisfaçam relações de anti-comutação (diferentemente dos bosônicos, que satisfazem relações de comutação). As funções ϕi (x) formam uma
base para campos fermiônicos. No caso de campos de Dirac, ϕi (x) são espinores de quatro
componentes.
Portanto, podemos escrever o funcional gerador das funções de Green para campos fermiônicos como
Z
R D
Z[η̄, η] = N
Dψ̄Dψei c d x[L+η̄ψ+ψ̄η] ,
(24)
ψ(t−iβ,x)=−ψ(t,x)
onde η = η(x) e η̄ = η̄(x) são as fontes e ψ̄ = ψ̄(x) ≡ ψ † (x)γ 0 , com o símbolo “†” represen~
tando o transposto conjugado de ψ e L = L(ψ, ψ̄, γ 0 ψ̇, ~γ · ∇ψ)
(os objetos γ 0 e ~γ ≡ (γ 1 , γ 2 , γ 3 )
são as matrizes de Dirac e serão definidas mais adiante). Além disso, é importante notarmos
12
Como temos termos quadráticos em π(x) na densidade de Hamiltoniana, podemos completar o quadrado e
transformar a integração nos momentos numa integral Gaussiana para campos, que tem solução bem conhecida
(KAPUSTA, 1993).
13
Num dado sistema físico, dois ou mais férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico.
17
as condições de contorno anti-periódicas na integração funcional dos campos, características de
campos fermiônicos.
A formulação de integrais de caminho da teoria de campos a temperatura finita difere
da usual, formalmente, somente no fato de a integração temporal, no caso da temperatura finita,
ser realizada num contorno complexo C (com certas condições de contorno) que, em princípio,
não definimos ainda. Este será o assunto da próxima seção.
1.2 O formalismo de tempo imaginário (Matsubara)
Para o estudo das propriedades de um sistema físico em equilíbrio, existe um formalismo relativamente simples que consiste na escolha de um contorno C no plano complexo
denominado contorno de Matsubara. Tal formalismo apresenta a vantagem de gerar diagramas
similares aos da teoria de campos a temperatura zero, quando fazemos a expansão perturbativa.
O contorno resume-se na definição da variável tempo como
τ ≡ it ∈ [0, β] ,
(25)
para que seja satisfeita a condição de contorno −β < Im(t − t0 ) < 0, para t > t0 (ver equação
(15)). Isto implica nas seguintes mudanças, por exemplo, em (22)
Z
∂0 = i∂τ
e
i
Z
β
dτ ,
dt =
(26)
0
A derivada temporal foi redefinida pois esta se encontra (implicitamente) na densidade de Lagrangiana em (22). Além disso, é conveniente definirmos a notação de quadrivetor usual14 de
coordenadas
xµ = x0 , x1 , x2 , x3 ≡ (t, x, y, z)
(27)
e as derivadas em relação às coordenadas como
∂
=
∂xµ
∂
∂
∂
∂
, 1, 2, 3
0
∂x ∂x ∂x ∂x
≡
∂ ∂ ∂ ∂
, , ,
∂t ∂x ∂y ∂z
.
(28)
O tensor métrico é aquele do espaço de Minkowski, definido por
g µν = diag(1, −1, −1, −1) ,
14
(29)
Mesmo fazendo esta definição, continuaremos escrevendo nas expressões integrações em d dimensões espaciais
por ser mais geral.
18
onde diag significa “diagonal principal” da matriz g µν (únicos elementos não-nulos), e g µν
possui a propriedade de elevar e abaixar índices dos tensores
T αβ = g αµ Tµβ .
(30)
Voltando para o ponto principal, o funcional gerador das funções de Green para bósons escalares
no formalismo de tempo imaginário é
Z
Z[J] = N
Dφe
Rβ
0
dτ
R
~
dd x[L(φ,i∂τ φ,∇φ)+Jφ
]
.
(31)
φ(τ,x)=φ(τ +β,x)
O análogo ocorre para o funcional gerador das funções de Green para férmions no mesmo
formalismo:
Z
Rβ
R d
0
~
(32)
Z[η̄, η] = N
Dψ̄Dψei 0 dτ d x[L(ψ,ψ̄,iγ ∂τ ψ,~γ ·∇ψ)+η̄ψ+ψ̄η] .
ψ(τ +β,x)=−ψ(τ,x)
Sabemos que a solução φ(x) da equação de Klein-Gordon, que descreve bósons escalares com spin zero, pode ser escrita como uma transformada de Fourier da seguinte forma15
Z
φ(x) =
dD p ip·x
∗
−ip·x
φ(p)e
+
φ
(p)e
,
(2π)D
(33)
com p ≡ (ω, p) e x ≡ (t, x), que implica em p · x = ωt − p · x. Quando adaptamos esta solução
para o formalismo de tempo imaginário, temos
Z
dd p i X
φn (p)ei(ωn τ −p·x) + φ∗n (p)e−i(ωn τ −p·x) ,
φ(τ, x) =
d
β n
(2π)
(34)
onde foram feitas as mudanças t = −iτ , ω = iωn e
Z
Z
dD p
i X
dd p
→
,
(2π)D
β n
(2π)d
(35)
uma vez que somente valores discretos de frequências de Matsubara ωn são permitidos. Quando
consideramos as condições de contorno periódicas, encontramos
φ(τ, x) = φ(τ + β, x)
φn (p)ei(ωn τ −p·x) + φ∗n (p)e−i(ωn τ −p·x) = φn (p)ei(ωn (τ +β)−p·x) + φ∗n (p)e−i(ωn (τ +β)−p·x) ,
(36)
15
Na verdade, para bósons de spin zero, ou seja, φ(x) real, devemos ter φ(p) = φ∗ (−p).
19
onde, para que tenhamos os valores permitidos para ωn , simplesmente igualamos as exponenciais com o mesmo coeficiente nos dois lados, de modo que é suficiente escrever (lembrando que
eiθ ≡ cos(θ) + isen(θ))
ei(ωn τ −p·x) = ei(ωn (τ +β)−p·x)
1 = eiωn β
ωn =
2πn
.
β
(37)
O análogo pode ser feito para a solução ψ(x) da equação de Dirac, que descreve férmions de spin 1/2. Tal solução, por também satisfazer a equação de Klein-Gordon (PESKIN;
SCHROEDER, 1995), tem a mesma forma de (33) e, consequentemente, a mesma forma de
(34). Porém, agora devemos utilizar as condições de contorno anti-periódicas ψ(τ + β, x) =
−ψ(τ, x) e, procedendo de maneira análoga ao cálculo de ωn para bósons, temos
ei(ωn (τ +β)−p·x) = −ei(ωn τ −p·x)
eiωn β = −1
ωn =
(2n + 1)π
.
β
(38)
Portanto, podemos resumir:
ωn =

(2n + 1)π/β
para férmions
2nπ/β
para bósons
(39)
Por último, é interessante ressaltar que as funções de Green geradas pelos funcionais
(31) e (32) sofrerão uma pequena mudança em relação àquela expressão dada por (11), como
consequência da escolha do contorno de Matsubara:
1
δ n Z[J(τ, x)]
G (τ1 , ..., τn , x1 , ..., xn ) =
.
Z[0] δJ(τ1 , x1 ) . . . δJ(τn , xn ) J=0
(c)
(40)
1.3 Introdução do potencial químico
Neste capítulo, como havíamos mencionado na Seção 1.1, vamos reintroduzir o potencial químico µ na equação da função de partição. A descrição termodinâmica de um sistema
que possua cargas conservadas é um pouco diferente do formalismo que desenvolvemos anteriormente. O vínculo de conservação de carga deve ser incluído no cálculo da função de
20
partição através do método de multiplicadores de Lagrange (PALHARES, 2008; KAPUSTA,
1993; MODUGNO, 1998). No contexto de mecânica estatística, o mutiplicador de Lagrange
é denominado potencial químico. Vamos escrever uma expressão mais geral para a função de
partição dada pela equação (2), cujas cargas conservadas referiam-se ao número de partículas
Ni do ensemble grã-canônico:
Z ≡ Tr e−β(Ĥ−µQ̂) ,
(41)
onde Q̂ é o operador carga conservada.
Podemos ilustrar a maneira de como é inserido o potencial químico nas equações (31) e
(32) com dois exemplos: a teoria para campos escalares carregados (complexos) e a teoria para
campos fermiônicos de spin 1/2.
1.3.1 Teoria de campos escalares carregados
Esta teoria é dada pela densidade de Lagrangiana
L = (∂ µ φ)(∂µ φ)∗ − m2 φφ∗ − V (φ, φ∗ ).
(42)
Supondo que o potencial V (φ, φ∗ ) é tal que mantenha invariante a densidade de Lagrangiana
frente à transformação global U (1) (α = cte. e muito pequeno)
φ → φe−iα ≈ φ − iαφ ,
(43)
segundo o Teorema de Noether, associada a esta simetria existe uma corrente conservada dada
por
Z
d
µ
d xj =
Z
∂L
∂L
∗
(−iφ) +
(iφ ) ,
d x
∂(∂µ φ)
∂((∂µ φ)∗ )
d
ou seja, ∂µ j µ = 0. A carga conservada é a componente Q ≡
densidade de corrente é, portanto
jµ = i(φ∗ ∂µ φ − φ(∂µ φ)∗ ) ,
R
(44)
dd xj 0 da expressão acima. A
(45)
Lembrando da equação (19), onde ainda não havíamos integrado sobre os momentos
canonicamente conjugados, o argumento da exponencial deve ser modificado de modo a conter
o termo relativo à carga conservada dado por (41)
H → H − µj0 ,
(46)
21
o que nos leva a um novo argumento que possui mais dependências nos momentos canonicamente conjugados 16 além daqueles usuais (das formas π φ̇ e π 2 ), pois agora temos a presença
de j0 = i(φ∗ π ∗ − φπ).
Podemos completar o quadrado no novo argumento da exponencial em questão, de modo
que esta obtenha a forma de uma integral Gaussiana para campos, cuja solução é conhecida, e
obter, já no formalismo de Matsubara,
Z
0
Rβ
DφDφ∗ e
Z[J, J ] = N
0
dτ
R
dd x[Lµ=0 +µ2 φ∗ φ+µj0 +Jφ+J 0 φ∗ ]
.
(47)
φ(τ,x)=φ(τ +β,x)
1.3.2 Teoria de campos fermiônicos de spin 1/2
A teoria é caracterizada pela densidade de Lagrangiana
ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ − V (ψ̄ψ) ,
onde utilizaremos, daqui por diante, a notação γ µ ∂µ ≡
P
(48)
γ µ ∂µ , com γ µ = γµ . A densidade de
µ
Lagrangiana (48) é visivelmente invariante frente à transformação U (1)
ψ → e−iα ψ.
(49)
Analogamente ao caso anterior temos, pelo Teorema de Noether, a existência de uma
corrente conservada e esta é dada por
Z
d
µ
d xj =
Z
∂L
∂L
(−iψ) + (iψ̄)
d x
∂(∂µ ψ)
∂(∂µ ψ̄)
d
,
(50)
cuja densidade de corrente é
jµ = ψ̄γµ ψ ,
(51)
com j0 = ψ̄γ0 ψ sendo a densidade de carga conservada. Neste caso, podemos fazer diretamente
a mudança no argumento da exponencial na equação (32), que já se encontra no formalismo de
tempo imaginário, uma vez que o momento canonicamente conjugado ao campo ψ é proporcional ao campo ψ † :
Z
Z[η̄, η] = N
Dψ̄Dψei
Rβ
0
dτ
R
dd x[L+µψ̄γ 0 ψ+η̄ψ+ψ̄η ]
ψ(τ +β,x)=−ψ(τ,x)
16
Agora temos dois momentos canonicamente conjugados: π = ∂φ̇ L e π ∗ = ∂φ˙∗ L.
.
(52)
22
O interessante dessas novas formas para os geradores funcionais bosônico e fermiônico
no formalismo de Matsubara é que, para se introduzir o potencial químico µ, basta fazermos um
deslocamento no operadores ∂τ , que se encontram nas densidades de Lagrangiana das equações
(31) e (32), do tipo
∂τ → ∂τ − µ ,
(53)
de modo que resgatamos as formas (47) e (52) encontradas.
1.4 Quebra espontânea de simetria
O formalismo de teoria quântica de campos a temperatura finita é particularmente interessante para o estudo da quebra ou restauração de simetrias de uma teoria descrevendo um
certo sistema físico. Em especial, a temperatura zero, a quebra espontânea de simetria está
relacionada a quebra de invariância (frente a uma transformação no campo) da teoria devido
ao aparecimento de um valor esperado no vácuo do campo diferente de zero. Podemos rapidamente ilustrar isto com o exemplo simples a seguir (PESKIN; SCHROEDER, 1995).
Vamos supor uma densidade de Lagrangiana para um campo escalar real da teoria φ4 :
1
λ
1
L = (∂µ φ)2 + µ2 φ2 − φ4 ,
2
2
4!
(54)
onde o termo de massa tradicional m2 foi modificado por m2 → −µ2 e λ > 0. Esta Lagrangiana
tem uma simetria discreta: φ → −φ. Usando o fato de que H = π φ̇ − L, podemos escrever a
Hamiltoniana do sistema como
Z
H =
dd xH
Z
1 2 1 ~ 2 1 2 2 λ 4
d
(55)
=
d x π + (∇φ) − µ φ + φ .
2
2
2
4!
O valor do campo correspondente ao mínimo de energia é aquele obtido da parte potencial da
Hamiltoniana acima, ou seja
1
λ
V (φ) = − µ2 φ2 + φ4
2
4!
(56)
O potencial tem dois mínimos, dados pela equação
d
V (φ)
.
dφ
φ=φ0
(57)
23
Figura 1 - Esboço do potencial dado por (56).
r
φ0 = ±v = ±
6
µ,
λ
(58)
onde v é chamado o valor esperado no vácuo de φ.
Vamos considerar agora que o sistema está próximo do mínimo positivo. Logo, podemos
definir
φ(x) = v + σ(x) ,
(59)
onde agora podemos reescrever a densidade de Lagrangiana (54) em termos de σ(x). A menos
de uma constante, podemos escrever
1
1
L = (∂µ σ)2 − (2µ2 )σ 2 −
2
2
r
λ 3 λ 4
µσ − σ .
6
4!
(60)
Podemos observar que a densidade de Lagrangiana agora descreve um campo escalar
√
simples de massa 2µ, com interações do tipo σ 3 e σ 4 . A simetria φ → −φ não é mais
explicita, ou seja, temos um exemplo de quebra espontânea de simetria.
Vamos agora desenvolver brevemente um formalismo funcional associado ao estudo de
quebra espontânea de simetria. O funcional que representa o valor esperado termodinâmico de
um campo Φ̂ na presença de fontes pode ser escrito como
ϕ[J] ≡ hΦ̂iJ =
δln Z[J]
,
δJ
(61)
onde, como veremos mais adiante, no caso de quebra espontânea de simetria, ϕ desempenha
24
um papel de parâmetro de ordem17 . Assumindo que a relação entre ϕ e J é inversível, podemos
definir um funcional F [ϕ] como uma transformada de Legendre de ln Z[J] como
β
Z
Z
dτ
F [ϕ] =
dd xJϕ − ln Z[J] ,
(62)
0
o que nos fornece
δF
= J.
δϕ
(63)
Da equação (63), vemos que no limite J → 0:
δF = 0.
δϕ J=0,ϕ=ϕ̄
(64)
Aplicando esta condição para a equação (62), encontramos
F [ϕ̄] = −ln Z[0] ,
(65)
que é imediatamente identificada com a energia livre do sistema Ω[0], quando recordamos da
termodinâmica do equilíbrio (REIF, 1965; TODA; KUBO; SAITô, 1983)
F [ϕ̄] = βΩ[0] ,
(66)
com Ω[0] = − β1 ln Z[0].
É interessante notarmos que as condições termodinâmicas
δϕ[J]
δ 2 Ω[J] 2
= −β
=
(Φ
−
hΦi)
≥0
δJ
δJ 2
(67)
2
−1
δ 2 Ω[J]
δ Ω[J]
=− β
≥0,
δϕ2
δJ 2
(68)
são satisfeitas, e obtidas através de (61) e da diferenciação de (62), respectivamente, com o
cuidado de perceber que a última relação ocorre devido a primeira. Em poucas palavras, essas
condições nos mostram que ϕ[J] é uma função crescente de J (desde que δϕ/δJ = 0), além de
F [ϕ] ser uma função convexa de ϕ[J].
Agora vamos voltar para a quebra espontânea de simetria. Utilizando a mesma densidade de Lagrangiana dada por (54) como exemplo (porém agora no formalismo de tempo
imaginário), sabemos que esta possui invariância frente à transformação φ → −φ, ou seja,
17
Em termodinâmica, é uma variável necessária para descrever uma fase ordenada de um certo sistema físico.
25
L(φ) = L(−φ). Com isso, o funcional gerador das funções de Green para bósons Z[J], dada
por (31), pode ser escrita como18 Z[J] = Z[|J|] e, portanto, Ω = Ω[|J|]. Quando fazemos o
limite J → 0± :
− lim+ ϕ[J] = lim+ β
J→0
J→0
δΩ
δΩ
= − lim− β
= lim− ϕ[J].
J→0
J→0
δJ
δJ
(69)
Isto significa que ϕ[0+ ] = −ϕ[0− ]; como solução desta equação, temos duas possibilidades:
ϕ[0] = 0 ou ϕ[0+ ] = −ϕ[0− ] ≡ ϕ̄ 6= 0, que claramente mostra a quebra de simetria (a
invariância da teoria é quebrada devido a um valor esperado do campo diferente de zero, ou
seja, ϕ̄ = hΦ̂i =
6 0).
Como veremos no Capítulo 2, a presença de temperatura T e potencial químico µ na
quantidade denominada “potencial efetivo”19 , que consiste no potencial clássico somado a correções quânticas, tem a capacidade de restaurar simetrias espontaneamente quebradas.
1.5 Cálculo das somas sobre as frequências de Matsubara
Vimos na Seção 1.2 que, quando passamos do formalismo usual da teoria quântica de
campos para o formalismo de tempo imaginário, a integração na componente zero do momento
é substituída por uma soma discreta em frequências de Matsubara
Z
Z
dD p
i X
dd p
→
.
(2π)D
β n
(2π)d
(70)
No entanto, para resolver tais somas, existem certas técnicas (DAS, 1997; KAPUSTA, 1993;
BELLAC, 1996). Nesta seção, apresentamos uma delas, o método de integração de contorno,
que consiste em transformar a soma sobre frequências de Matsubara em integrais de contorno
no plano complexo, usando o Teorema de Cauchy (ARFKEN; WEBER, 2005). O desenvolvimento desta seção foi baseado em Palhares (2008) e resultados análogos são encontrados em
Landsman e Weert (1987); Modugno (1998); Kapusta (1993); e Bellac (1996).
Vamos começar por identificar uma função cujos pólos se localizem sobre as frequências
de Matsubara fermiônicas e cujos resíduos reproduzam os termos da soma fermiônica, que tem
a forma
SF ≡
1X
f (p0 = iωnF + µ) ,
β n
(71)
18
O termo de fonte em (31) é Jφ, de modo que, pela transformação de simetria, este é o único termo que sofre
uma mudança, tal que o novo termo é −Jφ; ou seja, podemos escrever |J|φ, com Z[|J|].
19
O formalismo matemático associado ao potencial efetivo será apresentado mais adiante.
26
onde ωnF são as frequências fermiônicas (ωnF = (2n + 1)π/β) e µ é o potencial químico (veremos futuramente que ele pode ser absorvido desta forma na componente zero do momento).
Definindo uma nova função tal que f¯(q 0 = iωnF ) = f (p0 = iωnF + µ), podemos escrever:
SF =
1X¯ 0
f (q = iωnF ).
β n
(72)
O truque consiste em saber que a função (β/2)tanh(βq 0 /2) possui pólos com resíduos iguais
a 1 situados sobre as frequências de Matsubara fermiônicas. Portanto, segundo o teorema de
Cauchy, podemos reescrever a soma fermiônica como
1
SF =
2πiβ
I
β
dq f¯(q ) tanh
2
Cq
0
0
1 0
βq
2
,
(73)
onde Cq é um contorno fechado que envolve todos os pólos nas frequências de Matsubara fermiônicas sobre o eixo imaginário (Figura 2). Escolhemos Cq como sendo duas retas infinitesimalmente próximas do eixo imaginário (distância = , com → 0) e paralelas a este, conectadas
em Im(q 0 = ±∞).
Figura 2 - Contorno Cq utilizado em (73).
A função tanh
1
βq 0
2
tanh
pode ser escrita em termos de exponenciais como:
1 0
βq
2
0
eβq − 1
1
1
= βq0
=
,
0 −
0
−βq
βq
e +1
1+e
e +1
(74)
de onde reconhecemos de imediato, da física estatística, a relação com a função distribuição de
27
Fermi-Dirac (TODA; KUBO; SAITô, 1983; REIF, 1965; KAPUSTA, 1993)
nF (q 0 ) =
1
.
+1
eβq0
(75)
Com isso, podemos escrever a equação (74) como
tanh
1 0
βq
2
= 1 − 2nF (q 0 ) = −1 + 2nF (−q 0 ) ,
(76)
e, substituindo em (73) convenientemente, temos
SF = lim
→0
1
2πi
Z
−i∞−
i∞−
Z i∞+
1
1
1
0
0
0¯ 0
0
¯
dq f (q ) − + nF (−q ) +
dq f (q )
− nF (q )
2
2πi −i∞+
2
0
(77)
Fazendo o limite → 0 para os termos que têm somente f¯(q 0 ) no integrando (estamos supondo
que esta função é analítica sobre o eixo imaginário), obtemos:
SF
Z i∞−
Z i∞+
1
1
0
0
0¯ 0
0¯ 0
dq f (q )nF (−q ) −
dq f (q )nF (q ) +
= lim −
→0
2πi −i∞−
2πi −i∞+
Z i∞
1
+
dq 0 f¯(q 0 ).
(78)
2πi −i∞
Agora, podemos fazer uma mudança na variável de integração q 0 → p0 = q 0 + µ e, usando a
relação anterior f¯(q 0 ) = f (p0 ), obtemos finalmente
SF
Z i∞+µ−
Z i∞+µ+
1
1
0
0
0
0
0
0
= lim −
dp f (p )nF (µ − p ) −
dp f (p )nF (p − µ) +
→0
2πi −i∞+µ−
2πi −i∞+µ+
Z i∞+µ
1
dp0 f (p0 ).
(79)
+
2πi −i∞+µ
Interessante apontarmos o fato de que este método separa as contribuições devido à
temperatura finita (T 6= 0 ou β finito), no caso das duas primeiras parcelas do lado direito
da equação (79) e a contribuição do vácuo (T = 0 ou β → ∞), última parcela, obtida com
o formalismo de teoria quântica de campos usual. Todos os termos dependem do potencial
químico µ, de modo que o caso em que µ = 0 é facilmente obtido de (79).
O caso da soma bosônica
SB ≡
1X
f (k 0 = iωlB + µ) ,
β l
(80)
com ωlB = 2nπ/β, é completamente análogo ao anterior, porém agora recorremos à função
(β/2)cotanh(βq 0 /2), com q 0 = k 0 − µ e f¯(q 0 ) = f (k 0 ), que possui os pólos nas frequências
bosônicas e resíduos unitários. Portanto, analogamente ao caso fermiônico, pelo teorema de
28
Cauchy, podemos escrever:
1
SB =
2πiβ
I
β
dq f¯(q ) cotanh
2
Cq
0
0
1 0
βq .
2
(81)
Além disso, é possivel escrever cotanh(βq 0 /2) em termos de exponenciais, das quais reconhecemos prontamente a distribuição de Bose-Einstein (TODA; KUBO; SAITô, 1983; REIF, 1965;
KAPUSTA, 1993)
nB (q 0 ) =
1
.
−1
(82)
eβq0
Sob os mesmos passos do caso anterior, obtemos
SB
1
=
2πi
Z
1
+
2πi
Z
i∞−µ+
0
0
0
Z
i∞+µ+
dk
−i∞+µ
2
0
0
dk f (k )nB (k − µ) +
dk f (−k )nB (µ + k ) +
−i∞−µ+
i∞+µ
01
0
−i∞+µ+
f (k 0 ) + f (−k 0 ) ,
(83)
onde os termos que dependem de T são os dois primeiros do lado direito de (83), enquanto o
último está associado à temperatura zero. Em geral, o caso bosônico não envolve o potencial
químico µ. Então, a equação (83) quando µ = 0 torna-se
SB
Z i∞+
1
dk 0 f (−k 0 ) + f (k 0 ) nB (k 0 ) +
=
2πi −i∞+
Z i∞
1
1
+
dk 0 f (k 0 ) + f (−k 0 ) .
2πi −i∞
2
(84)
29
2 INTRODUÇÃO ÀS CARACTERÍSTICAS DO MODELO DE GROSS-NEVEU EM
2+1 DIMENSÕES
Começamos o capítulo com o modelo de Nambu-Jona-Lasinio (NAMBU; JONA-LASINIO,
1961a; NAMBU; JONA-LASINIO, 1961b) D-dimensional, devido a possibilidade de resgatarmos o modelo de Gross-Neveu (GROSS; NEVEU, 1974) em 2+1, que é o caso de nosso
interesse, como um caso particular do mesmo. Citamos as transformações quirais (contínua e
discreta) e mostramos a condição para que o modelo de Nambu-Jona-Lasinio seja invariante sob
as mesmas. O potencial efetivo a 1 loop numa expansão 1/N , ou aproximação para N → ∞, é
calculado a temperatura zero e estendido para o formalismo de tempo imaginário. Em seguida,
apresentamos o modelo de Gross-Neveu em 2+1 dimensões simplificado, que é invariante sob
uma transformação quiral e discreta quando o termo de massa para férmions é nulo. Através da
sua expressão para o potencial efetivo para T e µ finitos, mostramos alguns resultados conhecidos que dizem respeito a transições de fase (quebra espontânea de simetria quiral e discreta) de
um sistema planar de férmions que possa vir a ser modelado pela teoria. Finalmente, na última
seção, discutimos o modelo de Gross-Neveu em 2+1 dimensões quando um campo magnético,
perpendicular ou paralelo ao sistema planar de férmions, é aplicado, e o cálculo do potencial
efetivo a 1 loop para cada caso é mencionado.
2.1 O modelo de Nambu-Jona-Lasinio e o potencial efetivo
O modelo de Nambu-Jona-Lasinio (NJL), proposto em 1961, foi inicialmente introduzido para descrever a interação forte entre núcleons (NAMBU; JONA-LASINIO, 1961a;
NAMBU; JONA-LASINIO, 1961b) e foi baseado numa analogia com a teoria da supercondutividade de Bardeen, Cooper, Schrieffer e Bogoliubov (BARDEEN; COOPER; SCHRIEFFER,
1957). Uma característica motivadora da teoria BCS é a produção de um gap de energia entre
o estado fundamental e os estados excitados de um supercondutor, fato que foi confirmado experimentalmente. Este gap é gerado devido ao fato de que uma interação atrativa entre elétrons
(mediada por fônons) produz pares correlacionados de elétrons com momentos e spins opostos
(férmion e antiférmion) próximos à superfície de Fermi; para se quebrar esta correlação, é necessária uma quantidade finita de energia (gap). Além disso, podemos utilizar o modelo de NJL
como modelo efetivo para a descrição de fenômenos da cromodinâmica quântica (QCD) onde,
em especial, a interação entre quarks e glúons pode ser aproximada por uma interação efetiva
do tipo quark-antiquark (MODUGNO, 1998).
30
O modelo de NJL é definido pela densidade de Lagrangiana20
L = ψ̄(iγ µ ∂µ − M )ψ +
λ (ψ̄ψ)2 − (ψ̄γ5 ψ)2 ,
2N
(85)
onde nós consideramos N sabores dos campos ψ, que por sua vez são campos de quadriférmions
21
e uma soma sobre os sabores está implícita para não carregar a notação; λ é uma constante
de acoplamento e é considerada fixa; M é uma matriz representando a massa dos férmions; e o
termo de derivada, é uma forma compacta de se escrever
µ
0
γ ∂µ ≡ γ ∂0 +
d
X
γ i ∂i ,
(86)
i=1
onde d novamente representa o número de dimensões espaciais. As matrizes γ µ são as matrizes
de Dirac22 4 × 4; delas, podemos definir apropriadamente uma matriz de traço nulo, que anticomuta23 com todas as γ µ , representada por γ5 . Por exemplo, para D = 3 + 1 temos, na
representação quiral (RYDER, 1996):
γ0 =
0 1
1 0
!
, γi =
0 −τ i
τi 0
!
, γ5 =
1 0
0 −1
!
.
(87)
Nas matrizes acima, cada elemento é uma matriz 2 × 2 e τ i (i = 1, 2, 3) representam as bem
conhecidas matrizes de Pauli.
Voltando nossa atenção para a densidade de Lagrangiana (85), podemos observar que a
transformação quiral contínua e global
ψ → eiθγ5 ψ , ψ̄ → ψ̄eiθγ5 ,
(88)
onde usamos {γ5 , γ 0 } = 0 e consideramos θ infinitesimal, quando aplicada em (85), nos fornece:
L0 = ψ̄eiθγ5 (iγ µ ∂µ − M )eiθγ5 ψ +
λ (ψ̄eiθγ5 eiθγ5 ψ)2 − (ψ̄eiθγ5 γ5 eiθγ5 ψ)2 .
2N
(89)
20
Poderíamos também levar em conta uma soma sobre spins fermiônicos, mas o faremos mais tarde.
21
Férmions com quatro componentes espinoriais. Utilizaremos esta representação pois atende a nossos interesses,
como será mencionado mais adiante.
22
Estamos considerando uma teoria D-dimensional em princípio, mas com o objetivo de particularizar para 2+1
dimensões mais adiante; a escolha do número de componentes das matrizes de Dirac é determinada pela dimensionalidade da teoria e, a rigor, não seria correto determinarmos tal número sem determinar o número de
dimensões primeiro. No entanto, se considerarmos, no decorrer desta seção, que D = 2 + 1 ou D = 3 + 1, não
teremos problemas quanto a isso.
23
Em nossa notação, isto significa escrever que o anticomutador {γ µ , γ5 } ≡ γ µ γ5 + γ5 γ µ = 0.
31
Utilizando {γ5 , γ µ } = 0, encontramos
L0 = ψ̄(iγ µ ∂µ − ei2θγ5 M )ψ +
λ (ψ̄ei2θγ5 ψ)2 − (ψ̄ei2θγ5 γ5 ψ)2 .
2N
(90)
O termo entre colchetes, quando desenvolvido, utilizando a propriedade (γ5 )2 = 1 e
desprezando termos de ordem O(θ2 ) ou superior, se mostra invariante. Portanto,
L0 = ψ̄(iγ µ ∂µ − ei2θγ5 M )ψ +
λ (ψ̄ψ)2 − (ψ̄γ5 ψ)2 .
2N
(91)
Outra transformação de interesse é a denominada transformação quiral e discreta, que
se escreve como
ψ → γ5 ψ , ψ̄ → −ψ̄γ5 ,
(92)
onde utilizamos {γ5 , γ 0 } = 0. Aplicando a transformação em (85), obtemos
L0 = −ψ̄γ5 (iγ µ ∂µ − M )γ5 ψ +
λ (−ψ̄γ5 γ5 ψ)2 − (−ψ̄γ5 γ5 γ5 ψ)2 .
2N
(93)
Usando novamente {γ5 , γ µ } = 0 e a propriedade (γ5 )2 = 1, obtemos
L0 = ψ̄(iγ µ ∂µ + M )ψ +
λ (ψ̄ψ)2 − (ψ̄γ5 ψ)2 .
2N
(94)
Sob as duas transformações, claramente notamos que o termo de massa M é o que
impede que a teoria tenha uma simetria quiral contínua e global ou quiral e discreta, ou seja, o
termo de massa quebra explicitamente a invariância da densidade de Lagrangiana. De qualquer
forma, vamos realizar os cálculos de nosso interesse com a teoria descrita por (85), para fins de
generalidade e, ao final, fazemos o caso particular conveniente.
2.1.1 O potencial efetivo a 1 loop na expansão 1/N
Como vimos na Seção 1.4, o potencial de uma teoria quântica de campos tem enorme
importância no estudo da quebra de simetria. No entanto, quando fazemos as correções quânticas à teoria, podemos encontrar diferenças no comportamento do potencial clássico24 , como
por exemplo, o mínimo do potencial clássico pode ser instável quando corrigido quanticamente.
Uma simetria que é espontaneamente quebrada no nível clássico pode ser restaurada (e viceversa) quando efeitos quânticos são considerados. O interessante aqui é notarmos que, quando
24
Potencial clássico é o negativo da parte não-cinética da densidade de Lagrangiana.
32
construímos um potencial efetivo Vef f , estamos realizando uma íntima conexão entre as correções radiativas (quânticas) e as quebras de simetria (DAS, 1997; RYDER, 1996) de teorias
quânticas de campos. No entanto, o potencial efetivo não tem uma forma fechada e, portanto,
precisa ser calculado ordem a ordem numa determinada expansão25 . Nesta seção, vamos calcular o potencial efetivo a temperatura zero no formalismo funcional e realizar a expansão 1/N
para o modelo de NJL apresentado em (2.1), para N → ∞ ou, equivalentemente, aproximação a 1 loop. Em seguida, faremos a extensão do potencial efetivo a temperatura zero para o
formalismo de tempo imaginário apresentado na Seção 1.5.
Partindo da densidade de Lagrangiana dada por (85)
L = ψ̄(iγ µ ∂µ − M )ψ +
λ (ψ̄ψ)2 − (ψ̄γ5 ψ)2 ,
2N
(95)
podemos, da equação (24), escrever Z[η̄, η] como (as condições anti-periódicas estão implícitas)
Z
Z[η̄, η] =
Dψ̄Dψ ei
R
λ
dD x{ψ̄(iγ µ ∂µ −M )ψ+ 2N
[(ψ̄ψ)2 −(ψ̄γ5 ψ)2 ]+η̄ψ+ψ̄η}
.
(96)
Um procedimento muito utilizado em teoria de campos é a introdução de um campo auxiliar
do tipo φ ≡ (φσ , φπ ), onde φσ é um escalar e φπ é um pseudoescalar. Este procedimento
modifica a forma da Lagrangiana, mas não a física da teoria. Tal transformação é denominada
uma transformação de Hubbard-Stratonovich e, matematicamente, é justificada pela invariância
translacional do funcional integral (MODUGNO, 1998). Na prática, multiplicamos à (96) a
identidade (as condições periódicas estão implícitas)
Z
i
Dφ e− 2
R
dD x
N
λ
2
(φ− Nλ ψ̄ψ− Nλ ψ̄iγ5 ψ) = 1 ,
(97)
para obtermos
Z
Z[η̄, η] =
Dψ̄DψDφ ei
R
N 2
dD x[ψ̄(iγ µ ∂µ −M +a·φ)ψ− 2λ
φ +η̄ψ+ψ̄η ]
,
(98)
onde definimos a ≡ (1, iγ5 ), a · φ ≡ φσ + iγ5 φπ e φ2 = φ2σ + φ2π . Portanto, temos uma nova,
porém equivalente, densidade de Lagrangiana
L = ψ̄(iγ µ ∂µ − M + a · φ)ψ −
N 2
φ.
2λ
(99)
A equivalência entre as teorias descritas por (95) e (99) pode ser verificada quando escrevemos
25
Por exemplo, podemos ter uma expansão em potências de } ou, em nosso caso, uma expansão em potências de
1/N .
33
as equações de Euler-Lagrange para o campo φ,
∂L
− ∂µ
∂φσ
∂L
∂(∂µ φσ )
∂L
− ∂µ
∂φπ
=0 ,
∂L
∂(∂µ φπ )
=0,
(100)
e, substituindo seus resultados,
φσ =
λ
iλ
ψ̄ψ , φπ = ψ̄γ5 ψ ,
N
N
(101)
na equação (99), resgatamos a forma original da densidade de Lagrangiana do modelo de NJL
(85). Interessante notarmos o caráter escalar e pseudoescalar (NAMBU; JONA-LASINIO,
1961a; NAMBU; JONA-LASINIO, 1961b) de φσ e φπ , respectivamente, em acordo com a
definição do campo φ.
Podemos agora resolver a integração sobre os campos fermiônicos de (98) utilizando o
método usual (RYDER, 1996):
Z
Dψ̄Dψ ei
IF [η̄, η] ≡
= e−i
R
R
dD x[ψ̄(iγ µ ∂µ −M +a·φ)ψ+η̄ψ+ψ̄η ]
dD xdD y [η̄(x)(iγ µ ∂µ −M +a·φ)−1 η(y)]
N
det S −1 [φ]
,
(102)
onde foram desprezadas quaisquer constantes multiplicativas que apareçam devido à integração
e definimos o operador S −1 [φ] ≡ iγ µ ∂µ − M + a · φ; o expoente N surge devido ao fato
de termos N sabores de férmions (a soma está implícita). Quando as fontes η̄ e η são nulas
obtemos, substituindo (102) em (98),
Z
Z[0, 0] ≡ Z =
Dφ ei
R
N 2
φ ]
dD x[− 2λ
i
R
N 2
φ ] ln
dD x[− 2λ
Z
=
Dφ e
N
det S −1 [φ]
e
n
N
(det S −1 [φ])
o
.
(103)
Se efetuarmos uma transformação no campo φσ → φσ − M , adquirimos
Z
Z=
Dφ e
−i
R
h
i
N 2 NM
M2
dD x 2λ
φ + λ φσ + N2λ
N ln{det G−1 [φ]}
e
,
(104)
com G−1 [φ] ≡ iγ µ ∂µ + a · φ. Sabemos que a relação entre Z[J] e a ação bosônica é dada, pela
teoria de campos usual (DAS, 1997; RYDER, 1996; MODUGNO, 1998), por
Z
Z[J] =
J
Dφ eiSB ≡ eiW [J] ,
(105)
onde W [J] é o funcional gerador das funções de Green conexas. Portanto, para o nosso caso,
34
com J = 0:
N 2
NM2
=
d x − φ − N αφσ −
− iN ln det G−1 [φ]
2λ
2λ
Z
N 2
D
=
d x − φ − N αφσ − iN ln det G−1 [φ] ,
2λ
Z
SB
D
(106)
onde definimos α ≡ M/λ e o termo constante da ação foi desprezado, uma vez que sempre
podemos redefinir a ação a menos de uma constante.
Através do procedimento acima, conseguimos passar de uma descrição de uma teoria
de campos fermiônicos elementares para uma em termos de campos bosônicos, uma vez que, a
esta altura, não resta qualquer dependência em ψ ou ψ̄.
No Apêndice A, definimos o potencial efetivo a temperatura zero por meio do formalismo funcional, além de apresentarmos a expansão 1/N , que consiste num método nãoperturbativo usualmente utilizado para se calcular o potencial efetivo para modelos como os
desse trabalho (CALDAS; RAMOS, 2009; GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1995;
VSHIVTSEV; KLIMENKO; MAGNITSKY, 1996) e equivale, em matéria condensada, à aproximação de campo médio. É recomendável, neste ponto, a leitura do Apêndice A para o leitor
menos familiarizado com o assunto. O funcional gerador W [J], na aproximação de N → ∞,
ou aproximação de 1 loop, para a ação encontrada em (106), é dada por (241), onde foi feita
√
uma expansão em potências de 1/N através da redefinição do campo φ = ϕ̄ + φ0 (x)/ N , com
ϕ̄ sendo constante:
Z
W0 [J] =
N 2
d x − ϕ̄ − N αϕ̄σ + J ϕ̄ − iN ln det G−1 [ϕ̄] ,
2λ
D
(107)
Aqui, ϕ̄ ≡ (ϕ̄σ , ϕ̄π ). Uma relação bem conhecida em teoria quântica de campos é a igualdade
(RYDER, 1996)
ln det G−1 [ϕ̄] = Tr ln G−1 [ϕ̄] ,
(108)
de modo que, quando J = 0, e lembrando que G−1 [ϕ̄] = iγ µ ∂µ + a · ϕ̄, podemos escrever (107)
como
Z
N 2
D
W0 [0] ≡ W0 (ϕ̄) = d x − ϕ̄ − N αϕ̄σ − iN Tr ln (iγ µ ∂µ + a · ϕ̄) .
(109)
2λ
R
O objeto Tr A ≡ tr dD x hx| A |xi representa o traço tanto sobre os índices matriciais quanto
sobre as coordenadas.
Por simplicidade (GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1995), é suficiente considerarmos o caso ϕ̄π = 0 e, consequentemente, ϕ̄ = ϕ̄σ ≡ σ. Portanto, reescrevemos (109)
35
como
Z
W0 (σ) =
N 2
d x − σ − N ασ − iN Tr ln (iγ µ ∂µ + σ) .
2λ
D
(110)
No Apêndice B, calculamos explicitamente o traço da expressão acima. Portanto, utilizando (244) e (246), podemos escrever (110) como
Z
W0 (σ) =
Z
dD p
N 2
2
2
ln σ − p
.
d x − σ − N ασ − i2N
2λ
(2π)D
D
(111)
Somente para fins ilustrativos, podemos calcular o próximo termo de W na expansão
1/N , através de (242). Tal termo é dado por (MODUGNO, 1998):
i
W1 (σ) =
2
Z
D
d x
Z
−1
dD p
ln
iD
(p;
σ)
,
0
(2π)D
(112)
onde iD0−1 (p; σ) é o inverso do propagador bosônico a temperatura zero. Este termo W1 é de
ordem 1/N em relação ao termo W0 e, portanto, pode ser desprezado quando tomamos o limite
N → ∞.
A partir de (111) e da relação (236) entre o potencial efetivo e o funcional gerador
W [0]
Vef f (ϕ̄) = − R D ,
d x
(113)
escrevemos o potencial efetivo a temperatura zero para o modelo de NJL:
N 2
Vef f (σ) =
σ + N ασ + i2N
2λ
Z
dD p
2
2
ln
σ
−
p
.
(2π)D
(114)
A extensão para o formalismo de temperatura finita desenvolvido neste trabalho é direta
e pode ser obtida fazendo-se simplesmente as seguintes mudanças:
Vef f →
−W
ln Z
R
R
=
−
≡ Vef f .
−iβ dd x
β dd x
(115)
Portanto, usando (35), podemos escrever o potencial efetivo a temperatura finita, na
aproximação de campo médio (N → ∞) , para o modelo de NJL:
Z
N 2
2N X
dd p
Vef f (σ, β) =
σ + N ασ −
ln σ 2 + p2 + ωn2 .
d
2λ
β n
(2π)
(116)
A equação de gap no formalismo de temperatura finita, de acordo com a equação (235),
36
é expressada por:
∂Vef f (σ, β) =0,
∂σ
σ=σ0
(117)
que fornece o valor esperado no vácuo do campo σ como função da temperatura. No caso em
que o potencial químico µ também é finito, o potencial efetivo ganha uma dependência em µ e
a equação de gap fornece o valor esperado no vácuo do campo σ em termos de µ e T .
2.2 O modelo de Gross-Neveu em 2+1 dimensões
O modelo que efetivamente estudaremos neste trabalho é conhecido como o modelo de
Gross-Neveu (GN), originalmente proposto em 1974 (GROSS; NEVEU, 1974), e, na pŕatica,
é uma particularização do modelo de NJL, dado por (85), quando consideramos dimensões
menores que 3+1. Em nosso caso, trabalharemos com o modelo mais simplificado, ou seja, sem
o termo ψ̄γ5 ψ:
L = ψ̄(iγ µ ∂µ − M )ψ +
λ
(ψ̄ψ)2 .
2N
(118)
Em princípio, o modelo de GN foi desenvolvido como uma TQC fermiônica em 1+1
dimensões, admitindo a expansão 1/N . Além de permitir o estudo das interações fermiônicas,
o modelo apresenta características interessantes relacionadas à QCD como liberdade assintótica,
quebra de simetria quiral e transmutação dimensional (STAUDT, 2007; MODUGNO, 1998). A
teoria também é renormalizável (ROSENSTEIN; WARR; PARK, 1991) nas dimensões 1+1 e
2+1 (na expansão 1/N ). Vamos considerar daqui em diante a teoria em 2+1 dimensões (d = 2
e D = 3).
Estamos particularmente interessados no fato de que a transformação
ψ → γ5 ψ , ψ̄ → −ψ̄γ5
(119)
denominada transformação quiral e discreta, como visto anteriormente, seja uma simetria da
densidade de lagrangiana (118). Para começar, devemos dizer explicitamente qual a álgebra
adequada para o caso (2+1)-dimensional da teoria. Naturalmente, escolheríamos a representação fundamental das matrizes de Dirac, que seriam matrizes 2 × 2; no entanto, não existe
qualquer matriz que anti-comute com as demais nesta representação. Por isso, escolhemos uma
representação 4 × 4 para as matrizes de Dirac, com a intenção de implementar a transformação
(119). A representação que utilizaremos é (APPELQUIST et al., 1986)
γ0 =
τ3 0
0 −τ 3
!
, γ1 = i
τ1 0
0 −τ 1
!
, γ2 = i
τ2 0
0 −τ 2
!
.
(120)
37
As matrizes que anti-comutam com as γ µ são
γ3 = i
0 1
1 0
!
, γ5 = i
0 1
−1 0
!
.
(121)
Quando aplicamos a transformação (119) na densidade de Lagrangiana (118), obtemos
L0 = ψ̄(iγ µ ∂µ + M )ψ +
λ
(ψ̄ψ)2 6= L ,
2N
(122)
que mostra que o termo de massa não permite a invariância da densidade de Lagrangiana frente
à transformação quiral e discreta. Como estamos interessados no caso em que há simetria,
trabalharemos numa teoria na qual a densidade de Lagrangiana de GN descreva férmions sem
massa, de modo que (118) seja escrita como
L = ψ̄iγ µ ∂µ ψ +
λ
(ψ̄ψ)2 .
2N
(123)
Portanto, a teoria possui invariância quiral inicialmente porém, devido às correções quânticas,
esta simetria quiral pode ser quebrada.
Equivalentemente, fazendo uma transformação de Hubbard-Stratonovich, como aquela
dada por (97) sem o campo φπ e com φσ ≡ φ e a = (1, 0), temos a densidade de Lagrangiana
L = ψ̄(iγ µ ∂µ + φ)ψ −
N 2
φ ,
2λ
(124)
com σ = (λ/N )ψ̄ψ. E agora, a densidade de Lagrangiana é invariante frente às transformações
ψ → γ5 ψ , ψ̄ → −ψ̄γ5 , φ → −φ.
(125)
O cálculo do potencial efetivo pode ser feito de maneira análoga ao calculado na seção
anterior, sendo que, se preferirmos, podemos aproveitar a equação (116) e fazer α = M/λ = 0
e d = 2, de modo a obtermos a expressão para o potencial efetivo a temperatura finita no modelo
de GN em 2+1 dimensões:
Z
N 2 2N X
d2 p
Vef f (σ, β) =
ln σ 2 + p2 + ωn2 ,
(126)
σ −
2
2λ
β n
(2π)
onde φ̄ = cte ≡ σ.
No caso em que o potencial químico µ é diferente de zero, utilizando a regra (53),
podemos facilmente perceber que inserir o potencial químico em (126) implica em fazer uma
mudança no momento p0 do tipo p0 → p0 + µ ou, no caso de temperatura finita, iωn → iωn + µ.
38
Portanto, o potencial efetivo levando em conta também o potencial químico é
Z
2
N 2 2N X
d2 p
2
2
Vef f (σ, β, µ) =
σ −
.
ln
σ
+
p
−
(iω
+
µ)
n
2λ
β n
(2π)2
(127)
Para encontrarmos a forma explícita do potencial efetivo acima, precisamos realizar
a soma sobre as frequências de Matsubara fermiônicas (ωn = (2n + 1)π/β) e integrar nos
momentos. Para resolver a soma, podemos utilizar tanto o método de integração de contorno,
visto na Seção 1.5, quanto o método empregado em Staudt (2007), e integrar nos momentos
utilizando as técnicas usuais de TQC26 . Feito isso, podemos encontrar a forma explícita para o
potencial efetivo na aproximação de N → ∞ do modelo de GN em 2+1 dimensões:
N π
N 3
Λ
Vef f,R (σ, T, µ) =
σ2 +
−√
|σ| +
π λ
3π
π
o
|σ|+|µ|
N T 2 n − |σ|−|µ| + Li2 −e− T
+
|σ| Li2 −e T
+
π
o
|σ|+|µ|
N T 3 n − |σ|−|µ| +
Li3 −e T
+ Li3 −e− T
,
π
(128)
onde Λ → ∞ é o cut-off utilizado para regularizar um termo divergente que aparece na parte
do potencial efetivo na qual T = µ = 0, e β = 1/T . A função Liν (x) é denominada função
polilogarítmica (ABRAMOWITZ; STEIGEN, 1972) e é definida por
Liν (x) =
∞
X
xk
k=1
kν
.
(129)
Se utilizarmos a condição de renormalização
1
1 d2 Vef f (σ, 0, 0) ,
=
λR
N
dσ 2
σ=σ0
(130)
podemos escrever o potencial efetivo renormalizado
N 2 N 3
σ +
|σ| +
2λR
3π
o
|σ|+|µ|
N T 2 n − |σ|−|µ| − T
T
+
|σ| Li2 −e
+ Li2 −e
+
π
o
|σ|+|µ|
N T 3 n − |σ|−|µ| +
Li3 −e T
+ Li3 −e− T
,
π
Vef f,R (σ, T, µ) = −
(131)
onde a constante λR é a constante de acoplamento renormalizada e σ0 em (130) é o mínimo
26
Os cálculos em maiores detalhes não serão apresentados neste ponto pelo fato de que, mais adiante, cálculos
para um modelo mais geral serão feitos e estes podem ser particularizados para o presente caso.
39
não-trivial do potencial efetivo Vef f,R (σ, 0, 0), obtido pela sua equação de gap.
Podemos, agora, apresentar alguns resultados interessantes em diferentes casos no que
diz respeito a temperatura e potencial químico. A análise a seguir foi baseada principalmente
em Staudt (2007).
2.2.1 Caso 1: T = µ = 0
Facilmente podemos ver de (131) que, no limite T = µ → 0 temos:
Vef f,R (σ, 0, 0) = −
N 2 N 3
σ +
|σ| .
2λR
3π
(132)
O potencial clássico (nível árvore) é identificado como a primeira parcela do lado direito
e a outra parcela vem da contribuição quântica obtida pela expansão 1/N . Como podemos ver
na Figura 3, o potencial (132) só apresenta quebra de simetria (o potencial tem um mínimo em
um σ não trivial) quando λR > 0. Além disso, podemos perceber que é o termo quântico que
produz a possibilidade de quebra de simetria e que é suficiente analisarmos o caso σ > 0, uma
vez que o potencial é simétrico em relação ao eixo vertical.
Figura 3 - Potencial efetivo Vef f,R (para T = µ = 0) para os casos λR < 0 e λR > 0.
Legenda: Potencial efetivo Vef f,R (para T = µ = 0) em unidades de N σ03 /π, com σ em unidades de σ0 , onde
σ0 = π/λR . O gráfico de linha tracejada está associado ao caso λR < 0 enquanto o de linha cheia está
associado ao caso λR > 0.
O valor não-trivial do campo σ0 que minimiza o potencial efetivo é obtido utilizando a
40
equação de gap (fazendo λR > 0):
dVef f,R (σ, 0, 0) = 0
dσ
σ=σ0
N
N
− σ0 + σ02 = 0
λR
π
π
σ0 =
.
λR
(133)
Com isso, podemos reescrever a densidade de Lagrangiana (124) em termos de σ =
σ 0 − σ0 :
1 N 02 N 0
σ + σ σ0 +
2λ
λ
1
N
+ σ 0 ψ̄ψ − σ0 ψ̄ψ −
σ2 ,
2λ 0
L0 = ψ̄iγ µ ∂µ ψ −
(134)
e, com a densidade de Lagrangiana desta forma, é fácil ver a quebra dinâmica de simetria quiral
discreta, pois agora os férmions ganharam um termo de massa.
2.2.2 Caso 2: T 6= 0 e µ = 0
O caso µ = 0 também é facilmente obtido de (131) e é representado por
|σ|
N 3 2N T 2
N
σ0 σ 2 +
|σ| +
|σ|Li2 −e− T +
2π
3π
π
3
|σ|
2N T
+
Li3 −e− T ,
π
Vef f,R (σ, T, 0) = −
(135)
onde substituímos λR = π/σ0 . Quando utilizamos a equação de gap para (135), encontramos
dVef f,R (σ, T, 0) = 0
dσ
σ=σ̄
h i
|σ̄|
|σ̄| = σ0 − 2T ln 1 + e− T
(136)
Claramente, no limite T → 0, resgatamos o valor esperado no vácuo σ0 do caso anterior.
A temperatura pode influenciar na simetria quebrada de certos sistemas físicos, restaurandoa, quando atinge determinado valor crítico Tc . Como existe um valor esperado no vácuo do
campo σ diferente de zero (σ̄), temos um termo de massa dinâmica fermiônica na densidade de
Lagrangiana associada a ele, como vimos anteriormente. No presente caso, este termo depende
da temperatura e, quando σ̄(T = Tc ) = 0, temos a simetria restaurada, e Tc é o valor a partir
do qual o sistema está na fase simétrica, considerando um aumento de temperatura. Em outras
palavras, quando T ≥ Tc , temos a simetria restaurada, e quando T < Tc , temos a simetria
41
quebrada. Portanto, fazendo σ̄ = 0 em (136), encontramos
Tc =
σ0
.
2 ln 2
(137)
A Figura 4 nos mostra os esboços do potencial efetivo para diferentes temperaturas,
onde podemos ver claramente a restauração da simetria quiral. Já a Figura 5 nos mostra σ̄ × T ;
interessante notarmos que, como foi mencionado anteriormente, σ̄(T ) se comporta como um
parâmetro de ordem e, neste caso, ele varia continuamente até seu valor σ̄ = 0, caracterizando
uma transição de fase de segunda ordem (CHAIKIN; LUBENSKY, 1995).
Figura 4 - Potencial efetivo Vef f,R (para µ = 0) para T < Tc , T = Tc e T > Tc .
Legenda: Potencial efetivo Vef f,R (para µ = 0) em unidades de N σ03 /π, com σ e T em unidades de σ0 . O
gráfico de linha tracejada está associado ao caso T < Tc (simetria quebrada), o de linha pontilhada
está associado ao caso T = Tc (simetria restaurada) e o de linha cheia está associado ao caso T > Tc
(simetria restaurada).
2.2.3 Caso 3: T = 0 e µ 6= 0
Este caso exige um pouco mais de cuidado, sendo necessário tomarmos o limite quando
T → 0, uma vez que as exponenciais nos polilogarítmos em (131) podem divergir dependendo
da relação entre |σ̄| e |µ|. Tendo isso em mente e utilizando a conhecida expansão do logarítmo
ln 1 + e
||σ̄|−|µ||
T
=
∞
X
k=1
k
(−1)
e
||σ̄|−|µ||
T
k
k
,
(138)
42
Figura 5 - Parâmetro de ordem σ̄ (para µ = 0) em função da temperatura T .
Legenda: Parâmetro de ordem σ̄ (para µ = 0) em função da temperatura T , todos em unidades de σ0 . Sua
variação é contínua até σ̄ = 0, caracterizando uma transição de fase de segunda ordem. A temperatura
crítica é Tc ≈ 0, 721σ0 .
obtemos o potencial efetivo desejado:
N
N 3 N |σ|
σ0 σ 2 +
|σ| −
(|µ| − |σ|)2 Θ (|µ| − |σ|) +
2π
3π
2π
N
(|µ| − |σ|)3 Θ (|µ| − |σ|) ,
−
6π
Vef f,R (σ, 0, µ) = −
(139)
onde Θ(x) é a função de Heaviside. A Figura 6 mostra o potencial efetivo para alguns valores de
µ. Podemos notar que existe uma curva (a curva tracejada) com um certo valor de µ = µc a partir
do qual o potencial efetivo restaura a simetria quiral (σ = 0 minimiza o potencial) de modo que,
quando µ < µc , a simetria é a quebrada e quando µ ≥ µc , a simetria é a restaurada. Portanto,
concluímos que uma variação no potencial químico também pode provocar a restauração de
uma simetria. Para encontrarmos o potencial químico crítico µc , devemos escrever a seguinte
relação:
Vef f,R (0, 0, µc ) = Vef f,R (σ̄, 0, 0).
(140)
Então, a partir de (139), obtemos
Vef f,R (0, 0, µc ) = −
N
|µc |3 ,
6π
(141)
43
Figura 6 - Potencial efetivo Vef f,R (para T = 0) para µ < µc , µ = µc e µ > µc .
Legenda: Potencial efetivo Vef f,R (para T = 0) em unidades de N σ03 /π, com σ e µ em unidades de σ0 . O
gráfico de linha cheia está associado ao caso µ < µc (simetria quebrada), o de linha tracejada está
associado ao caso µ = µc (simetria restaurada) e o de linha pontilhada está associado ao caso µ > µc
(simetria restaurada).
e, substituindo (133) em (132) (com λR = π/σ0 ), encontramos
Vef f,R (σ̄, 0, 0) = −
N σ03
.
6π
(142)
Logo, o potencial químico crítico é
µc = σ 0 .
(143)
O interessante deste caso é a ocorrência de uma transição de fase de primeira ordem,
caracterizada por uma descontinuidade na curva σ̄ × µ, como mostrado na Figura 7. A equação
de gap para este potencial efetivo nos fornece
|σ̄| − σ0 + (|µ| − |σ̄|)Θ(|µ| − |σ̄|) = 0 ,
que gera a Figura 7.
(144)
44
Figura 7 - Parâmetro de ordem σ̄ (para T = 0) em função do potencial químico µ..
Legenda: Parâmetro de ordem σ̄ (para T = 0) em função do potencial químico µ, todos em unidades de σ0 . A
descontinuidade na curva caracteriza uma transição de fase de primeira ordem. O potencial químico
crítico é µc = σ0 .
2.2.4 Caso 4: T 6= 0 e µ 6= 0
Neste caso, o potencial efetivo é aquele dado por (131):
N
N 3
σ0 σ 2 +
|σ| +
2π
3π
o
|σ|+|µ|
N T 2 n − |σ|−|µ| − T
T
+
|σ| Li2 −e
+ Li2 −e
+
π
o
|σ|+|µ|
N T 3 n − |σ|−|µ| Li3 −e T
+ Li3 −e− T
.
+
π
Vef f,R (σ, T, µ) = −
(145)
A equação de gap para este potencial nos fornece
h i
|σ̄|−|µ|
|σ̄|+|µ|
|σ̄| = σ0 − T ln 1 + e− T
+ ln 1 + e− T
,
(146)
onde foram utilizados a equação (138) e a relação
∞
X
dLiν (x(t))
1 d
xk (t)
=
x(t)
.
ν−1
dt
x(t) dt
k
k=1
(147)
Quando consideramos o valor esperado no vácuo σ̄ igual a zero em (146), podemos
encontrar a linha de transição de fase T × µ. Logo,
σ0 = T ln [2 + 2cosh(µ/T)] .
(148)
45
As Figuras 8 e 9 nos mostram o comportamento do parâmetro de ordem σ̄ com a variação
de µ e T , respectivamente. É interessante notar que σ̄ em função de µ varia continuamente,
desde que a temperatura não seja zero. Ou seja, em todos os casos, há sempre uma transição
de fase de segunda ordem, salvo o caso T 6= 0. A Figura 10 é denominada diagrama de fase,
e consiste na curva T × µ gerada pela equação (148). O diagrama nos dá uma clara ideia das
transições de fase (primeira ou segunda ordem) que ocorrem no sistema em estudo. No caso da
Figura 10, temos uma linha de transição de fase de segunda ordem e um ponto que representa a
transição de fase de primeira ordem (T = 0). Além disto, o ponto que representa a transição de
fase de primeira ordem está sobre a linha de transição de fase de segunda ordem: isto significa
que tal ponto é um ponto tricrítico (CHAIKIN; LUBENSKY, 1995). Para finalizar, a Figura
10 ainda nos mostra as regiões nas quais a simetria quiral é quebrada ou restaurada através dos
pequenos gráficos Vef f,R × σ.
Figura 8 - Parâmetro de ordem σ̄ em função do potencial químico µ para T = 0, 2σ0 , T = 0, 5σ0 e
T = 0, 7σ0 .
Legenda: Parâmetro de ordem σ̄ em função do potencial químico µ (em unidades de σ0 ) para T = 0, 2σ0 (curva
cheia), T = 0, 5σ0 (curva tracejada) e T = 0, 7σ0 (curva pontilhada). Notamos que para T 6= 0, não
existe descontinuidade no parâmetro de ordem e, com o aumento da temperatura, menor é o potencial
químico necessário para a restauração da simetria.
O resultado encontrado na Figura 10 pode ser aplicado, por exemplo, em QCD ou matéria condensada (STAUDT, 2007):
• Em QCD, a fase hadrônica corresponderia ao caso de pequenos valores de (T, µ), enquanto a fase de plasma de quark-glúon estaria associada ao caso de grandes valores de
(T, µ);
• Em matéria condensada, o caso de pequenos valores de (T, µ) estaria associado à fase su-
46
Figura 9 - Parâmetro de ordem σ̄ em função da temperatura T para µ = 0, 1σ0 , µ = 0, 7σ0 e
µ = 0, 9σ0 .
Legenda: Parâmetro de ordem σ̄ em função da temperatura T (em unidades de σ0 ) para µ = 0, 1σ0 (curva
cheia), µ = 0, 7σ0 (curva tracejada) e µ = 0, 9σ0 (curva pontilhada). Notamos que, com o aumento do
potencial químico, menor é a temperatura necessária para a restauração da simetria.
percondutora, enquanto o caso de grandes valores de (T, µ) corresponderia à fase normal
de certo material.
2.3 Aplicação de campos magnéticos (separadamente) ao modelo de Gross-Neveu em
2+1 dimensões
Na última seção, estudamos brevemente algumas características do modelo de GrossNeveu em 2+1 dimensões. O objetivo desta seção é iniciar o estudo de tal modelo considerando
os campos fermiônicos interagindo com campos magnéticos constantes, um na direção paralela
ao plano espacial bidimensional, que representaremos por Bk , e outro na direção perpendicular
ao plano, que representaremos por B⊥ .
Existem alguns trabalhos onde o estudo de modelos de GN em 2+1 dimensões, ou sistema planar de férmions, na presença de campo magnético foi realizado, como por exemplo
em Caldas e Ramos (2009); Gusynin, Miransky e Shovkovy (1995); Gusynin, Miransky e
Shovkovy (1994); e Vshivtsev, Klimenko e Magnitsky (1996). No entanto, tais trabalhos apresentam um estudo do modelo com a presença ou do campo magnético paralelo (CALDAS;
RAMOS, 2009) ou do campo perpendicular (GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1995;
GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1994; VSHIVTSEV; KLIMENKO; MAGNITSKY,
1996) ao plano de interação entre férmions. A ideia do presente trabalho é simplesmente fazer
47
Figura 10 - Diagrama de fase T × µ.
Legenda: Diagrama de fase T × µ. A linha cheia representa a linha de transição de fase de segunda ordem. O
ponto negro indica o ponto tricrítico. Todas as quantidades em unidades de σ0 . A área dentro da curva
contém os pontos (T, µ) associados à quebra da simetria quiral; a área fora representa os pontos no
plano T × µ associados à simetria quiral restaurada. Os pequenos gráficos representam as formas do
potencial efetivo Vef f,R × σ.
um estudo do modelo na presença simultânea dos campos Bk e B⊥ , que será feito no próximo
capítulo.
Vamos começar por considerar somente a aplicação do campo magnético paralelo Bk
ao sistema planar de férmions. Da mecânica quântica, é sabido que um férmion possui duas
componentes para o seu momento angular total: uma componente associada ao seu spin e outra
associada ao seu movimento orbital. Um campo magnético aplicado paralelamente ao sistema
planar acopla-se apenas com o spin dos férmions. O resultado desta interação é o bem conhecido efeito Zeeman, que polariza o sistema, ou seja, gera um desbalanço entre as densidades de
spin-up e spin-down que, com Bk → 0, tendem a se igualar. A Hamiltoniana de Dirac (PESKIN; SCHROEDER, 1995) para um férmion27 , nesse caso, ganha uma contribuição devido ao
acoplamento entre spin e campo magnético Bk (CALDAS; RAMOS, 2009):
hD = γ 0~γ · p + γ 0 m − γ 0
σs
gL µB Bk ,
2
(149)
onde σs pode ser σ↑ = 1 ou σ↓ = −1, gL é o fator de Lande e µB é o magneton de Bohr. Além
27
Definimos
livre de
R d † a0Hamiltoniana
R Dirac para um férmion hD,0 através da relação H0 =
d xψ γ ~γ · p + γ 0 m ψ ≡ dd xψ † hD,0 ψ.
R
dd xψ̄(~γ · p + m)ψ =
48
disso, para o nosso modelo de GN, devemos desprezar o termo de massa m na expressão acima.
Toda a discussão do parágrafo anterior se traduz, em termos de densidade de Lagrangiana do modelo de GN em 2+1 dimensões, em assumir o seguinte modelo:
L=
λ X ¯s s 2 X ¯s 0 σs
(
ψ ψ ) +
ψ γ
gL µB Bk ψ s ,
ψ¯s iγ µ ∂µ ψ s +
2N
2
s=↑,↓
s=↑,↓
s=↑,↓
X
(150)
onde a soma em s indica a degenerescência dos férmions (spin-up ou “↑” e spin-down ou “↓”).
Daqui em diante, assumiremos Bk ≥ 0.
A partir da relação (53), podemos inserir o potencial químico na equação anterior fazendo i∂t → i∂t + µ:
λ X ¯s s 2 X ¯s 0 σs
(
gL µB Bk ψ s
ψ ψ ) +
ψ¯s iγ µ ∂µ + γ 0 µ ψ s +
ψ γ
2N
2
s=↑,↓
s=↑,↓
s=↑,↓
h
i
X
σs
λ X ¯s s 2
ψ¯s iγ µ ∂µ + γ 0 µ + gL µB Bk ψ s +
=
(
ψ ψ )
2
2N
s=↑,↓
s=↑,↓
X
X
µ
λ
ψ¯s ψ s )2 ,
(151)
ψ¯s iγ ∂µ + γ 0 µs ψ s +
(
=
2N
s=↑,↓
s=↑,↓
Lµ =
X
onde definimos
µs ≡ µ +
σs
gL µB Bk ,
2
(152)
e, portanto,
X
ψ¯s γ 0 µs ψ s = µ↑ ψ ↑† ψ ↑ + µ↓ ψ ↓† ψ ↓ .
(153)
s=↑,↓
As definições µ↑ ≡ µ + δµ e µ↓ ≡ µ − δµ, com δµ ≡ gL µB Bk /2, nos mostram que podemos
interpretar µ↑,↓ como “potenciais químicos efetivos” onde, em matéria condensada por exemplo,
µ pode ser interpretado como uma densidade extra de elétrons fornecida ao sistema através de
dopantes (CALDAS; RAMOS, 2009), enquanto δµ mede a quantidade de assimetria introduzida
devido a um campo magnético paralelo e externo Bk .
Inserindo o tradicional campo escalar φ, podemos obter uma densidade de Lagrangiana
equivalente à (151):
Lµ =
N
ψ¯s iγ µ ∂µ + γ 0 µs + φ ψ s − φ2
2λ
s=↑,↓
X
(154)
e, seguindo os passos realizados na Seção 2.1, encontramos, no formalismo de tempo imaginá-
49
rio,
Z
2
N 2 N XX
d2 p
2
2
Vef f (σ, β, µ) =
σ −
ln
σ
+
p
−
(iω
+
µ
)
.
n
s
2λ
β s n
(2π)2
(155)
Se executarmos cálculos idênticos aqueles realizados para encontrar (131) e (145), o
resultado é um potencial efetivo (CALDAS; RAMOS, 2009) a temperatura e potencial químico
finitos para Bk 6= 0 (no limite N → ∞):
N 3
N
σ0 σ 2 +
|σ| +
2π
3π
|σ|−|µ↑ |
|σ|+|µ↑ |
NT 2
−
−
T
T
+
|σ| Li2 −e
+ Li2 −e
+
2π
|σ|−|µ↑ |
|σ|+|µ↑ |
NT 3
−
−
T
T
+
Li3 −e
+ Li3 −e
+
2π
+ (µ↑ → µ↓ ) ,
Vef f,R (σ, T, µ↑,↓ ) = −
(156)
onde (µ↑ → µ↓ ) significa “termos com µ↓ no lugar de µ↑ ”. Podemos observar que o único efeito
da presença de Bk no potencial efetivo é “quebrar” os termos dependentes do potencial químico
µ em duas partes com a mesma estrutura (cada uma com um “peso” 1/2), uma dependente de
µ↑ e outra de µ↓ .
Agora, vamos inserir o campo magnético perpendicular ao sistema planar, B⊥ . Para
isto, devemos modificar a densidade de Lagrangiana dada em (123) utilizando o acoplamento
mínimo, que significa fazer a transformação
∂µ → Dµ = ∂µ + ieAµ ,
(157)
onde e representa a carga elétrica do férmion e Aµ é o potencial vetor, com µ = 0, 1, 2. Portanto,
a densidade de Lagrangiana toma a forma
L = ψ̄iγ µ Dµ ψ +
λ
(ψ̄ψ)2 .
2N
(158)
O fato de aplicarmos um campo magnético perpendicular B⊥ a um sistema planar de
férmions gera os conhecidos níveis de energia de Landau (DAS, 1997; MAK, 1994; BHATTACHARYA, 2007) (ou simplesmente níveis de Landau), pois B⊥ acopla-se com o movimento
orbital dos férmions. No Apêndice C se encontra o cálculo explícito dos níveis de Landau para
a densidade de Lagrangiana de Dirac. O desenvolvimento a seguir é baseado em Vshivtsev,
Klimenko e Magnitsky (1996).
De acordo com (110), o funcional gerador W , na aproximação N → ∞, para a teoria
50
em (158) é dado por
Z
W (σ, B⊥ ) = −
d3 x
N 2
σ − iN Tr ln (iγ µ Dµ + σ) ,
2λ
(159)
e, através da equação (236), podemos escrever o potencial efetivo como
Vef f (σ, B⊥ ) =
N 2
iN
σ + R 3 Tr ln (iγ µ Dµ + σ) .
2λ
dx
(160)
Vamos primeiramente calcular o potencial efetivo a temperatura e potencial químico
zero. Como o potencial efetivo é simétrico frente à transformação σ → −σ, vamos considerar
somente o caso σ ≥ 0. Se escolhermos um gauge do tipo
A = (0, 0, B⊥ x) ,
(161)
e sabendo que podemos escrever a função de Green do operador G−1 (σ) ≡ iγ µ Dµ + σ como
0
0
0
0
Gαβ (x, y, t; x , y , t ) = −iΘ(t − t )
XZ
+
+
dp ψinpα
(x, y, t)ψ̄inpβ
(x0 , y 0 , t0 ) +
i,n
+ iΘ(t0 − t)
XZ
−
−
dp ψinpα
(x, y, t)ψ̄inpβ
(x0 , y 0 , t0 ) ,
(162)
i,n
onde i = 1, 2, n = 0, 1, 2, . . . e α e β representam o número da linha e coluna da matriz 4 × 4.
±
As funções ψinp
são as soluções ortonormalizadas correspondentes às frequências positivas e
negativas da equação de Dirac G−1 (σ)ψ = 0 (ver Apêndice C):

q
En ∓σ
I (x)
4πEn n,p
 q

En ±σ
I
(x)
±
∓iEn t+ipy  ±
4πEn n−1,p
ψ1np (x, y, t) = e


0

0



±
∓iEn t+ipy 
ψ2np (x, y, t) = e



0
0
±
q
En ±σ
I (x)
4πEn n,p
q
En ∓σ
I
(x)
4πEn n−1,p











.


(163)
Além disso, definimos
1
ξ2
eB 4
In,p (x) = p ⊥√ e− 2 Hn (ξ) ,
2n n! π
(164)
51
√
com Hn (ξ) sendo os polinômios de Hermite, I−1,p (x) ≡ 0, ξ ≡ eB⊥ [x − p/(eB⊥ )] e En =
√
σ 2 + 2eB⊥ n, com eB⊥ > 0, são os níveis de Landau. Uma propriedade interessante da
função In,p (x) é
Z
dx
2
In,p
(x)
1
=
eB⊥
Z
2
dp In,p
(x) = 1.
(165)
Derivando o potencial efetivo (160) em relação a σ, obtemos
d
N
iN
Vef f (σ, B⊥ ) = σ + R 3 Tr G(σ).
dσ
λ
dx
(166)
Utilizando a relação
∓Θ(±t)e
∓iEn t
dω f (±ω)e−iωt
,
2πi ω ∓ (En − i)
Z
f (En ) =
(167)
com → 0. Quando substituímos a expressão obtida para a função de Green dada por (162) e
a expressão anterior em (166), obtemos
N
iN
d
Vef f (σ, B⊥ ) = σ − 2 R 3
dσ
λ
4π d x
Z
Z
3
2
∞
2
X
(x)
(x) + In,p
2σ In−1,p
dp
. (168)
ω 2 − En2 + i
n=0
Z
dx
dω
Com a ajuda da propriedade (165), podemos resolver a integração no momento p e
encontrar
∞ Z
d
N
iN eB⊥ X
2σsn
Vef f (σ, B⊥ ) = σ −
dω 2
,
2
dσ
λ
4π
ω − En2 + i
n=0
(169)
onde sn = 2 − δ0n . Passando para a métrica Euclideana em (169), ou seja, ω → iω, e utilizando
a relação
2
(ω +
En2 )−1
Z
∞
=
dαe−α(ω
2 +E 2 )
n
,
(170)
0
podemos integrar em ω, fazer o somatório em n e obter
Z
d
N
N eB⊥
Vef f (σ, B⊥ ) = σ −
σ
3
dσ
λ
2π 2
∞
dα
α
0
1
2
2
e−ασ coth(eB⊥ α).
(171)
Agora, basta integrarmos sobre σ os dois lados da equação anterior e, a menos de constantes
independentes de σ, obtemos (GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1995)
N 2 N eB⊥
Vef f (σ, B⊥ ) =
σ +
3
2λ
4π 2
Z
0
∞
dα
α
3
2
2
e−ασ coth(eB⊥ α).
(172)
A equação acima é divergente no limite inferior e, por isso, vamos estabelecer um cut-off
52
Λ → ∞ da seguinte forma:
N 2 N eB⊥
σ +
Vef f (σ, B⊥ ) =
3
2λ
4π 2
Z
∞
1/Λ2
dα
α
3
2
2
e−ασ coth(eB⊥ α).
(173)
Para resolvermos a integral acima, devemos notar a relação da mesma com a função zeta
de Riemman generalizada (GRADSHTEYN; RYZHIK, 2007; AGUILERA-NAVARRO et al.,
1999) (ou função de Hurwitz). O cálculo desta relação pode ser encontrado no Apêndice D.
Portanto, o potencial efetivo a temperatura e potencial químico zero, para o modelo de GN em
2+1 dimensões na presença de B⊥ = |B⊥ | é, explicitamente,
N
π
Λ
σ2+
Vef f (σ, B⊥ ) =
− √
π
2λ 2 π
√
3
σ2
|eB⊥ |σ
1
2
−
+1 −
,
2|eB⊥ | ζ − ,
2 2|eB⊥ |
2
(174)
e
∞
α X
1
ν ,
ζ ν,
=
2
n + α2
n=0
ν > 1.
(175)
A generalização da função zeta para ν = −1/2 é feita por continuação analítica. A renormalização do potencial efetivo não foi executada propositalmente e será realizada no próximo
capítulo.
O potencial efetivo a temperatura e potencial químico finitos é obtido a partir da equação
(169), fazendo a tradicional extensão para o formalismo de tempo imaginário
Z
∞
i X
dω
f (ω) →
f (iωm + µ) ;
2π
β m=−∞
ωm =
π
(2m + 1).
β
(176)
Portanto:
∞
∞
d
2σsn
N
N |eB⊥ | X X
Vef f (σ, B⊥ ) = σ +
.
dσ
λ
2πβ n=0 m=−∞ (iωm + µ)2 − En2 + i
(177)
Realizando a soma sobre as frequências de Matsubara com o método da integração de
contorno ou como feito em Jackiw (1974), temos
∞
d
σ |eB⊥ | X sn
1
1
Vef f (σ, B⊥ ) = −
σ
+
.
dσ
λ
2π
En 1 + e−β(En +µ) 1 + e−β(En −µ)
n=0
(178)
Daqui em diante, vamos representar eB⊥ > 0 por |eB⊥ |. Por fim, devemos integrar em σ
a equação acima para obtermos explicitamente o potencial efetivo a temperatura e potencial
53
químico finitos para o modelo de GN em 2+1 dimensões na presença de B⊥ :
Vef f (σ, β, µ, B⊥ ) = Vef f (σ, B⊥ ) −
+ 2
+ 2
∞
X
k=1
∞
X
N |eB⊥ |
2πβ
√ 2
h
ln 1 + e−β(
(
ln 1 + e−β(σ+µ) +
σ +2k|eB⊥ |+µ)
i
+ ln 1 + e−β(σ−µ) +
)
h
i
√ 2
ln 1 + e−β( σ +2k|eB⊥ |−µ) ,
k=1
onde relembramos que sn = 2 − δ0n e En =
p
σ 2 + 2n|eB⊥ |.
(179)
54
3 ESTUDO DO SISTEMA PLANAR FERMIÔNICO NA PRESENÇA DE CAMPO
MAGNÉTICO OBLÍQUO
Apresentamos aqui o caso para o qual o modelo de GN em 2+1 dimensões está submetido a um campo magnético oblíquo (com componentes B⊥ e Bk ) e deduzimos a equação
para o potencial efetivo na aproximação de N → ∞. Obtemos alguns resultados interessantes,
principalmente no que diz respeito às estruturas dos diagramas de fase e sua evolução com a
variação das componentes do campo.
3.1 Densidade de Lagrangiana e o potencial efetivo a 1 loop
A densidade de Lagrangiana que descreve um sistema planar de férmions submetidos,
simultaneamente, a um campo perpendicular B⊥ e outro Bk paralelo tem a forma28 , baseando-se
em (150) e (158),
L=
λ X ¯s s 2 X ¯s 0 σs
ψ γ
ψ ψ ) +
(
gL µB Bk ψ s ,
ψ¯s iγ µ Dµ ψ s +
2N
2
s=↑,↓
s=↑,↓
s=↑,↓
X
(180)
ou, após inserirmos µ e um campo escalar φ,
Lµ =
N
ψ¯s iγ µ Dµ + γ 0 µs + φ ψ s − φ2 ,
2λ
s=↑,↓
X
(181)
onde
µ↑ ≡ µ + δµ , µ↓ ≡ µ − δµ , δµ ≡
gL µB Bk
≥ 0.
2
(182)
Sabemos qual o efeito que o campo magnético paralelo tem sobre o potencial efetivo: ele
simplesmente “quebra” os termos dependentes do potencial químico µ em duas parcelas com a
mesma estrutura (cada uma com um “peso” 1/2), uma dependente de µ↑ e outra dependente de
µ↓ . Portanto, podemos refazer todos os cálculos do potencial efetivo na aproximação N → ∞
e numa configuração de campo constante φ = σ para esta nova densidade de Lagrangiana, ou
simplesmente aproveitar o potencial efetivo para o caso B⊥ 6= 0 (e Bk = 0), dado por (179), e
28
Na verdade, rigorosamente falando, o termo
q de Zeeman no modelo descrito pela equação (180) deve conter o
2 + B 2 ; no entanto, foi mostrado (PYATKOVSKIY; GUSYNIN,
módulo do campo magnético total B = B⊥
k
2011) que na prática, em modelos desse tipo, o termo de Zeeman só produz efeito significativo quando B⊥ Bk , o que leva a B ≈ Bk .
55
escrever (é suficiente considerar o caso σ > 0):
(
N
|eB
|
⊥
β,µ
Vef
ln 1 + e−β(σ+µ↑ ) +
f (σ, B⊥ , δµ) = Vef f (σ, B⊥ ) −
4πβ
∞
i
√ 2
X h
+ 2
ln 1 + e−β( σ +2k|eB⊥ |+µ↑ ) + ln 1 + e−β(σ−µ↑ ) +
k=1
+ 2
∞
X
h
√
ln 1 + e−β(
σ 2 +2k|eB
⊥ |−µ↑ )
i
)
+ (µ↑ → |µ↓ |) ,
(183)
k=1
onde Vef f (σ, B⊥ ) é o potencial efetivo a temperatura (e potencial químico) zero:
N
π
Λ
Vef f (σ, B⊥ ) =
− √
σ2+
π
2λ 2 π
√
3
1
σ2
|eB⊥ |σ
−
+1 −
2|eB⊥ | 2 ζ − ,
.
2 2|eB⊥ |
2
(184)
Como foi feito em (183), daqui por diante, devido à relação linear entre a assimetria δµ e o
campo paralelo, escreveremos δµ nas equações ao invés de Bk .
O potencial efetivo Vef f (σ, B⊥ ) acima ainda possui dependência explícita no cut-off
introduzido anteriormente, Λ → ∞. É interessante notar que somente o termo associado a
temperatura (e potencial químico) zero, com δµ = B⊥ = 0, contém o termo divergente no
β,µ
potencial efetivo (183). Portanto, para renormalizar Vef
f (σ, B⊥ , δµ), precisamos renormalizar
somente Vef f (σ), através da condição
d2
N
= 2 Vef f (σ)
.
λR
dσ
σ=σ0
(185)
Acima, σ0 é um ponto de renormalização que escolhemos ser o valor de σ que minimiza o
potencial efetivo quando T = µ = B⊥ = δµ = 0. Esperamos que esta renormalização seja
exatamente aquela feita na Seção 2.2, para o modelo livre de campos magnéticos. De fato esperamos que, fazendo o limite quando B⊥ → 0 no potencial efetivo dado por (184), seja resgatada
a forma do potencial efetivo renormalizado dado por (132). Somente para fins didáticos, vamos
calcular tal limite, utilizando algumas propriedades (GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY,
1995) da função zeta de Riemman generalizada. Primeiramente, vamos reescrever (184) para a
forma
N
π
Λ
σ2+
Vef f (σ, B⊥ ) =
− √
π
2λ 2 π
√
3
1
σ2
|eB⊥ |σ
−
2|eB⊥ | 2 ζ − ,
+
,
(186)
2 2|eB⊥ |
2
56
onde utilizamos a relação (Apêndice D)
σ2
1
+1
ζ − ,
2 2|eB⊥ |
− 1
1
σ2
2|eB⊥ | 2
=ζ − ,
−
.
2 2|eB⊥ |
σ2
(187)
O limite B⊥ → 0 em (186) deve ser feito com muito cuidado, uma vez que a função zeta
terá um infinito em seu argumento. Para isto, podemos utilizar a fórmula assintótica (GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1995) da função zeta de Riemman generalizada, dada por
1
z−1
ζ (z, q → ∞) =
1+
+ ··· ,
(z − 1)q z−1
2q
(188)
onde, comparando com (186), notamos que z = −1/2 e q = σ 2 /(2|eB⊥ |). Portanto, para nosso
caso, temos:
lim ζ z,
B⊥ →0
σ2
2|eB⊥ |
σ3
=− √
3 ,
3 2|eB⊥ | 2
(189)
e, portanto, podemos escrever (186), quando B⊥ → 0, como
N
Vef f (σ) =
π
Λ
π
− √
2λ 2 π
σ3
σ +
.
3
2
(190)
Aplicando a condição de renormalização dada por (185), obtemos:
N
N
=
λR
π
π
Λ
−√
λ
π
+ 2σ0
π
Λ
π
=
− 2σ0 .
−√
λ
λR
π
(191)
Substituindo esta última relação em (190), encontramos
N
π 2 1 3
2
Vef f (σ) =
σ + σ − σ0 σ ,
π 2λR
3
(192)
que tem exatamente a mesma forma da equação (132), após substituírmos a relação λR = π/σ0
(gerada pela equação de gap para Vef f (σ)):
Vef f (σ) = −
N 2 N 3
σ +
σ .
2λR
3π
(193)
Com a constante de acoplamento já devidamente renormalizada, podemos escrever a
forma final do potencial efetivo renormalizado quando T = µ = 0:
N
Vef f,R (σ, B⊥ ) =
2π
(
)
√
3
π 2
1
σ2
− σ − 2 2|eB⊥ | 2 ζ − ,
+ |eB⊥ |σ . (194)
λR
2 2|eB⊥ |
57
O potencial efetivo para T e µ diferentes de zero, renormalizado, é, portanto,
β,µ
Vef
f,R (σ, B⊥ , δµ) = Vef f,R (σ, B⊥ ) −
+ 2
+ 2
∞
X
k=1
∞
X
N |eB⊥ |
4πβ
√ 2
h
ln 1 + e−β(
h
√
ln 1 + e−β(
(
ln 1 + e−β(σ+µ↑ ) +
σ +2k|eB⊥ |+µ↑ )
i
σ 2 +2k|eB⊥ |−µ↑ )
i
+ ln 1 + e−β(σ−µ↑ ) +
)
+ (µ↑ → |µ↓ |) .
(195)
k=1
E a equação de gap é
d β,µ
0 =
Vef f,R (σ, B⊥ , δµ)
dσ
σ=σ̄
(
dVef f,R (σ, B⊥ ) N |eB⊥ |
1
1
=
+
+ β(σ̄+µ )
+
β(σ̄−µ
)
↑ + 1
↑ + 1
dσ
4π
e
e
σ=σ̄
"
#
∞
X
1
1
1
√
+ √ 2
+
+ 2σ̄
1
2 + 2k|eB |) 2
β
σ̄ 2 +2k|eB⊥ |−µ↑
β
σ̄ +2k|eB⊥ |+µ↑
(σ̄
⊥
k=1
+1 e
+1
e
)
+ (µ↑ → |µ↓ |)
,
(196)
onde
√
1
N
dVef f,R (σ, B⊥ ) N 2
1
σ̄ 2
N
2
= − σ̄ −
|eB⊥ | σ̄ζ
,
+
|eB⊥ |.
dσ
λR
2π
2 2|eB⊥ |
2π
σ=σ̄
(197)
3.2 Resultados
A exemplo do Capítulo 2, vamos apresentar alguns resultados relativos ao estudo do modelo de GN em 2+1 dimensões, porém agora na presença de campos magnéticos para diversas
situações de temperatura e potencial químico. Somente para facilitar a leitura, vamos recordar
a forma do potencial efetivo a T = µ = δµ = 0:
Vef f,R (σ, B⊥ ) =
N
2π
(
)
2
√
3
π
1
σ
− σ 2 − 2 2|eB⊥ | 2 ζ − ,
+ |eB⊥ |σ , (198)
λR
2 2|eB⊥ |
ou, utilizando a propriedade da função zeta de Riemman generalizada
ζ (z, q + 1) = ζ (z, q) −
1
,
qz
(199)
58
podemos reescrevê-lo como
Vef f,R (σ, B⊥ ) =
N
2π
(
)
2
√
3
1
π
σ
− σ 2 − 2 2|eB⊥ | 2 ζ − ,
+ 1 − |eB⊥ |σ .(200)
λR
2 2|eB⊥ |
Esta última forma é particularmente interessante pois facilita a obtenção dos resultados numéricos. Tais resultados foram obtidos utilizando-se o aplicativo Maple, em suas versões 12 e
13.
3.2.1 Caso 1: T = µ = 0
Nestas condições, o potencial efetivo dado por (195) se reduz a
β→∞,µ=0
Vef
(σ, B⊥ , δµ) = Vef f,R (σ, B⊥ ) +
f,R
"
#
∞
X
N |eB⊥ |
−
Θ(δµ − σ)(δµ − σ) + 2
Θ(δµ − Ek )(δµ − Ek ) ,
2π
k=1
(201)
p
onde Ek = σ 2 + 2k|eB⊥ |. A forma da equação anterior é obtida após fazermos cuidadosamente o limite quando β → ∞ em (195), além de se fazer µ = 0.
Fazendo também o limite quando β → ∞ e µ = 0 na equação (196), obtemos a equação
de gap para este caso:
√
1
1
σ̄ 2
N 2
N
N
0 = − σ̄ −
|eB⊥ | 2 σ̄ζ
,
+
|eB⊥ | +
λR
2π
2 2|eB⊥ |
2π
∞
N |eB⊥ |
N |eB⊥ | X Θ(δµ − Ēk )
+
Θ(δµ − σ̄) +
σ̄
,
2π
π
Ēk
k=1
(202)
p
onde Ēk = σ̄ 2 + 2k|eB⊥ |.
Quando δµ = 0, obtemos
β→∞,µ=0
Vef
(σ, B⊥ , δµ = 0) = Vef f,R (σ, B⊥ ) ,
f,R
(203)
e, consequentemente,
√
1
N
N 2
1
σ̄ 2
N
0 = − σ̄ −
|eB⊥ | 2 σ̄ζ
,
+
|eB⊥ |.
λR
2π
2 2|eB⊥ |
2π
(204)
Um ponto interessante, como ilustrado na Figura 11(a), é que a existência de um campo
magnético aplicado perpendicularmente ao sistema induz a não existência da solução trivial
(σ̄ = 0) para a equação de gap (204) sendo, portanto, o valor não-trivial de σ̄ o único ponto que
59
Figura 11 - (a) Potencial efetivo a T = µ = 0 e δµ = 0 em função de σ para B⊥ = 1e−1 σ02 ,
B⊥ = 5e−1 σ02 e B⊥ = 10e−1 σ02 . (b) A variação de σ̄ com o campo B⊥ .
(a)
(b)
Legenda: (a) Potencial efetivo (em unidades de N σ03 , com λR = π/σ0 ) a T = µ = 0 e δµ = 0 em função de σ
(em unidades de σ0 ): podemos notar que, para B⊥ 6= 0, existe somente a solução não-trivial σ̄ 6= 0 que
minimiza o potencial; a linha preta representa o caso B⊥ = 1e−1 σ02 , a vermelha está associada a
B⊥ = 5e−1 σ02 e a azul representa o caso B⊥ = 10e−1 σ02 . (b) A variação de σ̄ com o campo B⊥ : o
campo magnético aumenta o valor esperado no vácuo de σ.
extremiza (ou minimiza) o potencial efetivo (203). Além disso, como podemos ver na Figura
11(b), quanto maior o campo magnético B⊥ , maior é o valor não-trivial σ̄.
Quando B⊥ → 0, o potencial efetivo toma a forma dada por (156) no limite T = µ = 0,
que nos fornece
β→∞,µ=0
Vef
(σ, B⊥
f,R
N 2 N 3 N
→ 0, δµ) = −
σ +
|σ| +
2λR
3π
2π
(δµ)3 2 3
2
−
− σ + δµσ Θ(δµ − σ) ,
3
3
(205)
com a equação de gap
π
+ (δµ − σ̄)Θ(δµ − σ̄) = 0
λR
(206)
σ̄ − σ0 + (δµ − σ̄)Θ(δµ − σ̄) = 0.
(207)
σ̄ −
ou
O potencial efetivo (205) tem a mesma forma que (139), caso livre de campos magnéti-
60
Figura 12 - (a) Potencial efetivo Vef f,R (T = µ = B⊥ = 0) para δµ < δµc , δµ = δµc e δµ > δµc . (b)
Parâmetro de ordem σ̄ (para T = 0) em função da assimetria δµ.
(a)
(b)
Legenda: (a) Potencial efetivo Vef f,R (para T = µ = B⊥ = 0) em unidades de N σ03 /π, com σ e δµ em
unidades de σ0 . O gráfico de linha cheia está associado ao caso δµ < δµc (simetria quebrada), o de
linha tracejada está associado ao caso δµ = δµc (simetria restaurada) e o de linha pontilhada está
associado ao caso δµ > δµc (simetria restaurada). (b) Parâmetro de ordem σ̄ (para T = 0) em função
da assimetria δµ, todos em unidades de σ0 . A descontinuidade na curva caracteriza uma transição de
fase de primeira ordem. A assimetria crítica é δµc = σ0 .
cos onde somente µ era diferente de zero. Portanto, o aumento do campo magnético paralelamente aplicado ao sistema, ou da assimetria δµ, provoca os mesmos efeitos que o aumento de
potencial químico no caso livre de campos magnéticos. Para exemplificar, podemos observar a
Figura 12.
O potencial efetivo com os dois tipos de campos magnéticos aplicados simultaneamente
(201) em função de σ é plotado nas Figuras 13 e 14. Na primeira, o campo magnético perpendicular é mantido fixo, enquanto variamos a assimetria δµ. O interessante aqui é notarmos o
efeito dos níveis de Landau na forma do potencial efetivo: para um dado valor de B⊥ , com o
aumento do valor da assimetria (ou campo magnético paralelo), os termos relativos aos níveis
de Landau vão se tornando relevantes, ordem a ordem. Por exemplo, na Figura 13(a), todos
os valores de assimetria são menores que o termo relativo ao k = 1 da equação (201), ou seja,
p
δµ < E1 , onde E1 = σ 2 + 2|eB⊥ | e, portanto, os termos relativos aos níveis de Landau com
k > 1 não contribuem. Além disso, a transição de fase de primeira ordem do sistema ocorre
neste domínio. O valor da assimetria crítica δµc pode ser calculado através da condição
β→∞,µ=0
β→∞,µ=0
Vef
(σ = 0, B⊥ , δµc ) = Vef
(σ = σ̄, B⊥ , δµ = 0) ,
f,R
f,R
(208)
61
onde σ̄ é gerado pela equação de gap (202), quando δµ < σ̄. Com isso, encontramos a expressão
para δµc :
δµc = −2
∞
X
Θ(δµc −
p
p
2k|eB⊥ |)(δµc − 2k|eB⊥ |) + σ̄ −
k=1
√
π
σ̄ 2 +
|eB⊥ |λR
1
σ̄ 2
1
+ 2 2|eB⊥ | ζ − ,
+1 −ζ −
,
2 2|eB⊥ |
2
1
2
(209)
com ζ − 12 ≈ −0, 21. Esta expressão pode ser resolvida numericamente e, por exemplo, para
o caso B⊥ = 1e−1 σ02 , o valor da assimetria crítica é
δµc ≈ 0, 76σ0 ,
(210)
como vemos na Figura 13(a). A Figura 13(b) nos mostra algumas formas do potencial efetivo
quando os primeiros níveis de Landau têm alguma relevância. É importante lembrar que as
descontinuidades surgem justamente devido à presença das funções de Heaviside em (201).
Além disso, olhando mais uma vez para a Figura 13(b), a fase do sistema tende a permanecer
restaurada para as demais contribuições dos termos relativos aos níveis de Landau.
A Figura 14 nos mostra que uma variação no campo magnético perpendicular, ao mantermos o campo paralelo fixo, pode ocasionar uma transição de fase (um aumento em B⊥ tende
a quebrar a simetria do sistema), além de modificar o valor esperado no vácuo σ̄ (não-trivial) e,
consequentemente, o valor da assimetria crítica δµc .
3.2.2 Caso 2: T 6= 0 e µ = 0
Esta situação nos leva a um potencial efetivo cuja forma é dada por
(
N
|eB
|
⊥
β,µ=0
Vef
ln 1 + e−β(σ+δµ) +
f,R (σ, B⊥ , δµ) = Vef f,R (σ, B⊥ ) −
2πβ
∞
h
i
√ 2
X
+ 2
ln 1 + e−β( σ +2k|eB⊥ |+δµ) + ln 1 + e−β(σ−δµ) +
+ 2
k=1
∞
X
k=1
h
√
ln 1 + e−β(
σ 2 +2k|eB
⊥ |−δµ)
i
)
(211)
62
Figura 13 - Potencial efetivo a T = µ = 0 em função de σ, com B⊥ = 1, 0e−1 σ02 fixo: (a) Para δµ = 0,
δµ = 0, 30σ0 , δµ = δµc ≈ 0, 76σ0 e δµ = 1, 40σ0 ; (b) Comportamento do potencial efetivo
devido aos níveis de Landau.
(a)
(b)
Legenda: Potencial efetivo (em unidades de N σ03 , com λR = π/σ0 ) a T = µ = 0 em função de σ (em unidades
de σ0 ), com B⊥ = 1, 0e−1 σ02 fixo; (a) a linha preta representa o caso δµ = 0, a vermelha está
associada a δµ = 0, 30σ0 , a azul representa o caso δµ = δµc ≈ 0, 76σ0 e a marrom, δµ = 1, 40σ0 . Os
valores escolhidos para δµ são todos menores que E1 . (b) Comportamento do potencial efetivo devido
aos níveis de Landau: a linha preta representa o caso δµ = 1, 00σ0 < σ, a vermelha está associada a
δµ = 1, 50σ0 < E1 , a azul representa o caso δµ = 2, 10σ0 < E2 e a marrom, δµ = 2, 50σ0 < E3 .
63
Figura 14 - Potencial efetivo a T = µ = 0 e δµ = δµc ≈ 0, 76σ0 (fixo) em função de σ para
B⊥ = 0, 7e−1 σ02 , B⊥ = 1, 0e−1 σ02 e B⊥ = 1, 3e−1 σ02 .
Legenda: Potencial efetivo (em unidades de N σ03 , com λR = π/σ0 ) a T = µ = 0 e δµ = δµc ≈ 0, 76σ0 (fixo)
em função de σ (em unidades de σ0 ); com o aumento de B⊥ , a simetria do sistema tende a ser
restaurada. A curva vermelha representa o caso B⊥ = 0, 7e−1 σ02 , a preta está associada a
B⊥ = 1, 0e−1 σ02 , enquanto a azul é relativa ao caso B⊥ = 1, 3e−1 σ02 .
A equação de gap correspondente é
√
1
N 2
1
σ̄ 2
N
N
|eB⊥ | 2 σ̄ζ
,
+1 −
|eB⊥ | +
0 = − σ̄ −
λR
2π
2 2|eB⊥ |
2π
(
N |eB⊥ |
1
1
−
+
+
2π
eβ(σ̄−δµ) + 1 eβ(σ̄+δµ) + 1
"
#)
∞
X
1
1
1
√
+ 2σ̄
+ √ 2
.
1
2 + 2k|eB |) 2
β
σ̄ 2 +2k|eB⊥ |−δµ
β
σ̄ +2k|eB⊥ |+δµ
(σ̄
⊥
k=1
e
+1 e
+1
(212)
Se isolarmos cuidadosamente a solução trivial σ̄ = 0 da equação anterior, teremos a
equação para o valor esperado no vácuo σ̄ não-trivial; se fazemos σ̄ → 0, como na Seção 2.2.2,
podemos obter uma equação para a temperatura crítica Tc , cuja forma é:

1
N
N 2
1
N |eB⊥ | 
0 = −
−
|eB⊥ | 2 ζ
−

λR
2π
2
2πTc
√
∞
N |eB⊥ | X
1
p
+
π
2k|eB⊥ |
k=1
"
√
e
1
2k|eB⊥ |−δµ
Tc
e
δµ
−T
c
e
+
+1
δµ
−T
c
√
e
+1
2 + e
e
δµ
Tc
+1


2  +
#
1
2k|eB⊥ |+δµ
Tc
δµ
Tc
.
+1
(213)
64
3.2.3 Caso 3: T = 0 e µ 6= 0
O caso em que somente o potencial químico µ é diferente de zero é obtido quando
fazemos cuidadosamente o limite β → ∞ na expressão do potencial efetivo completo (195).
Desse modo, podemos escrever
β→∞,µ
Vef
f,R (σ, B⊥ , δµ) = Vef f,R (σ, B⊥ ) +
"
N |eB⊥ |
−
(µ↑ − σ) Θ (µ↑ − σ) + (|µ↓ | − σ) Θ (|µ↓ | − σ) +
4π
+ 2
∞
X
(µ↑ − Ek ) Θ (µ↑ − Ek ) + 2
k=1
∞
X
#
(|µ↓ | − Ek ) Θ (|µ↓ | − Ek ) .
k=1
(214)
A equação de gap para este caso é
√
1
1
σ̄ 2
N 2
N
N
2
|eB⊥ | σ̄ζ
,
|eB⊥ | +
+
0 = − σ̄ −
λR
2π
2 2|eB⊥ |
2π
N |eB⊥ |
+
[Θ(µ↑ − σ̄) + Θ(|µ↓ | − σ̄)] +
4π
"∞
#
∞
N |eB⊥ | X Θ(µ↑ − Ēk ) X Θ(|µ↓ | − Ēk )
+
σ̄
+
.
2π
Ē
Ē
k
k
k=1
k=1
(215)
O potencial químico crítico µc é obtido da maneira usual, ou seja, é o valor de µ para
o qual os valores médios do campo σ trivial e não-trivial geram o mesmo valor (mínimo) do
potencial efetivo:
β→∞,µc
β→∞,µc
Vef
(σ = 0, B⊥ , δµ) = Vef
(σ = σ̄, B⊥ , δµ).
f,R
f,R
(216)
Portanto, a equação para o potencial químico crítico é, explicitamente,
(
|eB⊥ |
µ↑c + |µ↓c | − (µ↑c − σ̄)Θ(µ↑c − σ̄) − (|µ↓c | − σ̄)Θ(|µ↓c | − σ̄)+
0 =
4π
∞ h
X
p
p
+ 2
µ↑c − 2k|eB⊥ | Θ↑,0 + |µ↓c | − 2k|eB⊥ | Θ↓,0 +
k=1
−
i
p
p
µ↑c − σ̄ 2 + 2k|eB⊥ | Θ↑,σ̄ − |µ↓c | − σ̄ 2 + 2k|eB⊥ | Θ↑,σ̄
)
+
√
−
3
1
2
σ̄ 2
1
σ̄ 2
|eB⊥ |
|eB⊥ | 2 ζ − ,
+1 −ζ −
−
−
σ̄.
π
2 2|eBp⊥ |
2
2λR
2π
Aqui, utilizamos as definições Θ↑,σ̄ ≡ Θ(µ↑c −
(217)
p
σ̄ 2 + 2k|eB⊥ |), µ↑c ≡ µc + δµ, Θ|µ↓c |,σ̄ ≡
65
Θ(|µ↓c | −
p
σ̄ 2 + 2k|eB⊥ |) e µ↓c ≡ µc − δµ.
3.2.4 Caso 4: T 6= 0 e µ 6= 0
O caso mais geral do potencial efetivo na aproximação de N → ∞ para o modelo de
GN em 2+1 dimensões, em nosso estudo, é aquele dado por (195):
(
N
|eB
|
⊥
β,µ
ln 1 + e−β(σ+µ↑ ) +
Vef
f,R (σ, B⊥ , δµ) = Vef f,R (σ, B⊥ ) −
4πβ
∞
i
√ 2
X h
+ 2
ln 1 + e−β( σ +2k|eB⊥ |+µ↑ ) + ln 1 + e−β(σ−µ↑ ) +
k=1
+ 2
∞
X
h
√
ln 1 + e−β(
σ 2 +2k|eB⊥ |−µ↑ )
i
)
+ (µ↑ → |µ↓ |) .
(218)
k=1
Já vimos também que a equação de gap correspondente tem a forma
d β,µ
Vef f,R (σ, B⊥ , δµ)
0 =
dσ
σ=σ̄
(
1
dVef f,R (σ, B⊥ ) N |eB⊥ |
1
+ β(σ̄+µ )
+
=
+
β(σ̄−µ
)
↑ + 1
↑ + 1
dσ
4π
e
e
σ=σ̄
#
"
∞
X
1
1
1
√
+ 2σ̄
+ √ 2
+
1
2 + 2k|eB |) 2
β
σ̄ 2 +2k|eB⊥ |−µ↑
β
σ̄ +2k|eB⊥ |+µ↑
(σ̄
⊥
k=1
+1 e
+1
e
)
+ (µ↑ → |µ↓ |)
,
(219)
onde
√
1
dVef f,R (σ, B⊥ ) N 2
1
σ̄ 2
N
N
2
= − σ̄ −
|eB⊥ | σ̄ζ
,
+1 −
|eB⊥ |.
dσ
λR
2π
2 2|eB⊥ |
2π
σ=σ̄
(220)
Nosso maior interesse neste caso mais geral é obter os diagramas de fase T × µ, do
qual podemos extrair informações relevantes a respeito das transições de fase que ocorrem
no sistema. Como vimos na Seção 2.2, em diagramas deste tipo podemos localizar linhas
de transição de fase de segunda ordem, de primeira ordem ou pontos tricríticos e, portanto,
identificar mais claramente (e graficamente) as regiões, ou pares (µ, T ), nas quais a simetria
quiral é quebrada ou restaurada.
De fato, o caso onde T e µ são diferentes de zero, quando campos magnéticos perpendicular e paralelo ao sistema são aplicados, nos fornece diagramas T × µ interessantes do ponto
66
de vista estrutural, uma vez que apresentam riqueza de detalhes. Tais diagramas podem ser
construídos basicamente seguindo alguns passos:
• Para determinarmos as linhas de transição de fase de segunda ordem, como vimos anteriormente, basta isolar a solução σ̄ = 0 da equação de gap (219) e fazer σ̄ = 0 ou,
equivalentemente, calcular
d2 β,µ
V
(σ,
B
,
δµ)
=0,
⊥
ef
f,R
dσ 2
σ=0
(221)
que nos fornece

1
N 2
N |eB⊥ | 
1
N
−
|eB⊥ | 2 ζ
−
0 = −

λR
2π
2
4πT
√
∞
N |eB⊥ | X
1
p
+
2π k=1 2k|eB⊥ |
"
√
e
1
2k|eB⊥ |−µ↑
T
e
µ
− T↑
e
+
+1
µ
− T↑
√
e
+1
2 + e
e
µ↑
T
+1


2  +
#
1
2k|eB⊥ |+µ↑
T
µ↑
T
+ (µ↑ → |µ↓ |) .
+1
(222)
• A temperatura crítica Tc pode ser encontrada simplesmente fazendo µ = 0 na equação
acima, o que é equivalente a fazer σ̄(Tc ) = 0 quando µ = 0 (uma vez que tenhamos
isolado a solução σ̄ = 0 da equação de gap);
• O potencial químico crítico µc é encontrado através da equação (217) a temperatura zero,
que vem da condição de igualdade do potencial efetivo para os valores esperados do
campo σ̄(T = 0, µ) = 0 e σ̄(T = 0, µ) 6= 0;
• Para a determinação dos pontos tricríticos, podemos proceder da seguinte forma. Vamos
considerar uma expansão em série de Taylor do potencial efetivo dado por (218) em torno
do valor esperado trivial σ̄ = 0:
1
1
1
β,µ
β,µ
2
4
6
Vef
f,R (σ, B⊥ , δµ) ≈ Vef f,R (0, B⊥ , δµ) + a2 σ + a4 σ + a6 σ .
2
4
6
(223)
Esta aproximação é conhecida da teoria de Ginzburg-Landau (SASAKI; FRIMAN; REDLICH, 2008) e é válida para valores de σ próximos de zero, ou seja, próximos de uma
linha de transição de fase de segunda ordem. Tal informação é importante quando reconhecemos imediatamente que o coeficiente a2 está associado à derivada segunda do
potencial efetivo no ponto σ = 0 que, como vimos, quando igualada a zero, nada mais é
do que a condição que gera as linhas de transição de fase de segunda ordem no diagrama
de fase T × µ. Os pontos tricríticos são aqueles derivados da interseção das curvas geradas por a2 = 0 e a4 = 0 (associado à derivada quarta do potencial efetivo) no diagrama
de fase (SASAKI; FRIMAN; REDLICH, 2008).
67
Através desses passos, podemos, numericamente, obter os desejados diagramas T × µ.
A Figura 15 nos mostra o comportamento dos diagramas de fase quando variamos o campo
magnético perpendicular e fixamos o campo paralelo em zero. Podemos notar que, na ausência
de assimetria (δµ = 0), quando aumentamos o campo magnético perpendicular, aumentamos
também a temperatura crítica necessária para que o sistema tenha sua simetria restaurada (valor
esperado do campo que minimiza o potencial efetivo é nulo); além disso, quando aplicamos
um campo magnético B⊥ 6= 0, uma transição de fase de primeira ordem do sistema passa a ser
possível mesmo para temperaturas diferentes de zero29 . Graficamente, isto significa que surge
uma linha de transição de primeira ordem cada vez maior com o aumento de B⊥ 6= 0, como
pode ser visto na Figura 15. Interessante ressaltar também que o aumento da intensidade do
campo magnético perpendicular tende a aumentar a área interna do diagrama de fase, relativa à
fase ordenada do sistema (valor esperado do campo que minimiza o potencial efetivo é diferente
de zero), o que significa que o campo perpendicular possui a tendência de preservar a simetria
quiral quebrada.
A Figura 16 nos mostra o efeito que a variação do campo paralelo, ou assimetria δµ,
provoca no diagrama de fase, quando mantemos nulo o campo magnético perpendicular. Este
resultado é bem conhecido e foi estudado em detalhes em Caldas e Ramos (2009). Podemos
observar que os diagramas de fase para diferentes valores de assimetria possuem transição de
fase de primeira ordem somente a temperatura zero, sendo todas as transições de fase a T 6= 0
de segunda ordem, como ocorria no caso livre de campos magnéticos. No entanto, com o
aumento da assimetria, a temperatura crítica Tc , a partir da qual a simetria quiral é restaurada,
é diminuída, o que indica a tendência de δµ em manter a fase simétrica (ou desordenada), uma
vez que a área interior dos diagramas é cada vez menor com o aumento da assimetria.
A Figura 17(a) nos mostra um exemplo de como o diagrama de fase evolui quando
aplicamos no sistema um campo magnético oblíquo (B⊥ e Bk 6= 0) e mantemos fixo o campo
perpendicular, variando o paralelo (ou assimetria). Quando aumentamos o valor da assimetria,
temos uma diminuição na temperatura crítica, como vemos nas curvas relativas a δµ = 0,
δµ = 0, 800σ0 e δµ = 0, 897σ0 . Após aumentarmos mais um pouco a assimetria, como por
exemplo para um valor δµ = 1, 500σ0 , não há mais a necessidade em se falar de temperatura
crítica, uma vez que, para µ = 0, qualquer temperatura T a qual esteja submetido o sistema é
suficiente para mantê-lo com simetria restaurada. Além disso, podemos notar que a variação
da assimetria δµ para o caso de B⊥ fixo, também é capaz de produzir diagramas de fase com
mais uma linha de transição de fase de primeira ordem, mais um ponto crítico e tricrítico, como
vemos nos casos onde δµ = 0, 897σ0 e δµ = 1, 500σ0 , por exemplo. As linhas de primeira
ordem tendem a diminuir com o aumento da assimetria e a área interna do diagrama, relativa
29
Para o caso onde B⊥ = δµ = 0, feito na Seção 2.2, uma transição de fase de primeira ordem só era possível
quando T = 0.
68
Figura 15 - Diagramas de fase T × µ com δµ = 0 fixo, para B⊥ = 0, B⊥ = 5e−1 σ02 , B⊥ = 7e−1 σ02 e
B⊥ = 10e−1 σ02 .
Legenda: Diagramas de fase T × µ para λR = π/σ0 , com T e µ em unidades de σ0 e δµ = 0, fixo. Os
elementos (linhas e pontos) verdes estão associados ao caso onde B⊥ = 0, os azuis representam o caso
B⊥ = 5e−1 σ02 , os pretos representam B⊥ = 7e−1 σ02 e os vermelhos estão relacionados ao caso onde
B⊥ = 10e−1 σ02 . As linhas cheias representam linhas de transição de fase de segunda ordem, as
pontilhadas representam linhas de transição de fase de primeira ordem, os pontos grandes nas
interseções entre linhas de primeira e segunda ordem são pontos tricríticos, os pontos sobre o eixo µ
são os potenciais químicos críticos µc , enquanto que os pontos sobre o eixo T são as temperaturas
críticas Tc . A área interna da curva contém os pontos (T, µ) associados à quebra da simetria quiral
(fase quebrada); a área externa representa os pontos no plano T × µ associados à simetria quiral
restaurada (fase restaurada).
69
Figura 16 - Diagramas de fase T × µ com B⊥ = 0 fixo, para δµ = 0, δµ = 0, 50σ0 , δµ = 0, 80σ0 e
δµ = 0, 95σ0 .
Legenda: Diagramas de fase T × µ para λR = π/σ0 , com T e µ em unidades de σ0 e B⊥ = 0, fixo. A linha
vermelha está associada ao caso onde δµ = 0, a preta representa o caso δµ = 0, 50σ0 , a azul
representa δµ = 0, 80σ0 e a linha verde está relacionada ao caso onde δµ = 0, 95σ0 . As linhas cheias
representam linhas de transição de fase de segunda ordem, o ponto sobre o eixo µ é o potencial
químico crítico µc , enquanto que os pontos sobre o eixo T são as temperaturas críticas Tc . A área
interna da curva contém os pontos (T, µ) associados à quebra da simetria quiral (fase quebrada); a área
externa representa os pontos no plano T × µ associados à simetria quiral restaurada (fase restaurada).
Interessante notar que, sem campo magnético perpendicular, não há linhas de transição de fase de
primeira ordem, pois esta só ocorre a temperatura zero.
70
à fase quebrada, tende a diminuir também, como esperado. Ainda considerando estruturas dos
diagramas de fase dos casos onde δµ = 0, 897σ0 e δµ = 1, 500σ0 , a temperatura zero, podemos
notar que o ponto µ = δµ está entre os valores críticos do potencial químico.
A Figura 17(b) nos mostra o aumento da região cuja fase tem simetria quebrada quando
mantemos a assimetria fixa e variamos o campo perpendicular, como esperado, uma vez que o
campo perpendicular tende a conservar a simetria quebrada (ordenar o sistema). Além disso,
mantendo a assimetria fixa e aumentando o campo magnético até valores suficientemente grandes, podemos recuperar a estrutura do diagrama de fase semelhante aquelas observadas na Figura 17(a) (assimetrias δµ = 0 e δµ = 0.800σ0 ).
O interessante aqui é justamente o fato de que existem situações para as quais o sistema
planar de férmions, submetido a um campo magnético oblíquo, pode ter sua fase com simetria
restaurada tanto para potenciais químicos mais baixos quanto para potenciais químicos mais
elevados, a qualquer temperatura, e que a região no plano T × µ para a qual a fase tem simetria
quebrada é restrita somente a certos valores de µ e T . Podemos ver na Figura 18 a riqueza
de detalhes dos diagramas de fase produzidos na Figura 17: agora, são explicitadas também as
linhas nas quais os mínimos não-triviais locais (σ 6= 0) nos potenciais efetivos, que representam
estados metaestáveis do sistema, desaparecem (ou aparecem, dependendo do ponto de vista),
e as linhas a partir das quais se dá o surgimento (ou desaparecimento) dos mínimos triviais
locais (σ = 0). Pequenos desenhos da forma do potencial efetivo foram feitos para uma melhor
visualização da dinâmica dos seus pontos críticos em cada região do diagrama de fase. Podemos
notar uma espécie de “descolamento” do diagrama de fases do eixo T , com o aumento da
assimetria δµ.
3.2.5 Caso onde a constante de acoplamento tem sinal oposto
A condição de renormalização utilizada para a obtenção das equações e resultados numéricos até aqui foi aquela que fixa uma escala de energia associada ao valor esperado no vácuo
não-trivial σ0 do potencial efetivo a B⊥ = Bk = µ = T = 0
Vef f,R (σ, 0, 0) = −
N 2 N 3
σ +
|σ| ,
2λR
3π
(224)
que possui uma relação com a constante de acoplamento renormalizada λR da forma σ0 =
π/λR > 0. No entanto, podemos mostrar que o potencial efetivo acima pode ter a forma
Vef f,R (σ, 0, 0) =
N 2 N 3
σ +
|σ| ,
2g
3π
(225)
onde g é uma constante de acoplamento que independe tanto do cut-off Λ quanto de uma escala
de energia arbitrária m, fixada na condição de renormalização (VSHIVTSEV; KLIMENKO;
71
Figura 17 - Diagramas de fase T × µ. (a) Campo B⊥ = 7e−1 σ02 é mantido fixo e casos δµ = 0,
δµ = 0, 800σ0 , δµ = 0, 897σ0 e δµ = 1, 500σ0 ; (b) assimetria δµ = 1, 5σ0 é mantida fixa e
casos B⊥ = 5e−1 σ02 , B⊥ = 7e−1 σ02 , B⊥ = 9e−1 σ02 e B⊥ = 35e−1 σ02 .
(a)
(b)
Legenda: Diagramas de fase T × µ para λR = π/σ0 , com T e µ em unidades de σ0 . Em (a), o campo
B⊥ = 7e−1 σ02 é mantido fixo: os elementos (linhas e pontos) azuis estão associados ao caso onde
δµ = 0, os pretos representam o caso δµ = 0, 800σ0 , os vermelhos estão relacionados ao caso
δµ = 0, 897σ0 e os verdes, δµ = 1, 500σ0 . Em (b), a assimetria δµ = 1, 5σ0 é mantida fixa: os
elementos azuis estão associados ao caso onde B⊥ = 5e−1 σ02 , os verdes representam o caso
B⊥ = 7e−1 σ02 , os pretos, B⊥ = 9e−1 σ02 , enquanto os vermelhos estão relacionados ao caso
B⊥ = 35e−1 σ02 . As linhas cheias representam linhas de transição de fase de segunda ordem, as
pontilhadas representam linhas de transição de fase de primeira ordem, os pontos grandes nas
interseções entre linhas de primeira e segunda ordem são pontos tricríticos, os pontos sobre o eixo µ
são os potenciais químicos críticos µc , enquanto que os pontos sobre o eixo T são as temperaturas
críticas Tc . A área interna da curva contém os pontos (T, µ) associados à quebra da simetria quiral
(fase quebrada); a área externa representa os pontos no plano T × µ associados à simetria quiral
restaurada (fase restaurada).
72
Figura 18 - Diagramas de fase T × µ com campo magnético perpendicular B⊥ = 7e−1 σ02 . (a) δµ = 0;
(b) δµ = 0, 800σ0 ; (c) δµ = 0, 897σ0 ; e (d) δµ = 1, 500σ0 .
(a)
(b)
(c)
(d)
Legenda: Diagramas de fase T × µ para λR = π/σ0 , com T e µ em unidades de σ0 , com campo magnético
perpendicular B⊥ = 7e−1 σ02 . Em (a), temos o caso δµ = 0; em (b), δµ = 0, 800σ0 ; em (c),
δµ = 0, 897σ0 ; e em (d), o caso onde δµ = 1, 500σ0 . Aqui, linhas cheias representam linhas de
transição de fase de segunda ordem, pontilhadas representam linhas de transição de fase de primeira
ordem, as tracejadas representam as linhas onde desaparecem (ou aparecem) os mínimos não-triviais e
as que intercalam pontos e traços representam linhas a partir das quais os mínimos triviais
desaparecem (ou aparecem). Todos estes casos são exemplos das diferentes estruturas para o diagrama
de fase que podem ser obtidas aplicando-se um campo magnético oblíquo no sistema planar em
estudo. Os pequenos gráficos representam a forma do potencial efetivo para a região correspondente.
73
MAGNITSKY, 1996). Além disso, para este potencial, como vimos anteriormente, g > 0 não
permite quebra da simetria discreta, enquanto que g < 0 permite, com um valor esperado no
vácuo do campo σ sendo M ≡ −π/g > 0. Estes detalhes estão sendo mencionados devido
a necessidade de se falar sobre um interessante fenômeno que ocorre quando inserimos um
campo magnético perpendicular B⊥ no modelo de GN em 2+1 dimensões: a catálise magnética
(GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1995). Este fenômeno é caracterizado pelo fato de
que a inserção do campo magnético B⊥ no modelo faz com que a simetria quiral e discreta seja
quebrada mesmo para valores de g < 0. Ou seja, se o potencial efetivo na presença de B⊥ pode
ser escrito como
(
)
√
3
1
σ2
N π 2
σ − 2 2|eB⊥ | 2 ζ − ,
+ |eB⊥ |σ , (226)
Vef f,R (σ, B⊥ ) =
2π g
2 2|eB⊥ |
através da propriedade assintótica da função zeta de Riemman, para campos magnéticos pequenos (B⊥ → 0), temos, para o valor esperado do campo no vácuo σ̄, (GUSYNIN; MIRANSKY;
SHOVKOVY, 1995; VSHIVTSEV; KLIMENKO; MAGNITSKY, 1996)

 1 g|eB⊥ | + · · · ,
g>0
2π
h
i
σ̄ =
2
M 1 + |eB⊥ |4 + · · · . , g < 0
12M
(227)
ou, quando B⊥ → ∞,
σ̄ ≈
p
0, 2|eB⊥ | ,
para g > 0 ou g < 0.
(228)
Isto significa que o campo magnético perpendicular provoca quebra espontânea da simetria quiral e discreta para o caso g > 0 (o que não acontecia no modelo sem campo magnético!)
e tende a conservar a fase com simetria quebrada para g < 0.
Do ponto de vista de um estudo numérico semelhante ao feito anteriormente neste capítulo, levando-se em conta o caso g > 0 (uma vez que, com nossa escala de energia σ0 na
condição de renormalização, estudamos o caso onde g < 0), os diagramas de fase obtidos para
o caso onde T , µ, B⊥ e δµ diferentes de zero possuem comportamento e estruturas semelhantes
aos resultados obtidos, quando fazemos as variações dos campos magnéticos30 . No entanto,
um estudo mais cuidadoso pode revelar diferenças, principalmente para campos magnéticos
pequenos.
30
Devemos lembrar que uma diferença clara existe no caso onde o campo B⊥ → 0: a simetria tende a ser
restaurada para g > 0, enquanto tende a permanecer quebrada quando g < 0.
74
CONCLUSÃO
Neste trabalho, nosso objetivo principal foi o de estudar o modelo de Gross-Neveu em
2+1 dimensões, que descreve N férmions sem massa de quatro componentes que interagem
entre si num sistema planar, sob a ação de um campo magnético externo oblíquo (com componentes perpendicular e paralela ao plano). Tal estudo foi direcionado no sentido de se obter
informação sobre as transições de fase que um sistema planar fermiônico real pode vir a ter, se
o mesmo puder ser descrito pelo nosso modelo. Vimos que tais transições de fase estão intimamente ligadas com a quebra da simetria quiral e discreta da teoria que, em nosso formalismo,
está associada ao aparecimento de um novo mínimo global para o potencial efetivo a 1 loop na
expansão 1/N , ligado a um valor esperado no vácuo do campo σ diferente de zero, σ̄, ou gap.
O potencial efetivo no caso de um campo magnético externo oblíquo pôde ser derivado
facilmente, uma vez que sabíamos calcular o potencial para o caso onde uma ou outra componente do campo magnético era aplicada. O cálculo do potencial efetivo foi feito utilizando o formalismo funcional de teoria quântica de campos a temperatura finita ou, mais especificamente,
o formalismo de tempo imaginário (Matsubara), que era suficiente para nossos interesses, além
da usual expansão 1/N , ou aproximação de campo médio. Com isso, o potencial efetivo mais
geral que obtivemos foi aquele onde a temperatura e potencial químico eram finitos, na aproximação de N → ∞.
Foi mencionado que a componente paralela do campo magnético externo acopla-se com
o spin dos férmions, gerando o efeito Zeeman. Mostramos que, no potencial efetivo, isso simplesmente se traduz em um desbalanço no potencial químico dos férmions com spin up e down,
ou uma assimetria nos mesmos. Já a componente do campo magnético perpendicular, gera os
níveis quânticos de Landau, pois se acopla com o movimento orbital dos férmions. Isto tem um
efeito muito interessante no potencial efetivo de nossa teoria: a constante de acoplamento agora
pode tomar valores positivos ou negativos para que haja quebra da simetria quiral e discreta,
diferentemente do que ocorria para o caso sem campo perpendicular. Esta é a conhecida catálise magnética (GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1995; VSHIVTSEV; KLIMENKO;
MAGNITSKY, 1996).
De posse do potencial efetivo de nosso interesse, fizemos uma renormalização fixando
uma escala de energia, de modo que a constante de acoplamento fosse negativa, e obtivemos alguns resultados relativos à transições de fase. No caso T = µ = 0, obtivemos o comportamento
do potencial efetivo para os campos magnéticos B⊥ e Bk separadamente, além de observarmos
como variava o gap com cada um deles. Um aumento em B⊥ tende a provocar um aumento no
valor do gap σ̄, enquanto que um aumento em Bk (ou δµ) tende a levar o valor de σ̄ para zero.
Com um campo magnético oblíquo, percebemos que os níveis de Landau no potencial efetivo
vão se tornando cada vez mais importantes com o aumento da assimetria e com a diminuição
do campo magnético perpendicular. Mostramos que podemos, numericamente, obter o valor da
75
assimetria crítica, dado um valor para o campo magnético perpendicular: em nosso exemplo,
encontramos, para B⊥ = 1e−1 σ02 , o valor δµc ≈ 0, 76σ0 .
Para o caso onde T 6= 0 e µ = 0, mostramos que podemos obter uma equação para a
temperatura crítica Tc , que é um ponto de transição de fase de segunda ordem, dividindo a fase
cuja simetria quiral e discreta é quebrada (σ̄ 6= 0) e restaurada (σ̄ = 0). Já na situação onde
T = 0 e µ 6= 0, encontramos uma equação para o potencial químico crítico que representa um
ponto de transição de fase de primeira ordem.
A situação mais geral possível, ou seja, T 6= 0 e µ 6= 0, apresenta diagramas de fase
com estrutura rica de detalhes, quando observamos o comportamento do sistema ao variarmos
os campos magnéticos perpendicular e paralelo. Para construí-los numericamente a partir do
potencial efetivo, seguimos alguns passos para a determinação das diferentes linhas e pontos
críticos, que delimitam as diferentes fases do sistema. Encontramos linhas de transição de fase
de segunda ordem, primeira ordem, pontos tricríticos, além de linhas a partir das quais estados
metaestáveis aparecem (ou desaparecem) e linhas que delimitam o surgimento (ou desaparecimento) dos mínimos triviais. Pudemos observar também que a variação do campo magnético
paralelo ou perpendicular, quando mantemos um ou outro fixo, pode ocasionar uma mudança
na estrutura do diagrama de fase, com o surgimento de, por exemplo, mais de um potencial químico crítico, ou a redução da temperatura crítica (a µ = 0) a zero, ou ainda um segundo ponto
tricrítico e linha de transição de fase de primeira ordem. Todos estes detalhes se encontram no
Capítulo 3.
Por fim, falamos brevemente sobre a catálise magnética provocada pela componente
perpendicular do campo magnético externo e a semelhança dos diagramas de fase obtidos para
o caso de uma constante de acoplamento com sinal contrário com os obtidos nos resultados, no
que diz respeito à evolução das estruturas dos diagramas com a variação das componentes do
campo magnético oblíquo.
Como perspectiva de trabalhos futuros, poderíamos aproveitar a abordagem feita neste
trabalho para obter as propriedades termodinâmicas de um sistema físico real que possa ser
descrito por este modelo, como um sistema bidimensional de elétrons cuja fase varia de metal
para isolante ou vice-versa. Algo neste sentido já foi feito, por exemplo, em Caldas e Ramos
(2009), onde a magnetização e a susceptibilidade magnética foram obtidas e estudadas, porém
para um campo magnético externo com componente B⊥ = 0. Outra aplicação, como foi falado
no texto anteriormente, pode ser feita, ainda em matéria condensada, em supercondutores à
altas temperaturas, efeito Hall quântico e grafeno.
76
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79
APÊNDICE A – Formalismo funcional para o cálculo do potencial efetivo e a expansão 1/N
Em geral, em teoria quântica de campos, existe um interesse especial em funções de
Green conexas (RYDER, 1996), e estas não são geradas diretamente pelo funcional gerador
Z[J], mas sim pelo funcional gerador das funções de Green conexas W [J]. A relação entre
estes funcionais é:
Z[J] ≡ eiW [J] = 0+ 0− J ⇒ W [J] = −i lnZ[J].
(229)
A partir deste objeto, podemos desenvolver o formalismo funcional necessário para a
expressão do potencial efetivo a temperatura zero. Vamos começar acoplando uma fonte J(x)
para o campo φ(x), e considerar uma transformação no campo de modo a expressarmos o
mesmo em termos do funcional ϕ̄[J]:
φ(x) = φ0 (x) + ϕ̄[J]
δW [J]
ϕ̄[J] = 0+ φ(x) 0− J =
δJ(x)
(230)
Admitindo que ϕ̄[J] tenha forma inversa, então J[ϕ̄] existe, de modo que podemos definir a
ação efetiva Γ[ϕ̄] como uma transformada de Legendre de W [J]:
Z
Γ[ϕ̄] = W [J] −
dD x J ϕ̄ ,
(231)
Da equação anterior, podemos escrever
δΓ[ϕ̄]
= −J ,
δ ϕ̄
(232)
de modo que, para J → 0, ϕ̄ = cte e deve satisfazer a equação estacionária
∂Γ[ϕ̄] =0,
∂ ϕ̄ ϕ̄=ϕ̄c
(233)
onde ϕ̄c é o valor esperado do campo no vácuo, por vezes denominado condensado. Em diversas situações, a presença ou ausência de um condensado nos fornece informação sobre as
características de simetria de um sistema. O potencial efetivo Vef f é definido por
Z
Γ[ϕ̄]|J=0 ≡ −Vef f (ϕ̄)
dD x ,
(234)
de modo a determinar o valor do condensado e, por isso, carregar importante informação sobre
R
transições de fase (PALHARES, 2008). Na equação acima, dD x é o volume espaço-temporal.
80
Podemos reescrever (233) como
∂Vef f (ϕ̄) = 0.
∂ ϕ̄ ϕ̄=ϕ̄c
(235)
Uma outra forma de escrevermos o potencial efetivo, a partir de (231) e (234), é
W [0]
Vef f (ϕ̄) = − R D .
d x
(236)
A expressão para o potencial efetivo não é fechada. Na teoria quântica de campos usual,
é natural que se expanda a ação, na equação (105)
Z[J] = e
i
W [J]
}
Z
=
i
J
Dφ e } SB ,
(237)
em potências de } (aqui, } foi propositalmente explicitado); para isto, representa-se o campo
√
φ(x) como φ(x) = ϕ̄(x) + }φ0 (x) e faz-se a expansão. Esta expansão também é conhecida
como expansão em loops31 e seu desenvolvimento pode ser encontrado em, por exemplo, Peskin e Schroeder (1995); Das (1997); Ryder (1996); e Jackiw (1974). Com isso, encontra-se
uma expressão para W [J] até a ordem de perturbação desejada e, consequentemente, Γ[ϕ̄], que
fornece Vef f (ϕ̄).
Entretanto, no modelo de NJL descrito por (85), ou no modelo de Gross-Neveu dado
por (118), é usual na literatura (CALDAS; RAMOS, 2009; GUSYNIN; MIRANSKY; SHOVKOVY, 1995; VSHIVTSEV; KLIMENKO; MAGNITSKY, 1996) um tratamento não-perturbativo,
mantendo λ fixo e N muito grande, conhecido como expansão em potências de 1/N , ou aproximação N → ∞ (COLEMAN, 1985; RIVERS, 1987).
Duas razões interessantes nos levam a estudar a expansão 1/N (COLEMAN, 1985):
• Pode ser usada para se analizar modelos de teoria de campos. Teoria quântica de campos
essencialmente oferece soluções baseadas em teoria de perturbação ou alguns poucos
modelos solúveis exatamente. A expansão 1/N nos permite aumentar esse grupo;
• É possível que a expansão 1/N possa ser aplicada a QCD. Não há como comprovar que
a expansão 1/N em QCD seja tão eficiente quanto a teoria de perturbação em eletrodinâmica quântica (QED) mas, a princípio, não há razão para rejeitá-la de imediato.
A nossa idéia é fazer uma expansão 1/N , com N → ∞, para encontrarmos a expressão
para o funcional gerador W [J] até a primeira ordem (1 loop), que corresponde, em matéria
condensada, à aproximação de campo médio. Sem muito rigor e somente a título de ilustração,
31
O termo “loop” está relacionado aos diagramas de Feynman.
81
ao final será mostrada a expressão correspondente ao termo após a primeira ordem (“next to
leading order”).
Vamos começar por expandir o campo φ em torno de sua solução clássica ϕ̄
1
φ(x) = ϕ̄ + √ φ0 (x) ,
N
(238)
√
onde reescalamos a parte não-clássica com um fator 1/ N (analogamente ao que ocorre na
tradicional expansão em }). Dessa forma, podemos expandir funcionalmente a ação SBJ na
equação (237), em potências de √1N φ0 (x)
SBJ (φ)
√ 0
=
ϕ̄ + 1/ N φ
Z
1
δSBJ D
0
J
d x φ (x)
= SB (ϕ̄) + √
+
δφ(x) φ=ϕ̄
N
Z
δ 2 SBJ
1
D
D
0
φ0 (y) + . . .
d xd y φ (x)
+
2N
δφ(x)δφ(y) φ=ϕ̄
SBJ
(239)
O campo ϕ̄ é escolhido de forma a minimizar a ação SBJ ; portanto, a parcela linear em
φ0 (x) é nula, pois a derivada funcional é nula. Com isso, podemos separar o funcional W [J] em
duas partes:
iW [J]
e
Z
=
Z
=
= e
J
Dφ eiSB
√
Dφ eiSB (ϕ̄+1/
J
J (ϕ̄)
iSB
Z
Dφ e
≡ eiW0 [J] eiW
0 [J]
i
2N
N φ0 )
R
J
δ 2 SB
dD xdD y φ0 (x) δφ(x)δφ(y)
φ0 (y)+...
φ=ϕ̄
,
(240)
com W0 [J] correspondendo à parte de W [J] que sobrevive a uma aproximação onde N → ∞,
ou aproximação de campo médio
W0 [J] = SBJ (ϕ̄)
(241)
e W 0 [J] correspondendo aos termos de ordens superiores da expansão 1/N
W 0 [J] = −i ln
Z
Dφ e
i
2N
R
J
δ 2 SB
dD xdD y φ0 (x) δφ(x)δφ(y)
φ=ϕ̄
φ0 (y)+...
!
.
(242)
82
APÊNDICE B – Cálculo do traço da equação (110)
Podemos escrever a relação
Z
µ
Tr ln (iγ ∂µ + σ) =
Z
=
dD x tr hx| ln (iγ µ ∂µ + σ) |xi
dD x hx| ln detDirac (iγ µ ∂µ + σ) |xi ,
(243)
onde “detDirac ” é o determinante sobre os índices de Dirac (matrizes 4×4). Podemos reescrever
o termo da direita de (243) como uma integração no espaço de momentos:
Z
tr
D
Z
µ
d x hx| ln (iγ ∂µ + σ) |xi = tr
dD xdD pdD p0 hx|pi hp| ln (iγ µ ∂µ + σ) |p0 i hp0 |xi
0
e−i(p−p )·x
= tr d xd pd p
ln(−γ µ pµ + σ) δ D (p − p0 )
D
(2π)
Z
D
d p
ln(−γ µ pµ + σ)
= tr dD x
(2π)D
Z
Z
dD p
D
d x
=
tr ln(−γ µ pµ + σ)
(2π)D
Z
Z
dD p
D
d x
=
ln detDirac (−γ µ pµ + σ) ,
(244)
D
(2π)
Z
D
D
D 0
onde utilizamos hp| (iγ µ ∂µ + σ) |p0 i = (−γ µ pµ + a · ϕ̄)δ D (p − p0 ) e, como G−1 (σ) = iγ µ ∂µ + σ
é diagonal na base de momentos, hp| ln G−1 (σ) |p0 i = ln hp| G−1 (σ) |p0 i.
Vamos voltar nossa atenção para o cálculo do determinante detDirac (−γ µ pµ + σ). O
truque aqui é lembrar que a matriz γ5 é construída de modo que detDirac γ5 = 1 e utilizar a
propriedade dos determinantes det(AB) = (det A)(det B). Com isso, podemos escrever
detDirac (−iγ µ pµ + σ) = detDirac (γ5 )detDirac (−iγ µ pµ + σ) detDirac (γ5 )
= detDirac [γ5 (−iγ µ pµ + σ) γ5 ]
= detDirac (iγ µ ∂µ + σ) ,
(245)
onde usamos a propriedade de anti-comutação entre γ5 e γ µ . Portanto,
1
[ln detDirac (−iγ µ pµ + σ) + ln detDirac (iγ µ pµ + σ)]
2
1
=
ln [detDirac (−iγ µ pµ + σ) detDirac (iγ µ pµ + σ)]
2
1
=
ln detDirac −p2 + σ 2 14×4
2
(246)
= 2ln −p2 + σ 2
ln detDirac (−iγ µ pµ + σ) =
83
Na relação acima, utilizamos o anti-comutador {γ µ , γ ν } = 2g µν , detDirac (14×4 ) = 1 e a propriedade dos determinantes det(λA) = λn det A, onde λ é um número e n é o número de
linhas/colunas da matriz A.
84
APÊNDICE C – Níveis de Landau e autofunções
Consideremos a densidade de Lagrangiana de Dirac cujos férmions interajam com o
campo eletromagnético Aµ :
L = iψ̄γ µ (∂µ + ieAµ )ψ − mψ̄ψ , µ = 0, 1, 2.
(247)
Os campos ψ têm 4 componentes:
ψ=
ψ1
ψ2
!
, ψ1 =
ψ1+
ψ1−
!
, ψ2 =
ψ2+
ψ2−
!
.
(248)
Neste caso, podemos utilizar a seguinte representação das matrizes γ µ :
0
γ =
τ3 0
0 −τ 3
!
1
, γ =
!
iτ 1
0
0 −iτ 1
2
, γ =
iτ 2
0
0 −iτ 2
!
.
(249)
A equação de Euler-Lagrange para a densidade de Lagrangiana (247) é
[iγ µ (∂µ + ieAµ ) − m] ψ = 0.
(250)
As equações de movimento em termos de ψ1 e ψ2 são
iτ 3 (∂t + ieA0 ) − τ 1 (∂x + ieA1 ) − τ 2 (∂y + ieA2 ) − m ψ1 = 0
3
iτ (∂t + ieA0 ) − τ 1 (∂x + ieA1 ) − τ 2 (∂y + ieA2 ) + m ψ2 = 0.
(251)
As formas das duas equações acima são idênticas, a menos do sinal contrário no termo
de massa m. Portanto, vamos analisar somente a solução de ψ1 . Primeiro, vamos fixar um gauge
do tipo A = (0, 0, B⊥ x) (a escolha do gauge não influencia nos resultados físicos) e encontrar
as equações para as componentes do espinor ψ1 , da equação (251):
(i∂t − m) ψ1+ + (−∂x + i∂y − eB⊥ x) ψ1− = 0
(−∂x − i∂y + eB⊥ x) ψ1+ − (i∂t + m) ψ1− = 0.
(252)
Podemos notar que a solução será da forma de ondas planas em t e y, ou seja,
0
ψ1± ∝ e−iEt+ipy ψ1± (x) ,
(253)
85
e, substituindo em (252), obtemos:
0
0
(E − m)ψ1+ (x̄) − (∂x̄ + eB⊥ x̄) ψ1− (x̄) = 0
0
0
(∂x̄ − eB⊥ x̄) ψ1+ (x̄) + (E + m)ψ1− (x̄) = 0 ,
(254)
com
x̄ ≡ x −
p
.
eB⊥
(255)
Podemos desacoplar as equações em (254), notando que:
0
0
0
0
2 2 +0
(∂x̄ + eB⊥ x̄) (∂x̄ − eB⊥ x̄) ψ1+ (x̄) = ∂x̄2 ψ1+ − eB⊥ ∂x̄ x̄ψ1+ + eB⊥ x̄∂x̄ ψ1+ − e2 B⊥
x̄ ψ1
0
2 2
(256)
x̄ − eB⊥ ψ1+ .
= ∂x̄2 − e2 B⊥
Logo, aplicando
(∂x̄ − eB⊥ x̄) e (∂x̄ + eB⊥ x̄)
(257)
em cada uma das equações (254), respectivamente, obtemos
0
2 2
∂x̄2 − e2 B⊥
x̄ + E 2 − m2 − eB⊥ ψ1+ (x̄) = 0
0
2 2
∂x̄2 − e2 B⊥
x̄ + E 2 − m2 + eB⊥ ψ1− (x̄) = 0 ,
(258)
que têm a forma
∂2
− ξ 2 f (ξ) + a± f (ξ) = 0 ,
∂ξ 2
(259)
com a definição
ξ≡
p
E 2 − m2 ± eB⊥
eB⊥ x̄ e a± ≡
.
eB⊥
(260)
As soluções e propriedades desta equação são bem conhecidas (ARFKEN; WEBER,
2005; GRADSHTEYN; RYZHIK, 2007) e, portanto, podemos escrevê-las como (DAS, 1997;
86
VSHIVTSEV; KLIMENKO; MAGNITSKY, 1996):

q
En ±m
I (x)
4πEn n,p
 q

n ∓m
In−1,p (x)
 ± E4πE
±
n
(x, y, t) = e∓iEn t+ipy 
ψ1np

0

0




±
(x, y, t) = e∓iEn t+ipy 
ψ2np


0
0
q
En ∓m
I (x)
4πEn n,p
q
n ±m
± E4πE
In−1,p (x)
n











.


(261)
Nas últimas equações, definimos
1
ξ2
eB 4
In,p (x) = p ⊥√ e− 2 Hn (ξ) ,
2n n! π
(262)
√
com Hn (ξ) sendo os polinômios de Hermite, I−1,p (x) ≡ 0 e En = m2 + 2eB⊥ n, com eB⊥ >
0, são os níveis quânticos de Landau. Uma propriedade interessante da função In,p (x) é
Z
dx
2
In,p
(x)
1
=
eB⊥
Z
2
dp In,p
(x) = 1.
(263)
87
APÊNDICE D – Cálculos relativos à função zeta de Riemman generalizada
A função zeta de Riemman generalizada é definida por
1
ζ (z, q) =
Γ(z)
∞
∞ z−1 −qt
Z
X
t e
1
dt
=
,
−t
1−e
(n + q)z
n=0
0
(264)
para z > 1. Queremos, primeiramente, uma relação entre a integral
∞
Z
dα
α
0
3
2
2
e−ασ coth(eB⊥ α)
(265)
e a função zeta de Riemman. A integral acima tem a forma
∞
Z
ds sµ−1 e−βs coth s.
I=
(266)
0
Portanto, partindo da equação acima, temos:
∞
es + e−s
coth s =
ds sµ−1 e−βs s
e − e−s
Z0 ∞
Z ∞0
−βs
−βs −2s
e
e e
=
ds sµ−1
+
ds sµ−1
.
−2s
1−e
1 − e−2s
0
0
Z
∞
µ−1 −βs
I =
ds s
Z
e
(267)
Fazendo a mudança de variável s → 2s, temos
Z ∞
β
−( β2 +1)s
e− 2 s
−µ
µ−1 e
I = 2
ds s
+2
ds s
1 − e−s
1 − e−s
0
0
β
β
= 2−µ ζ µ,
Γ(µ) + ζ µ, + 1 Γ(µ) .
2
2
−µ
Z
∞
µ−1
(268)
Agora, podemos aproveitar e encontrar uma propriedade importante da função zeta, que
é utilizada algumas vezes neste trabalho. Sabemos que
ζ (z, q) =
∞
X
n=0
∞
X
1
1
1
1
=
+
+
z
z
z
(n + q)
q
(q + 1)
(n + q)z
n=2
(269)
e
ζ (z, q + 1) =
∞
X
n=0
1
(n + q + 1)z
∞
X
1
1
=
+
z
(q + 1)
(n + q + 1)z
n=1
∞
X
1
1
=
+
,
z
(q + 1)
(n + q)z
n=2
(270)
88
fazendo n → n + 1. Subtraindo as duas últimas equações, encontramos a propriedade
ζ (z, q + 1) = ζ (z, q) −
1
.
qz
(271)
Logo, aplicando esta propriedade em (268), encontramos
1−µ
I = Γ(µ) + 2
β
ζ µ,
2
−β
−µ
.
(272)
Através de uma continuação analítica para o caso µ = −1/2, podemos encontrar a
equação (174).