Na figura, um fio reto de comprimento L transporta

UESPI – Campus Prof. Alexandre Alves de Oliveira
Disciplina: Física 2 – 90h
Curso: Bach. em Ciência da Computação
Prof. Olímpio Sá
Aluno:
Bloco: 4
Data: 09/04/2014
Solução da segunda lista de exercícios
Questão 01: Na figura, um fio reto de comprimento L transporta uma corrente i. Obter:
a) O campo magnético B produzido por este segmento em P1, a uma distância R do segmento ao
longo da bissetriz perpendicular ao mesmo;
b) O campo magnético B produzido por este segmento em P2, a uma distância perpendicular R de
uma das extremidades do fio;
c) O campo magnético B produzido em um ponto distante R do fio para o caso em que L  .
P1
y
θ

s
R
x
i

dl
x
Resposta.
O elemento infinitesimal dl produz em P1 um campo infinitesimal dB dado por:

  i d l  sˆ  i d l ( xˆ )  ( sen  xˆ  cos  yˆ )  i d l cos 
0
dB 
 0
 0
( zˆ) .
2
2
4
4
4
s
s
s2
(1)
Pela figura acima, temos que dl  dx e:
tan ( ) 
(  x)
R
 x  R tan
 dx 
R
cos2 
d .
(2)
Além disso:
s 2  R 2  x 2  R 2 (1  tan2  ) 
R2
cos2 
.
(3)
Substituindo ( 3 ) e ( 2 ) em ( 1 ), encontramos:
  i
dB  0
4
 cos2 

 R2

 R

  cos2 

 i

 cos d ( zˆ)  0 cos d ( zˆ) .
4
R

(4)
Encontrar o campo magnético B produzido pelo segmento de comprimento em qualquer ponto do
espaço, corresponde a variar  desde ( 1) até  2 correspondentes. Assim, de uma forma geral, o
campo será:
  i
B 0
4 R
2

(
cos d ( zˆ ) 
1)


0 i
sen 2  sen  1 ( zˆ ) .
4 R
(5)
a) Pela figura, achar o valor do campo magnético B em P1 significa fazermos  1   2 e
sen 1  sen 2 
L2
( L 2) 2  R 2
L

na equação ( 5 ). Portanto:
L2  4 R 2


  i
 i
B  0 2 sen  1 ( zˆ )  0
4 R
2 R
L
L2  4 R 2
( zˆ ) .
(6)
b) Neste caso, a variação de  na equação ( 5 ) será desde  1 até  2  0 . Além disso,
sen 1 
L
L2  R 2
. Assim:
  i
 i
B  0 sen  1 ( zˆ)  0
4 R
4 R
L
L2  R 2
( zˆ ) .
(7)
 
c) Neste caso,  1   1    . Substituindo na equação ( 5 ):
2
  i
B 0
4 R

0 i
 
  
sen    sen   ( zˆ ) 
.
2 R
2
 2 

(8)
Questão 02: O fio de resistividade 1 mostrado na figura transporta uma corrente i. Qual é o campo
magnético uniforme B no centro do semicírculo produzido (utilize o sistema referencial dado):
a) Por cada segmento reto de comprimento L (justificar);
b) Pelo segmento semicircular de raio R;
c) Pelo fio inteiro;
d) Se completarmos o arco com um fio de resistividade 2 = 2 1 e de mesma área transversal, qual
será o valor do novo campo B em C? (o item d não é assunto para a primeira avaliação)
y
R
i
L
C
i
L
x
Resposta.
Sejam I, II e III, a barra da esquerda, o arco e a barra da direita, respectivamente.
a) Um elemento infinitesimal dl da barra gera em C um campo magnético dado por:

  i dl  s
0
dB 
.
4 s 3
(1)
 

No entanto, nas duas barras dl // s  contribuição nula para B , ou seja:


BI  BIII  0 .

(2)


b) No segmento curvo, dl  s e s  R :

 i dl
dB   0
( zˆ) .
4 R 2
(3)
Integrando ao longo do comprimento do semicírculo, temos:

 i
B 0 2
4 R
R
0 i
 dl ( zˆ)   4R
( zˆ) .
(4)
0
c) No fio inteiro, o campo magnético total será a soma dos campos individuais. Assim:
 



 i
B  BI  BII  BIII  BIII   0 ( zˆ)
(5)
4R
d) Se completarmos o arco com um fio de resistividade 2 = 2 1 e de mesma área transversal, a
razão entre as resistências dos fios será:
R2
R1

2 ( L 2 A2 )
1 ( L1 A1 )

2
 2  R 2  2 R1
1
(6)
 i1  2 i 2
Utilizando a equação ( 6 ) e a lei de Kirchoff para os nós, temos:
i  i1  i 2  3i 2
 i2 
i
3
(7)
Substituindo ( 7 ) em ( 6 ):
i1  2i 2 
2
i
3
(8)
Substituindo ( 7 ) e ( 8 ) em ( 4 ), encontramos os campos magnéticos em C devido aos dois fios:

 0 i1
 i
B i1  
( zˆ)   0 ( zˆ)
4R
6R
(9)

0 i 2
 i
 i
Bi2 
( zˆ)  0 ( zˆ)  0 ( zˆ)
4R
12R
12R
( 10 )
E o campo total em C será:



 i
 i
 i
B T  B i 1  B i 2   0 ( zˆ)  0 ( zˆ)   0 ( zˆ)
6R
12R
12R
( 11 )
Questão 03: Um comprimento de fio é conformado em um círculo fechado com raios R1 e R2, como
mostrado na figura, e transporta uma corrente i.
a) Quais são a intensidade, a direção e o sentido de B, no ponto C;
b) Determine o momento de dipolo magnético do circuito.
Resposta.
Um elemento infinitesimal de comprimento dl percorrido por uma corrente i gera em seu entorno um
campo magnético dB dado por:

  0 i dl  sˆ
dB 
.
4
s2
(1)

a) Nos trechos AH e JD, dl // sˆ , e a contribuição desses para o campo magnético em C é nula.
Portanto, O campo magnético nesse ponto deve-se somente aos trechos HJ e DA. No trecho HJ temos


que dl  sˆ  dl  sˆ  dl . Assim:

 0 i dl
dB1 
( zˆ ) .
4 R12
(2)
Integrando por todo o comprimento de arco HJ:

0 i
B1 
4 R12
 R1

0
De maneira análoga, no trecho DA, temos:
dl ( zˆ )  
0 i
4 R1
( zˆ) .
(3)
 R2

0 i
B2 
4 R 22

dl ( zˆ ) 
0
0 i
( zˆ ) .
4R2
(4)
E o campo magnético total em C será:

0 i
B(C ) 
4
 1
 0 i ( R1  R 2 )
1 


( zˆ ) 
( zˆ) .
 R 2 R1 
4 R1R 2


(5)
b) O momento de dipolo magnético μ proporcionado por uma espira é dado por:

  N i A nˆ .
(6)
Como temos duas semi-espiras de raios diferentes, o momento de dipolo magnético em C será a soma
vetorial dos momentos individuais. Assim:
 R 2 
 R 2 
i
2 
 1 ˆ

  1   2   i 
zi
zˆ 
R 22  R12 zˆ .


2
 2 
 2 









(7)
Questão 04: Um tubo circular longo, com raio externo R, transporta a corrente i (uniformemente
distribuída) para fora da página. Um fio de raio muito menor que R, passa paralelo ao tubo a uma
distância de 3R, de centro a centro (ver figura). Determine:
a) O vetor campo magnético (intensidade, direção e sentido) produzido pelo tubo no ponto P, situado
a uma distância R do fio, ao longo da linha que une o fio ao centro do tubo;
b) A intensidade e o sentido da corrente elétrica no fio para que seja nulo o campo magnético
resultante no ponto P;
c) O vetor campo magnético resultante (intensidade, direção e sentido) no centro do tubo;
d) Assumindo que a corrente no fio é igual a ifio, obtida anteriormente no item (b), calcule o vetor
força F por unidade de comprimento do fio.
y
x
z
R
P
Fio
Cano
R
R
Resposta.
a) Se considerarmos uma superfície amperiana concêntrica com o cano, passando pelo ponto P,
pela lei de Ampère, temos:

 
B  d s  0 i C .
(1)


Onde i C é a corrente que passa pelo cano. Como B e d s têm mesma direção e sentido:
B (2 r )  0 i C
 B
0 i C
2 (2 R)

0 i C
(2)
4 R
O campo magnético em P terá direção vertical e sentido positivo de y, de acordo com a figura.
b) De maneira análoga, se considerarmos uma superfície amperiana concêntrica com o fio,
passando pelo ponto P, pela lei de Ampère, temos:


 
B  d s  0 i F .
(3)

Como B e d s têm mesma direção e sentido:
B (2 r )  0 i F
 B
0 i F
2 R

0 i F
(4)
2 R
Para que o campo magnético resultante em P seja nulo, o vetor campo magnético gerado pelo fio deve
ter sentido oposto ao campo magnético gerado pelo cano, ou seja, a corrente no fio deve ter mesma
direção e sentido que a corrente no cano. Já o seu módulo será tal que:
0 i C
4 R

0 i F
2 R
 iF 
iC
2

i
2
(5)
c) No centro do tubo, o campo magnético resultante corresponde ao campo magnético gerado
apenas pelo fio (qualquer curva amperiana concêntrica com o cano, cujo raio é menor que o
raio interno do cano terá i env  0 ). Assim, da equação ( 4 ):
B
0 i F
2 (3R)

0 i F
(6)
6 R
Direção: vertical;
Sentido: negativo de y.

d) O elemento infinitesimal de força propiciado pelo fio d F Fio é tal que:

  i
i
d F Fio  i F dL  B  dL( zˆ)  B ( yˆ )  dL B ( xˆ )
2
2
(7)
Integrando ao longo do comprimento L do fio, o vetor força por unidade de comprimento será:

F Fio
L

i
B ( xˆ )
2
(8)
Questão 05: A figura abaixo mostra um cilindro condutor longo de raio R, percorrido por uma
corrente de densidade uniforme J0, apontando para dentro da página. Nele existe uma cavidade
também cilíndrica, de raio a, cujo eixo dista b do eixo do cilindro. Considerando-se que o eixo do
cilindro é paralelo ao eixo z, calcule o vetor campo magnético B:
a) No centro do cilindro;
b) No centro da cavidade;
c) Em x = 2R.
y
R
Para dentro
a
x
b
Resposta.
Consideremos o cilindro maciço (sem cavidade) de raio R. Pela lei de Ampère, para uma superfície
amperiana de raio r1, concêntrica com o cilindro, teremos:

 
B  d s  0 i env .
(1)
Onde i env é a corrente envolvida pela região amperiana. Como a distribuição de corrente é uniforme,
devemos ter:
i
R 2



i env
r2
 r2 
 i env  i  2  .
R 


(2)
Sabendo que B e d s têm mesma direção e sentido e substituindo ( 2 ) em ( 1 ), temos:
 r2 
  i 
B (2 r )  0 i  2   B   0 2  r .
 2 R 
R 




(3)
A densidade de corrente J 0 no cilindro condutor é dada por:
J0 
i
i

.
2
A  (R  a 2 )
(4)
Pelo princípio da superposição de campos magnéticos, o campo magnético num ponto qualquer do
espaço será a soma dos campos devido a duas distribuições de corrente. O primeiro devido ao sólido
cilíndrico (sem cavidade), com densidade de corrente dada pela equação ( 4 ) e o segundo campo
devido ao sólido cilíndrico que preenche a cavidade, cuja densidade de corrente tem mesma
magnitude, porém, sentido oposto à do cilindro condutor. Se essas duas situações são superpostas, a
corrente total na região da cavidade é zero.
Dessa forma, as correntes no condutor i1 e na cavidade i 2 são:
i1  J 0 A1 
i 2  J 0 A2 
iR2
(R 2  a 2 )
ia2
(R 2  a 2 )
.
(5)
.
(6)
O campo magnético (devido ao condutor) num ponto interno do condutor, distante r1 do seu centro
será:
B1 
0 r1
2 R
2
iR2
(R  a )
2
2

0 i r1
2 ( R 2  a 2 )
.
(7)
De maneira similar, o campo magnético (devido à cavidade) num ponto interno da cavidade, distante
r 2 do seu centro será:
B2 
0 r2
ia2
2 a
(R  a )
2
2
2

0 i r 2
2 ( R 2  a 2 )
.
(8)
a) O campo magnético no centro do condutor é devido somente à contribuição da cavidade.
Aplicando a lei de Ampère sobre uma superfície amperiana centrada em x=b e de raio r2=b,
temos:
B 2 b   0 i 2

 i
a2
 B(0,0)   0
( yˆ ) .
2 b ( R 2  a 2 )
(9)
b) O campo magnético no centro da cavidade corresponde ao campo magnético devido somente
ao condutor ( r2  0  B 2  0 ). Assim da equação ( 7 ):

B(b,0)  
0 i b
2 ( R 2  a 2 )
( yˆ ) .
( 10 )
c) O campo magnético em x  2R é tal que:



 0 i1
0 i 2
B (2 R,0)  B1  B 2 
( yˆ ) 
( yˆ )
4 R
2 (2 R  b)
( 11 )
Substituindo em ( 11 ) os valores de i1 e i 2 dados pelas equações ( 5 ) e ( 6 ), temos:

B (2 R,0) 
0 i
 a2
R

  ( yˆ )
2
2 
2 ( R  a )  (2 R  b) 2 
( 12 )