Gabarito da 4 Lista de Cálculo 2 - Turma G - 1o/2015

Universidade de Brası́lia
Departamento de Matemática
Gabarito da 4a Lista de Cálculo 2 - Turma G - 1o/2015
1. Determinar quais séries convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem
∞
X
ln(n)
converge condicionalmente
a)
(−1)n
n
n=2
∞
X
ln(n)
b)
(−1)n c , converge absolutamente se c > 1 e converge condicionalmente se 0 < c ≤ 1
n
n=2
∞
X
n
diverge
c)
(−1)n
ln(n)
n=2
∞
X
n
d)
(−1)n
diverge
n+1
n=2
∞
X
n
(−1)n 2
e)
converge condicionalmente
n
+
1
n=2
∞
X
n
(−1)n √
f)
converge condicionalmente
n n+2
n=2
∞
X
cos(n)
converge absolutamente
g)
n3
n=2
∞
X
cos3 (n)
h)
(−1)n
converge absolutamente
3
n
n=2
∞
X
1
i)
(−1)n ln( ) diverge
n
n=2
∞
X
1
j)
(−1)n
diverge
2
+
1/n
n=2
∞
X
√
(−1)n ln( n n) converge condicionalmente
l)
n=2
2. Determine se a afirmação for verdadeira ou falsa; se for falsa explique porque ou dê um
exemplo que prove sua falsidade. Se for verdadeira explique porque.
a) Toda série condicionalmente convergente é convergente. Verdadeiro
b) Toda série absolutamente convergente é convergente. Verdadeiro
c) Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente. Falso,
P
(−1)n
d) Toda série convergente é absolutamente convergente. Falso, ∞
n=1
n
P∞
P∞
P∞
e) Se as séries
n=1 un e
n=1 vn divergem então
n=1 un + vn diverge.
P∞
P
n
n
(−1)
(−1)
e ∞
−1
n=1 1 +
n=1
n
n
1
P∞
n=1
(−1)n
n2
Falso,
P∞
n
u
converge
condicionalmente.
Falso,
n
n=1
n=1 (−1)
P
g) Suponha un > 0, ∀n ≥ N , e que ∞
n=1 un converge. Então a série converge condicionalf) Se
P∞
n=1 |un | diverge então
P∞
mente.
Falso, a série converge absolutamente
P
n
h) Toda série alternada converge. Falso, ∞
n=1 (−1)
P
P∞
i) Se 0 ≤ un ≤ vn para todo n a partir de um ı́ndice e se ∞
n=1 vn diverge, então
n=1 un
P∞ 1 P∞ 1
diverge. Falso, n=1 n2 e n=1 n
P
P∞
P
(−1)n
j) Se ∞
Falso, ∞
n=1 |un | diverge então
n=1 un diverge.
n=1
n
P∞
P∞
n
k) Se bn > 0 e n=1 bn converge então n=1 (−1) bn converge. Verdadeiro
P
< 1 e lim un = 0 então a série ∞
l) Se un > 0 e lim uun+1
n=1 un converge condicionalmente .
n
Falso, converge absolutamente
2