Departamento de F´ısica da Universidade de Coimbra

Departamento de Fı́sica da Universidade de Coimbra
Problemas de Electromagnetismo II
Folha 3 - Dieléctricos
1. Uma amostra de diamante tem uma densidade de 3.5×103 Kg/m3 e uma polarização de 10−7 C/m2 . Calcule o momento dipolar médio por átomo de
carbono. Qual é a separação média entre os centros de carga positiva e negativa? O núcleo de carbono tem uma carga de +6e rodeada por 6 electrões. O
diâmetro do átomo é da ordem de 10−10 m.
2. Uma placa de uma dado material dielétrico tem faces paralelas. Uma das faces
está sobre o plano xy e a outra sobre o plano z = h. O material tem uma
polarização não uniforme P = P (1 + αz)k̂ onde P e α são constantes. Calcule
as densidades de carga ligada superficial e volumétrica. Verifique que a carga
ligada total num cilindro de secção A cujo eixo paralelo ao eixo dos zz é nula.
’
3. Uma esfera dieléctrica de raio R e permitividade relativa r tem uma carga
pontual no seu centro.
Calcule o vector deslocamento e o vector campo eléctrico em todo o espaço.
Calcule a carga total de polarização.
4. Considere a seguinte distribuição de densidade de momento dipolar
P = P0 (1 − r2 /a2 )k̂ para r < a e − b/2 < z < b/2
P = 0
no resto do espaço.
a) Calcule a correspondente distribuição de carga de polarização;
b) Calcule ∇ × P, mostre que o módulo desse vector é apenas função de r
e que, em cada ponto, esse vector é perpendicular ao plano que contém
o ponto considerado e o eixo dos zz.
Trace as linhas de campo de ∇ × P.
5. No espaço compreendido entre duas superfı́cies metálicas esféricas e concêntricas
encontra-se um dieléctrico com permitividade relativa r = r/a. As superfı́cies
interior e exterior do dieléctrico têm raios a e b respectivamente. Existe uma
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carga livre Q na superfı́cie metálica interior e a armadura exterior está ligada
à Terra. Calcule:
a) O vector deslocamento D em todo o espaço;
b) A densidade de carga livre em r = a e r = b;
c) A densidade de carga de polarização no interior do dieléctrico;
d) A carga total de polarização no dieléctrico.
6. Uma coroa esférica, de raio interno a e raio externo b, é feita de material
dieléctrico e tem uma densidade de momento dipolar da forma:
P=
k
r̂
r
sendo k uma constante e r a distância ao centro. Não há cargas livres.
a) Calcule o campo eléctrico E em todo o espaço por dois processos diferentes:
i) Determine todas as densidades de carga ligada e, usando a lei de
Gauss, calcule o campo E que elas produzem.
ii) Calcule o vector deslocamento D e a partir daı́ calule E.
b) Considere agora um arranjo semelhante ao anterior, mas em que há
uma carga Q no centro da esfera e o vector polarização no interior do
dieléctrico, de permitividade relativa r , se deve apenas à presença dessa
carga. Repita o cálculo indicada na alı́nea ii) para esta situação e compare
os resultados.
c) Calcule a densidade de energia electrostática no interior do dieléctrico
nas situações a) e b) .
7. Considere dois dieléctricos lineares, de constantes dieléctricas 1 e 2 respectivamente. Admitindo que 1 e 2 são constantes, mostre que o campo eléctrico
é refractado na superfı́cie, verificando-se a relação:
2
tan θ2
= ,
tan θ1
1
~ 1 (E
~ 2 ) faz com a normal à
sendo θ1 (θ2 ) o ângulo que o campo eléctrico E
superfı́cie de separação dos dois dieléctricos.
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8. O espaço entre as placas de um condensador plano é preenchido com um
material dieléctrico cuja permitividade varia linearmente desde 1 numa placa
até 2 < 1 na outra. As placas são dois discos circulares de área A, estão
carregados com a carga Q e encontram-se a uma pequena distância d uma da
outra.
a) Calcule a capacidade do condensador assim constituı́do;
b) Obtenha as distribuições de carga induzidas no dieléctrico;
c) Verifique que a carga total de polarização é nula e interprete fisicamente
este resultado.
9. Um condensador plano com placas condutoras em x = 0 e x = d está preenchido
com material dieléctrico cuja permitividade relativa varia de acordo com a expressão r = 2d / (x + d).
Aplica-se uma d.d.p. V0 entre as suas placas. Considerando desprezáveis os
efeitos dos bordos, calcule:
a) Os campos E, D e P entre as placas. Represente esses campos;
b) As distribuições de carga livres e de polarização;
c) A capacidade do condensador.
10. Calcular o campo criado por uma esfera de um material dielétrico uniformemente polarizada. Considere a soma dos campos produzidos por duas distribuições esféricas de carga de densidades ρ e −ρ deslocadas de uma distância
s, uma relativamente à outra, sendo s a distância entre os centros de carga das
moléculas individuais. Então P = ρs k̂. Mostre que no interior E = −P/30 e
que no exterior, V e E são o potencial e o campo que seriam criados por um
momento dipolar Pv situado no centro da esfera de volume v.