Quest˜ao 1 - DME

UFRJ - IM - Departamento de Métodos Estatı́sticos
Gabarito da terceira lista de exercı́cios de processos estocásticos
Questão 1
Item A
O espaço de estados é dado por:
φ = {0, 1, 2}
Temos as seguintes probabilidades de transição:
P (0, 1) = 1, uma bola preta com certeza será selecionada da urna 1, e uma bola branca da urna 2,
P (0, 0) = 0,
P (0, 2) = 0,
P (1, 0) = (1/2)(1/2) = 1/4, uma bola branca é selecionada da urna 1 e uma bola preta da urna 2,
P (1, 1) = (1/3)(1/3) + (1/3)(1/3) = 2/4, seleciono bolas branca das duas urnas, ou seleciono bolas pretas,
P (1, 2) = (1/2)(1/2) = 1/4, seleciono uma bola preta da urna 1 e uma branca da urna 2,
P (2, 1) = 1, pois uma bola branca com certeza será selecionada da urna 1, e uma bola preta da urna 2,
P (2, 0) = 0,
P (2, 2) = 0.
Logo, a matriz de transição é dada por:


0
1
0



P =  0.25 0.5 0.25 

0
1
0
Item b
P (X3 = 1, X2 = 1, X1 = 1|X0 = 0) = P (X3 = 1|X2 = 1)P (X2 = 1|X1 = 1)P (X1 = 1|X0 = 0)
= P (1, 1)P (1, 1)P (0, 1) = (0.5)(0.5)1 = 0.25
Item C
(P (X2 = 0), P (X2 = 1), P (X2 = 2)) = π0 P 2



0
1
0
0
1
0






= (0.2, 0.3, 0.5)  0.25 0.5 0.25   0.25 0.5 0.25 

0
1
0
0
1
0


0.25 0.5 0.25



= (0.2, 0.3, 0.5)  0.125 0.75 0.125 
 = (0.2125, 0.575, 0.2125)
0.25 0.5 0.25
1
Questão 2
Se Xn = 0 ⇒ Xn+1 = ξn+1


Se Xn ≥ 1 ⇒ 


P (x, y) = 
P (Xn+1 = Xn + ξn+1 − 1) = p
P (Xn+1 = Xn + ξn+1 )
= 1−p
f (y)
, x=0
p(f (y − x + 1) + (1 − p)f (y − x) , x ≥ 1
Questão 3
Item A
P0 (T0 = n) =


P (0, 1)P (1, 1)n−2 P (1, 0) = pq(1 − q)n−2 , n > 1
 P (0, 0) = (1 − p)
, n=1
Item B
P0 (T1 = n) = P (0, 0)n−1 P (0, 1) = (1 − p)n−1 p
, n≥1
Questão 4
P (X0 = x0 |X1 = x1 , . . . , Xn = xn ) =
P (X0 =x0 ,X1 =x1 ,...,Xn =xn )
P (X1 =x1 ,...,Xn =xn )
=
P (Xn =xn |Xn−1 =xn−1 )...P (X2 =x2 |X1 =x1 )P (X1 =x1 |X0 =x0 )P (X0 =x0 )
P (Xn =xn |Xn−1 =xn−1 )...P (X2 =x2 |X1 =x1 )P (X1 =x1 )
=
P (X1 =x1 |X0 =x0 )P (X0 =x0 )
P (X1 =x1 )
= P (X0 = x0 |X1 = x1 )
Questão 5
Item A
Suponha que dois dos estados sejam iguais, ou seja, ∃xk , xl tq xk = xl
P (x, x1 )P (x1 , x2 ) . . . P (xk , xk+1 ) . . . P (xl , xl+1 ) . . . P (xn0 −1 , y) > 0
Como xk = xl temos:
P (x, x1 )P (x1 , x2 ) . . . P (xk , xl+1 ) . . . P (xn0 −1 , y) > 0
2
k < l, onde:
Ou seja, P no −l+k (x, y) > 0, mas (n0 + k − l) < n0 , pois l > k. Contradição!
Item B
Como n0 é o menor inteiro tal que:P (x, x1 )P (x1 , x2 ) . . . P (xn0 −1 , y) > 0, a maior cadeia
possı́vel é aquela que passa por todos os estados possı́veis, os d estados, apenas uma vez. Ela
não pode repetir estados, como foi visto no ”item A”. Sendo assim, a maior cadeia possı́vel
terá d-1 transições, não sendo possı́vel n0 ≥ d.
Item C
Pelo ”item B”,
n0 ≥ d − 1, ou seja, ∃n0 ≥ tq P n0 (x, y) > 0 ⇒ Px (Ty = n0 ) > 0
Como Px (Ty = n0 ) ⊆ Px (Ty ≤ d − 1) ⇒ Px (Ty ≤ d − 1) > 0
3