A equação de Dirac aplicada ao grafeno

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A equação de Dirac aplicada ao Grafeno
Márcio de Moura Cunha1 ; Carlos Alberto de Lima Ribeiro2
1.Bolsista de Iniciação Científica do CNPQ, Graduando em Bacharelado em Física.
2.Orientador, Departamento de Física, Universidade Estadual de Feira de Santana.
PALAVRAS-CHAVE: Equação de Dirac, Grafeno, Defeitos topológicos.
INTRODUÇÃO
No mundo atual, a busca por inovação e aperfeiçoamento tecnológico tem sido de
grande motivação na busca por novos materiais. A física da matéria condensada
(KITTEL1986), por exemplo, estuda diversos materiais sob o ponto de vista de suas
propriedades físicas, bem como possíveis aplicações. Neste cenário, um caso
particular é o material conhecido como grafeno, sintetizado pela primeira vez em 2004
(NOVOSELOV,2004) e muito interessante sob diversos aspectos. Nesse trabalho,
estudamos como aplicar a equação de Dirac, uma equação de onda relativística para o
elétron (SAKURAI,1967), na descrição dos portadores de carga neste material. Para
isso, inicialmente nos preocuparemos com os pilares da teoria quântica relativística,
para então prosseguir na aplicação ao referido material.
DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC E ALGUNS ASPECTOS FORMAIS
A mecânica quântica desenvolvida no início de século XX, descreve com precisão a
dinâmica de partículas na escala subatômica. No entanto, a equação de Schrödinger
(GRIFFITHS,1995), sua principal ferramenta, não se mantém invariante sob
transformações de Lorentz, e portanto, não está de acordo com a Teoria da
Relatividade Especial (TRE) de Einstein (WALECKA,2007).
Deste modo, começou-se uma busca por uma teoria relativística para partículas de spin
½ , como o elétron. A primeira tentativa veio com a equação de Klein-Gordon , mas
sem sucesso. A mecânica quântica utiliza uma interpretação estatística para a função
de onda, conhecida como interpretação de Born. Assim, a medida dos grandezas
físicas são feitas por meio de operadores, conhecidos como observáveis, que aplicados
à função de onda, nos retornam tais valores. Portanto, a noção de probabilidade deve
estar bem definida, isto é, esta deve ser positiva. A equação de Klein-Gordon
apresentou problemas em relação à definição de probabilidade.
A equação de Klein-Gordon é de segunda ordem na derivada temporal. Isto implica
que a probabilidade definida nesta teoria, pode ser negativa.
Com isso, se concentrou um esforço na obtenção de uma outra equação. O físico Paul
Dirac, particularmente , ao analisar este problema, se deu conta de que a equação
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procurada deveria ser de primeira ordem na derivada temporal, assim como a equação
de Schrödinger. Assim, ele partiu da relação para energia relativística
e obteve a seguinte equação:
Esta equação já corresponde a equação de Dirac. Agora, veremos como aplicá-la ao
grafeno.
APLICAÇÕES AO GRAFENO
O grafeno (KATSNELSON, 2007) consiste essencialmente de uma única camada de
átomos de carbono arranjados de forma hexagonal, como mostra a figura a seguir:
Fig1: Uma folha de átomos de carbono arranjados de forma hexagonal.
O grafeno apresenta uma relação de dispersão linear, isto é, a energia depende
linearmente do vetor de onda. A figura abaixo ilustra isto:
Fig.2: Estrutura de bandas do grafeno. Em vermelho, tem-se a banda de condução, em abaixo, em azul, a banda de valência. Elas
se tocam nos pontos K e K’, conhecidos como pontos de Dirac. Também se percebe o caráter linear da relação de dispersão
próximo à estes pontos. Quando uma partícula (elétron) migra da banda de valência para a de condução, surge um “buraco” na
banda de valência, que se comporta como uma partícula positiva (anti-partícula).
Dito isto, podemos ver como estabelecer a ponte entre a equação de Dirac e o
grafeno. Esta equação admite soluções para partícula livre, do tipo onda plana, que
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admitem soluções para partícula (elétron) e anti-partícula (pósitron), com o seguinte
valor (em módulo) de energia:
Portanto, se tomarmos a massa nula na expressão acima, também teremos uma
relação de dispersão linear. É exatamente isto que é feito na descrição dos portadores
de carga no grafeno. Estes se comportam como partículas e anti-partículas de Dirac,
mas com a massa nula. Isto é bem estabelecido teoricamente e experimentalmente.
Dito isto, é nosso interesse estudar a aplicação da equação em outra situação, isto
é,além de usar a equação de Dirac para estudar o grafeno “usual”, é possível ainda
estudar a aplicação desta ao grafeno na presença de defeitos topológicos. Tais defeitos
estão associados com algum tipo de quebra de simetria, e são muito importantes em
matéria condensada, porque a presença destes acarreta novas propriedades físicas. É
também nosso objetivo investigar estes aspectos. Anteriormente, escrevemos a
equação de Dirac no espaço plano. No entanto, é possível escrevê-la de maneira mais
geral, para um espaço arbitrário. Com o a idéia de formas diferenciais
(CARMO,1994), pode-se chegar a tal equação. No nosso trabalho, seguindo o
procedimento adotado em (FURTADO,2008), escrevemos a equação de Dirac para o
grafeno na presença de uma desclinação, que corresponde a uma quebra de simetria
rotacional. Assim, usamos o elemento de linha
Escrevemos a equação de Dirac para o grafeno da seguinte maneira, já considerando a
massa nula:
O termo
É conhecido como derivada covariante, que é um tipo de derivada que, além da
derivada usual, carrega um termo de conexão, que serve como uma correção para o
espaço curvo. Doravante, os índices gregos representarão espaço curvo, enquanto os
latinos, o espaço plano. Assim, as matrizes gama nos dois espaços se relacionam por:
Assim, as um-formas servem para conectar os dois sistemas de coordenadas.
Deste modo, após algumas manipulações podemos escrever a equação de Dirac
modificada para um meio com desclinação como
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Se tomarmos alfa igual a 1, teremos o caso da equação de Dirac em coordenadas
polares.
CONCLUSÕES
Neste trabalho, estudamos alguns aspectos referentes a formulação e aplicação da
equação de Dirac. Esta surge como uma busca de uma teoria relativística para o
mundo quântico. Vimos como pode ser feita uma analogia entre partículas sem massa
e os portadores de carga no grafeno, devido a expressão parecida para a energia.
Diante disto, verifica-se a importância do trabalho de Dirac para a Física contemporânea,
no sentido que sua equação de onda proporcionou uma imenso avanço nas concepções acerca
do mundo quântico, sendo que esta equação e, nos dias atuais, peça-chave para o estudo de
diversas áreas da Física, como em Teoria de Campos, sistemas da Matéria Condensada, etc.
Além disso, proporciona a investigação de sistemas em espaços curvos, o que pode nos
ajudar num possível caminho para um diálogo mais próximo entre a Mecânica Quântica e a
Relatividade Geral, por exemplo. Temos como perspectiva continuar nosso estudo sobre a
equação de Dirac, buscando uma maneira de inserir outros tipos de defeitos topológicos para
o grafeno, como deslocações, por exemplo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
KITTEL, C., Introduction to Solid State Physics, John Willey & Sons, (1986).
NOVOSELOV, K.S., et al., Eletric Field E_ect in Atomically Thin Carbons Films,
Science v.306 666 (2004).
SAKURAI, J. J. (Juan John). Advanced quantum mechanics. Reading, Mass:
Addison-Wesley, 1967. 336p (Addison-Wesley series in advanced physics ) ISBN 0201-06710-2 (broch.)
GRIFFITHS, D. J., Introduction to quantum mechanics, Prentice Hall, New Jersey,(
1995).
WALECKA, J. D., Introduction to General Relativity, World Scienti_c, 2007.
KATSNELSON,MIKHAIL. , Graphene: Carbons in two dimensions, Materials Today,
vol.10, No. 1-2 (2007).
CARMO, Manfredo Perdigao do. Di_erential forms and applications. Berlin:
Springer-Verlag, c1994.. 118p. ((Universitext)) ISBN 3-540-57618-5 : (Broch.)
FURTADO, C ; MORAES, F ; CARVALHO, A. M. D., Geometric phases in graphitic
cones. Physics Letters A, p. 5368, 2008.