sistema massa-mola oscilando na horizontal, com atrito

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA – IFSP
FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
MARCIA DAS NEVES 096008X
SISTEMA MASSA-MOLA OSCILANDO NA HORIZONTAL, COM ATRITO (Q.15)
Com a utilização do programa Modellus, é possível construir uma animação com uma partícula
representando o movimento da mola e os vetores força elástica Fel, força de atrito Fat e força resultante
Fr. Para isso na janela “modelo” você precisa inserir os modelos matemáticos de cada função, veja o
exemplo na figura 1:
Figura 1, modelos matemáticos, janela "modelo" no programa Modellus.
Após inserir os modelos matemáticos acionar a tecla “interpretar”, ir à janela “condições iniciais” para
inserir os dados de posição x, velocidade v, os parâmetros da constante elástica da mola k, da massa m e
do coeficiente de atrito b, referente aos três casos: sub-amortecido, caso 1, em preto; super-amortecido,
caso 2, em verde; e amortecimento-crítico, caso 3, em rosa. Ver exemplo na tabela 1.
Tabela 1, condições iniciais e parâmetros.
k
m
b
x
v
Caso 1
400.00
2.00
10.00
Caso 1
100.00
1.00
Caso 2
100.00
2.00
40.00
Caso 2
100.00
1.00
Caso 3
242.00
2.00
44.00
Caso 3
100.00
1.00
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ANIMAÇÕES, GRÁFICOS E ANÁLISES
Você poderá observar as animações e os respectivos gráficos de cada caso construído. Aqui estão
exemplos de três diferentes casos e algumas análises. Ver figuras 2, 3 e 4.
Sub-amortecido, em cor preta.
Figura 2, sub-amortecido.
Super-amortecido, em verde.
Figura 3, superamortecido.
Amortecimento-crítico, em rosa.
Figura 4, amortecimento crítico.
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Gráfico 1: posição x em função do tempo t, caso 1, caso 2 e caso 3.
SUB-AMORTECIDO
Sendo x0 o ponto de equilíbrio podemos verificar que o corpo representado pela cor preta se desloca
em torno desse ponto de equilíbrio. É possível verificar também que, por existir atrito, a cada oscilação a
amplitude do movimento diminui até que esse valor seja zero.
SUPER-AMORTECIDO
No caso super-amortecido há um movimento no sentido do equilíbrio porém como a intensidade da
força de atrito é grande em relação à força restauradora o corpo chega ao ponto de equilíbrio e não se
desloca mais. Observa-se que o tempo para atingir o equilíbrio nesse caso e no caso anterior é
praticamente o mesmo.
AMORTECIMENTO-CRÍTICO
No caso amortecimento crítico o corpo se desloca rapidamente até a posição de equilíbrio e pára.
Observa-se que o tempo para que a mola entre em repouso é muito menor que nos dois casos anteriores.
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Gráfico 2, velocidade v em função do tempo t, caso 1, caso 2 e caso 3.
SUB-AMORTECIDO
O corpo diminui sua velocidade até parar em uma das extremidades. Depois devido a uma força
restauradora ele aumenta sua velocidade até chegar na origem (ponto de equilíbrio) e volta a diminuir a
velocidade até parar novamente na outra extremidade. Note que no ponto de equilíbrio o valor da
velocidade será máximo. A cada oscilação, a velocidade máxima atingida na origem é menor do que a
velocidade máxima atingida na oscilação anterior devido à força de atrito, que também está agindo no
corpo.
SUPER-AMORTECIDO
Como a força de atrito é grande em relação à força restauradora observa-se que o corpo perde
velocidade com maior intensidade no início do movimento e depois essa diminuição da velocidade até o
repouso ocorre mais lentamente.
AMORTECIMENTO-CRÍTICO
Nesse caso o corpo ganha uma velocidade maior que no caso do super-amortecimento, mas perde essa
velocidade em um tempo muito menor.
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Gráfico 3, energia cinética Ec em função do tempo t, caso 1, caso 2 e caso 3.
Gráfico 4, energia potencial elástica Epel em função do tempo t, caso 1, caso 2 e caso 3.
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SUB-AMORTECIDO
O corpo inicia seu movimento com energia potencial máxima e vai transformando essa energia em
energia cinética até chegar à origem. Nesse ponto essa energia cinética é máxima. Ao chegar à origem o
corpo começa a transformar energia cinética em energia potencial elástica até atingir seu valor máximo
(na extremidade); como parte dessa energia se dissipa devido ao atrito seu valor agora é menor do que
quando partiu do repouso no estado inicial e assim essa variação ocorre até chegar ao repouso no ponto de
equilíbrio.
SUPER-AMORTECIDO
O corpo inicia o movimento com energia potencial elástica máxima e já nos primeiros instantes
começa a transformar essa energia em energia cinética, mas como a dissipação de energia é grande devido
ao atrito, após um pequeno intervalo de tempo o corpo passa a ter tanto a energia cinética quanto a
energia potencial elástica dissipada até que ambas sejam nulas.
AMORTECIMENTO-CRÍTICO
No amortecimento crítico a energia potencial elástica é máxima no ponto em que o corpo parte do
repouso e a energia cinética é zero. O corpo começa a transformar energia potencial elástica em energia
cinética. Observe que no gráfico, a partir de um determinado ponto, o corpo dissipa energia cinética e
também energia potencial elástica, até que ambas sejam nulas. E isso em um tempo muito menor que no
sistema super-amortecido.
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Gráfico 5, energia mecânica Emec em função do temo t, caso 1, caso 2 e caso 3.
Através do gráfico da energia mecânica é possível observar como a energia total que agia no corpo é
dissipada no tempo. No caso sub-amortecido e super-amortecido essa dissipação ocorre de forma mais
lenta, já no caso crítico essa dissipação ocorre rapidamente.
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Gráfico 6, velocidade em função do temo t (espaço de fases), caso 1, caso 2 e caso 3.
Nesse gráfico podemos ver que em todos os casos a velocidade final é igual a zero porem isso ocorre
em tempos diferentes para cada um dos casos. No caso crítico o tempo para chegar à velocidade zero é
muito menor do que nos dois outros casos, ou seja, “você forneceu ao corpo exatamente a força que ele
precisava para parar”.
Na Janela “notas” você vai encontrar instruções para visualizar as animações, os gráficos e, ainda,
como alterá-los.
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ANEXO 1:
Janela “NOTAS’ no programa Modellus
Abrindo o arquivo "Sistema mola oscilando na horizontal, com atrito", no programa Modellus,
você poderá observar a animação dos seguintes casos:
"sub-amortecido (quando a intensidade da Força de atrito é muito menor que a intensidade da
Força restauradora), em preto;
"super-amortecido" (quando a intensidade da Força de atrito é maior que a intensidade da Força
restauradora), em verde;
"amortecimento-crítico" (quando a intensidade da Força de atrito é igual a força restauradora),
em rosa.
Além das animações você poderá observar os respectivos gráficos para os três casos:
x X t; v X t; Ec X t; Epel X t; Emec X t; v X x.
Seguindo este "passo a passo" você poderá montar seus próprios modelos ao variar as
condições iniciais (posição x e velocidade v) e os parâmetros como a constante elástica da mola k, a
massa m e o coeficiente de atrito b.
1. Vá até a janela "condições iniciais' e altere a posição e a velocidade;
2. Altere os parâmetros de massa m, constante elástica k, e o coeficiente de atrito b. Você pode
alterar um parâmetro por vez ou todos juntos e analisar os resultados. Pode também estimar determinados
resultados e prever o parâmetro que deve ser alterado.
3. Vá até a janela "controlo" e use a tecla de início para observar as animações (uma por vez
referente a cada caso) ou os gráficos.
4. Na janela "gráfico" você pode observar um gráfico por vez (cada caso em separado) ou
juntar os três casos no mesmo gráfico e analisá-los. Caso não consiga visualizar o gráfico use a tecla
"ajustar' quantas vezes for necessário.
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