modelos compartimentais - Departamento de Física da

Universidade de Coimbra
Faculdade de Ciências e Tecnologia
ENGENHARIA BIOMÉDICA
MODELOS COMPARTIMENTAIS
Bruno Miguel Leitão
Mário João Bártolo
[email protected]
Joana Marques
João Pedro Castro
Coimbra, 2005
Modelos Compartimentais
Overview
Quando a fisiologia se refere a modelos compartimentais existe desde logo a
rotulagem de modelos que são especificamente derivados de considerações de balanço
de massa, e que visam o estudo quantitativo da cinética de materiais em sistemas
fisiológicos.
Estes referem-se apenas ao estudo de sistemas em tempo não real, isto é, toda a
amostra recolhida não é analisada em tempo real. Ou seja, existe uma recolha de várias
amostras que não igualmente espaçadas no tempo, em que apenas depois da sua análise
se pode concluir qual a melhor para ser modelada, pois estes modelos seguem devidos
critérios, como por exemplo, escolher as amostras em que se verifica uma menor
amplitude do ruído do sinal em análise. Como tal, convém que a amostragem seja feita
de modo a que quando se calcula o espectro de um sinal g (t) se obtenha uma estimativa
desse espectro numa faixa de frequência entre 0 Hz e fa (frequência de amostragem,
número de amostras por segundo) / 2 Hz. Se o sinal g (t) tem componentes com
frequências maiores do que fa / 2, essas componentes não serão estimadas e, o que é
pior, elas degradarão a estimativa dos espectros entre 0 Hz e fa / 2 Hz. Isto deve-se ao
fenómeno denominado aliasing (disfarce) ou dobramento espectral, que ocorre neste
tipo de estimativa quando o espectro do sinal g (t) não está contido na faixa entre 0 Hz e
fa / 2. Ou seja, aliasing (disfarce) ou dobramento espectral, ocorre quando a taxa de
amostragem usada é menor que a taxa de Nyquist do sinal que se está a analisar. Para
evitar que esse fenómeno ocorra é preciso usar uma taxa de amostragem igual ou maior
que a taxa (de amostragem) de Nyquist do sinal que se está a analisar, dada por
(fa)Nyquist = 2 x f máx,
onde f máx é a máxima frequência dos componentes do sinal.
Nos modelos compartimentares o tempo utilizado é contínuo devido a todas as
estimativas e aproximações tradicionalmente realizadas.
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Modelos Compartimentais Lineares
Na fisiologia existem muitos tipos de sinais adquiridos e analisados em tempo
real. No entanto existem outros em que não existe esta possibilidade, tais como sinais de
proteínas, drogas ou outras macromoléculas transportadoras.
Uma vez conhecida, através da análise bioquímica, a concentração de sinais
sobre o tempo, os sinais transportadores podem ser modelados e usados para entender a
sua função fisiológica.
Normalmente a concentração de proteínas, ou drogas, numa amostra são
determinadas utilizando vários tipos de análises bioquímicas ou técnicas de imagiologia.
Todas estas técnicas são muito importantes, pois para se poder aplicar sobre um
sistema um modelo compartimental é necessário que este primeiro seja analisado.
Na nomenclatura da modelação compartimental todas estas aquisições de sinal
são referidas como plano experimental.
Plano Experimental
Definição: É o processo de aquisição dos sinais em estudo nos modelos
compartimentais.
A concentração de proteínas ou drogas numa amostra pode ser determinada
através de diversas técnicas:
1.Tomografia de emissão de positrões
Técnica de medicina nuclear utilizada na avaliação da actividade dos tecidos. A
actividade funcional dos tecidos pode ser comparada com imagens anatómicas obtidas
por TAC ou Ressonância Magnética.
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A Tomografia de Emissão de Positrões (PET - Positron Emission Tomography)
é uma forma de diagnóstico radiofarmacêutica. É uma técnica poderosa cujo
desenvolvimento se deve em grande parte ao CERN e ao Geneva Cantonal Hospital. A
PET permite detectar alterações em tecidos e órgãos, provocadas por estados de doença,
muito antes de aparecerem sintomas sérios. Um radiofármaco que emite positrões, as
antipartículas
dos
electrões,
é
administrado ao doente. Quando se
dá a emissão de positrões, estes são
rapidamente
aniquilados
com
electrões no corpo do doente. Este
processo liberta dois raios gama que
são detectados, revelando o local exacto onde a aniquilação se deu. A PET permite aos
médicos conhecer com precisão as fronteiras da localização do radiofármaco, sendo
assim possível verificar se tudo está a funcionar apropriadamente. Logicamente, tem
outras aplicações que não só relacionadas com as doenças mas também com
concentrações de diversas componentes da fisiologia humana, como é o caso das
macromoléculas.
2. Cromatografia Líquida de Alta Eficiência
A cromatografia é um método usado para agrupar as diferentes componentes de
uma mistura. Esta técnica funciona graças ao facto das moléculas possuírem em comum
uma propriedade chamada polaridade, e também por tenderem a atraírem-se
mutuamente. Uma molécula polar é simplesmente aquela que possui uma região rica em
electrões e uma outra região que é pobre em electrões. Estas regiões por vezes são
representadas como sendo negativamente e positivamente carregadas, respectivamente.
Moléculas polares são unidas por forças de atracção entre cargas opostas de diferentes
moléculas.
A cromatografia é uma técnica da química analítica utilizada para a separação de
misturas e substâncias. De uma maneira mais completa, a técnica baseia-se no princípio
da adsorção selectiva (que não deve ser confundida com absorção), um tipo de adesão.
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Quando esta técnica foi descoberta por um famoso botânico russo (Tswett), este
separou pigmentos de plantas (clorofilas) adicionando um extracto de folhas verdes em
éter de petróleo sobre uma coluna com carbonato de cálcio em pó num tubo de vidro
vertical. Enquanto a solução percolou através da coluna os componentes individuais da
mistura migraram para baixo em diferentes taxas de velocidade e então a coluna
apresentou-se marcada com gradientes horizontais de cores. A esse gradiente deu-se o
nome de cromatograma.
A cromatografia em coluna usa actualmente uma grande variedade de
adsorventes sólidos, incluindo sílica, alumina e sílica gel. Os líquidos também podem
ser adsorvidos por estes sólidos e assim actuarem como adsorventes – num processo
chamado de cromatografia de partição – que permite aos químicos construir colunas
com propriedades muito diferentes para utilizações particulares. A Cromatografia
Líquida de Alta Eficiência (CLAE, ou HPLC do inglês High Performance Liquid
Chromatography) é uma variável desta técnica que hoje tem um uso bastante comum,
promove a adsorção de líquidos em partículas extremamente pequenas e uniformes para
promover alta sensibilidade. Uma bomba é requerida para levar a mistura até à coluna.
A HPLC é uma técnica muito precisa, utilizada nos segmentos alimentícia,
veterinário, químico, petroquímico e, principalmente, na farmacêutica, para doseamento
de activos e separação de compostos e
impurezas. Com este método detectam-se
impurezas em quantidade muito baixas na
mistura, além de ser possível avaliar se o insumo
sofreu algum tipo degradação, dando origem a
compostos
que
possam
comprometer
a
qualidade do produto.
Sendo assim esta técnica aplicada à bioquímica isolando proteínas e outras
macromoléculas.
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3.Análise Radioimunológica
Porque a maioria de hormonas estão presentes em concentrações extremamente
baixas nos materiais biológicos (≈10-10 M), não podem ser medidas por métodos padrão
tais como a HPLC. Mais a mais, uma hormona é geralmente cercada por quantidades
excessivas de substâncias quimicamente relacionadas, o que poderia interferir com as
técnicas analíticas padrão. Sendo assim, as concentrações de hormonas são medidas
através da Análise Radioimunológica (RIA).
A Análise Radioimunológica é baseada na resposta imunológica. Quando uma
substância estranha, ou antígeno, tal como uma proteína invadem os tecidos de um
vertebrado mais evoluído, o organismo defende-se sintetizando e unindo um anticorpo à
substância invasora. E então células específicas destroem o antígeno marcado. Um
anticorpo de qualquer proteína pode ser preparado pela injecção dessa proteína num
animal experimental.
O princípio da análise radioimunológica envolve a combinação de uma hormona
ou outra proteína de concentração desconhecida (o antígeno) com uma quantidade fixa
de antígeno radioactivo. Uma quantidade fixa de anticorpos é então adicionada, que se
liga a ambos, ao antígeno do radioactivo e ao que não está marcado. As moléculas dos
antígenos e dos anticorpos ligam-se, e precipitam-se para fora da solução. O antígeno
ligado radioactivo é detectado, e é inversamente proporcional ao antígeno não marcado
presente.
4.Isótopos estáveis e radioactivos Tracers
Alternativamente, uma molécula etiquetada, um “tracer”, pode ser introduzida
no corpo para estudar o comportamento da sua molécula endógena correspondente, o
“tracee”. A etiquetagem pode ainda usar um isótopo radioactivo, que não é obviamente
aconselhável utilizar no estudo em humanos, ou um isótopo estável como a leucina
[l3C].
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Ao longo do tempo, as amostras de fluidos tais como o plasma ou a urina são
colectados, e as amostras estáveis são analisadas por espectroscopia mássica para
determinar a concentração do “tracer”.
Em teoria, a aná1ise de isótopos estáveis e radioactivos “tracers” deve conduzir
aos mesmos resultados cinéticos.
5.Plano de amostragem ‘optimal’
Num sistema em tempo – real, é necessário conhecer a frequência de
amostragem de modo a que esta seja pelo menos duas vezes a da largura de banda do
sinal, a taxa de Nyquist, ou seja, deve ser encontrada para impedir o aliasing.
Similarmente, em sistemas farmacocinéticos, um “optimal sampling schedule” deve ser
seguido.
Modelos Cinéticos
Uma vez obtida a cinética das substâncias em estudo, através dos métodos
apresentados no plano experimental, torna-se possível modelar os seus respectivos
comportamentos. As duas classes principais de modelos cinéticos são os modelos não
compartimentais e os modelos compartimentais. Coloca-se então uma pertinente
questão…
O que é um compartimento?
Um compartimento é um espaço conceptual que apresenta um volume finito e
teoricamente mistura muito bem e de forma instantânea os seus conteúdos, que podem
consistir numa, ou mais, e diversas substâncias físico – químicas, sendo que estas
apresentam uma homogeneidade a nível da sua cinética.
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Tipicamente, um compartimento pode corresponder a um tradicional
espaço/volume, tal como uma cubeta ou um tanque, que contivessem um liquido ou gás
e uma outra substância que pudessem ser medidas, ou seja, não tem que ser
necessariamente um espaço fisiológico ou volume físico bem delimitado. Um bom
exemplo de um compartimento fisiológico é a glicose no plasma e no rim.
A substância medida é descrita pela sua quantidade total (massa, volume) num
compartimento, quantidade x, ou seu pela concentração, c ou [x], que é a massa x
dividida pelo volume do compartimento, V:
c = x/V.
Uma básica suposição sobre compartimentos é que toda a nova substância
introduzida num compartimento é misturada instantaneamente com uma outra
quantidade já presente, e que a distribuição dessa mesma substância nesse mesmo
compartimento é uniforme. Isto significa que:
a)
Quando é tomada uma amostra dos índices ou conteúdos dos
compartimentos, ou quando alguns dos seus conteúdos são removidos, o volume da
amostra ou o volume removido terá a mesma concentração da substância, não obstante o
método ou a posição da amostragem ou da remoção.
b)
Quando um volume de amostra v1 é removido a quantidade da substância
removida é x1 = c v1, onde c = c (t) é a concentração na altura da remoção.
c)
Quando uma quantidade x0 é introduzida num compartimento a
concentração c muda do seu valor registado apenas antes da introdução de x0, cp, para c
= [xp + x0] /V (que supõe que a mudança de volume devido à adição é insignificante,
isto é, o volume medido V não se altera).
Um compartimento é dito “input” se a substância puder entrar no
compartimento, mesmo vindo de um outro compartimento, ou de alguma fonte externa
que é frequentemente referida como "ambiente" ou simplesmente como "entrada". Se a
substância puder sair de um compartimento diz-se que existe fluxo ou escoamento.
Define-se que um compartimento está aberto se permitir algum tipo de entrada e que
está fechado se não houver fluxo nesse mesmo compartimento.
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Modelos não compartimentais
Um modelo não compartimental considera as relações input e output de um
sistema alcançado através de um único compartimento acessível. Em que esta relação
entrada – saída é descrita como a saída sendo igual à convolução da entrada com a
resposta a impulso, dada pela fórmula:
+∞
y (t ) = u (t ) ∗ h(t ) = ∫ u (τ ) h(t − τ ) .
−∞
Os modelos compartimentais são uma simplificação do organismo e por isto
devem ser aplicados com cautela. Além disso esses modelos são altamente dependentes
da espécie e, embora tenham muitos usos clínicos e fisiológicos, a quantidade de
informações básicas fornecidas, é limitada. Os modelos compartimentais, por exemplo,
não levam em conta a ligação fármaco – proteína, embora possam ser afectados por
esta.
Devido a todas as limitações referidas dos modelos compartimentais, e visando a
obtenção de dados cada vez mais fidedignos, modelos não compartimentais têm sido
desenvolvidos e avaliados. Estas são as principais razões da utilização destes modelos.
Estes são anatómica e fisiologicamente realistas e desenvolvidos com base nos
fluxos sanguíneos e volumes reais dos órgãos. Assim, como descrevem mais
realisticamente a disposição das substâncias em análise em cada tecido ou órgão,
tornam-se demasiadamente complexos a nível matemático, perdendo universalidade.
A principal vantagem destes modelos é a possibilidade de prever o
comportamento farmacocinético de um determinado fármaco no homem, a partir de
dados obtidos em animais e adaptados matematicamente para tal aplicação.
Parâmetros geralmente medidos nos Modelos não Compartimentais
É comum utilizarem-se na farmacocinética aproximações de modelos não
comportamentais para determinar parâmetros modelares independentes.
Visando então agora a sua aplicação na farmacocinética, pode ser dada uma
maior explicitação.
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Em humanos, geralmente, não é possível determinar quantitativamente a
distribuição de um fármaco nos diversos tecidos; assim o que normalmente se faz é
acompanhar a concentração do fármaco no sangue ou no plasma, considerando a
existência de uma relação constante entre as quantidades do fármaco no plasma e no
restante organismo após se completar a distribuição.
O conceito de compartimento em farmacocinética é essencial e foi desenvolvido
para fornecer as bases para quantificação dos processos farmacocinéticos; ele representa
uma maneira simplificada mas extremamente útil na abordagem dos processos de
distribuição dos medicamentos no organismo. Como, por outras palavras, anteriormente
dito um compartimento é um espaço imaginário matemático, usualmente representado
na literatura farmacológica como uma "caixa" reservatório; quando o medicamento é
introduzido num compartimento ele é rápida e homogeneamente distribuído em todo o
espaço.
Os compartimentos são frequentemente designados como compartimento
"vascular" ou compartimento "tecidual", mas estas correlações são frágeis e não devem
ser literalmente aceitas. A estes compartimentos também podem ser atribuídos volumes
reais (em litros, por exemplo), mas estes volumes também são fictícios e não
correspondem ao volume real de nenhum dos tecidos ou órgãos corporais. Devemos
sempre ter em mente que a interpretação dos modelos farmacocinéticos devem ser feitos
com cautela, por serem derivados de modelos matemáticos e não da anatomia e
fisiologia.
Volume de distribuição e volume aparente de distribuição
O processo de distribuição de um fármaco pode ser quantificado, através do
conceito de compartimento através do volume de distribuição, que avalia a extensão da
distribuição da substância activa, além do plasma. Assumindo que o corpo consiste num
único compartimento, e conhecendo a dose administrada por via endovenosa e a sua
concentração dosada no sangue, o volume do compartimento, denominado “volume
aparente de distribuição” (VD), pode ser determinado por substituição nos termos da
equação que se segue:
Concentração = Quantidade que se torna Volume = Quantidade Volume Concentração
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Assim,
VD = D onde: D = Dose e C = Concentração
Então, o volume de distribuição é simplesmente uma constante de proporcionalidade
fictícia, um conceito matemático, utilizado para explicar as concentrações observadas
dos medicamentos com base na quantidade de fármaco conhecida presentemente no
organismo. Ele fornece uma estimativa da extensão do tecido extravascular que faz a
captação dos medicamentos; descreve a relação entre a quantidade de fármaco em todo
o organismo e a quantidade existente no plasma. Domingues, criador deste conceito
define-o como o volume no qual o fármaco se deve dissolver para que a sua
concentração se iguale à do plasma. Nesta definição a concentração plasmática do
fármaco é aquela observada após a absorção e distribuição e antes da eliminação.
Quando VD é pequeno, a captação pelos tecidos é limitada; já valores grandes de VD
indicam uma ampla distribuição para os tecidos.
Em farmacocinética clínica, o VD é um importante parâmetro, empregado na
determinação de doses e intervalos de doses dos medicamentos.
Ou seja, depois de toda esta explicitação, como forma de definição tem-se que:
O volume aparente de distribuição, VD, é uma constante de proporcionalidade
que relaciona a concentração da droga no sangue ou no plasma com a quantidade da
droga no corpo. Sendo que é calculado como a razão da dose intravenosa com a
concentração inicial da droga imediatamente após a injecção intravenosa mas antes de
qualquer quantidade da droga ser eliminada:
VD = dose / concentração inicial
Meia – vida biológica (t1/2)
A meia – vida é um conceito cronológico e indica o tempo em que uma grandeza
considerada se reduz à metade do seu valor. Em farmacocinética esta representa o
tempo gasto para que a concentração plasmática ou a quantidade original de um
fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a
uma meia – vida, a concentração decresce em 50% do valor que tinha no início do
período. Este conceito é operacionalizado pela observação da concentração no plasma.
Para a maioria dos fármacos, a meia vida é constante numa larga faixa de
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concentrações. Já o termo vida – média exprime a duração média da concentração e não
na sua meia – vida.
O tempo de meia – vida ou t1/2 é um importante parâmetro farmacocinético. A
caracterização de um evento farmacocinético pelo valor da meia vida possibilita uma
estimativa da rapidez com que o processo ocorre, originando dados importantes para a
interpretação dos efeitos terapêuticos ou tóxicos dos fármacos, da duração do efeito
farmacológico e do regime posológico adequado.
O conhecimento do t1/2 também é de grande utilidade para se conseguir alcançar
a concentração plasmática média no equilíbrio (Css), após doses repetidas em intervalos
que representam a meia – vida; a Css é a concentração do estado de equilíbrio,
orientadora do regime posológico e é obtida quando se administra um medicamento em
doses repetidas, a intervalos regulares. Tal repetição, permite a manutenção desse platô
de concentração constante, por reposição da parte do fármaco que está sendo eliminado.
Diz-se que a concentração do estado de equilíbrio (Css) é alcançada após 4-6 intervalos
de meia – vida; o paciente alcançará 50% de equilíbrio dinâmico após uma meia vida do
fármaco, 75% de equilíbrio dinâmico após duas meias – vidas, 87,5% após três meias
vidas e 94% após quatro meias – vidas.
A mais importante meia – vida em farmacocinética é aquela que descreve o
processo de eliminação ou remoção do fármaco do corpo. Esta "meia vida de
eliminação", frequentemente abreviada na literatura como t1/2β, indica como será a
velocidade de desaparecimento do fármaco após administração de uma dose única ou
após o término de um longo período de terapia; normalmente esta também ocorre num
período de tempo que varia de 4 a 6 meias – vidas do fármaco.
Também é aqui necessário lembrar que os valores tabelados de t1/2 (como os de
VD) são usualmente valores médios representativos, que como noutros eventos
fisiológicos e farmacocinéticos irão variar de pessoa para pessoa e podem ser
influenciados por muitos factores. O t1/2 para um dado fármaco pode variar
temporalmente mesmo num mesmo indivíduo.
O tempo de meia – vida de uma molécula, pode ser facilmente determinado
através da graficação do logaritmo da concentração do plasma versus tempo. Desde que
o valor próprio seja o declive da linha de uma exponencial i, tem-se:
λi = 0.693 / t1/2i.
Depuração ("Clearance")
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Clearance é um termo inglês usado universalmente para indicar a remoção
completa de determinada substância de um volume específico de sangue na unidade de
tempo. Depuração é o termo em português que mais se aproxima do sentido do termo
em inglês.
No nível mais simples, a depuração de um fármaco do organismo pode ser
compreendida como a taxa de eliminação por todas as vias, normalizada para a
concentração do fármaco (C) num líquido biológico:
Depuração = Taxa de eliminação/C
Os princípios de depuração dos fármacos são semelhantes àqueles da fisiologia
renal, onde, por exemplo a depuração da creatinina é definida como a taxa de
eliminação da creatinina na urina em relação à sua concentração no plasma.
É importante notar que a depuração não indica a quantidade do fármaco que está
a ser removida, mas sim, o volume de líquido biológico, como o sangue ou o plasma, do
qual o fármaco teria sido totalmente removido. O clearance é expresso em volume por
unidade de tempo (ml/min ou L/h).
A depuração por vários órgãos de eliminação é aditiva. A eliminação de um
fármaco pode ser o resultado de processos que ocorrem no rim, fígado e outros órgãos.
A divisão da taxa de eliminação por cada órgão pela concentração plasmática do
fármaco, por exemplo, fornece as respectivas depurações em cada um destes órgãos;
estas quando somadas representam a depuração sistémica total.
Cl Total = Cl renal + Cl hepático + Cl outros*
*Refere-se a vias de excreção como lágrimas, saliva, suor e fezes
Quando o fármaco é parcial ou totalmente excretado pelos rins sem sofrer
alterações, o clearance renal pode ser calculado dividindo-se a velocidade de excreção
urinária (mg/min) pela sua concentração sanguínea (mg/ml). O clearance de creatinina é
um índice da função renal porque esta substância endógena sofre filtração glomerular
completa e a sua secreção e reabsorção tubulares são mínimas; desta forma pode
também ser utilizado na avaliação do clearance renal de fármacos.
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Modelos Compartimentais
Um modelo compartimental é governado pela lei da conservação de massa *, e é
descrito por equações diferenciais ordinárias. Este tipo de modelo é um sistema com
múltiplos “input” e múltiplos “output”.
* Lei da Conservação de Massa: O peso dos produtos finais de uma reacção,
incluindo os gases, é igual ao peso da totalidade dos reagentes iniciais.
Não é por acaso que estes se regem pela lei da conservação de massa e por estas
equações, pois todos os fluxos entre compartimentos, já anteriormente referidos, são
descritos em função da variação da massa nesses mesmos compartimentos. Sendo que
todos as medidas feitas, posteriormente, são representadas em função de concentrações.
Um modelo compartimental é um sistema que contém um ou mais
compartimentos que podem estar conectados entre si, isto é, pode existir um processo
pelo qual a substância que sai de um compartimento entra num outro compartimento.
Diz-se que um sistema compartimental está aberto se permitir algum tipo de entrada
externa e diz-se fechado se não existir fluxo externo nos compartimentos, isto é, para
fora do sistema. Os sistemas fechados permitem apenas fluxos provenientes de
compartimentos individuais do sistema quanto muito para outros compartimentos desse
mesmo sistema.
O estudo de modelos compartimentais é simplificado assumindo que o fluxo dos
compartimentos é linear. Esta suposição é indicada matematicamente por uma equação
diferencial linear de primeira ordem: a taxa de mudança da concentração ou da
quantidade de uma substância num compartimento devido a um processo contínuo de
remoção é
ck = -kc ou xk = -rx,
onde as constantes k, ou r, são as taxas a que a concentração ou a quantidade diminuem,
respectivamente.
Um tanque com uma mistura uniforme e uma taxa de fluxo constante será linear
em relação à concentração, e em relação à quantidade se o volume total do tanque
permanecer constante.
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Como já foi dito, o conceito de compartimento é fundamental em
farmacocinética. Ele representa uma maneira simplificada mas extremamente útil na
abordagem da compreensão dos processos de distribuição dos medicamentos no
organismo humano. O corpo pode ser representado como uma série, ou sistemas, de
compartimentos que se comunicam reversivelmente entre si. Um compartimento não é
uma região anatómica ou fisiológica real, mas é considerada como um tecido ou grupo
de tecidos que devem possuir fluxo sanguíneo e afinidade por fármacos similares.
Dentro de cada compartimento considera-se que o fármaco se distribua uniformemente;
a mistura do fármaco dentro do compartimento é rápida e homogénea, tanto que a sua
concentração é representada como uma concentração média e cada molécula do fármaco
possui igual probabilidade de sair do compartimento. Modelos compartimentais são
baseados em hipóteses lineares usando equações diferenciais e, embora os
compartimentos farmacocinéticos não corresponda a nenhuma das entidades anatómicas
actuais, o compartimento, todavia, apresenta dimensões numéricas de volume (ml, litro)
como se fossem um volume real.
Conceptualmente, fármacos movem-se para dentro e para fora dos
compartimentos. Velocidades constantes são usadas para representar a velocidade total
do processo de entrada e saída do fármaco do compartimento. O modelo é um sistema
aberto desde que o fármaco possa ser eliminado deste sistema.
O emprego de modelos compartimentais em farmacocinética leva, geralmente,
implícita a suposição de que os processos que se estudam, ou o fluxo dos fármacos até
ao compartimento, se desenvolvem segundo cinética de primeira ordem. Por exemplo, o
resumo dos processos que retiram medicamentos do organismo irreversivelmente, pode
caracterizar-se por uma constante de velocidade de eliminação de primeira ordem
cinética, que compreenderia a excreção urinária, a biotransformação e outros processos
que contribuem na retirada do fármaco do organismo.
A cinética de primeira ordem implica que a velocidade na qual se produz um
processo é proporcional à quantidade ou concentração do fármaco existente no
compartimento no qual se desenvolve. Assim, se é grande a quantidade de medicamento
no organismo também é, ou será, alta a velocidade de eliminação. Por outro lado, a
eliminação diminuirá proporcionalmente com a redução da quantidade ou concentração.
Também a transferência do medicamento de um compartimento para outro pode
obedecer à cinética de primeira ordem e o mesmo ocorre com a maioria dos processos
que os fármacos experimentam no organismo. Em geral, alguns deles não são
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estritamente de primeira ordem, como por exemplo a biotransformação, a secreção
tubular ou a transferência através de uma membrana quando processos activos estão
envolvidos. Estes podem obedecer a uma cinética mais complexa, como por exemplo a
processos enzimáticos regidos pela equação de Michaelis-Menten. No entanto, as
concentrações de fármaco com as quais normalmente se trabalha em farmacocinética
(terapêuticas) aparecem na maioria das vezes como de primeira ordem.
Assim, pode-se dizer que os processos farmacocinéticos correspondem a uma
cinética linear. Uma consequência desta linearidade é o facto de que a área sob a curva
(ASC) de concentração plasmática vs tempo, após a injecção por via intravenosa, é uma
função linear da dose administrada.
Os modelos compartimentais consistem num ou mais compartimentos
periféricos conectados a um compartimento central. O compartimento central é
representado pelo plasma e tecidos altamente perfundidos. Assim, quando uma dose
intravenosa do fármaco é administrada, ela entra directamente no compartimento central
e também é deste compartimento que ocorre a sua eliminação, uma vez que é no
compartimento central que se encontram os órgãos envolvidos na eliminação,
primariamente rins e fígado, e tecidos altamente perfundidos.
Modelos de um, dois ou mais compartimentos são descritos e, normalmente,
representados
(desenhados)
esquematicamente
por
caixas
reservatórios.
Esta
representação permite uma representação visual da velocidade do processo, identifica
quantas constantes farmacocinéticas serão necessárias para descrevê-lo adequadamente
e, o mais importante, extrai equações diferenciais para descrever alterações na
concentração do fármaco em cada compartimento.
Modelo aberto de um compartimento
É o modelo compartimental mais simples e pode representar fármacos que após
administração, se distribuem através da via circulatória para todos os tecidos e se
equilibram rapidamente em todo o organismo.
O modelo monocompartimental descreve muitas vezes adequadamente as
alterações sofridas ao longo do tempo, na concentração plasmática ou na excreção
urinária de fármacos que após a administração, se distribuem rapidamente entre o
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plasma e os tecidos. Admitir a existência de tal modelo não implica, necessariamente
presumir que as concentrações plasmáticas e tissular do fármaco sejam as mesmas,
porém é essencial que as alterações que ocorrem no plasma reflictam aquelas nos níveis
tissulares do fármaco, ou seja que exista uma relação constante entre estas duas
variáveis.
Como já anteriormente discutido, nos modelos compartimentais presume-se que
o movimento do fármaco através destes siga a chamada cinética de primeira ordem,
significando que a velocidade do processo seja proporcional à quantidade de fármaco
presente. Assim, para descrever a eliminação do fármaco de um compartimento é
conveniente usar métodos de cálculo diferencial e integral.
Modelos multicompartimentais
Num modelo multicompartimental o fármaco distribui-se em várias velocidades
dentro de diferentes grupos de tecidos. Aqueles que apresentam elevado fluxo
sanguíneo podem equilibrar-se com o compartimento plasmático, assim somado ao
sangue compõem o compartimento central. Enquanto esta distribuição inicial do
fármaco é efectuada, o fármaco é libertado para um ou mais compartimentos periféricos
compostos de grupos de tecidos com menor fluxo sanguíneo e afinidade pelo fármaco.
Esta diferença é que leva à aparência não linear da curva de concentração sanguínea do
fármaco em escala logarítmica vs tempo. Após o equilíbrio do fármaco nestes tecidos
periféricos a curva reflecte, então, a eliminação de primeira ordem do fármaco para fora
do organismo.
Com o objectivo de aplicar a análise cinética em modelos multicompartimentais,
deve-se assumir que a velocidade geral do processo de passagem do fármaco entre os
compartimentos é de primeira ordem. Com base nesta suposição a curva de nível
plasmático por tempo para um fármaco que segue um modelo multicompartimental é
melhor descrito pelo somatório de vários processos com velocidade de primeira ordem.
Modelo de dois compartimentos
Apesar de extremamente útil para muitos objectivos, o modelo de um
compartimento muitas vezes não se aplica ao perfil do movimento de fármacos pelo
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organismo. A maioria destes casos pode ser resolvida aplicando-se um modelo um
pouco mais complexo, porém mais realístico, o de dois compartimentos.
Neste, quando o fármaco é introduzido directamente no compartimento central,
o nível sanguíneo cai de maneira bifásica. A rápida queda inicial representa a
distribuição do fármaco do compartimento central para o periférico, embora a sua
eliminação comece a ocorrer desde que é introduzido no organismo. Num certo
momento, é atingido um "pseudo-equilíbrio" de distribuição entre o compartimento
central e o compartimento periférico; isto ocorre quando a razão do fármaco entre os
compartimentos se aproxima de um valor constante, mantido durante a segunda fase,
mais lenta do declínio da concentração sanguínea do fármaco, a qual reflecte
principalmente a sua eliminação. Durante essa segunda fase, a perda do fármaco pelo
organismo é descrita por um processo monoexponencial indicativo da homogeneidade
cinética entre os níveis do fármaco em todos os líquidos e tecidos do organismo.
A descrição de equações matemáticas deste modelo, como era de se esperar,
apresenta maior complexidade.
Aspectos
Identificabilidade Modelar
Muitas vezes, apenas alguma e limitada informação está disponível para poder
estudar a dinâmica intrínseca de sistemas farmacocinéticos sob condições operacionais
normais. Como tal, antes de prosseguir para qualquer tipo de experiência é necessário
analisar se teoricamente é possível obter estimativas únicas de todos os parâmetros
modelares desconhecidos – identificabilidade teórica. Mesmo que teoricamente isto se
verifique, em termos práticos uma estimativa de parâmetros pode não apresentar
resultados aceitáveis – identificabilidade prática.
Identificabilidade Teórica
Um modelo pode ser unicamente identificável, não – unicamente identificável
ou não identificável. Se o modelo for unicamente identificável, existe uma única
17
solução para os parâmetros. Se for não – unicamente identificável podem existir várias
mas finitas soluções para um ou mais parâmetros. Se for não identificável, um ou mais
parâmetros podem possuir infinitas soluções.
Um método para testar a identificabilidade teórica é através de uma matriz de
aproximação de uma função de transferência. Depois de todos os cálculos necessários
efectuados chegamos ao Jacobiano da matriz:





 ∂β 11
 1
 ∂k1
 M

 ∂α n11
G (k ) = 
 ∂k1
 M

 ∂β1rm

 ∂k1
 M
 rm
 ∂α n
 ∂k
 1





11
∂β1 

K ∂k p 
M 

∂α nrm 
L

∂k p 
M 

∂β1rm 
∂k p 

L
M 

∂α nrm 
∂k p 
O modelo é identificável se e apenas se a ordem do Jacobiano da matriz for igual
a p.
Identificabilidade prática
Mesmo que um sistema seja teoricamente identificável, pode não ser
praticamente identificável. Limitações como imperfeições no teste de sinal, erros de
medida, e erros na estrutura modelar podem levar a mais do que uma estimativa de
parâmetros.
18
Estimativa não-linear dos mínimos quadrados
Os modelos compartimentais requerem uma estimativa não-linear dos mínimos
quadrados porque são não-lineares nos parâmetros k. Só se os parâmetros de estado
c(t,k) puderem ser observados é que o problema se pode transformar num de estimatva
linear.
O problema da estimativa paramétrica para este modelo não-linear pode ser
formulado da seguinte maneira:
c&(t , k ) = j [ c(t , k ), u (t ), t ; k ] , c0 = c(t0 , k )
y (t , k ) = g [ c(t , k ); k ]
zl (t , k ) = yl (t , k ) + el (t ), l = 1, 2,..., m
h [ c(t , k ), u (t ), k ] ≥ 0
onde zl (t , k ) representa o ruído e se relaciona com yl (t ) , variável independente do
ruído, e el (t ) é o erro associado à medição na amostra t. De notar que, apesar das
equações acima apresentadas serem lineares o modelo é não-linear, pois y(t,k) é uma
função não-linear de k. Esta situação leva a que não exista uma solução analítica
explicita, sendo portanto necessária uma aproximação iterativa como a aproximação
sensitiva, baseada no cálculo computacional de derivadas parciais. Para cada iteração do
vector paramétrico k̂ a matriz de covariância V (kˆ) (utilizada na validação do modelo)
pode
ser
aproximada
 ∂y (t , kˆ)

 ∂k1 k0 ,t1

M
S (t , kˆ) = 

ˆ
 ∂y (t , k )
 ∂k1
k0 , t n

a
V (kˆ) ≅  S T (t , kˆ) R −1 (t ) S (t , kˆ) 


−1
onde



k0 ,t1

O
M


∂y (t , kˆ)

L

∂k p
k0 , tn 
K
∂y (t , kˆ)
∂k p
Cada elemento da diagonal, vii (t , kˆ) , dá-nos uma estimativa da variância
associada ao parâmetro kˆi . Então, a precisão com que este parâmetro pode ser estimado
19
pode ser expressa como precision(kˆi ) = vii (t , kˆ) . Esta precisão pode ainda ser
vii (t , kˆ)
×100 .
kˆ
expressa como o coeficiente de variação, CV (kˆi ) =
i
Em contraste com a estimação paramétrica linear, é necessário que os
parâmetros estimadores iniciais k0 do vector k , sejam fornecidos.
Tabelas de amostragem
Na aquisição de dados tradicional, é necessário utilizar uma frequência de
amostragem de pelo menos o dobro da largura de banda do sinal – taxa de Nyquist –
para que não exista ‘aliasing’ no sinal de saída. Da mesma forma, as tabelas com os
dados de amostragem a serem estimados por um modelo compartimental têm de ser
representadas de modo a evitar estimativas paramétricas associadas a grandes
coeficientes de variação.
Uma ‘Optimal Sampling Schedule’(OTA) é aquela em que se obtém uma
máxima precisão das estimativas paramétricas do modelo, sob as limitações práticas da
aquisição de amostras. (Exemplo: limite físico do número de amostras sanguíneas que
se podem tirar a um recém-nascido)
Uma OTA calcula-se assumindo que o modelo compartimental descreve um
sistema amostrado várias vezes, em que os parâmetros são unicamente identificáveis e
em que algumas estimativas a priori estão disponíveis.
Teoricamente, uma OTA pode ser calculada minimizando uma função escalar da
inversa da matriz de informação de Fischer. Uma boa aproximação de minimização é a
‘D-optimal design approach’, que se baseia no det  J (k , σ 2 , SS )  , isto é, no
determinante da matriz de informação de Fischer J (k , σ 2 , SS ) . Esta matriz é função
dos valores dos parâmetros, variância do erro e número de tabelas de amostragem onde
cada
elemento
pode
ser
calculado
através
de:
1 ∂yl (t0 ) ∂yl (t0 )
, i, j = 1... p
∂ki
∂k j
l =1 σ =1 σ (t0 )
m
n
J ij (k , σ 2 , SS ) = ∑∑
2
l
20
Na prática, existe uma minimização dos coeficientes de variação ( kij ) pelas
amostras durante a zona mais acentuada da curva de saída até que um estado constante é
atingido. Esta amostragem leva à minimização do número de exponenciais (cuja soma
compõe um modelo compartimental) que servem os dados adquiridos.
Validação do modelo
A validação de um modelo envolve a análise dos resultados da identificação
paramétrica e a plausibilidade do modelo, de modo a escolher um bom modelo.
Para um modelo ser válido deve respeitar as seguintes três medidas de validade:
- os coeficientes de variação associados devem ter tamanho razoável (<100%);
- deve seguir o critério de informação de Akaike (AIC):
N
2
1 
ˆ)  + 2 p
z
t
y
t
k
−
(
)
(
,
l
l
2


l = 0 σ (tl )
AIC = N ln ∑
onde N é o número de dados e p o número de parâmetros. O melhor modelo é aquele
que apresenta o menor valor de AIC;
- as estatísticas residuais (estimam o ruído no sistema) devem parecer-se com o ruído.
Para um modelo ser plausível, os parâmetros estimados e derivados, e o número
de compartimentos adequados à representação do sistema deve ser aceitável para o
sistema fisiológico em estudo.
21
Teste de stress farmacológico usando “closed-loop drug
delivery”
Nesta parte da apresentação do trabalho iremos focar a nossa atenção na
aplicação de farmacocinéticos em “closed-loop drug delivery” (CLDD). Esta forma de
administração de fármacos é caracterizada pelo uso de um algoritmo ou controlador
baseado na teoria de controlo que, tal como o nome indica, irá ajustar os valores de
fármaco administrado ao doente consoante a necessidade/resposta. É de referir que o
fármaco poderá ser administrado através de uma bomba de infusão.
Farmacocinetica e Farmacodinâmica
A cinética envolvida na farmacocinética é descrita como sendo o transporte de
fármacos para o local de acção. Após esse período de transporte irá existir uma resposta
farmacológica como consequência do aparecimento de fármaco na zona de acção –
farmacodinâmica.
Para ser possível a acção do fármaco é necessário existirem os denominados
receptores tais como enzimas, neurotransmissores, canais iónicos, colesterol e a
bicamada lipidica. Só desta forma a droga é reconhecida de forma a produzir a sua
terapêutica associada ou uma acção tóxica.
Esta relação entre o fármaco e o receptor é normalmente considerada como
sendo reversível. De acordo com a lei da acção de massas uma molécula de fármaco [D]
ira interagir com o receptor em apenas um sítio de ligação [R], de forma a produzir uma
resposta farmacológica. Esta teoria – “occupation theory” – é representada pela seguinte
equação:
22
A taxa de associação (TA) da formação do complexo droga/receptor é descrita
por:
TA = k1[ D ][ R]
Onde k1 é a constante da taxa de associação expressa
em unidade inversa do produto da concentração e do
tempo
A taxa de dissociação (TD) é descrita por:
Onde k2 é a constante da taxa de dissociação expresso
em unidades inversas do tempo.
TD = k2 [ DR]
Num possível estado de equilíbrio a taxa de associação iguala a taxa de
dissociação. Desta forma a constante de equilíbrio K D pode ser determinada através da
equação de massas:
KD =
k2 [ D][ R]
=
k1
[ DR]
Usando a teoria de ocupação é possível afirmar que existem três diferentes tipos
de respostas farmacológicas no sitio do receptor. Um fármaco denominado Agonista é
caracterizado por obter uma resposta farmacológica máxima quando interage com o
receptor. Já o Antagonista não promove qualquer resposta farmacológica, inibindo
também o receptor de interagir com outro agente farmacológico. Antagonista parcial é a
forma intermédia de acção de um fármaco e respectiva interacção com o receptor.
É de salientar que existem sinais de feedback farmacodinâmicos de extrema
importância visto por vezes não ser possível a quantificação da resposta farmacológica.
Os sinais vitais dos batimentos cardíacos, a pressão sanguínea, a temperatura, a
respiração e a saturação de oxigénio arterial são alguns exemplos de sinais de feedback
para um CLDD.
23
Teoria de Controlo
Na teoria de controlo, a saída y(t) de uma planta h(t) é comparada a um sinal de
entrada de referência u(t). É possível diminuir o erro entre os dois sinais através de um
algoritmo de controlo associado a um controlador g c (t) . Num sistema CLDD são
utilizadas estas estratégias de controlo, parte integrante e necessária desse mesmo
sistema.
Note-se que um sistema “closed-loop” constituído por um controlar PID e uma
planta H(s) só será estável se todos os pólos do sistema da função de transferência tiver
parte reais negativas.
Este tipo de estratégia de controlo também se encontra presente em controladores PID
(proportional-integral-derivative). Tal como o nome indica, um controlador PID possuiu
uma função de transferência Gc ( s ) , um ganho proporcional K p , um termo de integração
Ki
e um termo de derivação K d s .
s
Gc ( s ) = K p +
Ki
+ Kd s
s
24
De forma a construir um controlador PID robusto é necessário seguir uma série
de passos, descritos de seguida:
1 – Especificar o tempo de amostragem do sistema e seleccionar a frequência.
2 – Usar a função ITAE (“integral of time multiplied by absolute error”) para calcular
os coeficientes PID.
3 – Seleccionar um pré-filtro G p ( s ) para eliminar os zeros na função de transferência do
sistema “closed-loop”.
Significância
Nos dias de hoje o sistema “closed-loop” é utilizado por anestesistas,
cardiologistas e em problemas endócrinos. No entanto, o primeiro a obter a aprovação
FDA (“Food and Drug Administration”) desenvolvido pela “Gensia Automedics”.
Através de novos métodos científicos é possível encontrar alternativas a métodos
mais complexos e desgastantes para o paciente. Iremos tomar como exemplo doença da
artéria coronária que corresponde a 25% da taxa anual de morte nos países
desenvolvidos.
Para prevermos uma possível isquemia do miocárdio, os métodos mais comuns
ate então eram o de provocar um teste de stress através do exercício físico e a técnica
invasiva da cavidade do átrio do coração. No entanto estes métodos são pouco toleráveis
e o uso de agentes farmacológicos é então, cada vez mais, uma alternativa.
Como agentes de stress farmacológicos temos o “isopoterenol”, a “dobutamine”
e o “diprydamole”. Por estas moléculas não serem totalmente equilibradas causando
25
efeitos secundários indesejáveis foi necessário desenvolver um agente de stress
alternativo.
É dentro deste contexto que aparece a “catecholamine arbutamine”. Este
fármaco consegue induzir uma estimulação mais equilibrada a nível chronotropic
(afecta a velocidade ou a taxa) e inotropic (afecta as contracções musculares).
‘Closed-loop drug infusion’ em testes de stress farmacológico
O sistema GenESA CLDD, de natureza diagnostica, foi desenvolvido para
analisar a resposta cardíaca de um paciente à administração do agente de stress
farmacológico
arbutamina.
O
modelo
matemático
baseado
neste
modelo
farmacodinâmico é o seguinte:
α 0 HRa(t ) + α1 HRa (t − 1) + α 2 HRa(t − 2) = β .inf(k )
onde HRa(t) representa o aumento da resposta cardíaca, inf representa a taxa de infusão,
α0 é assumido como igual a 1 e α1, α2 e β são constantes.
Este sistema utiliza um algoritmo de controlo PI (‘proportional-integral’) e
várias leis empíricas para regular o aumento da resposta cardíaca durante a
administração de arbutamina.
26
Modelo Compartimental Não-Linear
O transporte de um determinado fármaco pode ser descrito através de um
modelo linear. Para este tipo de análise linear assumimos que os parâmetros
farmacocinéticos não se alteram com a dose do fármaco.
No entanto, experimentalmente observou-se, que para maiores doses de fármaco,
existem desvios em relação ao modelo linear.
Este comportamento não-linear é denominado ‘dose-dependent kinetics’.
A equação básica de descrição do transporte de fármaco (determinada pelo
principio de balanço de massas) é:
N
N
j =0
j =0
j ≠i
qi ( t ) = ∑ Rij ( t ) + ∑ − Rij ( t ) + µ X ( t )
Como vimos anteriormente o fluxo no modelo linear dependia de taxas de
difusão assumidas como constantes. Este deverá em certas situações ser substituído por
funções que variam com o parâmetro tempo, definindo assim modelos não-lineares.
Os modelos lineares mais analisados são os de ‘Michaelis-Menten (M-M)’ e
relação bilinear, tendo ambos, características baseadas nos processos biológicos em que
foram observados.
Modelo Compartimental Não-Linear – ‘Michaelis-Menten’
Este modelo é baseado na análise da interacção entre enzima E, e substrato S, da
qual resulta um produto P.
A enzima (proteína) é o catalisador do mecanismo que aumenta a taxa,
velocidade de reacção sem que sofra alterações estruturais no decorrer do processo.
O mecanismo enzima substrato esquematizado
27
O mecanismo enzima-substrato esquematizado
Num primeiro passo a enzima liga-se a um substrato (1), diminui a energia de
transacção de estado (consumo energético menor) (2) e cataliza a reacção (3).
Definição
A equação que descreve o processo segundo as suas concentrações é
 
→ [ E S ] ←
 
→ [ E ] + [ P ]
[E ] + [S ]←
k
k
k3
k1
4
2
onde ES representa o complexo enzima-substrato, k3 é a taxa de associação do
complexo, k4 é a taxa de dissociação, e k1 é a taxa constante do catalisador. A
constante k2 é assumida neste processo como irrelevante (aproximadamente 0). Nesta
relação assume-se que maior a quantidade de complexo ES formada, mais rapidamente
ES é dissociado (Briggs-Haldane).
Então, o complexo ES é primeiro composto e rapidamente atinge um estado de
equilíbrio no qual se mantém constante.
A formação do complexo ES, no tempo é dada pela derivada
d
[E
d t
S
]
= k
3
[ E ][ S ] −
Num estado de equilíbrio, isto é

(k
4
+ k1)
[E
S
]
d [ ES ]
= 0 , temos que
dt
k3 
 [ E ][ S ] ,de onde podemos tirar a constante km (constante de Michaelis)
 k4 + k1 
[ ES ] = 
 1   k3 
visto que   = 
.
 km   k4 + k1 
28
Agora, temos de lidar com a dificuldade que representa [E] ser a concentração
de enzima livre (‘uncomplexed’) e esta usualmente é desconhecida. O valor
normalmente conhecido é a concentração total da enzima [ Et ] , mas
[ E ] = [ Et ] − [ ES ]
usando as equações já demonstradas podemos concluir que
[ ES ] =
[ Et ][ ES ] − [ ES ][ S ]
km
km
da qual resulta que
[ ES ] =
[ Et ][ S ]
[ S ] + km
A velocidade de reacção é dada por V = k1[ ES ] , reagrupando as equações
anteriores resulta V =
k1 [ Et ][ S ]
[ S ] + km
Numa situação de saturação, cada molécula de enzima está ocupada por outra de
substrato. Nesta situação a velocidade é máxima, e podemos reescrever a equação desta
forma V =
Vmax [ S ]
[ S ] + km
.
Nos termos de uma função não-linear (modelo compartimental), podemos
descrever o fluxo como velocidade (unidades de massa/unidade tempo) e usar a mesma
forma da equação
Ri j ( t ) =
Vmax qi ( t )
qi ( t ) + km
É razoável assumir, que este tipo de mecanismo possa saturar. O gráfico
seguinte demonstra a relação velocidade, concentração de substrato.
Curva de Michaelis-Menten
29
Cálculo de parâmetros
A equação Ri j ( t ) =
Vmax qi ( t )
, substituindo a equação básica de descrição do
qi ( t ) + km
transporte de fármaco descrita no início do capítulo, condiciona o cálculo dos
parâmetros deste sistema. Uma variação mínima nos dados da solução, ou em relação
aos valores inicias do sistema, implica uma mudança drástica nos resultados calculáveis.
Um método alternativo de caracterizar os dois parâmetros vmax e Km , envolve o
uso de um modelo compartimental linear.
Neste método usa-se uma aproximação, através de constantes que definem o
fluxo para diferentes doses de fármaco.
Gráfico Lineweaver-Burk
Para lidar com os dados experimentais podemos escrever a equação anterior
como
Numa situação experimental podemos medir v em função de [S]. Se analisarmos
o gráfico 1/v por 1/[S] devemos ter um resultado linear com uma inclinação, KM/vmax e
interceptar 1/vmax.
No entanto os erros na medição, associados aos erros de dados, não tornam este
método recomendado visto que o método acaba por incrementar o erro.
30
Exemplo da saturação
Como exemplo da dinâmica de Michaelis-Menten, vamos analisar o efeito
glicose/insulina. Nos animais é muito importante a função regulatória que permite a
manutenção dos níveis de glicose em limites bastante estreitos. A conservação dos
níveis de glicose nestes valores é conseguida através das hormonas insulina e glucagon.
O esquema seguinte representa o processo pelo qual a manutenção dos níveis de
glicose é conseguida.
Nível de glicose
aumenta após a
refeição
Absorção nas células
é promovida pela
insulina
Diminuição do nível
de glicose após
algumas horas
Produção de glucagon por
parte do pâncreas – induz
libertação de glicose para o
fluxo sanguíneo e
gliconeogenese
De acordo com a hipótese, o transporte de insulina do plasma para a linfa
(derivado do fluido intersticial) é facilitado devido aos receptores de insulina
periféricos. Sendo a hipótese proposta verdadeira, este mecanismo poderia estar
associado a estados patológicos, i.e., defeitos na taxa de transporte poderiam explicar a
intolerância à glicose (incapacidade de processar a glicose), diabetes, e outras doenças
onde se manifeste a resistência à insulina.
31
c2 (t ) = k21c1 (t ) − (k02 + k12 )c2 (t )
u1 (t )
k21
c2 (t )
c1 (t )
k12
k02
De acordo com este modelo, a insulina do plasma é transportada para o fluido
intersticial segundo uma taxa constante k12 .
Se o transporte ocorre apenas por difusão, ambas as constantes são diferentes de
0.No entanto se o transporte (plasma/fluido intersticial) é facilitado por receptores de
insulina periféricos então k12 é igual a 0 e k21 decresce com o aumento de insulina. A
degradação de insulina após a sua ligação ao seu receptor na células do fluido
intersticial é representada por k02 .
Relação Bilinear
Como alternativa podemos descrever um fluxo através de uma relação bilinear.
Desta forma, o fluxo é proporcional ao produto de duas funções pela seguinte forma
R ij ( t ) = bij q a ( t ) q i ( t )
equação na qual bij representa uma constante.
Este mecanismo foi usado para descrever a dependência da glicose no transporte
da insulina, situação que vamos analisar.
32
Exemplo (dependência da glicose no transporte da insulina)
O investigador Richard Bergman, publicou o primeiro artigo descrevendo o que
ficou conhecido como o ‘minimal model of insulin sensibility’. Com este trabalho
pretendia quantificar a influência do decréscimo da sensibilidade periférica à insulina,
quando um organismo é exposto a uma determinada quantidade de glicose.
O modelo é baseado em amostras de insulina e de glicose no plasma obtidas
através de uma injecção de glicose intravenosa (‘intravenous glucose tolerance test’,
IVGTT). Tenta caracterizar a súbita, multifaseada resposta secretora de insulina a uma
injecção de glicose.
O sistema de regulação de glicose no sangue pode ser simplificado, excluindo os
efeitos do glucagon e separando o processo em dois subsistemas.
a)
Células pancreáticas beta
i(t)
Distribution
kinetics
g(t)
Tecidos utilizadores glicose
Distribution
kinetics
b)
i(t)
k2
r(t)
k3
k4
k6
g(t)
Fígado
k5
k1
Tecidos periféricos
33
Para este modelo, é assumido que a insulina tem uma função que impele a
entrada num compartimento remoto, r(t), com uma taxa constante de k2 , e é retirada
deste compartimento a uma taxa de k3 . É também assumido que a assimilação de
glicose nos tecidos é directamente dependente da insulina neste compartimento
(segundo uma taxa de k4 r(t)g(t)). Esta relação bilinear é consistente com a existência de
um compartimento remoto, intimamente relacionada com a acção da insulina e aumento
da mobilidade de glicose através da membrana celular.
A análise feita ao esquema acima projectado conclui que o fluxo de glicose é a
diferença entre o balanço da glicose hepática, b(t), e o desaparecimento de glicose nos
tecidos periféricos u p (t )
b ( t ) = B 0 − [ k 5 + k 6 r ( t )] g ( t )
B0 é o valor esperado quando a concentração de glicose é extrapolada a zero. k6 é a
constante que representa a dependência directa de produção de glicose no fígado com a
insulina no compartimento remoto.
Podemos escrever das relações anteriores e mediante o esquema que
u p (t ) = [k1 + k4 r (t )]g (t )
Podemos então concluir que o fluxo de glicose é
g (t ) = b(t ) − u p (t ) .
Do esquema anterior podemos também determinar uma expressão para o fluxo
de insulina no compartimento remoto
r (t ) = k2i (t ) − k3 r (t )
Através de simplificações matemáticas e introduzindo uma nova variável de
estado x(t), sempre de acordo com o esquema acima disposto temos
x(t ) = (k4 + k6 )r (t )
considerando p2 = − k3 e p3 = k2 (k4 + k6 ) podemos reescrever as equações anteriores
como
x(t ) = p2 x(t ) + p3i(t )
Também segundo algumas alterações podemos reescrever g(t)
g (t ) = [ p1 − x(t )]g (t ) + p4 ,
34
onde p1 = −(k1 + k5 ) e p4 = B0 . Assumindo também p5 como a concentração inicial de
glicose podemos concluir que estas duas equações representam o modelo minimal.
Através da função de transferência previamente estudada, pode ser demonstrado
que o modelo minimal é a priori identificável pelos parâmetros
p = [ p1 p2 p3 p4 p5 ]T
O modelo é usado para caracterizar a sensibilidade à insulina. A efectividade de
glicose E(t), é definida como o desaparecimento de glicose devido a um aumento da
concentração de glicose no plasma. E (t ) ≡ −
Este
valor
pode
também
ser
∂g (t )
∂g (t )
calculado
pela
seguinte
expressão
E (t ) = x(t ) − p1
A sensibilidade à insulina, é então definida, numa situação estável, como a
influência da insulina no mecanismo de processamento da glicose e no seu próprio
desaparecimento.
SI ≡
∂ESE
∂iSE
usando as relações previamente estabelecidas concluímos que a sensibilidade à insulina
pode também ser descrita pela relação
SI =
− p3
p2
Este modelo foi validade experimentalmente em alguns animais.
Como demonstrado, este modelo permite que os dados relativos à glicose no
plasma sejam relacionados com a insulina no plasma (como input). Foi também
demonstrada a existência de uma relação hiperbólica entre ambos (estudo realizado pelo
investigador Daniel Porte). Assim quando a sensibilidade à insulina é grande, grandes
variações nas sensibilidades à insulina deverão resultar em pequenas variações no
mecanismo, pelo contrário e quando a sensibilidade é baixa, pequenas variações
deverão desde logo induzir maiores variações no processo.
35
Conclusão
Vimos como os modelos compartimentais, podem ilustrar e traduzir
matematicamente fluxos não-lineares. Um modelo compartimental não-linear adquire
principalmente funções como as enunciadas anteriormente, isto é, Michaelis-Menten ou
relação bilinear. O fluxo resultante da dinâmica de Michaelis-Menten satura quando
analisadas doses elevadas e o resultante de relação bilinear, é baseado na relação de
duas funções.
A dinâmica de Michaelis-Menten é baseada na análise da cinética do mecanismo
enzima-substrato. A equação não-linear resultante usa a mesma forma que a equação
que descreve a cinética das enzimas.
Infelizmente, quando um destes fluxos é incluído num modelo compartimental, uma
estimativa dos parâmetros do sistema torna-se condicionada. Portanto, é aconselhado
um processo alternativo para o cálculo dos parâmetros do sistema. Uma aproximação a
um modelo linear é uma alternativa.
A relação bilinear é um processo que descreve a dependência do transporte de
glicose na insulina num compartimento remoto, r(t). Neste mecanismo é assumido que a
absorção de glicose pelos tecidos está directamente relacionada com a insulina num
compartimento remoto. Da mesma forma que se assume que a produção de glicose no
fígado também esteja directamente relacionada com a insulina. Estas relações bilineares
são decisivas na formação de modelos minimais de sensibilidade de insulina que
quantificam a influência da insulina na tolerância do organismo à insulina.
36
Implementação em Simulink
Modelo matemático que representa a variação de [ES] ao longo do tempo:
d [ ES ]
= k3 [ E ][ S ] − k4 [ ES ] − kcat [ ES ]
dt
Simulink
2
Product
E
3
S
0.5
k3
Scope
1
s
kcat
Integrador ES
0.3
k4
0.5
37
Resultados
Como era de esperar, verifica-se que quanto mais ES se forma, mais ES se
dissocia. O complexo [ES] tem um crescimento muito acentuado nos primeiros
instantes, mas rapidamente atinge um estado em que se torna constante – saturação.
38