plano complexo

Professor: Marcelo de Moura Costa – e-mail: [email protected]
PLANO COMPLEXO
HISTÓRICO
A associação entre complexos e pontos reais no plano foi feita
inicialmente por Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822)
e Carl Friedrick Gauss (1777-1855).
Embora Wessel tenha dado prioridade com um artigo de 1797,
apresentado à Real Academia Dinamarquesa de Ciências e publicado nas Atas
dessa Academia em 1799, este artigo permaneceu excluído do mundo
matemático, sendo descoberto por um antiquário 98 anos após. Esse atraso no
reconhecimento de Wessel explica por que o plano complexo veio a ser
chamado de plano de Argand em vez de Wessel.
Mas é a Gauss que se deve à designação “número complexo” e a
concepção da relação biunívoca entre números complexos e os pontos de um
plano. Finalmente em 1831 teve em seu artigo publicado a proposta de definir
os números complexos como pares ordenados de números com certas
prioridades específicas.
Referências Bibliográficas:
• EVES, H., Introdução à História da Matemática, Editora Unicamp, 3ª ed.,
2002. Pág.522.
• BOYER, C. B., História da Matemática, Editora Edgard Blücher, 1974.
Pág.379.
REPRESENTAÇÃO
COMPLEXOS
GEOMÉTRICA
DOS
NÚMEROS
Uma vez fixado um sistema de coordenadas no plano, considerados dois
eixos ortogonais 0x e 0y, temos que os números complexos são pares
ordenados de números reais, onde o eixo das abscissas se denomina eixo real
e o eixo das ordenadas de eixo imaginário. Daremos um tratamento vetorial
para representar um número complexo, em vez de cada complexo z = x + iy ser
representado
JJJGpelo ponto P(x,y), onde P será o afixo de z, iremos representá-lo
pelo vetor OP = (x,y) .
Deste modo, a soma de dois números complexos, pode ser obtida
mediante a conhecida regra de composição dos vetores aplicados
correspondentes (e analogamente a diferença).
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A partir daí, podemos definir que a distância do ponto P à origem 0 será
definido como ρ que também é conhecido como o módulo de z, ou seja, z .
z =ρ=
x2 + y2
Conseqüentemente o ângulo θ , denominado de argumento de z, será o
JJJG
ângulo que o vetor OP faz com o eixo semi positivo de x. Uma vez
estabelecido estes conceitos, podemos colocar o número complexo em sua
forma trigonométrica, z = ρ .(cosθ + i .senθ ) , onde ρ e θ são as coordenadas
polares do ponto P(x, y) do plano.
CONSTRUÇÕES GRÁFICAS DAS OPERAÇÕES BÁSICAS DOS
NÚMEROS COMPLEXOS
1. Adição
A adição de números complexos coincide com a adição de pares
2
ordenados de números reais no espaço linear \ . Geometricamente podemos
aplicar a regra do paralelogramo para a soma de vetores (bem como a
diferença de vetores).
Para construirmos a diferença Z – W, efetuamos a soma de Z com o
simétrico de W (Z + (– W)).
2. Multiplicação
A multiplicação de números complexos por números reais coincide com
2
a multiplicação de escalares reais no espaço linear \ . Geometricamente
temos uma “expansão” ou “contração” do vetor em relação à sua origem
(conforme o número real ser maior ou menor que 1) ou mesmo invertendo o
seu sentido (caso número real seja negativo). A multiplicação de números
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complexos pode envolver ainda rotações, que podem ser decomposta numa
homotetia de seguida de uma rotação, ambas centradas na origem.
2.1 – Multiplicação de um Número Complexo por um Número Real
A construção resume-se a uma “expansão” ou “contração” do módulo,
podendo ser invertido o sentido.
2.2 – Multiplicação de um Número Complexo por outro Número Complexo
Sejam os pontos Z e W os respectivos afixos dos complexos Z1 e Z2. Ao
marcarmos sobre o eixo OX o ponto M que dista a unidade, e tracemos um
segmento cujo ângulo seja α + θ , sobre o eixo. Liguemos Z ao ponto M que
determina a unidade sobre o eixo X que determinará um ângulo ω . Ao
construirmos o mesmo ângulo sobre 0W e prolongando o segmento até
determinar sobre o outro segmento o ponto ZW.
Da semelhança de triângulos 0WZW e 0MZ (ângulos congruentes),
tiramos que:
0ZW 0W
=
0Z
0M
ou
0ZW ρ 2
=
1
ρ1
donde 0ZW = ρ1.ρ 2
O módulo do complexo de afixo ZW é o produto dos módulos dos complexos
de Z e W.
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2.3 – Multiplicação de um Número Complexo por um Imaginário Puro
Este é o caso caracterizado por uma rotação.
3. Construção do Recíproco de Z
O recíproco de Z é z
−1
=
z
, ou seja, construímos o conjugado de Z
N (Z )
e multiplicamos pela norma de Z.
Ao tratarmos Z’1 como o afixo do conjugado de Z1 e Z como o afixo do
recíproco de Z1, e 0M = 1, e traçarmos um segmento NZ paralelo ao segmento
Z’1M, teremos uma semelhança de triângulos (0NZ e 0MZ’1):
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0Z
0N
=
0Z '1 0M
ou
1
0Z ρ 2
1
1
=
⇒ 0Z = ρ . 2 = Z .
1
ρ
ρ
N (Z )
4. Divisão
Reduz-se às construções sucessivas de um recíproco e de um produto.
Considerando P e Q as imagens dos complexos Z1 e Z2, tomemos o
ponto M, tal que 0M = 1 no eixo real.
Sejam ρ1 = 0P e ρ 2 = 0Q e θ e ω os ângulos formados pelos
segmentos 0P e 0Q com o eixo real.
Construindo os ângulos 0RM = 0PQ = α e o ângulo P0R = θ ,
encontramos o complexo Z = Z1/Z2.
Pela semalhança dos triângulos 0MR e 0PQ, temos:
0M 0Q
1
ρ
=
⇒
= 2 , conseqüentemente,
0R 0P
0R ρ1
ρ
0R = 1
ρ2
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Referências Bibliográficas:
• RIGHETTO, A., Números Complexos e Funções Hiperbólicas, Ivan Rossi
Editora, 1977.
• SONNINO, S., MIRSHAWKA, V., Números Complexos, “L.P.M.” Editora, 3ª
ed., 1965.
• SPIEGEL, M.R., Coleção Schaum, Variáveis Complexas, Editora McGrawHill do Brasil Ltda, 1981.
• IEZZI, G, Fundamentos de Matemática Elementar (Complexos Polinômios
Equações) , Vol. 6, Atual Editora, 5ª ed., 1985.
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