18 CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS VARIÁVEIS NO TEMPO

169
ELETROMAGNETISMO II
18
CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS
VARIÁVEIS NO TEMPO
Neste capítulo estudaremos a lei da indução eletromagnética de Faraday. Ela é uma das
primeiras leis do eletromagnetismo e o efeito que ela descreve é de fundamental importância. As
máquinas elétricas e os transformadores, por exemplo, tem o seu funcionamento baseado
inteiramente no princípio da indução eletromagnética. A ela devemos toda energia elétrica que
consumimos em nossas residências, instalações industriais e comerciais, pois o funcionamento de
geradores síncronos em usinas geradoras de energia elétrica é baseado nesse princípio. Também
devemos a esse fenômeno a capacidade de nos comunicarmos com todo o mundo. Até em sondas
interplanetárias as ondas eletromagnéticas, geradas nas estações ou equipamentos transmissores,
viajam pelo espaço (sem fio) e são captadas por equipamentos receptores, onde tensões variáveis
serão induzidas em seus circuitos, para posterior decodificação e interpretação.
18.1 – Indução eletromagnética
Consideremos a espira circular da figura 18.1a, onde um ímã permanente move-se em direção ao
encontro da espira. Este movimento contribui para que mais linhas de campo magnético atravessem
a espira, aumentando assim o fluxo magnético concatenado com a espira. Uma corrente será
induzida na espira de modo que o fluxo produzido por ela se oponha à variação (aumento) do fluxo
externo, produzido pelo ímã permanente. Em outra situação, na figura 18.1b, o ímã se afasta da
espira e o fluxo que a atravessa estará diminuindo. Novamente ter-se-á uma indução de corrente na
espira, produzindo um fluxo que se oponha à variação (diminuição) do fluxo magnético produzido,
procurando desta vez aumentar o fluxo resultante que cruza a espira. Assim, o sentido da corrente
induzida pela espira na figura 18.1b será no sentido contrário ao da corrente mostrada na figura
18.1a. Se o ímã se mover alternadamente para cima e para baixo, uma corrente alternada (CA) fluirá
na espira. Este arranjo se constitui no exemplo mais simples de um gerador de corrente alternada.
Gigantescos geradores síncronos, com capacidade para produzir centenas de megawatts de potência
numa única unidade, também funcionam baseados no mesmo princípio eletromagnético aqui
apresentado.
i
i
N
a)
S
Figura 18.1 a: fluxo induzido diminuindo o fluxo
magnético na espira que está aumentando.
N
b)
S
Figura 18.1 b: fluxo induzido aumentando o fluxo
magnético na espira que está diminuindo.
Para que a energia seja conservada, a corrente induzida pela espira se opõe ao efeito da variação do
fluxo externamente provocado. Em outras palavras, se o fluxo magnético que atravessa a espira está
aumentando, a corrente induzida o fará diminuir e se o fluxo magnético na espira estiver diminuindo
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ELETROMAGNETISMO II
170
esta corrente induzida o fará aumentar. O fato da corrente induzida na espira estar em oposição à
variação do fluxo produzido pelo ímã permanente é justificado matematicamente pela lei de Lenz.
Se a espira é seccionada em um ponto qualquer, como na figura 16.2, o movimento alternado do
ímã em relação à espira fará agora com que uma força eletromotriz (fem) variável no tempo apareça
entre os pontos de abertura ou terminais. Essa fem induzida será então igual à taxa de variação
oposta do fluxo magnético concatenado com a espira em relação ao tempo, expressa por:
e 
d m
dt
(18.1)
Onde no Sistema Internacional de Unidades:
e = força eletromotriz induzida em volts (V);
 m = fluxo magnético em weber (Wb);
t = tempo em segundos (s).
e
N
S
Figura 18.2: força eletromotriz induzida e numa espira em circuito aberto.
A equação 18.1 é uma maneira de apresentar matematicamente a lei de Faraday e expressa a fem
induzida em um circuito devido à variação temporal do fluxo concatenado com ele. Analisando esta
equação em maiores detalhes, podemos ver que esta variação de fluxo concatenado pode ocorrer
através de:
- variação no tempo da intensidade de fluxo magnético;
- movimento relativo entre um campo magnético e o circuito ou algum de seus trechos;
- combinação de ambos.
Sabe-se que o fluxo magnético  m define o número de linhas de indução que atravessam uma
determinada superfície S. Assim, o fluxo concatenado com a espira é igual à integral da componente
normal do vetor indução magnética sobre a superfície aberta delimitada pelo contorno da espira, ou
seja:
 
m  B  dS

s
(18.2)
onde:

2
2
B = vetor indução magnética, em weber/m (Wb/m ).

2
dS = vetor elemento diferencial de área, em m orientado pela Regra da Mão Direita (RMD) em
função do sentido da corrente que gera o fluxo magnético na espira.
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171

A fem e em um circuito é igual à integral de linha do vetor intensidade de campo elétrico E ,
associado à corrente induzida ao longo do comprimento da espira, considerando a separação entre
os terminais como sendo desprezível. Assim:
 
e E  d l

(18.3)
l
Substituindo a equação (18.2) em (18.1), teremos para a fem induzida:
e 
d  
B  dS
dt s

(18.4)
Fisicamente esta fem encontra-se distribuída ao longo do circuito na espira em fontes diferenciais,
não sendo possível saber a priori onde ela se concentra. Vamos a seguir analisar cada possibilidade
em que a variação temporal do fluxo resulta em fem ou tensão induzida em um circuito.
18.2 - Tensão induzida por efeito variacional
Neste caso a variação do fluxo magnético concatenado com um circuito é devida apenas à variação

do vetor B (indução magnética) em relação ao tempo e se restringe à derivada parcial do campo
gerador do fluxo magnético em relação ao tempo. Considerando a espira ou circuito fechado
estacionário ou mantendo sua forma fixa podemos reescrever a equação (18.4) da seguinte forma:

B 
e  
 dS
s t

(18.5)
Em outras palavras, esta forma da lei de Faraday-Lenz expressa a fem induzida devido
especificamente à variação do vetor densidade de fluxo magnético ou indução magnética em relação
ao tempo para uma espira ou circuito fechado considerado estacionário em relação ao observador.
Ela também é chamada de tensão de transformador, sendo ela a base para a relação de
transformação entre as tensões primária e secundária, onde o circuito não apresenta nenhum
movimento relativo ou variação na sua forma geométrica. Combinando as equações (18.3) e (18.5 )
podemos escrever:

l
 
E  dL  

B 
 dS
S t

(18.6)
Esta é uma das equações de Maxwell, na forma integral, advinda da lei de Faraday, já conhecida
para campos magnetostáticos onde a integral de linha do campo elétrico resulta nula por um
caminho fechado. Mais adiante veremos que ela também pode ser expressa na forma diferencial.
Exemplo 18.1
Calcular a força eletromotriz induzida na espira retangular da figura 18.3, sabendo-se que ela está na
presença de um campo magnético variável no tempo produzido por uma corrente alternada senoidal
que flui em um fio retilíneo de comprimento infinito.
Solução:
z
Figura 18.3 – espira retangular na presença de
um campo magnético variável

B
a
i
r
0
b
c
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ELETROMAGNETISMO II

dS  drdz aˆ 
A espira está em repouso e sua forma
geométrica não varia. Da lei de Faraday vem
que:
e 

d  
B 
e
B  dS  e  
 dS
dt
t

S
a c

0 b

S
e
onde
  i

B  0 aˆ   0 Im sent aˆ 
2r
2r
 0 Im  cos t 
dr dz
2r
 0 Im  cos t  a c dr
0 b r dz
2
e
 0 Im  a cos t   c 
ln  
2
b
O sinal negativo na expressão da tensão justifica a aplicação da lei de Lenz, onde uma fem e,
distribuída ao longo da espira, induz um fluxo magnético que se opõe ao comportamento do fluxo
magnético produzido pela corrente i do condutor retilíneo. A título de exemplo, se o fluxo produzido
estiver aumentando, uma fem surge na espira e induz um fluxo magnético no intuito de diminuir o
crescimento do fluxo criado pela corrente i do condutor retilíneo.
18.3 - Tensão induzida por efeito mocional
Vimos pela equação (18.1) que a fem induzida que aparece em um contorno ou circuito fechado é
dada pela taxa de variação do fluxo magnético que o atravessa em relação ao tempo. Imaginemos
agora uma situação onde o campo magnético é mantido constante e o circuito elétrico, de alguma
maneira, tem a sua forma alterada, contribuindo com a variação do fluxo magnético concatenado
com o circuito, conforme pode ser ilustrado na figura 18.4. O circuito abaixo sofre uma modificação
na sua forma devido ao condutor em destaque que se move, levando a uma variação no fluxo no
decorrer do tempo.
x
dL
Em
e
L
B
v
Figura 18.4 – Condutor deslizando sobre condutores fixos.
Quando uma carga elétrica Q se move na presença de um campo magnético, ela está sujeita à ação
da força de Lorentz, perpendicular à sua velocidade e à indução magnética presente, na direção
orientada pela regra da mão direita, onde:

 
F  Q ( v  B)
(18.7)
Essa força agirá sobre os elétrons livres do condutor em movimento, deslocando-os na direção

oposta à da força F , buscando a separação das cargas positivas das negativas, dando origem a um

campo elétrico E m presente. O equilíbrio se dá quando a resultante da força magnética de Lorentz
com a força elétrica se anula em cada extremidade do condutor em movimento, de modo que:

 
Q Em   Q v  B


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(18.8)
173
ELETROMAGNETISMO II
 
O produto vetorial v  B aponta a localização das cargas positivas no condutor em movimento
enquanto que a separação entre as cargas positivas e negativas dá origem a um campo elétrico:

 
Em   v  B
(18.9)

Pela figura acima podemos ver que o trabalho por unidade de carga contra o campo elétrico E m dá
origem a uma diferença de potencial e entre as extremidades do condutor em movimento onde
e
acima

acima


 
E

d
L


 m
  v  B  dL

abaixo

(18.10)
abaixo
Esta diferença de potencial ou tensão elétrica é induzida no circuito quando um condutor se
movimenta ou tem a sua forma modificada em relação a um campo magnético, seja ele estacionário
ou não. Esse campo elétrico dá origem a uma fem no contorno ou circuito expressa por:

e
E
C
m

 dL 
 

 (v  B)  dL
(18.11)
L
Exemplo 18.2
Calcular a força eletromotriz induzida entre os pontos a e b da figura 18.5. O condutor entre c e d,
em destaque, desliza sobre outros dois condutores paralelos a uma velocidade uniforme v, na
presença de um campo magnético também uniforme (invariante no tempo) cuja indução vale B
orientada para dentro do plano do papel, conforme mostra figura 18.5.
d
a
Em
v
Figura 18.5
B
b
c

Em   v aˆ x   Baˆ z    vB aˆ y
Solução:
O campo magnético constante irá induzir uma
fem de efeito apenas mocional , onde
e

 


v

B

d
L

L
O vetor intensidade de campo elétrico, resulta
do produto vetorial oposto entre a velocidade
do condutor e o vetor indução magnética, na
direção de d para c valendo
A integral de linha contra o campo ao longo
do condutor móvel de comprimento L de c
para d resulta:
d
e     vB aˆ y  dyaˆ y  BLv
c
Esta é a expressão da fem induzida apenas
pelo efeito mocional.
18.4 - Caso Geral de Indução
A equação (18.4) explica a Lei de Faraday na sua forma geral, ou seja, justifica que a fem induzida
ocorre pela variação do fluxo magnético no tempo, motivado pela variação do campo magnético e/ou
pela variação na geometria do circuito. A combinação dos dois casos, ou seja, o movimento do
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174
ELETROMAGNETISMO II
condutor em relação ao campo magnético e este variando em relação ao tempo constituem no caso
geral de indução. A superposição dos efeitos resulta para a fem induzida



  

B
e     v  B  dL  
 dS 
 L

S t




(18.12)
O sinal negativo no lado direito da expressão acima apenas indica a polaridade da fonte induzida ou
das fontes induzidas por efeito mocional e variacional das fems, segundo a lei de Lenz.
Exemplo 18.3
Resolver o exemplo anterior, porém com B variante no tempo segundo B B0 cos t  , independente
da posição.
e   B0 L v cos  t   B 0 L  x sen  t 
Solução:
Considerando a variação do campo magnético
no tempo além da variação na geometria do
circuito em relação ao tempo a fem induzida é
dada por:

 
e   v  B  dL 


L
e   B0 L v cos t    x sen t 
Multiplicando e dividindo o segundo lado da
expressão acima por

B
S t  dS
O movimento da haste vertical com
velocidade v induz uma fem mocional dada
por:


v
x


e  B0L v 2  x 2 
cos t 
sen  t 
2
2
 v 2  x 2

v  x 


Fazendo

v

sen  
2
 v  x 2

d
emoc   vB 0 cos t  dy  B 0Lv cos t 
c
Por outro lado, a variação temporal da
indução magnética implica numa fem induzida
de efeito variacional expressa por:
e var


x


e
cos




2
2

 v  x 




Teremos
e   B0 L v 2  x  sen  cos t   cos  sen t 
2

dx
B 

 dS     B 0 sent aˆ z  dxdy aˆ z
t
S
v 2  x 2 tem-se:
Logo a fem induzida será também variante no
tempo e dada por
c0
e var    B 0 L x sen t 
e  B 0 L v 2  x 2 sent   
A superposição dos efeitos resulta em
18.5 – Lei da indução eletromagnética de Faraday na forma diferencial
A aplicação do teorema de Stokes à primeira integral da equação 18.6 resulta em:




LE  dL  S   E  dS
(18.13)
Assim:



B 
  E  dS   
 dS
S t
S 

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(18.14)
175
ELETROMAGNETISMO II
Como as duas integrais de superfície são calculadas sobre o mesmo domínio de integração, ou seja,
sobre a mesma superfície, podemos igualar os integrandos de modo que:

B
  E 
t
(18.15)
Esta é uma das quatro equações de Maxwell, deduzida da equação da indução eletromagnética de
Faraday na forma diferencial.
Exemplo 18.4
Suponha uma densidade de fluxo magnético B  B 0 sent aˆ z . Uma espira circular de raio r é posta
na presença deste campo magnético, no plano z = 0. Determinar a expressão para o vetor
intensidade de campo elétrico, utilizando a formulação da lei da Faraday na forma integral e na
forma diferencial.
Por outro lado, o vetor intensidade de campo
elétrico só possui a componente na direção
â  e sua magnitude só varia na direção radial.
Solução:
No caso, o circuito ou contorno elétrico
mantém sua forma dispensando a fem
induzida na forma mocional. Assim, utilizando
a forma integral, podemos escrever:
Portanto em coordenadas cilíndricas:
 
 1  r E
  E
â z
r r

 
B 
LE  dL   s  t  dS
Neste caso:
 
O comportamento da indução magnética é
uniforme em relação ao plano z e a integral de
linha do campo elétrico acompanha o formato
da espira, ao longo do percurso escolhido.
Assim, teremos
1 d r E
  B0  cos t 
r dr
Multiplicando ambos os membros pelo raio r,
separando as variáveis, e integrando:
E.2r   B 0  cost .r 2
r
  
d r E    rB0  cos  t  dr
L
ou:

B r
E   0 cos t .aˆ 
2

0
r E    B 0  cos  t 
Utilizando agora a forma diferencial teremos:
ou:


B
  E 
t
r2
2

B r
E   0
cos  t  â
2
como esperávamos.

B

  B 0  cos t .aˆ z
t
Comentários complementares
Vimos em estudos anteriores que uma distribuição estática (invariante no tempo) de cargas produz
um campo elétrico conservativo, onde a integral de linha deste campo sobre um contorno C
(caminho fechado) resulta nula. Desta forma:


 E  dL  0
C
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(18.16)
ELETROMAGNETISMO II
176
Sendo este campo elétrico estático conservativo, vimos também que suas linhas de força são
abertas e começam nas cargas positivas, terminando nas cargas negativas, de modo que a integral
de superfície do vetor densidade de fluxo sobre uma superfície S fechada traduz a carga líquida
envolvida por ela, em acordo com a lei de Gauss. Assim,


 D  dS  Q
(18.17)
envolvida
S
Quando as cargas elétricas apresentam variação no tempo, a lei de Faraday justifica a consistência
no tocante à conservação da energia, produzindo uma fem induzida que se opõe à variação do fluxo
magnético que lhe deu origem, ou seja,
 
d
d  
fem  E  dL   m  
B  dS
dt
dt


C
S
(18.18)
onde a superfície aberta S pode ser vista como a de um balão (inflável) cuja boca é definida pelo
percurso C fechado.

Como a superfície S é aberta devemos especificar a direção do fluxo de B através dela, vinculandoa com o sentido do contorno fechado C pela regra da mão direita. Colocando os dedos desta mão
com exceção do polegar percorrendo o sentido do contorno C, o polegar irá apontar a direção
vetorial de S, indicando o sentido positivo do fluxo “através da superfície”.
Assim, a lei de Faraday estabelece que qualquer fluxo magnético variante no tempo que atravessa
uma superfície S limitada por um contorno C irá produzir uma fem naquele contorno, muito similar à
de uma fonte de tensão. O sinal negativo na expressão para a tensão induzida (lei de Lenz)
estabelece que essa fem tem o objetivo de fazer circular uma corrente no contorno C cujo campo
magnético irá se opor à variação do campo original, mantendo a energia conservada. Essa fem
induzida pode ser inserida no contorno como uma fonte de tensão, não sendo possível definir sua
exata localização no circuito. A chave para se fazer cumprir apropriadamente a lei de Faraday está
no fato de termos o valor e a polaridade corretos na fonte inserida, o que será mais bem esclarecido
com a resolução dos exercícios propostos.
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ELETROMAGNETISMO II
177
EXERCÍCIOS
1) Uma bobina estacionária, quadrada, de oito espiras, tem vértices em (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0),
(2,2,0) em metros. Se um campo magnético normal à espira varia em função da posição,
segundo a lei B = 12 sen(x/2) seny/2), encontre a força eletromotriz induzida (fem) em valor
eficaz (rms) na espira, posto que B varia também harmonicamente no tempo em 800 Hz.
2) Um pêndulo de chumbo está se movimentando com a sua extremidade descrevendo um circulo
de 150 mm de raio sobre uma película de mercúrio, no sentido anti-horário, com uma ponta em
contato com o liquido (conforme a figura 18.6). O comprimento da parte do fio que está se
movimentando é de 1 m e leva 6 s para uma volta completa. O gancho que suporta o pêndulo
também suporta um fio rígido e estático vertical, ao longo do eixo do cone descrito pelo pêndulo.
Este fio faz contato com o mercúrio no centro do circulo, completando assim o circuito elétrico. Se
existe um campo magnético horizontal de 60 T, encontre a f.e.m induzida no circuito.
B
R
Figura 18.6 – figura para o problema 2
3 Um fio condutor oscila como um pêndulo, na presença de um campo magnético uniforme de
indução B = 1 mT, conforme a figura 18.7. A velocidade de um ponto sobre o fio, distante r m do
ponto P de articulação é dada por v =  d (r/R) cos(t), onde d é o deslocamento máximo
horizontal, ou amplitude. Se o comprimento R do pêndulo é 3 m, seu período T é dado por
T  2 R / 9.8 s, e d = 150 mm, determine a fem induzida no circuito.
P
r
R
e
B
d
Figura 18.7 – figura para o problema 3
4) Um campo magnético de indução uniforme B = 200 mT estende-se sobre uma área de100 mm de
lado, como na figura 18.8, sendo que fora desta área o campo magnético é nulo. Uma espira
retangular de 40 mm por 80 mm move-se através do campo com uma velocidade uniforme v.
a) Se uma tensão de 2 V é induzida na espira, encontre a velocidade v.
b) Determine os valores de x para os quais haverá tensão induzida.
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178
ELETROMAGNETISMO II
x
R
B
100 mm
r
B
v
v
100 mm
Figura 18.8 – figura para o
problema 4
Figura 18.9 – figura para o
problema 5
5) Encontre a máxima taxa de variação da fem induzida em um condutor retilíneo que se move com
velocidade v constante, perpendicularmente a um campo magnético uniforme de indução B,
produzido pelas faces circulares de um eletromagneto, como na figura 18.9. O campo magnético
é confinado ao limite de raio R. Em qual valor de r a máxima fem deve ocorrer?
6) Uma espira condutora é "pintada" em torno da linha equatorial de um balão esférico e flexível. Um
campo magnético de indução B = 0,2 cos (4t) T é aplicado perpendicularmente ao plano do
equador. O balão está se contraindo com uma velocidade radial v. Se quando o raio do balão é
0,5 m, o valor eficaz da tensão induzida é 5 V, encontre a velocidade v neste instante.
7) A figura 18.10 mostra uma barra metálica podendo mover-se para a direita com velocidade v ao
longo de dois trilhos condutores e paralelos separados pela largura w. Um campo magnético de
indução B é aplicado perpendicular ao contorno formado pelos trilhos e pela barra. Determine a
tensão induzida Vba para os seguintes casos: (a) B = 2 t Wb/m2 e v = 0, (b) B = 2 Wb/m 2 e v = 5
m/s, (c) B = 2 t Wb/m2 e v = 5 m/s e (d) B = 2 t Wb/m2 e v = 5 t m/s.
b
B
Vba
v
w
a
L
Figura 18.10 – figura para o problema 7.
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