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OS PASSEIOS ALEATÓRIOS DA CARLINHA
Irene Mauricio Cazorla
Verônica Yumi Kataoka
Camila Macedo Lima Nagamine
O
s Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática recomendam que o ensino de Probabilidade deve ter como meta para
o Ensino Fundamental I (BRASIL, 1997), fazer com que o aluno
compreenda que as noções de acaso e incerteza se manifestam intuitivamente em situações nas quais o aluno realize experimentos e
observe eventos (em espaços equiprováveis). No Ensino Fundamental II, uma das metas é fazer com que o aluno represente (tabelas,
diagrama de árvore) e conte os casos possíveis em situações combinatórias; construa o espaço amostral em várias situações, indicando a
possibilidade de sucesso de um evento pelo uso de uma razão
(BRASIL, 1998) . Já o aluno do Ensino Médio deve compreender que a
probabilidade é uma medida de incerteza, que os modelos são úteis
para simular eventos, para estimar probabilidades, e que algumas
intuições são incorretas e podem levar a uma conclusão equivocada
no que se refere à probabilidade e à chance (BRASIL, 2006).
Nessa perspectiva, a sequência de ensino “Passeios Aleatórios da
Carlinha” está adequada a essas recomendações curriculares, já que o
objetivo principal é apresentar conceitos básicos de probabilidade
utilizando a experimentação aleatória.
Utilizaremos no ambiente papel e lápis a versão com a Turma da Mônica e para o ambiente virtual do AVALE a turma da Carlinha, fazendo a
analogia da turma da Mônica para a turma da Carlinha é: Mônica –
Carlinha; Horácio – Luiz; Cebolinha – Felipe; Magali – Fernanda; Cascão
– Alex e Bidu – Paula.
Objetivos específicos
• Trabalhar as noções elementares da teoria de probabilidades:
eventos, espaço amostral, probabilidade de eventos simples.
• Construir tabelas simples e gráficos de barras.
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A Estatística vai à Escola
• Discutir as diferenças entre experimento determinístico e aleatório.
• Estimar probabilidades por meio da frequência relativa.
• Calcular a probabilidade teórica a partir da árvore de possibilidades.
• Analisar padrões observados e esperados.
Conteúdos
• Experimento determinístico e aleatório.
• Análise combinatória.
• Probabilidades clássica e frequentista.
• Gráficos de barras e tabelas simples e de dupla entrada.
Tempo estimado: 6 horas-aula.
Materiais
• Folhas separadas contendo a atividade de cada sessão.
• Folha de transparência (com a malha pronta para o desenho dos
gráficos de barras).
• Moeda e canetas coloridas (marcador para CD).
• Laboratório de informática.
Etapas de desenvolvimento no ambiente papel e lápis
Professor, no ambiente papel e lápis essa atividade pode ser
desenvolvida em quatro sessões, em três
encontros de duas horas (no primeiro encontro trabalhar sessões
I e II). Na primeira sessão os alunos devem ler a seguinte estória:
A Mônica e seus amigos moram no
mesmo bairro. A distância da casa
da Mônica para a casa de Horácio,
Cebolinha, Magali, Cascão e Bidu é
de quatro quarteirões (Figura 1). A
Mônica costumava visitar seus
amigos durante os dias da sema-
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Figura 1. Mapa dos passeios aleatórios
da Mônica.
Coleção UESC-Escola consCiência
na em uma ordem pré-estabelecida: segunda-feira, Horácio; terçafeira, Cebolinha; quarta-feira, Magali; quinta-feira, Cascão e sextafeira, Bidu. Para tornar mais emocionantes os encontros, a turma
combinou que o acaso escolhesse o amigo a ser visitado pela
Mônica. Para isso, na saída de sua casa e a cada cruzamento, Mônica
deve jogar uma moeda; se sair cara (C), andará um quarteirão para o
Norte, se sair coroa (X), um quarteirão para o Leste. Cada jogada
representa um quarteirão de percurso. Mônica deve jogar a moeda
quatro vezes para poder chegar à casa dos amigos.
Sessão 1: Contextualizando a situação-problema: a estória, explorando o conceito de probabilidade.
Lendo apenas a estória, sem jogar a moeda, responda:
1)Qual é a diferença entre a forma antiga da Mônica visitar seus
amigos e a nova forma?______________________________________________
2) Quais são os possíveis resultados ao lançar uma moeda: ________
3) Qual é a chance de sair cara: ___________ e de sair coroa:__________
Por que vocês acham isso: ___________________________________________
4) Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?
( ) Não. Quais são as chances: ______________________________________
( ) Sim. Qual é a chance: ____________________________________________
Por que vocês acham isso: _______________________________________
5) Imagine que vocês jogaram 4 vezes a moeda; como vocês anotariam
esse resultado imaginário?______________________________________
Professor, nessa sessão deve ser discutido com os alunos, por
exemplo as diferenças entre um experimento determinístico
(antiga forma de visita) e um experimento aleatório (nova forma de
visita); o espaço amostral no lançamento de uma moeda (Cara ou
Coroa); a honestidade de uma moeda (ela não ser viciada).
Na sessão seguinte, os alunos devem replicar 32 vezes o
experimento aleatório e estimar as probabilidades de visita de
cada amigo, utilizando a frequência relativa.
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A Estatística vai à Escola
Sessão 2: A experimentação aleatória
Para Mônica visitar um amigo, os alunos têm que lançar a moeda
quatro vezes, que denominamos de experimento. Se sair cara (C),
Mônica andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um
quarteirão para o Leste.
Repetição
Sequência
Amigo visitado
Repetição
1.
Sequência
Amigo visitado
17.
2.
18.
3.
19.
4.
20.
5.
21.
6.
22.
7.
23.
8.
24.
9.
25.
10.
26.
11.
27.
12.
28.
13.
29.
14.
30.
15.
31
16.
32.
6) Quem tem mais chance de ser visitado(a), Magali ou Horácio?___________ Por quê? __________________________________________
7) Existe a chance da Mônica não visitar algum amigo?
( ) Não ( ) Sim. Por quê? __________________________________________
8) Após a experimentação responda: Todos os amigos têm a
mesma chance de serem visitados?
( ) Não. Porque: __________________________________________________
( ) Sim. Porque: ___________________________________________________
9) Sistematizem os resultados do Quadro 1 na Tabela 1, chamada
de Tabela de Distribuição de Frequência – TDF.
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Coleção UESC-Escola consCiência
Tabela 1. Distribuição do número de visitas que cada amigo recebeu da Mônica
Amigo
Nº de vezes que foi
visitado (n)
Frequência relativa
(f)
Porcentagem
f(%)
Bidu
Cascão
Magali
Cebolinha
Horácio
Total
32
1,00
100,00
Em que f = n/32, representa uma estimativa da probabilidade.
1
10) Vocês estão recebendo um papel de transparência com duas
grades para construir gráficos, bem como canetas de transparência. Na grade de cima representem os dados da frequência relativa,
constante da Tabela 1. Comparem seus resultados com os dos seus
colegas. Esses são iguais? ( )Sim ( ) Não. O que vocês acham
disso?_________________________________________________________________
Professor, nessa fase os alunos devem perceber que cada dupla poderá apresentar um resultado diferente. Você pode aproveitar para
discutir o conceito de amostragem, uma vez que estes resultados são
frutos de um experimento, de uma amostra.
Em seguida você pode questionar se existe uma outra forma de determinar o número de vezes que cada amigo será visitado. Sendo
então a próxima etapa da atividade a construção da árvore de possibilidades.
Na terceira sessão eles constroem a árvore de possibilidades e calculam as probabilidades teóricas.
Sessão 3: A modelagem matemática (a árvore de possibilidades)
Completem a árvore de possibilidades, (Figura 2) indicando a sequência sorteada, o número de caras e o amigo visitado.
1
Essa grade está disponível no site do AVALE - EB (http://www.iat.educacao.ba.gov.br/avaleeb).
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A Estatística vai à Escola
Ponto
de
partida
Primeiro
sorteio
Segundo
sorteio
Terceiro
sorteio
Quarto
sorteio
X
X
Sequência
sorteada
Nº de
caras
XXXX
Amigo
visitado
0
Bidu
C
X
C
X
C
Mônica
C
Figura 2. Árvore de possibilidades.
Professor, ressalte que o uso
da árvore
de possibilidades
pode ser
substituído por 5
croquis, um para cada amigo,
no qual o aluno deve desenhar os possíveis caminhos
para cada um deles, anotando as sequências de cara e/
ou coroa, bem como o número de caras, como ilustrado
na Figura 3.
Horácio
Cebolinha
ccxx
Magali
cxcx
Cascão
cxxc
xxcc
xccx
Bidu
Mônica
Figura 3. Todos os caminhos que
levam Mônica à casa da Magali
11) Quantos caminhos existem ao todo? _________________________________________________________
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Coleção UESC-Escola consCiência
12) Descubram se existe uma relação comum a todos os caminhos
que levam à casa de cada um dos amigos:
Bidu __________________________________________________________________
Cascão _______________________________________________________________
Magali _______________________________________________________________
Cebolinha ____________________________________________________________
Horácio ______________________________________________________________
13) Após a construção da árvore de possibilidades, responda:
Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?
( ) Não, porque: _____________________________________________________
( ) Sim, porque: ______________________________________________________
14) Sistematizando os resultados da árvore de possibilidades, preencham a Tabela 2:
Tabela 2. Distribuição de probabilidade da visita da Mônica a seus amigos
Amigo
Nº de caminhos
Nº de caminhos/total
de caminhos (fração)
Probabilidade (p)*
Bidu
Cascão
Magali
Cebolinha
Horácio
Total
(*) Efetuar a divisão para expressar na forma decimal.
15) Na transparência, na grade de baixo, construam um gráfico de
barras com os dados da probabilidade (p) constante na Tabela 2.
Comparem seus resultados com os dos seus colegas. Esses são
iguais? ( )Sim ( )Não. O que vocês podem concluir? _______________
_________________________________
Analisando o diagrama da árvore verifica-se que existem 16 caminhos,
mutuamente excludentes, ou seja, a Mônica não pode percorrer
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A Estatística vai à Escola
simultaneamente dois ou mais caminhos. Como a moeda é honesta,
então os 16 caminhos são equiprováveis, consequentemente, a probabilidade igual a 1/16.
Professor, reforce que o fato de que cada caminho tem a mesma
probabilidade (1/16) não implica que todos os amigos têm a mesma
probabilidade de serem visitados pela Mônica. Como cada caminho
tem 1/16 de probabilidade de ser escolhido, então a probabilidade
de Mônica visitar Horácio seria 1/16 (pois existe apenas um caminho
que leva à sua casa), ocorrendo o mesmo fenômeno com Bidu. Já a
probabilidade de Cebolinha ser visitado seria 4/16, pois existem
quatro caminhos, o mesmo acontece com a probabilidade de Cascão ser visitado. A Magali teria a maior chance de ser visitada, pois,
para a casa dela, existem seis caminhos, logo essa probabilidade
seria 6/16.
Quanto à pergunta sobre se todos os amigos têm a mesma de chance
de ser visitado, nessa fase, você pode discutir com os alunos em que
momento da atividade eles mudaram de opinião. As nossas experiências em sala de aula têm mostrado que a maioria deles responde que
sim no início, mudando de opinião após a realização da experimentação aleatória ou após análise da árvore de possibilidades.
Na quarta sessão, os alunos devem comparar as estimativas com as
probabilidades teóricas, e entre os experimentos aleatórios e determinísticos.
Sessão 4: Comparando as duas formas de atribuir probabilidades
16) Preencham a Tabela 3 com os resultados das Tabelas 1 e 2:
Tabela 3. Quadro comparativo da atribuição de probabilidades
Amigo
Frequência relativa (fi)
Bidu
Cascão
Magali
Cebolinha
Horácio
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Probabilidade (pi)
Coleção UESC-Escola consCiência
17) Qual é a diferença entre essas duas formas de atribuir probabilidade? _____________________________________________________________
18) Analisando os resultados, para vocês, qual dessas duas maneiras
de atribuir probabilidades é mais adequada? ( ) frequentista ( )
árvore de possibilidades. Por que? __________________________________
19) Vocês acham justa a nova distribuição de probabilidades da visita da Mônica? ______________________________________________________
20) Caso vocês achem injusta essa distribuição, vocês poderiam indicar outra forma de sortear o amigo a ser visitado pela Mônica?
_______________________________________________________________________
Professor, os alunos podem achar que a forma como a Mônica escolhe o amigo a ser visitado é injusta com os amigos que moram
mais longe do ponto central, em favor dos que moram mais perto.
Por esta razão, seria interessante explorar mudanças na disposição
dos amigos.
Para indicar outra forma de sortear o amigo a ser visitado pela Mônica,
o aluno pode, ao invés de sortear o caminho a ser percorrido, sortear
diretamente o amigo a ser visitado. Para isso, cada criança deve anotar o
nome dos cinco amigos em papeizinhos do mesmo tamanho, dobrar,
colocar numa sacola, chacoalhar e escolher o amigo a ser visitado pela
Mônica, sendo que a probabilidade de ser escolhido é igual a 1/5, ou
20% das vezes. Deve-se observar ainda que, embora a probabilidade do
amigo ser visitado seja igual, é diferente do critério adotado
deterministicamente que também divide o número de visitas entre os
cinco amigos. A diferença do critério aleatório para o determinístico é
que no aleatório não se sabe, a priori, quem será visitado naquele dia,
enquanto que no determinístico, sim. Além disso, o número de visitas
que cada amigo vai receber não necessariamente vai ser um quinto das
vezes, vai depender dos sorteios, apenas pode-se esperar que todos
sejam igualmente visitados.
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A Estatística vai à Escola
Etapas de desenvolvimento no ambiente virtual AVALE
No AVALE (http://avale.uesc.br), os alunos podem potencializar a
análise dos resultados, sendo necessário um laboratório de
informática com acesso à internet, e um tempo estimado de 2 horas.
1ª Etapa – Cadastro do aluno
Cada dupla de alunos deve cadastrar um login e uma senha, e em
seguida acessar a atividade com essas informações (Figura 4).
Figura 4. Telas de cadastro do usuário e entrada.
2ª Etapa – Geração do banco de dados
Cada dupla deve cadastrar os resultados da experimentação aleatória e
enviá-los. Em seguida, a dupla poderá acessar o banco de dados da
turma completa, já que a geração ocorrerá em tempo real (Figura 5).
Figura 5. Fragmento da tela de entrada dos dados.
3ª Etapa – Análise dos resultados
Diferentes resultados podem ser gerados no AVALE, a saber: TDF por
dupla e para a turma; gráficos de barras comparando os resultados de
duas duplas; tabelas e gráficos de barras comparando a frequência
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Coleção UESC-Escola consCiência
relativa com a probabilidade teórica, tanto por dupla, como para a
turma completa, bem como para as simulações (Figura 6).
Professor, no AVALE estão disponíveis dois tipos de simulação representando 12.000 experimentos. Uma simulação fixa em que os resultados da tabela e do gráfico já foram previamente gerados e armazenados. A outra simulação, denominada dinâmica, em que o gráfico e
a tabela são gerados em tempo real.
Figura 6. Exemplos de tabela e gráficos gerados.
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