Uma Ordem Total para Números Fuzzy Intervalares Triangulares

Uma Ordem Total para Números Fuzzy Intervalares
Triangulares Simétricos
Tiago da Cruz Asmus and Graçaliz P. Dimuro
Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional
Programa de Pós-Graduação em Computação
Universidade Federal do Rio Grande – FURG
96203-090 Rio Grande, Brasil
{tiagoasmus,gracaliz}@gmail.com
Resumo Este trabalho tem como objetivo a introdução de um método de ordenação total para números fuzzy intervalares. Para atingir este fim, serão apresentados tópicos preliminares sobre teoria dos conjuntos fuzzy e fuzzy intervalares,
assim como será introduzida a definição e as propriedades da relação de AsmusDimuro que ordena números fuzzy. Esta ordem será então estendida para considerar números fuzzy intervalares triangulares simétricos. Serão também analisadas
as propriedades dessa nova relação de ordem para números fuzzy intervalares.
Keywords: Conjuntos Fuzzy Intervalares, Números Fuzzy Intervalares, Relações de Ordem
1
Introdução
Na modelagem de diversos tipos de problemas, muitas vezes o modelador precisa tomar
decisões que envolvem a comparação de dois ou mais valores. Quando esses valores estão representando incertezas, se utiliza a teoria dos conjuntos fuzzy, sendo que não há
um método universalmente aceito para ordenação de números fuzzy. Isso acontece pela
infinidade de formas que esse tipo de número pode assumir, o que torna a escolha do método a ser utilizado um fator importante no processo de tomada de decisão. [1,2,3,4,5,6]
Quando, além da incerteza modelada pelos números fuzzy, existe incerteza na forma
como esses números são construídos, podem ser utilizados números fuzzy intervalares [7]. Ordenar números fuzzy intervalares é ainda mais complexo e são poucos os trabalhos encontrados na literatura que tratam especificamente deste problema. [8,9,10,11]
Existem diversas aplicações que demandam que a relação de ordem adotada seja
total, para garantir uma solução. Por exemplo, na Teoria dos Jogos, a procurar por soluções exige a comparação das recompensas atribuídas às escolhas das estratégias por
parte dos jogadores. Se as recompensas são vagas, incertas, tal que sua representação
seja dada por um número fuzzy intervalar, então necessita-se de um método adequado
de ordenação para análise da solução [12,13]. Também, para a tomada de decisão, muitas vezes são utilizadas relações de preferência fuzzy, que fornecem graus representados
por intervalos, números fuzzy ou números fuzzy intervalares. A comparação entre esses
graus é necessária para escolha da melhor alternativa a ser adotada. [8,9,10,11]
48
T. C. Asmus, G. P. Dimuro
Entretanto, o problema da ordenação de números fuzzy intervalares se torna particularmente importante em determinadas aplicações, como por exemplo, na determinação
de soluções de equilíbrio em jogos Bayesianos fuzzy intervalares onde as probabilidades dos tipos dos jogadores são dadas por números fuzzy intervalares. [14,15,13]
Este trabalho introduz um método de ordenação de números fuzzy intervalares triangulares simétricos baseado em uma relação de ordem total que ordena números fuzzy
triangulares simétricos chamada ordem de Asmus-Dimuro [16]. Será apresentado como
essa ordem fuzzy foi desenvolvida, bem como suas propriedades, para então introduzir
a extensão para uma ordem fuzzy intervalar, com a análise das propriedades decorrentes dessa definição. O particular interesse em números fuzzy triangulares simétricos
está na sua utilização, em alguns trabalhos, para representar probabilidades intervalares. [14,15,13,17,18]
Este artigo está organizados como descrito a seguir. A Seção 2 resume os principais conceitos sobre conjuntos e números fuzzy necessários para o desenvolvimento do
trabalho. A Seção 3 apresenta uma breve discussão sobre ordenação de números fuzzy,
introduzindo a ordem de Asmus-Dimuro e a prova de propridades. Na Seção 4, são
apresentados os principais conceitos sobre conjuntos e números fuzzy intervalares. A
Seção 5 estende a definição da ordem de Asmus-Dimuro para números fuzzy intervalares, provando as propriedades principais.
2
Teoria dos Conjuntos Fuzzy
Se F é um subconjunto de U , então sua função característica é dada por:
χF (x) =
1, se x ∈ F
.
0, se x ∈
/F
(1)
Assim, χF (x) é uma função cujo domínio é U e a imagem está contida no conjunto
{0, 1}, significando que x ∈ F quando χF (x) = 1 e que x 6∈ F quando χF (x) = 0.
Quando se admite que um elemento x ∈ U pode pertencer parcialmente a F , então
pode-se definir uma função ϕF : U → [0, 1] chamada de função de pertinência do
conjunto fuzzy F . O valor da função ϕF indica o grau com que x pertence ao conjunto
F , onde ϕF (x) = 0 e ϕF (x) = 1 representam, respectivamente, a não pertinência
completa e a pertinência completa, respectivamente de x ao conjunto fuzzy F . Assim,
um conjunto clássico, ou crisp, passa a ser um caso particular de um conjunto fuzzy,
onde sua função de pertinência ϕF é a própria função característica χF .
Um subconjunto fuzzy F de U pode ser representado por um conjunto de pares
ordenados da forma (x, ϕF (x)), com x ∈ U , atribuindo assim um grau de pertinência
em F para cada elemento do domínio de U . Denomina-se suporte de F o conjunto supp
F = {x ∈ U |ϕF (x) > 0}, ou seja, o conjunto que denota todos os elementos de U que
pertençam, mesmo que parcialmente, ao conjunto F .
Denomina-se de alfa-níveis de F os subconjuntos clássicos de U definidos por
F [α] = {x ∈ U |ϕF (x) ≥ α}, para 0 < α ≤ 1. Ou seja, através dos alfa-níveis
de um conjunto fuzzy se obtém correspondentes conjuntos clássicos formados apenas
Uma Ordem Total para Números Fuzzy Intervalares Triangulares Simétricos
49
com elementos que pertençam a F com grau de pertinência maior que α. Em particular,
F̂ [0] é definido como o fecho do suporte de F .1 .
2.1
Números fuzzy
Um conjunto fuzzy F̄ é chamado de número fuzzy quando ϕF̄ está definida no conjunto
dos números reais R, e as seguintes condições são satisfeitas:
a) todos os alfa-níveis de F̄ são não vazios, com 0 ≤ α ≤ 1;
b) todos os alfa-níveis de F̄ são intervalos fechados de R;
c) supp F̄ = {x ∈ R|ϕF̄ (x) > 0} é limitado.
Um número fuzzy é dito triangular se possuir uma função de pertinência com a
seguinte forma:

0,
se x ≤ a





x−a



 u − a , se a < x ≤ u
(2)
ϕF̄ (x) = x − b


,
se
u
<
x
≤
b


u−b




 0,
se x ≥ b.
Assim, o número fuzzy triangular F̄ é definido pelos números reais a, u e b, e é
denotado pela terna ordenada (a/u/b), onde u é chamado de core desse número fuzzy,
pois é o único valor que pertence completamente ao conjunto F̄ , ou seja, ϕF̄ (u) = 1.
O gráfico de sua função de pertinência pode ser visto na Figura 1, e sua representação
através de seus alfa-níveis F̄ [α] corresponde ao intervalo [(u − a)α + a, (u − b)α + b].
De particular interesse para este trabalho são os números fuzzy triangulares simétricos,
quando b − u = u − a, pois eles são utilizados para se modelar a expressão "em torno
de".
Figura 1. Gráfico da função de pertinência de um número fuzzy triangular.
1
Para maiores detalhes sobre a teoria dos conjuntos fuzzy, consulte [19].
50
3
T. C. Asmus, G. P. Dimuro
Ordenação de Números Fuzzy
Dados dois números fuzzy F¯1 e F¯2 , existem diversos métodos de ordenação para determinar se F¯1 ≤ F¯2 [18]. A escolha de qual método de ordenação a utilizar depende
das formas de F¯1 e F¯2 e do problema que está sendo modelado. Uma comparação entre
diversos métodos existentes pode ser encontrada em [1].
Um tipo de abordagem comum para se ordenar números fuzzy é através de uma
função de ordenação que mapeia cada número fuzzy na reta dos números reais, bastando
comparar esses valores reais. Outros métodos são baseados na obtenção de um conjunto
fuzzy de alternativas ótimas, considerando um grau que meça o quanto cada alternativa
pode ser a melhor, ou seja, o maior número fuzzy [1].
Muitos outros métodos estão presentes na literatura, mas nenhum que seja eficiente
e prático para se trabalhar com números fuzzy triangulares simétricos [1] e, além disso,
leve em consideração a precisão da informação contida do número fuzzy. Para tratar
deste tipo específico de problema, foi elaborada a ordem de Asmus-Dimuro. Antes de
introduzí-la, serão apresentadas duas relações de ordem parciais que serviram de inspiração para sua elaboração.
Relação de ordem (1) [18]:
Dados dois números fuzzy F¯1 , com alfa-nível F¯1 [α] = [a1 (α), a2 (α)], e F¯2 , com
alfa-nível F¯2 [α] = [b1 (α), b2 (α)], então tem-se que:
F¯1 ≤ F¯2 ⇔ ∀α : F¯1 [α] ≤ F¯2 [α],
(3)
∀α ∈ [0; 1] : F¯1 [α] ≤ F¯2 [α] ⇔ a1 (α) ≤ b1 (α) ∧ a2 (α) ≤ b2 (α).
(4)
onde
Observe que a relação ≤ definida na Eq. (4) constitui a relação de ordem parcial de
Kulisch-Miranker da Matemática Intervalar, possuindo as seguintes propriedades para
números fuzzy F¯1 , F¯2 e F¯3 : [20,21]
(a) Reflexiva: F¯1 ≤ F¯1 ;
(b) Antissimetria: F¯1 ≤ F¯2 ∧ F¯2 ≤ F¯1 ⇒ F¯1 = F¯2 ;
(c) Transitividade: F¯1 ≤ F¯2 ∧ F¯2 ≤ F¯3 ⇒ F¯1 ≤ F¯3 .
Assim, ≤ definida na Eq. (3) representa uma relação de ordem. É imediato que é
uma relação parcial, mas não total [20,21].
Relação de ordem (2) [17]:
F¯1 ≤ F¯2 ⇔ ∀α ∈ [0; 1] : F¯1 [α] ⊆ F¯2 [α].
(5)
A relação ≤ dada na Eq.(5) é definida com base na relação de inclusão de intervalos,
também estudada Matemática Intervalar, possuindo as propriedades (a), (b) e (c) acima
citadas, sendo então uma relação de ordem, que também é parcial e não total. [20,21]
Relação de ordem de Asmus-Dimuro [16]:
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51
A relação de ordem introduzida por Asmus e Dimuro [16] para números fuzzy triangulares simétricos estende a relação de ordem (1) e reinterpreta a relação de ordem
(2).
Considere nesta seção os números fuzzy triangulares simétricos
F¯1 = (a1 /u1 /b1 ) e F¯2 = (a2 /u2 /b2 ),
com seus respectivos α-níveis representados por
F¯1 [α] = [(u1 − a1 )α + a1 , (u1 − b1 )α + b1 ]
F¯2 [α] = [(u2 − a2 )α + a2 , (u2 − b2 )α + b2 ].
(6)
(7)
A relação de igualdade =
¯ é então definida como:
F¯1 =
¯ F¯2 ⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2 .
(8)
¯ utiliza-se um grau de imprecisão ρ ∈ (0; 1] que determina
Para definir a relação <,
o quanto os valores dos cores dos números comparados vão ser determinantes para ordenar números fuzzy muito próximos. Tomando valores de ρ próximos de zero, dá-se
mais importância à precisão da informação contida no número fuzzy do que na quantidade numérica que ele representa. Analisando esse caso graficamente, números fuzzy
“estreitos” tendem a ser maiores do que números fuzzy “largos”, pois os primeiros carregam melhor informação do que os últimos. [22,23,24]
¯ é definida por quatro condições, bastando que uma delas se
Assim, a relação <
verifique para a relação ser verdadeira. Essas condições abrangem todas as possibilidades de posicionamento entre dois números fuzzy triangulares simétricos, levando em
consideração ainda o grau de imprecisão ρ determinado de acordo com o problema
modelado [16]. Então, define-se:
F¯1 < F¯2 ⇔
(9)
(a1 < a2 ) ∧ (b1 ≤ b2 )
∨(a1 < a2 ) ∧ (b2 < b1 ) ∧ (u1 ≤ u2 )
∨(a1 < a2 ) ∧ (b2 < b1 ) ∧ (u2 < u1 ) ∧
[∀α : (0 ≤ α ≤ ρ) ∧ (u1 − a1 )α + a1 ≤ (u2 − a2 )α + a2 ]
∨(a2 ≤ a1 ) ∧ ((b1 < b2 ) ∧ (u1 < u2 ) ∧
[∃α : (0 ≤ α ≤ ρ) ∧ (u1 − a1 )α + a1 < (u2 − a2 )α + a2 ].
Com base nas expressões (8) e (9), define-de para quaisquer números fuzzy triangulares simétricos F¯1 e F¯2 :
¯ F¯2 ⇔ F¯1 =
¯ F¯2
F¯1 ≤
¯ F¯2 ∨ F¯1 <
(10)
Tem-se que esta relação satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e
transitividade, e, portanto, é uma relação de ordem. Além disso, é válido que
¯ F¯2 ∨ F¯2 <
¯ F¯1 ,
∀F¯1 , F¯2 : F¯1 =
¯ F¯2 ∨ F¯1 <
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T. C. Asmus, G. P. Dimuro
e, portanto, constitui uma relação de ordem total. [16]
Segue então uma versão resumida das provas dessas propriedades, contendo algumas imagens como exemplos ilustrativos. A versão completa dessas provas está
em [25].
¯ F¯2 ∨ F¯2 <
¯ F¯1 .
Proposition 1. ∀F¯1 , F¯2 : F¯1 =
¯ F¯2 ∨ F¯1 <
Prova. Sejam F¯1 = (a1 /u1 /b1 ) e F¯2 = (a2 /u2 /b2 ) dois números fuzzy triangulares
simétricos. Serão analisadas todas as possíveis posições relativas entre F¯1 e F¯2 através
da comparação de a1 com a2 , b1 com b2 e u1 com u2 . Como F¯1 e F¯2 são números
triangulares simétricos, apenas os seguintes casos serão analisados:
1o Caso: (a1 = a2 ) ∧ (u1 = u2 ) ∧ (b1 = b2 ) ⇒ F¯1 =
¯ F¯2 .
¯ F¯2 .
2o Caso: (a1 = a2 ) ∧ (u1 < u2 ) ∧ (b1 < b2 ) ⇒ F¯1 <
¯ F¯1 .
3o Caso: (a1 = a2 ) ∧ (u2 < u1 ) ∧ (b2 < b1 ) ⇒ F¯2 <
¯ F¯2 . Veja o exemplo da Fig. 2.
4o Caso: (a1 < a2 ) ∧ (u1 < u2 ) ∧ (b1 = b2 ) ⇒ F¯1 <
¯ F¯2 .
5o Caso: (a1 < a2 ) ∧ (u1 < u2 ) ∧ (b1 < b2 ) ⇒ F¯1 <
Figura 2. Exemplo do 4o Caso.
Figura 3. Exemplo do 6o Caso.
¯ F¯2 . Veja o exemplo da Fig. 3.
6o Caso: (a1 < a2 ) ∧ (u1 = u2 ) ∧ (b2 < b1 ) ⇒ F¯1 <
¯ F¯2 .
7o Caso: (a1 < a2 ) ∧ (u1 < u2 ) ∧ (b2 < b1 ) ⇒ F¯1 <
8o Caso: (a1 < a2 ) ∧ (u2 < u1 ) ∧ (b2 < b1 ).
Para esse caso existem duas possíveis implicações, que vão depender do valor atribuído a ρ. Se ∀α : (0 ≤ α ≤ ρ) ∧ (u1 − a1 )α + a1 ≤ (u2 − a2 )α + a2 , então
¯ F¯2 . No entanto, se ∃α : (0 ≤ α ≤ ρ) ∧ (u2 − a2 )α + a2 < (u1 − a1 )α + a1
F¯1 <
¯ F¯1 .
então F¯2 <
Essas duas conclusões são consequência direta da Definição 9. Para facilitar a visualização, assume-se δ como o valor da ordenada do ponto de intersecção das retas
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¯ F¯2 , e se ρ < δ,
(u1 − a1 )α + a1 e (u2 − a2 )α + a2 . Logo, se δ ≤ ρ então F¯1 <
¯ F¯1 . Os dois casos estão ilustrados na Fig. 4.
então F¯2 <
Figura 4. Exemplos do 8o Caso, variando o valor de ρ.
¯ F¯1 .
9o Caso: (a2 < a1 ) ∧ (u1 = u2 ) ∧ (b1 < b2 ) ⇒ F¯2 <
¯ F¯2 ∨ F¯2 <
¯ F¯1 .
10o Caso:(a2 < a1 ) ∧ (u1 < u2 ) ∧ (b1 < b2 ) ⇒ F¯1 <
Este caso é semelhante ao 8o , apenas invertendo as posições de F¯1 e F¯2 .
¯ F¯1 .
11o Caso: (a2 < a1 ) ∧ (u2 < u1 ) ∧ (b1 = b2 ) ⇒ F¯2 <
¯ F¯1 .
12o Caso: (a2 < a1 ) ∧ (u2 < u1 ) ∧ (b1 < b2 ) ⇒ F¯2 <
¯ F¯1 .
13o Caso: (a2 < a1 ) ∧ (u2 < u1 ) ∧ (b2 < b1 ) ⇒ F¯2 <
Todas as implicações apresentadas são consequência direta da Eq. (9). Assim, percebe¯ F¯2 ∨ F¯2 <
¯ F¯1 , justase que para todos os casos possíveis, teve-se que F¯1 =
¯ F¯2 ∨ F¯1 <
mente o que se desejava provar.u
t
¯ é reflexiva.
Proposition 2. A relação ≤
¯ F¯1 . A prova é imediata, pois
Prova. Sendo F¯1 = (a1 /u1 /b1 ), deseja-se provar que F¯1 ≤
¯
¯
¯
¯
¯
a1 = a1 ∧ u1 = u1 ∧ b1 = b1 ⇔ F1 =
¯ F1 , logo, F1 ≤F1 . t
u
¯ é antisimétrica.
Proposition 3. A relação ≤
¯ F¯2 ∧ F¯2 ≤
¯ F¯1 ⇒ F¯1 =
Prova. Deseja-se provar que F¯1 ≤
¯ F¯2 . Analisando cada possibilidade separadamente:
¯ F¯2 ∧ F¯2 <
¯ F¯1 .
1o Caso: F¯1 <
Essa assertiva é falsa, pois segundo a Proposição 1 observou-se que dados quais¯ F¯2 e F¯2 <
¯ F¯1 simultaneamente.
quer F¯1 e F¯2 não há nenhum caso em que F¯1 <
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¯ F¯1 .
2o Caso: F¯1 =
¯ F¯2 ∧ F¯2 <
Por motivo similar ao caso anterior, essa assertiva é falsa.
¯ F¯2 ∧ F¯2 =
3o Caso: F¯1 <
¯ F¯1 .
Novamente, uma assertiva falsa por contradizer a Proposição 1.
o
4 Caso: F¯1 =
¯ F¯2 ∧ F¯2 =
¯ F¯1 ⇒ F¯1 =
¯ F¯2 .
Esse é o único caso onde a assertiva resulta em uma consequência verdadeira, e
¯ F¯2 ∧ F¯2 ≤
¯ F¯1 ⇒ F¯1 =
prova que F¯1 ≤
¯ F¯2 . t
u
¯ é transitiva.
Proposition 4. A relação ≤
Prova. Sendo F¯1 = (a1 /u1 /b1 ), F¯2 = (a2 /u2 /b2 ) e F¯3 = (a3 /u3 /b3 ), deseja-se
¯ F¯2 ∧ F¯2 ≤
¯ F¯3 ⇒ F¯1 ≤
¯ F¯3 .
provar que F¯1 ≤
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Supondo F1 <F2 ∧ F2 <F3 e um 0 < ρ ≤ 1 arbitrário, segundo a Definição 9
tem-se que:
{(a1 < a2 ∧ b1 ≤ b2 ) ∨ (a1 < a2 ∧ b2 < b1 ∧ u1 ≤ u2 ) ∨
(a1 < a2 ∧ b2 < b1 ∧ u2 < u1 ∧ [∀α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u1 − a1 )α + a1 ≤ (u2 − a2 )α + a2 ]) ∨
(a2 ≤ a1 ∧ b1 ≤ b2 ∧ u1 < u2 ∧ [∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u1 − a1 )α + a1 < (u2 − a2 )α + a2 ])}
∧
{(a2 < a3 ∧ b2 ≤ b3 ) ∨ (a2 < a3 ∧ b3 < b2 ∧ u2 ≤ u3 ) ∨
(a2 < a3 ∧ b3 < b2 ∧ u3 < u2 ∧ [∀α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u2 − a2 )α + a2 ≤ (u3 − a3 )α + a3 ]) ∨
(a3 ≤ a2 ∧ b2 ≤ b3 ∧ u2 < u3 ∧ [∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u2 − a2 )α + a2 < (u3 − a3 )α + a3 ])}.
Analisam-se então todas as possíveis formas de F¯1 ser menor que F¯2 e, simultaneamente, F¯2 ser menor que F¯3 , segundo a Definição 9. Por ser uma demonstração longa
com vários casos cuja análise se dá de forma semelhante, serão apresentados apenas
alguns desses casos. A demonstração completa pode ser vista em [25].
1o Caso: (a1 < a2 ∧ b1 ≤ b2 ) ∧ (a2 < a3 ∧ b2 ≤ b3 ).
Como a relação < para números reais é transitiva, então tem-se, por exemplo, que
a1 < a2 ∧ a2 < a3 ⇒ a1 < a3 . Assim:
¯ F¯3 .
(a1 < a2 ∧ b1 ≤ b2 ) ∧ (a2 < a3 ∧ b2 ≤ b3 ) ⇒ a1 < a3 ∧ b1 ≤ b3 ⇒ F¯1 <
2o Caso: (a1 < a2 ∧ b1 ≤ b2 ) ∧ (a2 < a3 ∧ b3 < b2 ∧ u2 ≤ u3 ).
Da mesma forma obtida no caso anterior, tem-se que:
(a1 < a2 ∧ b1 ≤ b2 ) ∧ (a2 < a3 ∧ b3 < b2 ∧ u2 ≤ u3 ) ⇒ a1 < a3 ∧ u1 < u3 .
Como não há relação direta entre b1 e b3 , analisa-se todas as possibilidades. São
elas:
¯ F¯3 ;
i) a1 < a3 ∧ u1 < u3 ∧ b1 < b3 ⇒ F¯1 <
¯ F¯3 ;
ii) a1 < a3 ∧ u1 < u3 ∧ b1 = b3 ⇒ F¯1 <
¯ F¯3 .
iii) a1 < a3 ∧ u1 < u3 ∧ b3 < b1 ⇒ F¯1 <
Assim, conclui-se que:
¯ F¯3 .
(a1 < a2 ∧ b1 ≤ b2 ) ∧ (a2 < a3 ∧ b3 < b2 ∧ u2 ≤ u3 ) ⇒ F¯1 <
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3o Caso:
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(a1 < a2 ∧ b1 ≤ b2 ) ∧ (a2 < a3 ∧ b3 < b2 ∧ u3 < u2
∧ [∀α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u2 − a2 )α + a2 ≤ (u3 − a3 )α + a3 ]).
(11)
¯ F¯1 tem-se duas
A única conclusão direta que se tem é que a1 < a3 . Supondo F¯3 ≤
possibilidades:
i) F¯3 =
¯ F¯1 , que é falsa pois a1 < a3 ;
¯ F¯1 . Utilizando a Eq. (9), a única condição que não contraria a assertiva
ii) F¯3 <
a1 < a3 é:
(a1 ≤ a3 ) ∧ (b3 ≤ b1 ) ∧ (u3 < u1 ) ∧ [∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u3 −a3 )α+a3 < (u1 −a1 )α+a1 ].
(12)
Das expressões (11) e (12) tem-se que:
[∀α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u2 − a2 )α + a2 ≤ (u3 − a3 )α + a3 ] ∧
[∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u3 − a3 )α + a3 < (u1 − a1 )α + a1 ] ⇒
∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u2 − a2 )α + a2 < (u1 − a1 )α + a1 .
(13)
Para analisar a implicação contida na Eq. (13), atribui-se os valores extremos
permitidos a α ∈ [0, 1]. Ao tomar α = 0 tem-se que a2 < a1 , e para α = 1
obtém-se u2 < u1 , e ambas são sentenças falsas, pois contrariam a Eq. (11).
Assim, a Eq. (13) é falsa, pois não há valor de α que satisfaça (u2 −a2 )α+a2 <
¯ F¯1 também é falsa.
(u1 − a1 )α + a1 , e por conseguinte, F¯3 <
¯ F¯1 e F¯3 =
Como F¯3 <
¯ F¯1 são falsas, pela Proposição 1 só se pode concluir que
¯ F¯3 .
F¯1 <
6o Caso: (a1 < a2 ∧ b2 < b1 ∧ u1 ≤ u2 ) ∧ (a2 < a3 ∧ b3 < b2 ∧ u2 ≤ u3 ).
Nesse caso a conclusão é imediata, pois (a1 < a2 ∧ b2 < b1 ∧ u1 ≤ u2 ) ∧ (a2 <
¯ F¯3 .
a3 ∧ b3 < b2 ∧ u2 ≤ u3 ) ⇒ (a1 < a3 ∧ b3 < b1 ∧ u1 ≤ u3 ) ⇒ F¯1 <
12o Caso: (a1 < a2 ∧ b2 < b1 ∧ u2 < u1 ∧ [∀α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u1 − a1 )α
+a1 ≤ (u2 − a2 )α + a2 ]) ∧ (a3 ≤ a2 ∧ b2 ≤ b3 ∧ u2 < u3
∧ [∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u2 − a2 )α + a2 < (u3 − a3 )α + a3 ]).
(14)
Pode-se concluir da Eq. (14) que ∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u1 − a1 )α + a1 <
(u3 − a3 )α + a3 ], o que torna falsa a sentença F¯1 =
¯ F¯3 . Atribuindo α = 0, tem-se
que a1 < a3 , e tomando α = 1, tem-se que u1 < u3 . Assim, todas as sentenças da
¯ F¯1 contrariam pelo menos uma das conclusões da Eq. (14). Como
Eq. (9) para F¯3 <
¯
¯
¯
¯
¯
¯ F¯3 .
F3 <F1 e F3 =
¯ F1 são falsas, pela Proposição 1 tem-se que F¯1 <
13o Caso:{a2 ≤ a1 ∧ b1 ≤ b2 ∧ u1 < u2 ∧ [∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u1 − a1 )α
+a1 < (u2 − a2 )α + a2 ]} ∧ (a2 < a3 ∧ b2 ≤ b3 ).
(15)
¯ F¯1 , a única
Conclui-se que b1 < b3 e u1 < u3 , logo, F¯1 =
¯ F¯3 é falsa. Supondo F¯3 <
sentença da Eq. (9) que não contraria b1 < b3 nem c1 < c3 é:
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T. C. Asmus, G. P. Dimuro
(a3 < a1 ) ∧ (b1 < b3 ) ∧ (u1 < u3 ) ∧ [∀α : (0 ≤ α ≤ ρ) ∧ (u3 −a3 )α+a3 ≤ (u1 −a1 )α+a1 ].
(16)
Das expressões (15) e (16):
[∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u1 − a1 )α + a1 < (u2 − a2 )α + a2 ]} ∧
[∀α : (0 ≤ α ≤ ρ) ∧ (u3 − a3 )α + a3 ≤ (u1 − a1 )α + a1 ] ⇒
∃α : 0 ≤ α ≤ ρ ∧ (u3 − a3 )α + a3 < (u2 − a2 )α + a2 .
(17)
Atribuindo valores para α na Eq. (17), tem-se que a3 < a2 quando α = 0, e
u3 < u2 quando α = 1, sendo que os dois casos contrariam a Eq. (16). Assim,
¯ F¯1 é falsa.
F¯3 <
¯ F¯3 .
Pela Proposição 1, conclui-se que F¯1 <
Assim, pelo estudo de todas as possibilidades, observa-se que:
¯ F¯2 ∧ F¯2 <
¯ F¯3 ⇒ F¯1 <
¯ F¯3
F¯1 <
(18)
¯
provando a transitividade para a relação <.
A prova da transitividade da relação =
¯ é mais simples. Dados F¯1 = (a1 /u1 /b1 ),
¯
¯
F2 = (a2 /u2 /b2 ) e F3 = (a3 /u3 /b3 ), da Definição 8 tem-se que:
F¯1 =
¯ F¯2 ∧ F¯2 =
¯ F¯3 ⇔ [(a1 = a2 ) ∧ (b1 = b2 )] ∧ [(a2 = a3 ) ∧ (b2 = b3 )].
(19)
Pela transitividade da relação = para números reais, conclui-se que a1 = a3 e
b1 = b3 , e pela Eq. (8), isso significa que F¯1 =
¯ F¯3 .
¯ também é, o que completa a prova. t
¯ e=
Como <
¯ são relações transitivas, então ≤
u
¯ é reflexiva, antissimétrica e transitiva, ela configura uma relação
Como a relação ≤
de ordem. E pela Proposição (1), conclui-se que:
¯ é uma relação de ordem total.
Theorem 1. A relação ≤
4
Teoria dos Conjuntos Fuzzy Intervalares
A teoria dos conjuntos fuzzy se mostra como uma ferramenta útil para modelar incerteza. No entanto, muitas vezes existe dificuldade para se estipular os graus de pertinência a serem utilizados para determinados problemas. Para contornar essa situação,
vários autores (por exemplo, como em [22,23]) representam dos graus de pertinência
através de intervalos reais, expandindo assim conjuntos fuzzy para conjuntos fuzzy intervalares.
Considerando IR como o conjunto de todos intervalos reais, denomina-se de intervalo de unidade real o conjunto U = [0, 1] ∈ IR, e define-se U = {[a, b] | 0 ≤ a ≤
b ≤ 1} como o conjunto de todos os sub-intervalos de U .
Assim, um subconjunto fuzzy intervalar A de um conjunto real R é definido como
o conjunto de pares ordenados A = {(x, µA (X)) | x ∈ R}, onde µA : R → U é a
Uma Ordem Total para Números Fuzzy Intervalares Triangulares Simétricos
57
função de pertinência intervalar de A. Os valores extremos de um intervalo fechado A
são dados por r(A) (extremo inferior) e l(A) (extremo superior).
Se a função de pertinência intervalar µA for contínua2 , então existem funções contínuas µAi , µAs : R → U chamadas, respectivamente, de função de pertinência inferior
(FPI) e função de pertinência superior (FPS), tais que, para todo x ∈ R, tem-se que:
µA (x) = [µAi (x), µAs (x)],
(20)
onde µAi (x) ≤ µAs (x).
Os suportes inferiores e superiores de um subconjunto intervalar A de R são definidos, respectivamente, como:
isuppA = {x ∈ R | µAi (x) > 0};
(21)
ssuppA = {x ∈ R | µAs (x) > 0}.
(22)
Para o mesmo A, o core desse conjunto fuzzy intervalar é definido como:
coreA = {x ∈ R | µAs (x) = [1; 1]}.
(23)
coreA = {x ∈ R | µAi (x) = µAs (x) = 1}.
(24)
Logo, tem-se que:
Sendo [α1 , α2 ] ∈ U, então os [α1 , α2 ]-níveis de A são definidos como:

{x ∈ R | µA (x) ≥ [α1 , α2 ]},
se α1 6= 0




A[α1 , α2 ] = Ai [0] ∩ {x ∈ R | µA (x) ≥ [α1 , α2 ]}, se α1 = 0 ∧ α2 6= 0



se α1 = α2 = 0.
 Ai [0] ∩ As [0],
(25)
onde Ai [0] é o fecho do suporte de Ai e As [0] é o fecho do suporte de As .
Os conjuntos fuzzy intervalares também podem ser descritos através de seus alfaníveis.
4.1
Números Fuzzy Intervalares
Um número fuzzy intervalar é definido como uma extensão intervalar da definição de
número fuzzy apresentada, levando em consideração a abordagem dos conjuntos fuzzy
intervalares. Assim, um número fuzzy intervalar N̂ é definido como um subconjunto
fuzzy intervalar de R com as seguintes características:
a) os alfa-níveis e o core de N̂ são intervalos reais, ou seja, N̂ [α1 , α2 ], coreN̂ ∈ IR ;
b) isuppN̂ e ssuppN̂ são limitados.
2
A continuidade de funções intervalares foi definida por Moore [20] como uma extensão da
continuidade das funções reais.
58
T. C. Asmus, G. P. Dimuro
Se as funções FPI e FPS forem lineares, então N̂ é chamado de número fuzzy intervalar linear, que pode ser definido por uma função de pertinência intervalar µN̂ , com
suportes e core isuppN̂ = (ai , bi ), ssuppN̂ = (as , bs ) e coreN̂ = [u1 , u2 ], respectivamente, e é denotado pela terna ordenada ([as , ai ]/[u1 , u2 ]/[bi , bs ]). Se u1 = u2 = u,
então N̂ é um número fuzzy intervalar triangular (linear). O conjunto de todos os números fuzzy intervalares é denotado por F̂(R).
Observa-se que as funções FPI e FPS descrevem, respectivamente, os números
fuzzy N̄i e N̄s que podem representar o número fuzzy intervalar N̂ . Supondo que N̄i
seja um número fuzzy triangular simétrico descrito pela função µN̂i (FPI) e representado pela terna (ai /u/bi ), e que N̄s seja um número triangular simétrico descrito pela
função µN̂s (FPS) e representado pela terna (as /u/bs ), então, por ambos serem números fuzzy triangulares simétricos e de mesmo core, N̂ será um número fuzzy intervalar
triangular simétrico. Veja a representação gráfica de N̄i , N̄s e N̂ na Figura 5.
Figura 5. Representação de um número fuzzy intervalar
Assim, um número fuzzy intervalar pode ser representado como um par ordenado
de números fuzzy. Ou seja, N̂ = (N̄i , N̄s ), onde N̄i e N̄s são chamados de números
geradores inferior e superior, respectivamente, por constituírem N̂ .
5
Método de Ordenação de Números Fuzzy Intervalares
Triangulares Simétricos
Baseando-se na idéia de que dois números fuzzy triangulares simétricos de mesmo core
produzem um número fuzzy intervalar triangular simétrico, desenvolveu-se uma relação
de ordem que, baseando-se na ordem de Asmus-Dimuro para comparar os números
fuzzy geradores, consiga se ordenar números fuzzy intervalares triangulares simétricos.
Sejam F¯1i e F¯2s os dois números fuzzy triangulares simétricos obtidos através das
funções FPI e FPS, respectivamente, de um número fuzzy intervalar Fˆ1 . Da mesma
forma, sejam F¯2i e F¯2s os números fuzzy geradores inferior e superior, respectivamente,
de Fˆ2 , outro número fuzzy intervalar triangular simétrico. Define-se, então, a relação
de igualdade =
ˆ para números fuzzy intervalares triangulares simétricos como:
Fˆ1 =
ˆ Fˆ2 ⇔ F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯1s =
¯ F¯2s .
(26)
Uma Ordem Total para Números Fuzzy Intervalares Triangulares Simétricos
59
Observa-se a utilização da relação =
¯ definida em (8) para comparar os números
fuzzy geradores de Fˆ1 com os respectivos números fuzzy geradores de Fˆ2 . Ou seja,
se esses números fuzzy forem iguais, os números fuzzy intervalares que eles geram
também serão iguais.
ˆ será feita de forma semelhante. Sejam Fˆ1 = (F¯1i , F¯1s ) e
A definição da relação <
Fˆ2 = (F¯2i , F¯2s ) dois números fuzzy intervalares triangulares simétricos, então:
ˆ Fˆ2 ⇔ (F¯1s <
¯ F¯2s ) ∨ (F¯1s =
¯ F¯2i )
Fˆ1 <
¯ F¯2s ∧ F¯1i <
(27)
Assim como na Definição (26), utiliza-se a ordem de Asmus-Dimuro para se comparar os números fuzzy geradores. Cada caso será analisado posteriormente durante as
demonstrações das propriedades das relações aqui apresentadas.
Finalmente, define-se:
ˆ Fˆ2 ⇔ Fˆ1 =
ˆ Fˆ2 .
Fˆ1 ≤
ˆ Fˆ2 ∨ Fˆ1 <
(28)
A Definição (28), assim como na ordem de Asmus-Dimuro, considera a precisão
da informação contida em cada número como um fator a ser analisado ao se comparar
números fuzzy intervalares. Ela também satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, estabelecendo-se como uma relação de ordem. Finalmente,
a seguinte sentença se verifica:
ˆ Fˆ2 ∨ Fˆ2 <
ˆ Fˆ1 .
∀Fˆ1 , Fˆ2 : Fˆ1 =
ˆ Fˆ2 ∨ Fˆ1 <
(29)
o que faz com que a relação de ordem definida em (28) seja total.
Agora serão apresentadas as provas dessas propriedades acompanhadas de imagens para melhor entendimento, considerando os mesmos Fˆ1 = (F¯1i , F¯1s ) e Fˆ2 =
(F¯2i , F¯2s ). Para a prova da transitividade, utilizar-se-á também o número fuzzy intervalar triangular simétrico Fˆ3 = (F¯3i , F¯3s ).
ˆ Fˆ2 ∨ Fˆ2 <
ˆ Fˆ1 .
Proposition 5. ∀Fˆ1 , Fˆ2 : Fˆ1 =
ˆ Fˆ2 ∨ Fˆ1 <
Prova. Analisam-se todas as possíveis posições relativas entre Fˆ1 e Fˆ2 através da comparação de F¯1i com F¯2i e de F¯1s com F¯2s . Como F¯1i , F¯2i , F¯1s e F¯2s são números
fuzzy triangulares simétricos, utiliza-se a ordem de Asmus-Dimuro (Eq. (8, 9 e 10))
para fazer essas comparações. Os seguintes casos podem ser analisados:
1o Caso: F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯1s =
¯ F¯2s ⇔ Fˆ1 =
ˆ Fˆ2 .
¯ F¯1s ⇒ Fˆ2 <
ˆ Fˆ1 . Veja Fig. 6
2o Caso: F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯2s <
¯ F¯2s ⇒ Fˆ1 <
ˆ Fˆ2 .
3o Caso: F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯1s <
Este caso é semelhante ao anterior, apenas invertendo as posições de Fˆ1 e Fˆ2 .
¯ F¯2i ∧ F¯2s =
ˆ Fˆ2 . Veja Fig. 7
4o Caso: F¯1i <
¯ F¯1s ⇒ Fˆ1 <
60
T. C. Asmus, G. P. Dimuro
Figura 6. Exemplo do 2o Caso.
Figura 7. Exemplo do 4o Caso.
¯ F¯1i ∧ F¯2s =
ˆ Fˆ1 .
5o Caso: F¯2i <
¯ F¯1s ⇒ Fˆ2 <
Este caso é semelhante ao anterior, apenas invertendo as posições de Fˆ1 e Fˆ2 .
¯ F¯2i ∧ F¯1s <
¯ F¯2s ⇒ Fˆ1 <
ˆ Fˆ2 . Veja Fig. 8.
6o Caso: F¯1i <
¯ F¯1i ∧ F¯2s <
¯ F¯1s ⇒ Fˆ2 <
ˆ Fˆ1 .
7o Caso: F¯2i <
Este caso é semelhante ao anterior, apenas invertendo as posições de Fˆ1 e Fˆ2 .
Figura 8. Exemplo do 6o Caso.
Figura 9. Exemplo do 8o Caso.
¯ F¯1i ∧ F¯1s <
¯ F¯2s ⇒ Fˆ1 <
ˆ Fˆ2 .
8o Caso: F¯2i <
¯ F¯2i ∧ F¯2s <
¯ F¯1s ⇒ Fˆ2 <
ˆ Fˆ1 .
9o Caso: F¯1i <
Este caso é semelhante ao anterior, apenas invertendo as posições de Fˆ1 e Fˆ2 .
Todas as implicações apresentadas são consequência direta de (26) (27) e (28). Asˆ Fˆ2 ∨
sim, percebe-se que para todos os casos possíveis, teve-se que Fˆ1 =
ˆ Fˆ2 ∨ Fˆ1 <
ˆ
ˆ
ˆ F1 , justamente o que se desejava provar.u
F2 <
t
ˆ é reflexiva.
Proposition 6. A relação ≤
Uma Ordem Total para Números Fuzzy Intervalares Triangulares Simétricos
61
ˆ Fˆ1 . A prova é imediata, pois de (28) tem-se que
Prova. Deseja-se provar que Fˆ1 ≤
ˆ Fˆ2 . t
F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯1s =
¯ F¯2s ⇔ Fˆ1 =
ˆ Fˆ1 , logo, de Eq. (28), tem-se que Fˆ1 ≤
u
ˆ é antissimétrica.
Proposition 7. A relação ≤
ˆ Fˆ2 ∧ Fˆ2 ≤
ˆ Fˆ1 ⇒ Fˆ1 =
Prova. Deseja-se provar que Fˆ1 ≤
ˆ Fˆ2 . Analisando cada possibilidade separadamente:
ˆ Fˆ2 ∧ Fˆ2 <
ˆ Fˆ1 .
1o Caso: Fˆ1 <
Essa assertiva é falsa, pois segundo a Proposição 5 observou-se que dados quaisˆ Fˆ2 e Fˆ2 <
ˆ Fˆ1 simultaneamente.
quer Fˆ1 e Fˆ2 não há nenhum caso em que Fˆ1 <
ˆ Fˆ1 .
2o Caso: Fˆ1 =
ˆ Fˆ2 ∧ Fˆ2 <
Por motivo similar ao caso anterior, essa assertiva é falsa.
ˆ Fˆ2 ∧ Fˆ2 =
3o Caso: Fˆ1 <
ˆ Fˆ1 .
Novamente, uma assertiva falsa por contradizer a Proposição 5.
4o Caso: Fˆ1 =
ˆ Fˆ2 ∧ Fˆ2 =
ˆ Fˆ1 .
Esse é o único caso onde a assertiva resulta em uma consequência verdadeira, e
ˆ Fˆ2 ∧ Fˆ2 ≤
ˆ Fˆ1 ⇒ Fˆ1 =
prova que Fˆ1 ≤
ˆ Fˆ2 . t
u
ˆ é transitiva.
Proposition 8. A relação ≤
ˆ Fˆ2 ≤
ˆ Fˆ3 ⇒ Fˆ1 ≤
ˆ Fˆ3 . Das equações (28), (26) e (27)
Prova. Deseja-se provar que Fˆ1 ≤
tem-se que:
¯ F¯2s ) ∨ (F¯1s =
¯ F¯2i )]
[(F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯1s =
¯ F¯2s ) ∨ (F¯1s <
¯ F¯2s ∧ F¯1i <
∧
¯ F¯3s ) ∨ (F¯2s =
¯ F¯3i )].
[(F¯2i =
¯ F¯3i ∧ F¯2s =
¯ F¯3s )(F¯2s <
¯ F¯3s ∧ F¯2i <
(30)
Analisando cada possibilidade separadamente, tem-se os seguintes casos:
1o Caso: (F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯1s =
¯ F¯2s ) ∧ (F¯2i =
¯ F¯3i ∧ F¯2s =
¯ F¯3s ) ⇒ F¯1i =
¯ F¯3i ∧
¯
¯
ˆ
ˆ
F1s =
¯ F3s ⇒ F1 =
ˆ F3 .
¯ F¯3s ) ⇒ F¯1s <
¯ F¯3s ⇒ Fˆ1 <
ˆ Fˆ3 .
2o Caso: (F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯1s =
¯ F¯2s ) ∧ (F¯2s <
¯ F¯3i ⇒
¯ F¯3i ) ⇒ F¯1s =
3o Caso: (F¯1i =
¯ F¯2i ∧ F¯1s =
¯ F¯2s ) ∧ (F¯2s =
¯ F¯3s ∧ F¯2i <
¯ F¯3s ∧ F¯1i <
ˆ
ˆ
ˆ
F1 <F3 .
¯ F¯2s ) ∧ (F¯2i =
¯ F¯3s ⇒ Fˆ1 <
ˆ Fˆ3 .
4o Caso: (F¯1s <
¯ F¯3i ∧ F¯2s =
¯ F¯3s ) ⇒ F¯1s <
¯ F¯3s ⇒ Fˆ1 <
ˆ Fˆ3 .
¯ F¯2s ) ∧ (F¯2s <
¯ F¯3s ) ⇒ F¯1s <
5o Caso: (F¯1s <
62
T. C. Asmus, G. P. Dimuro
¯ F¯2s ) ∧ (F¯2s =
¯ F¯3i ) ⇒ F¯1s <
¯ F¯3s ⇒ Fˆ1 <
ˆ Fˆ3 .
6o Caso: (F¯1s <
¯ F¯3s ∧ F¯2i <
¯ F¯2i ) ∧ (F¯2i =
¯ F¯3i ⇒
7o Caso: (F¯1s =
¯ F¯2s ∧ F¯1i <
¯ F¯3i ∧ F¯2s =
¯ F¯3s ) ⇒ F¯1s =
¯ F¯3s ∧ F¯1i <
ˆ Fˆ3 .
Fˆ1 <
¯ F¯2i ) ∧ (F¯2s <
¯ F¯3s ) ⇒ F¯1s <
¯ F¯3s ⇒ Fˆ1 <
ˆ Fˆ3 .
8o Caso: (F¯1s =
¯ F¯2s ∧ F¯1i <
¯ F¯2i ) ∧ (F¯2s =
¯ F¯3i ) ⇒ F¯1s =
¯ F¯3i ⇒
9o Caso: (F¯1s =
¯ F¯2s ∧ F¯1i <
¯ F¯3s ∧ F¯2i <
¯ F¯3s ∧F¯1i <
ˆ
ˆ
ˆ F3 .
F1 <
¯
Em todos os casos, as conclusões foram imediatas pelo fato das relações =
¯ e<
serem transitivas e sempre se obter uma das expressões contidas nas equações (26) ou
(27) para os números Fˆ1 e Fˆ3 .
ˆ Fˆ2 ≤
ˆ Fˆ3 ⇒ Fˆ1 ≤
ˆ Fˆ3 , o que se desejava provar. t
Assim, tem-se que Fˆ1 ≤
u
ˆ conPor possuir as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, ≤
figura uma relação de ordem. Logo, através da Proposição (5), conclui-se que:
ˆ é uma relação de ordem total.
Theorem 2. ≤
6
Considerações Finais
O método de ordenação de números fuzzy intervalares apresentado foi elaborado como
uma extensão da ordem de Asmus-Dimuro para números fuzzy, e como tal, leva em
consideração a precisão da informação contida nos números analisados, e não só suas
grandezas. A ordenação de números fuzzy intervalares através da comparação de seus
números fuzzy geradores se mostra como uma opção prática e que independe de funções
auxiliares, o que facilita sua aplicação em problemas reais.
A próxima etapa deste trabalho será voltada à uma análise comparativa entre os
métodos aqui estudados e outros encontrados na literatura, principalmente quando aplicados a situações de interações estratégicas, com base na Teoria dos Jogos Fuzzy Intervalares.
Além disso, abre-se a possibilidade da elaboração de relações de ordem análogas
para números fuzzy e fuzzy intervalares que não sejam necessariamente triangulares
simétricos.
Agradecimentos Este trabalho recebeu apoio financeiro do CNPq (Proc. 560118/104, 305131/2010-9, 476234/2011-5) e da FAPERGS (Proc. 11/0872-3). T.C. Asmus é
bolsista REUNI/CAPES/FURG.
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