Limites de Funções 1

1/4
Cálculo de limites
Quatro páginas e 14 questões
A maioria dos limites foram resolvidos usando a Regra Prática de BriotxRuffini,
apresentada na Revista do Professor de Matemática1.
1.
(
lim(− 2 x
x →1
4
x →1
2.
3.
) à resolvendo o limite, solução:
− x − 8) = −2.1 + 3.1 − 1 − 8 = -8
lim − 2 x 4 + 3 x 2 − x − 8 =?
+ 3x 2
4
2x 2 + x + 1
=? à
x →1
2x + 5
x2 − x − 6
=? à
lim
x → −2
x2 − 4
2
2 x 2 + x + 1 2.12 + 1 + 1 4
=
=
x →1
2x + 5
2 .1 + 5
7
x 2 − x − 6 (− 2 )2 − (− 2 ) − 6 0
resolvendo o limite, vem: lim
=
= , que é
x → −2
0
x2 − 4
(− 2)2 − 4
lim
resolvendo o limite: lim
uma indeterminação. Fatorando a função: f (x ) =
x −x−6
2
a função fatorada, temos: lim
x → −2
4.
lim
x→2
x2 − 4
x 2 − 3x + 2
=? à
Fatorando a função f (x ) =
x −4
2
lim
x→2
5.
x − 3x + 2
2
= lim
x→2
x3 +1
=?
x → −1 x + 1
x→2
x → −2
x2 − 4
x 2 − 3x + 2
x2 − 4
x − 3x + 2
2
=
=
(x + 2)(. x − 3) = x − 3 , e substituindo-se
(x + 2)(. x − 2) x − 2
x −3
−2 − 3
5
=
=
x−2 −2−2 4
22 − 4
0
= , que é uma indeterminação.
2
2 − 3.2 + 2 0
(x − 2 )(. x + 2) =
(x − 2)(. x − 1)
x3 +1
=
x → −1 x + 1
lim
=
x −4
2
x+2
, calculando-se o limite:
x −1
(− 1)3 + 1 = 0 , que é uma indeterminação . Fatorando a
−1+1 0
x + 1 ( x + 1). x − x + 1 x 2 − x + 1
função f ( x ) =
=
=
, foi usada a regra de BriotxRuffini;
x +1
1
x +1
2
x3 + 1
x 2 − x + 1 (− 1 ) − (− 1 ) + 1
calculando o limite lim
= lim
=
= 3.
x → −1 x + 1
x → −1
1
1
(
3
Regra de BriotxRuffini:
1
-1
•
à
1
1
lim
= lim
x+2 2+2 4
=
= =4
x −1
2 −1 1
à
lim
x −4
2
x2 − x − 6
0
-1
-1
2
0
1
1
)
1
-1
0
Resto
Artigo apresentado na revista RPM 34, página 14, por Lenimar Nunes de Andrade, de João Pessoa, PB.
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Cálculo de limites
Quatro páginas e 14 questões
6.
lim
x→2
x2 − 4
x −8
3
à
=?
resolvendo o limite lim
x2 − 4
x→2
x −8
3
Fatorando a função pela regra de BriotxRuffini f (x ) =
x −4
2
Calculando o limite: lim
x→2
Regra de BriotxRuffini:
1
2
•
à
1
x3 − 8
= lim
0
2
2
x→2
=
22 − 4
2 −8
3
x −4
2
x −8
3
=
=
0
, que é uma indeterminação .
0
x+2
(x − 2)(. x + 2) =
.
2
2
(x − 2).(x + 2 x + 4 ) x + 2 x + 4
x+2
2+2
4 1
x2 − 4 1
=
=
Logo
=
=
lim
x→2 x 3 − 8
3
x 2 + 2 x + 4 2 2 + 2.2 + 4 12 3
0
4
4
-8
8
0
Resto
x2 − a2
x2 − a2 a2 − a2 0
=
?
à
= 3
= , que é uma indeterminação. Fatorando a
lim
x→a x 3 − a 3
x→a x 3 − a 3
a − a3 0
x2 − a2
(x − a )(. x + a ) = x + a
função f ( x ) = 3
=
3
x −a
(x − a ). x 2 + ax + a 2 x 2 + ax + a 2
lim
7.
(
x
x→a x 3
x2
lim 3
x→a x
lim
8.
)
x + a
−a
a+a
= lim
=
= 2
2
2
3
x→ a x
+ ax + a
−a
a + a.a + a 2
− a2 2
=
− a 3 3a
x2 − 4x + 3
( x − 3).(x − 1)
= lim
lim 2
=?
à lim
x→3 x − x − 6
x → 3 ( x − 3 )(
. x + 2 ) x→3
2
2
2a
2
=
logo
2
3a
3a
x −1 3 − 1 2
=
=
x+2 3 + 2 5
Numerador : usando a regra de BriotxRuffini
3
1
•
1
-4
3
-1
+3
-3
0
Resto
Denominador : usando a regra de BriotxRuffini
1
-1
-6
3
•
3
6
1
-2
0
Resto
9.
x 4 + 4 x 3 + x 2 − 12 x − 12
lim
=? à
x → −2
2x3 + 7 x 2 + 4x − 4
Resolvendo o limite:
2
x + 2 ) .(x 2 − 3)
(
lim
=
x → −2 ( x + 2 )2 .(2 x − 1)
0
, que
0
é uma indeterminação. Fatorando numerador e denominador pela regra de BriotxRuffini abaixo e
resolvendo o limite lim
x → −2
( )2 − 3 = − 1
( )−1 5
−2
x2 −3
=
2 x − 1 2. − 2
Numerador : regra de BriotxRuffini
1
+4
-2
•
-2
1
2
+1
-4
-3
-12
+6
-6
Logo
x 4 + 4 x 3 + x 2 − 12 x − 12
1
=−
3
2
x → −2
5
2x + 7 x + 4x − 4
lim
-12
+6
0
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Cálculo de limites
Quatro páginas e 14 questões
1
•
1
2
-2
0
-3
0
-3
-6
+6
0
-2
2
•
2
+7
-4
+3
+4
-6
-2
-4
+4
0
-2
2
•
2
+3
-4
-1
-2
+2
0
-2
Denominador :
10.
3x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 10 x + 5
3 x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 10 x + 5 0
=?
à
lim
= ; Fatorando
x →1
x →1
0
x 3 + x 2 − 5x + 3
x 3 + x 2 − 5x + 3
2
2
2
2
(x − 1) . 3x + 5 = lim 3x + 5 = 3.1 + 5 = 2
numerador e denominador: lim
x →1
1+ 3
(x − 1)2 .(x + 3) x→1 x + 3
lim
(
)
Numerador :
1
3
•
3
-6
3
-3
+8
-3
+5
-10
+5
-5
1
3
•
3
-3
3
0
+5
0
+5
-5
+5
0
1
•
1
1
1
2
-5
2
-3
3
-3
0
1
•
1
2
1
3
+5
-5
0
Denominador :
1
-3
3
0
3
x −1
x3 −1
13 − 1
0
11. lim
=
lim
=
=
=0
3
3
x →1 (3 − x ) − 16
x →1 − x − 13
− 1 − 13 − 14
1
x−7
x+3+ x−7
2x − 4
12. lim
+ 2
=?
lim
= lim
x→2 x − 2
x → 2 ( x − 2 )(
. x + 3) x →2 ( x − 2)(
. x + 3)
x + x−6
2.( x − 2 )
2
2
= lim
= lim
=
x
→
2
x → 2 ( x − 2 )(
. x + 3)
x+3 5
2
O mínimo múltiplo comum dos denominadores : mmc x − 2, x + x − 6 = ( x − 2 )(
. x + 3) , para reduzir
1
(
as duas frações ao mesmo denominador.
)
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Cálculo de limites
Quatro páginas e 14 questões
13.
x −1
1−1 0
= n
= , que é uma indeterminação . Fatorando a função
n
x →1
x →1 x − 1
1 −1 0
x −1
x −1
=
pela regra de BriotxRuffini: f ( x ) = n
n −1
n−2
x − 1 ( x − 1).(x + x
+ x n − 3 + ... + x + 1)
1
= n −1
n−2
+ x n − 3 + ... + x + 1
x +x
lim
x −1
=?
xn −1
à
1
•
1
1
lim
0
1
1
0
1
1
0
1
1
...
...
...
0
1
1
-1
1
0
x −1
1
= lim n −1
=
n−2
n
x
→
1
+ x n − 3 + ... + x + 1
x +x
x −1
1
1
x −1 1
1
=
Logo lim n
=
=
n −1
n−2
n −3
x
→
1
n
−
1
+
1
n
n
11 4+4
14
+
1
+
...
+
1
+
1
x
−
1
42 4 4 44
3
Calculando-se o limite da expressão fatorada:
lim
x →1
n −1 termos
14.
lim
x
à
=?
lim
x
0
=
=
0
, que é uma
0
(0 + a ) − a
−a
x
indeterminação . Temos a função f ( x ) =
, fazendo uma mudança de variável, temos :
( x + a )n − a n
x → 0
t −a
.
t= x + a 
, com x = t − a . Após a mudança de variável, tem f (t ) = n
t
− an
t
→
a

x
t−a
Resolvendo o limite da função: lim
= lim n
=
x →0 ( x + a )n − a n
t→a t − a n
t−a
=
lim
−
−
n
1
n
2
t → a (t − a ).(t
+ a .t
+ a 2 .t n − 3 + ... + a n − 2 t + a n −1 )
1
=
lim n −1
n
−
n
−
2
2
t→ a t
+ a .t
+ a .t 3 + ... + a n − 2 .t + a n −1
1
1
1
=
=
n −1
n−2
n −3
n−2
n −1
n −1
n −1
2
1
(n − 1).a + a
(n − 1 + 1).a n −1
(a + a.a + a .a + ... + a .a ) + a
1
.
na n − 1
x →0
(x + a )
n
−a
n
x →0
(x + a )
n
n
n
Abaixo temos a regra prática de BriotxRuffini usada na fatoração da função
1
•
1
a
lim
x →0
x
(x + a )
15. ?
0
a
a
n
−a
n
=
1
na
n −1
0
a2
a2
0
a3
a3
...
...
...
n
f (t ) =
0
an-1
an-1
t −a
t − an
-a n
an
0
n