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Dispõem-se de N pilhas idênticas de f.e.m. E e resistência interna r. Estas pilhas são
distribuídas em grupos de X em série, e estas séries são ligadas em paralelo. Pede-se:
a) Determinar o valor de X para que a bateria assim obtida, ligada a um circuito externo de
resistência R, faça circular uma corrente de intensidade máxima;
b) Mostrar que no caso do item anterior a resistência interna da bateria é igual a resistência
externa do circuito.
Dados do problema
•
•
•
força eletromotriz da bateria (f.e.m.):
resistência interna da bateria:
resistência externa do circuito:
E;
r;
R.
Esquema do problema
Existem N baterias no circuito, X delas ligadas em série e
N
séries de baterias em
X
paralelo (figura 1).
figura 1
Observação: se tiver dificuldade em
N
entender porque são
séries no
X
circuito, pense com valores numéricos.
Por exemplo, se N = 12 baterias e
existirem X = 3 baterias por série,
teremos
N
12 baterias
n= =
= 4 séries
X
baterias
(figura
3
série
2).
figura 2
Solução
1
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a) O resistor equivalente de uma associação em série,
com todos os resistores de mesmo valor, é dado por
RS = n r
como cada série tem n = X resistores, o resistor
equivalente de uma série será
RS = X r
Todos as baterias têm o mesmo valor E, a
f.e.m. de n baterias iguais em série é dada por
V S = nE
como cada série tem n = X baterias a f.e.m. de uma
série será
figura 3
VS= X E
Assim o circuito pode ser reduzido ao que é mostrado na figura 3, formado por
N
X
baterias com resistência interna Xr e f.e.m. XE ligadas em paralelo.
O resistor equivalente de uma associação em em paralelo, com resistores de mesmo
valor, é dado por
RP =
como existem n =
r
n
N
resistores, o resistor equivalente do circuito será
X
Xr
N
X
XrX
Re q =
N
2
X r
Re q =
N
R eq =
(I)
Como a queda de tensão numa associação de baterias iguais em paralelo é a mesma
que a queda de tensão em uma das baterias, o valor da f.e.m. do circuito continua sendo XE.
Assim o circuito pode ser representado por uma bateria de
2
X r
resistência interna
e f.e.m. XE.
N
Aplicando a Lei de Kirchhoff para a única malha do circuito,
começando no resistor externo R, temos
2
X r
i− X E = 0
N
2
X r
Ri
i= XE
N
R i
figura 4
multiplicando toda a equação por N, obtemos
2
X r
ì=NXE
N
2
N R ir ì X = N E X
N R i N
2
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colocando a corrente i em evidência do lado esquerdo da igualdade
2
i N R r X  = N E X
NE X
i=
2
N R r X
Para determinarmos a corrente máxima devemos derivar esta corrente em função de X
e impor que ela seja igual a zero
derivação de i =
NEX
2
N Rr X
fazendo:
u = NEX
2
v = N Rr X
´

u
v
usando a regra de derivação do quociente de funções:
=
u ´ v −u v ´
v2
u´ = N E
v ´ = 02 r X = 2 r X
2
di
N E N Rr X −N E X 2 r X  N 2 E RN E r X 2 −2N E r X 2 N 2 E R−N E r X 2
=
=
=
2
2
2
dX
 N Rr X 2 
 N Rr X 2
 N R r X 2 
2
2
di
N E R−N E r X
=
=0
2
dX
 N Rr X 2 
N E R −N E r X = 0 .  N Rr X
2
2
N E R−N E r X = 0
2
2
2 2

colocando NE em evidência do lado esquerdo da igualdade
2
N E N R −r X  = 0
0
2
N R −r X =
NE
2
r X = NR
NR
X2=
r
X=

R
N
r
b) Usando a expressão (I) que dá o resistor equivalente aos resistores internos das baterias e
substituindo o valor encontrado no item anterior, temos
 
2
R
N r
r
Re q =
N
R
N r
r
R eq =
N
RN
R eq =
N
Re q = R
3