Aula 2 - Instituto de Física / UFRJ

Aula 2
A matemática do movimento ondulatório
Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);
Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ser descritos
matematicamente em termos de ondas.
O aspecto essencial da propagação de uma é que esta consiste numa
perturbação auto-sustentada do meio através do qual se propaga.
Se há propagação, a perturbação deve ser expressa como função do
espaço e do tempo:
ψ = f ( x, t )
(ψ lê-se psi)
A forma da perturbação em qualquer instante, obtem-se particularizando o
valor da variável tempo: (por exemplo t =0)
1,0
ψ ( x, t ) |t =0 = f ( x,0) = f ( x )
0,8
F1
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
0,1010101010101
Representa a forma (perfil) da onda
Considere um pulso caminhando para a direita
S’ se desloca com o
pulso com a mesma
Velocidade v.
Neste sistema
ψ (psi) não é função
do tempo, ψ = f(x’)
S'
S
v
vt
S é um sistema
fixo
x'
x
x
X’= X -Vt
X’
Com base no slide anterior
ψ ( x, t ) = f ( x ' ) = f ( x − vt )
Esta equação representa a forma mais geral da função de onda em
uma dimensão.
Basta apenas escolher a forma f(x,o) =f(x) e substituir x por (x-vt) em
f(x)!
Do mesmo modo, se a onda se desloca para a esquerda:
ψ ( x, t ) = f ( x + vt )
Com v > 0
Isto permite obter a forma geral da equação de ondas a uma dimensão:
∂ψ ∂f ∂x ' ∂f
=
=
∂x ∂x ' ∂x ∂x '
x’= x ±vt
=1
Se x se mantiver constante, a derivada parcial de ψ(x,t) no tempo é:
±v
∂ψ ∂f ∂x '
∂f
=
= ±v
∂t
∂x ' ∂t
∂x '
Combinando ambas as equações:
∂ψ
∂ψ
= ±v
∂x
∂t
Mas como são necessárias duas constantes para especificar totalmente uma
onda , a equação mais geral deve ser de segunda ordem. Calculando as
segundas derivadas parciais:
∂ 2ψ ∂ 2 f
=
2
∂x
∂x ' 2
∂ 2ψ ∂  ∂f 
∂  ∂f 
=  ± v  = ±v  
2
∂t
∂t  ∂x' 
∂x'  ∂t 
Uma vez que
dψ df
=
dt
dt
E lembrando que
∂ψ
∂ψ
= ±v
∂t
∂x
Então
2
∂ 2ψ
∂
f
2
=v
2
∂t
∂x ' 2
Combinando estas equações, obtemos:
∂ψ
1 ∂ψ
=
2
2
2
∂x
v ∂t
2
2
A equação de ondas!
Que admite soluções da forma
ψ = Af ( x − vt ) + Bg ( x + vt )
FASE E VELOCIDADE DE FASE
ψ (x,t) = A sen (kx±ωt +ε)
Variação da fase com o tempo
Variação da fase com a posição
fase constante
velocidade de fase
∂ϕ
=ω
∂t
Fase ϕ = kx±ωt +ε
∂ϕ
=k
∂x
dϕ
dx
=k
±ω = 0
dt
dt
ω
dx
=v=±
dt
k
Constante de fase
VELOCIDADE DE GRUPO
Em meios dispersivos a velocidade de fase depende do comprimento de onda .
dω
vg =
dk
A moduladora, ou sinal, propaga-se a uma velocidade vg , que pode ser superior, igual ou
inferior à velocidade de fase da transportadora, v
como
então
ω = kv
dv
vg = v + k
dk
Em particular em meios não dispersivos em que v não
depende de λ,
dv/dk =0 e vg = v
Em meios dispersivos onde n = n(k) , ω =kv =kc/n
vg pode ser escrito na forma:
c kc dn
vg = − 2
n n dk
 k dn 
v g = v 1 −

 n dk 
c kc dn
vg = − 2
n n dk
k dn 

v g = v 1 −

n dk 

Em meios óticos e em regimes de dispersão normal, o índice de refração aumenta com a frequência
(dn/dk > 0 ), logo vg < v.
Podemos definir então um índice de refração de grupo,
ng = c/vg
A relatividade restrita não permite a propagação de sinais com velocidade superior a c.
Todavia, em certas circunstâncias a velocidade de fase pode ser maior do que c. A contradição é
apenas aparente, e resulta do fato de uma onda monocromática, apesar de se poder propagar a
uma velocidade superior à da luz no vácuo, c, não poder transportar informação.
Dispersão em grupos bicromáticos de ondas. O ponto vermelho move-se
com velocidade de fase enquanto que o ponto verde se propaga com
velocidade de grupo. Neste caso, a velocidade de fase é duas vezes a
velocidade de grupo. O ponto vermelho ultrapassa dois pontos verdes.
A velocidade de grupo é frequentemente vista como a
velocidade na qual a energia e a informação são transportadas
na onda.
No entanto, se a onda está atravessando um meio absorverdor,
isto nem sempre é verdade. Vários experimentos mostram que
é possível que a velocidade de grupo de uma luz laser em certos
materiais podem exceder a velocidade da luz no vácuo!
Atenção!
Mas a comunicação superluminal não é possível, pois a
velocidade do sinal permanece menor do que a velocidade da
luz. É possível também reduzir a velocidade de grupo da luz a
zero, parando o pulso, ou ter uma velocidade de grupo negativa,
parecendo que o pulso se propaga para trás.
Mas, em todos estes casos, os fótons continuam se propagando
com a velocidade da luz no meio.
REPRESENTAÇÃO COMPLEXA
Im(z)
z = x + iy
y
2
i
θ
x
Re(z)
= -1
REPRESENTAÇÃO COMPLEXA
x = r cosθ
Im(z)
z
y = r senθ
y
z = r(cosθ + i senθ)
r
θ
x
Re(z)
z = r(cosθ + i senθ)
diferenciando
Colocando i em evidência
Re-escrevendo em termos de z
dz = r(-senθ +i cosθ) dθ
dz =i r(isenθ+cosθ)dθ
dz =izdθ
dz/z=idθ
lnz=iθ
Fórmula de Euler
z= reiθ
z=
Módulo de z
|z| = r
*
z
Complexo conjugado
θ
i
re
-i
θ
re
=
*
z = x -iy
Adição e subtração:
z1 ± z2 = (x1 + x2 ) ± i(y1 + y2)
Multiplicação e divisão:
Z1 .Z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
Z1 /Z2 = (r1 /r2 )ei(θ1 -θ2 )
Temos ainda:
e
z1 + z2
=e e
z1
z2
z = zz *
0
iπ
e =e
e
e
±i
−iπ
= cos π + isenπ = −1
π
2
= ±i
z + i 2π
z i 2π
=e e
=e
z
Z = Re(z)+i Im(z)
Re(z) = ½ (z + z*)
Im(z)= (1/2i)(z - z*)
Então, quer a parte real, quer a parte imaginária podem representar ondas
harmônicas. É habitual escolher a parte real, e descrever a onda como...
ψ ( x, t ) = Re[Ae
i (ωt − kx +ε )
]
ψ ( x, t ) = A cos(ωt − kx + ε ) = Ae
iϕ
Apenas no final dos cálculos se extrairá a parte real das equações.
ONDAS PLANAS
Constituem provavelmente os mais simples exemplos de ondas tridimensionais.
Para ondas planas, as superfícies de igual fase são planos, em geral
perpendiculares à direção de propagação da perturbação
r
k
(x,y,z)
r r
(r − ro )
r
r
(xo ,yo ,zo )
r
ro
r r
r
k ⋅ (r − ro
)=
0
A forma mais reduzida da equação do plano perpendincular à k é
k.r =constante = a
É possível construir um conjunto de planos para os quais ψ(rr) dependa
senoidalmente das variáveis espaciais:
rr
r
ψ ( r ) = Asen ( k .r )
rr
r
ψ ( r ) = A cos(k .r )
r r
r
ψ ( r ) = Ae ik . r
A natureza periódica das funções harmônicas no espaço pode ser expressa na
forma:
r
r
ψ ( r ) = ψ ( r + λkˆ)
r
r
r
kˆ
λ = λkˆ
k
λ
r
k
r
r
ψ ( r ) = ψ ( r + λkˆ)
r r
r r
r r
ˆ
Ae ik . r = Ae ik . (r +λk ) = Ae ik . r e iλk
e
iλk
=1= e
λk = 2π
2π
k=
λ
i 2π
Para que os planos de igual fase se propaguem é necessário que ψ (rr) varie no
tempo, o que se consegue introduzindo a dependência temporal :
r
[
ψ ( r ) = Ae
rr
φ = k .r ± ωt
r r
i k . r ±ωt
[
fase
]
]
φ = const
dφ
=0
dt
dφ
dr
=k
±ω = 0
dt
dt
dφ
dr
=k
±ω = 0
dt
dt
dr
ω
= v fase = ±
dt
k
Uma onda plana harmônica é representada em coordenadas cartesianas, na forma:
ψ ( x, y , z, t ) = Ae
(
i k x x + k y y + k z z ±ωt
)
ou
ψ ( x, y , z, t ) = Ae
i [k (αx + βy +γz ±ωt )]
Onde α,β, e γ são os co-senos diretores de k
z
r
k = k =
α
2
r
k
x
2
+γ
2
=1
Problema 2.19 (Hecht)
θ
ϕ
+ β
k x2 + k y2 + k z2
y
ONDAS ESFÉRICAS
z
x = r senθ cosϕ
y = r senθ senϕ
z = r cosθ
r
r
θ
θ
y
ϕ
x
ϕ
O laplaciano em coordenadas esféricas:
2
1
1
1
∂
∂
∂
∂
∂
 2 


2
∇ = 2
r
+ 2
 senθ
+ 2 2
r ∂r  ∂r  r senθ ∂θ 
∂θ  r sen θ ∂φ 2
Procura-se construir uma descrição de ondas esféricas, ou seja,
ψ ( r ) = ψ (r, θ, φ) = ψ ( r)
2
1
1
1
∂
∂
∂
∂
∂
 2 


2
∇ = 2
r
+ 2
 senθ
+ 2 2
r ∂r  ∂r  r senθ ∂θ 
∂θ  r sen θ ∂φ 2
0
1 ∂  2 ∂ψ 
∇ψ = 2
r

r ∂r  ∂r 
2
0
Onda esférica harmônica:
 A
ψ ( r, t ) =   cos k ( r ± vt )
r
ONDAS CILÍNDRICAS
z
coordenadas cilindricas
z
ρρ
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
z= z
θ
θ
x
y
ONDAS CILÍNDRICAS
O Laplaciano em coordenadas cilindricas é
1 ∂
∇ψ =
ρ ∂ρ
2
 ∂ψ  1 ∂ ψ ∂ ψ
+ 2
 + 2
 ρ
2
∂z
 ∂ρ  ρ ∂θ
2
2
A simetria cilíndrica traduz-se pela seguinte exigência:
ψ(rr) = ψ(ρ,θ, z) =ψ (ρ)
0
1 ∂
∇ψ =
ρ ∂ρ
2
 ∂ψ  1 ∂ ψ ∂ ψ
+ 2
 + 2
 ρ
2
∂z
 ∂ρ  ρ ∂θ
1 ∂
∇ψ =
ρ ∂ρ
2
0
2
2
 ∂ψ  1 ∂ ψ
 ρ
 = 2 2
 ∂ρ  v ∂t
2
Equação de onda em coordenadas cilíndricas
Qual deve ser a forma de ψ (rr) das soluções desta equação ?
A ik (r m vt )
ψ (r, t ) ≈
e
r
Esta equação representa um conjunto de cilindros coaxiais que preenchem
todo o espaço e que se afastam ou se aproximam de um fonte linear de
comprimento infinito situada no eixo.
ONDAS ESCALARES E ONDAS VETORIAIS
Ondas longitudinais
As ondas
classificam-se em
Ondas transversais
Dependendo da direção ao longo do qual a perturbação ocorre e a direção de
k
A luz é uma onda transversa e a compreensão correta da sua
natureza vetorial é de importância extrema. A polarização da luz é
um fenômeno que só pode ser descrito em termos deste modelo de
onda vetorial.
Emissão e absorção de ondas: Impedância
Vamos examinar o mecanismos pelos quais ondas são emitidas por um
transmissor e refletidas quando encontram uma descontinuidade no meio.
u(t) → velocidade de saída do transmissor
Velocidade transversal da mão
Velocidade longitudinal da mão
-
Velocidade de oscilação das cargas
em uma antena
i(t)
V(t)
-
Z
No caso de ondas eletromagnéticas em
linhas de transmissão, ou circuitos, a
velocidade das cargas do gerador é
proporcional à corrente :
u(t) ∝ i(t)
Impedância caracteristíca (no caso eletromagnético)
V (t )
Z=
i (t )
No caso mecânico:
F (t )
Z=
u(t )
[Z] = Ω
Força impulsora
[Z] ≠ Ω
Veremos que a impedância característica depende das mesmas duas
propriedades do meio assim como a velocidade de propagação, v, ou seja, a
propriedade tipo “inércia” e a propriedade tipo “força de retorno” .
A impedância característica Z, existe somente, porque o transmissor está
acoplado a um meio aberto e está emitindo ondas. O meio aberto atua como
uma “impedância resistiva de carga”.
Potência irradiada:
P(t) = F(t)×u(t) = Z × u(t)2 = F(t)2 /Z
(mecânica)
P(t) = V(t) × I(t) = Z × I(t)2 = V(t)2 /Z
(eletromagnética)
fonte
Zentrada
Meio aberto
Z
x=0
x= +
∞
(Não há reflexão )
Equivale à
fonte
Zentrada
x=0
Z
Casamento de impedância
(Não há reflexão)
Zsaida = Z
fonte
Z
Zentrada
sem casamento de impedância
(há reflexão)
Zsaida ≠ Z
x=0
Z1 − Z 2
R12 =
Z1 + Z 2
Coeficiente de reflexão
Z1
Z2
Emissão e absorção de ondas em uma corda contínua
y
-T
T
∆x
x
θ << 1
y
T θ(x +∆x)
T
θ(x )
x
Tsenθ ≈ Ttgθ = T
∂y
∂x
∂y
 ∂y

( x + ∆z , t ) − ( x , t ) 

∂y
∂y
∂ 2 y ( x, t )
∂x
 = T∆x
T
( x + ∆z, t ) − T
( x, t ) = lim T∆x  ∂x
∆x →0
∂x
∂x
∆x
∂x 2






F = ∆m • a
T∆x
∂ 2 y ( x, t )
∂ 2 y ( x, t )
=
µ
∆
x
∂x 2
∂t 2
x +∆x
x
θ << 1
∂y
Tsenθ ≈ Ttgθ = T
∂x
Força resultante vertical
∂y
 ∂y

( x + ∆z, t ) − ( x, t ) 

∂ 2 y ( x, t )
∂y
∂y
x
x
∂
∂
 = T∆x
T
( x + ∆z, t ) − T
( x, t ) = lim T∆x 
0
∆
x
→
∂x 2
∂x
∂x
∆x






F = ∆m • a
∂ 2 y ( x, t )
∂ 2 y ( x, t )
T∆x
= µ∆x
2
∂x
∂t 2
∂ 2 y ( x, t ) µ ∂ 2 y ( x, t )
−
=0
2
2
∂x
T
∂t
∂ 2 y ( x, t ) 1 ∂ 2 y ( x, t )
− 2
=0
2
2
v
∂t
∂x
T
v=
µ
Segunda Lei de Newton
Divindo por ∆x, temos:
Comparando com a Equação de onda
Temos:
y
∆y
θ(x)
∆y
∆y
∆t =
tgθ =
=
∆x ∆x
∆t
∆x
x
∂y
F (t ) = Ttgθ = T
∂t = Z ∂y
v
∂t
T
Z = = µv = Tµ
v
∂y
∂t
v
Reflexão de uma onda em um meio não casado
x=-∞
Z1
x=0
velocidade
yincidente = A cos(ωt − kx )
u
Z2
Pistão
(força de arrasto)
y refletida = R12 A cos(ωt + kx )
y
F = -Z2 u
y ( x, t ) = A cos(ωt − kx ) + R12 A cos(ωt + kx )
x
µ1
µ2
Condições de contorno em x=0
A corda exerce uma força na carga dada por:
 ∂y (0, t ) 
F ( corda / c arg a ) = −T 

 ∂x 
A força exercida pela carga na corda é:
 ∂y (0, t ) 
F ( c arg a / corda ) = − Z 2 

 ∂t 
Mas, de acordo com a terceira lei de Newton:
∂y
∂y
T
+ Z2
=0
∂z
∂t
F12 = - F21
Inserindo a função de onda na equação acima, temos:
Tksen(ωt)-TkR12 sen(ωt) – Z2ω sen(ωt)- Z2ωR12 sen(ωt)=0
Onde k=ω/v
T − Z2
Z1 − Z 2
v
R12 =
=
T +Z
Z
+
Z
1
2
2
v
Casos limites:
Casamento de impedância:
Z1 = Z2
→ R12 = 0
extremidade fixa
Z2 =
∞
→ R12 = -1
Z1 − Z 2
R12 =
Z1 + Z 2
D(t)
Ondas de som
p = po , ρ = ρo
x=0
p = po + ∆p
Velocidade do pistão = u(t) = dD(t)/dt
ψ(x,t) = ∆x(x,t) → representa o deslocamento instantâneo na
direção x de uma pequena quantidade de gás (x representa a
posição de equilíbrio)
x
γPo
v=
ρo
Z = ρ o v = γPo ρ o
Zar = (1,29 × 10-3 g/cm3 ) ×(3,32 ×104 cm/s) = 42,8 g/cm2 . s
Z é a quantidade de massa por unidade de
área por unidade de tempo que é varrida
pela frente de onda.
Cabos coaxiais
u b
L=
ln 
2π  a 
[H/m]
C=
2πε
[F/m]
b
ln 
a
Circuito equivalente de uma unidade de linha de transmissão
Cabo ideal
Cabo real
∂I ( z, t )
∆V ( z, t ) = − R∆zI ( z, t ) − L∆z
∂t
∂V ( z, t )
∆I ( z, t ) = −G∆zV ( z, t ) − C∆z
∂t
Dividindo por ∆Z e levando no limite ∆Z→ 0, encontramos as equações diferenciais
∂V
∂I
= − RI − L
∂t
∂z
∂I
∂V
= −GV − C
∂z
∂t
Diferenciando com respeito a z e t, e substituindo, as equações podem ser desacopladas e resulta em
∂ 2V
∂ 2V
∂V
= LC 2 + ( LG + RC )
+ RGV
2
∂z
∂t
∂t
O cabo ideal sem perdas (R = G =0 )
∂ 2V
∂ 2V
= LC 2
2
∂z
∂t
V ( z ) = V1e i (ωt −kz ) + V2 e i (ωt + kz )
Velocidade de propagação
ω
1
v= =
κ
LC
LC = µε
A velocidade de propagação do sinal é
freqüentemente expressa em termos de seu inverso,
o tempo de propagação por unidade de comprimento
T= v-1 = (LC)1/2. Esta quantidade é conhecida como
o atraso (delay) do cabo e é tipicamente
da ordem de 5 ns/m para um cabo padrão de 50 Ω.
Impedância Característica
V
Zo =
I
Zo =
L
C
Z
Interface z = 0
Zs
Vs
R
Vs = Vo + Z s I o
Vo = ZI o
Z
Vo = Vs
Zs + Z
V ( z, t ) = Vo e i ( wt +kz ) + Vr e i ( wt −kz )
i ( z, t ) =
Vo i ( wt −kz ) Vr i ( wt −kz )
− e
e
Z
Z
na interface z = 0
Z
Interface z = 0
Zs
Vs
R
V ( o , t ) = Ri ( o , t )
Vo e
i ( wt )
+ Vr e
i ( wt )
[
R
= Vo e i ( wt ) − Vr e i ( wt )
Z
R
Vo + Vr = (Vo − Vr ) = Vt = RI t
Z
]
Vr
Ir R − Z
R12 =
=− =
Vo
Io R + Z
Vt
2R
T=
=
Vo R + Z
Casador de impedâncias
Lista
Hecht capítulo 2 –
Exercícios segundo a sequência de Fibonacci
PURPOSE: To demonstrate the relationship between the phase velocity
and the group velocity of a wavepacket.
DESCRIPTION: Two transparencies contain a series of equally spaced
parallel lines. One transparency has a line spacing five percent smaller
than the other. Place one transparency stationary onto the overhead, as
shown in the photo above at left. Place the second transparency on top of the first and tilt it to create a small angle. Observe an interfernce pattern between the two
overlapping transparencies, as shown above in the middle photo. The smaller the angle between the two transparencies the better the effect.
Keeping the first transpareny stationary, slide the second transparency across the OHD projector. The group velocity is seen to move rapidly across the picture, as
shown in the photo at right. The movement of the phase velocity (motion of each transparency) is much slower than the fast moving group velocity.
EQUIPMENT: Transparencies, overhead projector.
SETUP NOTES: None.
To make your own transparencies, here is a jpg file of the parallel lines. To make your own demo, download this file and print it on your printer. Next, use a copy
machine to make a one 1:1 transparency. Lastly, adjust the copy machine to zoom a 5% reduction, and make a second transparency. Now you have the demo!
References:
Robert Katz, Group-Phase Velocity Demonstrator, AJP 21, 388-389 (1953).
Eric Mendoza, Storm at Sea - An Illustration of Group Velocity, AJP 22, 208-211 (1954).
P. T. Demos, Device for the Visual Presentation of Group Velocity, AJP 25, 383-384 (1957).
N. F. Barber, Phase Velocity and Group Velocity, AJP 27, 120 (1959).
J. Mawdsely, Demonstrating Phase Velocity and Group Velocity, AJP 37, 842-843 (1969).
John Coenraads, notes: Phase and group velocity, TPT 11, 36-37 (1973).