3.1 Ondas Mecânicas

3.1 Ondas Mecânicas
As ondas mecânicas são perturbações que se propagam devido à continuidade de
um determinado meio material. A Figura 3.1. mostra alguns exemplos de ondas mecânicas:
a) numa mola, b) numa corda , c) num lago. O próprio som é um exemplo de um uma onda
mecânica de pressão que se propaga no ar ou nos sólidos. Quando a perturbação se propaga
através de um meio, a energia cinética da porção do meio excitada é transmitida às regiões
seguintes do meio, resultando na transmissão de energia através do meio. Se ao invés de um
simples pulso, tivermos um movimento periódico com uma frequência bem definida,
dizemos que tempos uma onda.
Figura 3.1 Exemplos de ondas mecânicas transversais e longitudinais
A frequência de uma onda (f) é sempre determinada pela fonte que a produz
(gerador). O comprimento da onda que se propaga no meio vai depender desta freqüência e
da velocidade de propagação no meio (v).
Por exemplo, se supusermos, um gerador produzindo uma oscilação senoidal na
ponta de uma corda, o deslocamento vertical (y) de cada elemento de corda, localizado
numa terminada posição (x) da corda, variará com o tempo (t) segundo uma função:
y = y 0 cos(kx − ωt )
[1]
Um gráfico da posição dos pontos da corda num dado instante t=0 é mostrado na
Figura 3.2a. Isto corresponde a tirar uma fotografia da corda. Por outro lado podemos nos
fixar numa dada posição x=x0 e observarmos o comportamento temporal deste elemento de
corda, o resultado será a curva mostrada na Figura 3.2b.
Figura 3.2 Onda na corda a) em função da posição e b) em função do tempo
Numa onda k é chamado de número de onda, ω frequência angular. Estas grandezas
estão relacionadas com o comprimento de onda (λ) e com o período de repetição temporal
(T) da onda por:
k=
ω=
2π
[3.2]
λ
2π
= 2πf
T
[3.3]
A velocidade de propagação está relacionada com estas grandezas por:
v=
ω
k
=
λ
T
[3.4]
As ondas na corda são chamadas de ondas transversais porque o deslocamento dos
elementos de corda ocorre na direção (y), perpendicular à direção de propagação da corda
(x). Existem, entretanto, ondas em que o deslocamento ocorre na mesma direção da
propagação, neste caso as ondas são chamadas de longitudinais. São exemplos de ondas
longitudinais as ondas numa mola, as ondas sonoras, etc.
3.2 Ondas Eletromagnéticas no Vácuo
As ondas eletromagnéticas são ondas de campos elétricos e magnéticos acoplados.
Como os campos elétricos e magnéticos são grandezas vetoriais, durante a propagação eles
podem variar periodicamente em módulo, direção e sentido, porém sua direção é sempre
perpendicular à direção de propagação da onda. Por este motivo as ondas eletromagnéticas
são ondas transversais.
O acoplamento entre os campos elétricos e magnéticos vem do fato da variação do
campo magnético induzir a geração de campo elétrico (Lei de Faraday) e vice-versa. Além
disso, como os campos elétricos e magnéticos existem mesmo no vácuo, as ondas
eletromagnéticas, diferentemente das ondas mecânicas, não precisam de um meio material
para se propagar. A velocidade de propagação da luz no vácuo é uma constante universal e
é definida como:
c=
1
µ 0ε 0
= 3X108m/s
[3.5]
A medida da velocidade da luz no vácuo e sua comparação com 1 µ 0ε 0 , com µ 0
(permeabilidade magnética no vácuo) e ε 0 (permissividade elétrica no vácuo) medidos
independentemente em experimentos de eletricidade e magnetismo se constituiu na prova
definitiva de que a luz era uma onda eletromagnética.
Como os campos elétricos e magnéticos estão acoplados, para descrever a
propagação de uma onda eletromagnética basta escrever um deles, que o outro fica
automaticamente determinado pelas leis indução eletromagnética. A onda de campos
elétricos pode ser descrita na forma real ou complexa (fasores) por:
r r
r i (kx − wt )
E = E 0 cos(kx − ωt ) = E 0 e
[3.7]
As definições de k, ω, T e λ são as mesmas que para ondas mecânicas e as
relações entre das são dadas também pelas Equações 3.2 e 3.3.
3.2.1 Estados de Polarização da Luz
3.2.1.1 Ondas Linearmente Polarizadas
r
Se o vetor E 0 é real, durante a propagação, descrita pela Equação 4.7, sua direção
permanece constante, apenas seu módulo oscila periodicamente. Neste caso a onda é dita
linearmente polarizada. Isto é equivalente a uma onda mecânica numa corda onde a direção
do deslocamento dos elementos de corda é sempre a mesma. A Figura 3.3 ilustra a
propagação de uma onda linearmente polarizada deste tipo.
Figura 3.3 Onda linearmente polarizada
3.2.1.2 Ondas Circularmente Polarizadas
r
Por outro lado, se E 0 é um vetor complexo, como é sempre um vetor perpendicular
à direção de propagação:
(
)
r
E = E0 yˆj + iE0z ˆk ei (K⋅x − wt ) → E0 yˆj cos(K ⋅ x − wt ) + E0z ˆk sen(K ⋅ x − wt ) [3.8]
Para
r
t=0, z=0 → E = E 0 yˆj
r
t= T/4, z=0 → E = E 0 z ˆk
r
r
Os vetores E e H descrevem uma hélice no espaço, amarrados um ao outro.
Durante um período eles completam uma rotação completa. Se E 0 y = E 0 z , a onda é dita
circularmente polarizada, e o módulo do vetor campo elétrico permanece constante durante
a propagação, apenas girando com velocidade angular ω. Um esquema desta forma de
propagação está mostrado na Figura 3.4. Se E 0 y ≠ E 0 z tanto a direção como o módulo do
vetor campo elétrico oscilam durante a propagação e a onda é chamada de elipticamente
polarizada.
Figura 3.4 Onda circularmente polarizada
3.2.2 Energia e Momento
As ondas eletromagnéticas transportam energia e momento. Se num dado volume
não há cargas, o trabalho mecânico é zero e a potência eletromagnética, por unidade de área
que de uma onda é definida como:
r r r
S = E×H
[3.9]
Como a energia é uma grandeza real, devemos tomar uma representação real para os
campos, ou seja:
{}
{ }
r
r
r
S = Re E × Re H
[3.10]
Esta grandeza é chamada de vetor de Poynting e tem unidade de energia por unidade de
tempo por unidade de área. A média temporal deste vetor é chamada de Irradiança de uma
onda eletromagnética.
Para uma onda descrita matematicamente pela Equação 3.7 esta Irradiança vale:
r
1 r2
E
I= S =
[3.11]
2Z 0
com
Z 0 = µ 0 ε 0 = 377Ω
[3.12]
Por outro lado, a densidade volumétrica do momento associado à uma onda
eletromagnética por unidade de volume é dada por :
(
r r
r
p em = µ 0 ε 0 E × H
)
[3.13]
Da mesma forma como a energia, o momento é uma grandeza real e devemos então
tomar a representação real dos campos:
{}
{}
v
v
v
p em = µ0ε 0 Re E × Re H
[3.14]
Quando a luz incide numa superfície, a pressão eletromagnética exercida sobre esta
superfície pode ser calculada como:
p=
F ∆p 1
=
A ∆t A
[3.15]
A variação de momento da luz, dependerá da densidade volumétrica de momento da
onda e do tipo de superfície. Para incidência normal, numa superfície totalmente refletora a
variação de momento será duas vezes o momento da onda, se a superfície for totalmente
absorvedora será igual ao momento da onda. O momento médio da onda eletromagnética
será a média temporal da densidade volumétrica de momento, integrada no volume que
atinge a superfície durante o tempo ∆t:
∆p = p em Ac∆t
p em =
µ 0ε 0 r
E
2Z 0
2
Portanto a pressão de radiação exercida sobre a superfície será :
µ 0ε 0 r 2 I
p=
E =
2Z 0
c
[3.16]
[3.17]
[3.18]
3.3 Propagação dos Meios Materiais
Quando uma onda eletromagnética se propaga num meio material, principalmente
na faixa de freqüências próximas as da luz, a interação da luz com a matéria é determinada,
preponderantemente pela interação do campo elétrico (da luz incidente) com os elétrons da
matéria (momentos de dipolos elétricos atômicos). Por este motivo, para a maioria dos
meios materiais, exceto os materiais magnéticos, a constante µ ≅µ0, e a resposta do meio
pode ser representada através de e um permissividade elétrica complexa:
ε = ε r + iε i
[3.19]
Desta forma, a relação entre a frequência angular ω e o número de onda k da onda
eletromagnética assume a forma complexa:
k = ω µ 0ε =
2
2
ω2
c
2
N2
[3.20]
Onde podemos também, alternativamente, representar esta permissividade complexa
através de um índice de refração complexo para o meio:
N = n + iκ
[3.21]
Como consequência do fato de ε e N serem complexos, o número de onda k também
será complexo:
k = kr + ki
[3.22]
com
kr =
ki =
2


 εi 
µ 0ω ε r 
1 +   + 1

2 
 εr 


1
2
2


 εi 
µ 0ω ε r 
1 +   − 1

2 
 εr 


2
2
[3.23]
1
2
[3.24]
Substituindo-se a Equação 3.22 em 3.7, teremos que a onda eletromagnética
propagante será uma onda amortecida. Seu decaimento será tanto mais rápido quando
maior a parte imaginária do índice de refração complexo ki.
A grandeza δ é chamada de comprimento de penetração no material ou “skin depth”
e representa a distância no meio em que a amplitude da onda cai a 1/e do seu valor inicial:]
δ =
1
ki
[3.25]
3.3.1 Propagação em Dielétricos
Nos meios materiais dielétricos, a parte imaginária da permissividade εi (assim
como a parte imaginária do índice de refração κ) é geralmente muito pequena, a não ser
para determinadas freqüências onde ocorre ressonância. Na ressonância, a freqüência da
onda coincide com uma das freqüências naturais de oscilação do átomo ou elétron. Fora da
ressonância podemos desprezar a parte imaginária do índice de refração e temos então:
µε
εr
c
≅
[3.26]
N=n= =
v
ε0
µ0 ε 0
Neste caso a propagação é muito semelhante à propagação no vácuo, sem
amortecimento da onda propagante, e com os campos elétricos e magnéticos oscilando em
fase e perpendiculares entre si e com a direção de propagação. Apenas ocorre uma redução
da velocidade de propagação da onda eletromagnética, e conseqüentemente de seu
comprimento de onda no meio:
λ = λ0 n
3.3.2 Propagação em Condutores
[3.27]
Nos meios condutores, pelo contrário, esta atenuação pode ser muito forte, porque a
parte imaginária da permissividade elétrica está diretamente relacionada com a
condutividade do meio σ por:
εi =
σ
ω
[3.28]
Por este motivo, para o caso de um condutor infinito ε i → ∞ ⇒ k i → ∞ e
consequentemente o comprimento de penetração δ→ 0. Neste caso o material se comporta
como um bom refletor.
O comprimento de onda e a velocidade de fase da onda são respectivamente
determinadas por k r através das relações:
ck
ω
2π
[3.29]
, vf =
,n = r
λ=
ω
kr
kr
As ondas para o campo magnético também serão ondas planas amortecidas:
r r
H = H 0 e − k i x ⋅ e i (k r x −ωt )
[3.30]
r
r
Só que agora devido ao fato do número de onda (que relaciona E e H nas equações
r
r
de Maxwell) ser complexo, teremos que E continua a H e ambos perpendiculares e à
r
r
direção de propagação, só que agora E e H não oscilam mais em fase, e sim com uma
diferença de fase φ dada por:
tgφ =
ki
kr
[3.31]
A Figura 3.5 mostra um esquema da propagação num meio condutor para uma onda
linearmente polarizada.
Figura 3.5 Onda linearmente polarizada se propagando num condutor
3.3.3 Propagação em meios Anisotrópicos (não condutores)
Nestes meios, a permissividade elétrica assim como o índice de refração (e a
velocidade de propagação da luz) são reais, mas dependem da direção do campo elétrico.
Consequentemente o número de onda k também será diferente para cada direção do vetor
campo elétrico. Uma forma de representar o número de onda para estes materiais é a
representação de uma superfície no espaço de k, semelhante à mostrada na Figura 3.6.
Figura 3.6 Superfície do número de onda para um cristal biaxial
Normalmente esta propriedade é apresentada por cristais, devido a anistropia das
ligações dos átomos na rede. Existem, entretanto, determinadas direções de propagação
para as quais o número de onda k tem o mesmo valor para direções ortogonais do campo
elétrico, conforme mostrado na Figura 3.6. Estas direções são chamadas de eixos ópticos do
material. A superfície mostrada na Figura 3.6 apresenta dois eixos deste tipo, por isto é
denominada de cristal biaxial. Existem casos, entretanto, em que dois dos seus três valores
distintos de ks são coincidentes. Neste caso, a superfície da Figura 3.6 degenera para uma
esfera e um elipsóide, e o cristal é chamado de uniaxial. Se a esfera toda o elipsoide no seu
eixo menor (esfera está inscrita dentro do elipsóide) o cristal é chamado de uniaxial
positivo. São exemplos deste tipo de cristal o gelo, e o quartzo. Por outro lado se o
elipsóide toda a esfera no seu eixo maior (elipsóide fica inscrito dentro da esfera) o cristal é
dito unixial negativo como por exemplo a calcita. Nos cristais isotrópicos os números de
onda são iguais em todas as direções k1=k2=k3 (cristais cúbicos, NaCl, diamante).
Esta propriedade de apresentar índices de refração diferentes para direções
ortogonais de polarização da luz, é chamada de birrefringência. Um exemplo clássico de
fenômeno envolvendo estes materiais é a dupla refração quando um feixe despolarizado
incide obliquamente numa lâmina de faces paralelas de um material birrefringente. Para
cada direção ortogonal de polarização haverá um ângulo de refração diferente, resultando
dentro do material e na saída da lâmina o aparecimento de um duplo feixe refratado (cada
um apresentando uma polarização ortogonal ao outro). Um esquema e exemplo desta dupla
refração é mostrado na Figura 3.7. O mesmo efeito aplicado a imagem de objetos, produz a
dupla imagem (mostrada na Figura 3.7).
Figura 3.7 Dupla Refração e dupla imagem
A birrefringência dos materiais pode ser natural como no caso de cristais ou
induzida. Quando a birrefringência é induzida por campos elétricos é chamada de efeito
Eletro-óptico ou Efeito Kerr, e pode ser utilizada para se construir moduladores ópticos.
Quando a birrefrigência é induzida por campos magnéticos é chamada de efeito CottonMouton. A birrefringência também pode ser induzida por tensões no material, neste caso é
chamada de foto-elasticidade (ou bifringência de stress).
Note que para a propagação num material birrefringente, o vetor campo elétrico não
ér mais perpendicular à direção de propagação da onda e a direção de propagação de energia
S não é mais a direção de propagação da fase da onda.
3.4 Formas de se alterar o estado de polarização da luz
Para se modificar ou analisar o estado de polarização da luz existem atualmente
disponíveis no mercado elementos ópticos que se utilizam destas propriedades
anisotrópicas dos materiais. Entre estas propriedades podemos citar o dicroismo e a
birrefringência.
3.4.1 Dicroismo
Quando a parte imaginária da permissividade complexa ou do índice de refração
varia com a direção do campo elétrico incidente da onda incidente (polarização) o material
é chamado de dicróico. Neste caso a espessura do material pode ser cortada de forma a ter
absorção total para uma dada direção de campo elétrico sem reduzir significativamente a
outra componente. São exemplos destes materiais os filtros polaróides e os polarizadores
convencionais para máquina fotográfica. Nestes materiais a direção em que o material é
puxado define uma assimetria e o material absorve diferentemente as direções ortogonais
de polarização. Geralmente a eficiência destes polarizadores máxima é da ordem de 30 %
(luz polarizada/luz incidente despolarizada) e a atenuação máxima é da ordem de 1/100.
Fora da faixa de luz visível 400-650 nm a eficiência destes polarizadores cai rapidamente.
Figura 3.8 Princípio de Funcionamento de um polarizador tipo Glan prisma
3.4.2 Birrefringência
Uma outra forma de polarizar a luz é utilizar a dupla refração descrita na seção
3.3.3. Como o índice de refração é diferente para cada uma das polarizações ortogonais, o
ângulo crítico (ângulo de reflexão total) também será diferente para cada polarização. Desta
forma, se construírmos um prisma com o material birrefringente de forma a obter reflexão
total para uma das polarizações, teremos tanto a luz refletida como a transmitida
linearmente polarizadas (conforme mostrado no esquema da Figura 3.8). Com
polarizadores deste tipo (também chamados tipo Glan), é possível se obter razões de
atenuação de até 1:1000.
Por outro lado, não basta obter luz linearmente polarizada a partir de luz
despolarizada, as vezes é necessário se alterar o estado de polarização da luz: transformar
luz linearmente polarizada em circularmente polarizada e vice-versa. Girar a polarização de
90o, etc. Para isto se utilizam elementos ópticos chamados de lâminas de onda.
Se tomarmos a lâmina birrefringente descrito na seção 3.3.3, e incidirmos a luz
perpendicularmente sobre esta lâmina, não haverá dupla refração, mas cada polarização se
propagará dentro do material com velocidade diferente, resultando num atraso de fase ∆φ
dado por:
2π
(n − n l )
∆φ =
[3.32]
λ r
onde nr= índice de refração para a direção de polarização que caminha mais rapidamente e
nl=índice de refração para a direção de polarização que caminha mais lentamente.
Este atraso de fase ∆φ altera o estado de polarização da luz incidente. Se esta lâmina
for cortada com uma espessura tal de forma a produzir um atraso de fase entre as duas
polarizações ortogonais de exatamente π/2 para um determinado comprimento de onda, e se
incidirmos na lâmina uma onda linearmente polarizada a 45o em relação aos eixos rápido e
lento do cristal, teremos na saída uma onda circurlarmente polarizada. Neste caso esta
lâmina é chamada de lâmina de quarto de onda (λ/4).
Por outro lado se cortarmos a lâmina de forma a obtermos um atraso de fase ∆φ de
π e incidirmos, também com luz linearmente polarizada a 45o em relação aos eixos rápido e
lento da lâmina, na saída a polarização estará girada de 90o para este comprimento de onda.
A birrefringência pode também ser induzida pela aplicação de campos elétricos ou
por campos magnéticos em determinadas direções de um cristal. Quando a birrefringência é
induzida num material sólido ou líquido (antes isotrópico) pela aplicação de um campo
elétrico recebe o nome de efeito eletro-óptico ou efeito Kerr. Este efeito pode ser utilizado
juntamente com dois polarizadores para se produzir moduladores de luz, que recebem o
nome de célula de Kerr. A birrefringência induzida é proporcional ao quadrado do campo
elétrico aplicado:
n r − n l = KE 2λ0
[3.33]
com K= constante de Kerr e λ0 é o comprimento de onda no vácuo.
Analogamente a birrefringência pode ser induzida pela aplicação de um campo
magnético em determindada direção, este efeito é chamado de Efeito Cotton-Mouton.
Da mesma forma materiais já birrefringentes podem ter seus índices de refração
alterados pela aplicação de campos elétricos. Este efeito é chamado de efeito Pockels e a
célula construída utilizando este efeito para modulação da luz transmitida recebe o nome de
célula de Pockels.
3.4.3 Atividade Óptica
Existem materiais que apresentam a propriedade de girar a direção de polarização
da luz incidente. Este efeito é chamado de atividade óptica. A atividade óptica pode ser
descrita supondo que cada direção de rotação da luz circularmente polarizada tem
velocidade diferente. Desta forma após atravessar uma espessura L deste meio ela terá
sofrido uma rotação.
ωl
πl
θ = (n R − n L ) = (n R − n L )
[3.34]
λ
2c
com nR o índice de refração para luz circularmente polarizada girando para a direita e nL o
índice de refração para luz circularmente polarizada girando para a esquerda. Podemos
definir para estes materiais o poder de rotação σ como:
σ=
θ
l
[3.35]
Diversos cristais apresentam atividade óptica, como é o caso do quartzo, entretanto
muito líquidos também apresentam esta propriedade devido à forma helicoidal de suas
moléculas. Cristais líquidos, por exemplo apresentam um extraordinário poder de rotação
da ordem de 40.000o/mm. A medida da atividade óptica em líquidos também pode ser
utilizada para se determinar a concentração de glicose, sacarose, etc.
A atividade óptica também pode ser induzida por campos magnéticos, neste caso ela
é chamada de efeito Faraday, e a atividade óptica (θ) é proporcional ao campo magnético
aplicado(B) :
θ = VBe
[3.36]
com V= constante de Verdet que depende do material.