Matemática - Curso Aprovação

Matemática
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Teoria e Exercícios
Profº. Anderson Conceição
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MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
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MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
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Prof. Anderson Conceição
Matemática – Apostila
Equações
9x = -10
Equação é toda sentença matemática aberta que
exprime uma relação de igualdade. Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
Como
, então
.
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas
variáveis
Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se
resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois
lados, obtemos:
ax = -b
Uma equação do 1º grau com duas variáveis possui
infinitas soluções.
Cada uma dessas soluções pode ser representada
por um par ordenado (x, y).
Dividindo-se agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra
incógnita significa " desconhecida".
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação
que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b
números racionais, com a diferente de zero.
Dispondo de dois pares ordenados de
uma
equação, podemos representá-los graficamente
num plano cartesiano, determinando, através da
reta que os une, o conjunto das soluções dessa
equação. Exemplo:
Construir um gráfico da equação
x + y = 4.
Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que
solucionam essa equação.
1º par: A (4, 0)
2º par: B (0, 4)
A seguir, representamos esses pontos num plano
cartesiano.
Resolução de uma equação do primeiro grau
Resolver uma equação significa determinar o seu
conjunto verdade, dentro do conjunto universo
considerado.
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma
incógnita, devemos aplicar os princípios de
equivalência
das
igualdades
(aditivo
e
multiplicativo). Exemplos:
Sendo U =Q, resolva a equação
MMC (4, 6) = 12
Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando
a reta r, que contém todos os pontos soluções da
equação.
-9x = 10 => Multiplicador por (-1)
Atualizada 27/08/2008
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Matemática – Apostila
Método de substituição
Solução
• determinamos o valor de x na 1ª equação.
x=4-y
• Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) -3y = 3
Sistemas de Equações
• Resolvemos a equação formada.
Considere o seguinte problema:
Pipoca, em sua última partida, acertou x
arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3
pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55
pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele
acertou?
8 - 2y -3y = 3
8 - 2y -3y = 3
5y = -5 => Multiplicamos por -1
Podemos traduzir essa situação através de duas
equações, a saber:
x + y = 25
(total de arremessos certo)
2x + 3y = 55
(total de pontos obtidos)
Essas equações
equações.
contém
um
sistema
de
Costuma-se indicar o sistema usando chave.
5y = 5
y=1
• Substituímos o valor encontrado de y, em
qualquer das equações, determinando x.
x +1= 4
O par ordenado (20, 5), que torna ambas as
sentenças verdadeiras, é chamado solução do
sistema.
Um sistema de duas equações com duas variáveis
possui uma única solução.
x= 4-1
x=3
• A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}
Resolução de Sistemas
A resolução de um sistema de duas equações com
duas variáveis consiste em determinar um par
ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo,
essas equações.
Estudaremos a seguir alguns métodos:
2
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Método da adição
Sendo U =
, observe a solução de cada um
dos sistemas a seguir, pelo método da adição.
Resolva o sistema abaixo:
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Solução
• Adicionamos membros a membros as equações:
2x = 16
x=8
Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer
das equações, determinado y:
8 + y = 10
y = 10 - 8
y=2
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
Matemática – Apostila
4 - O acionista de uma empresa vendeu, no início
de janeiro, 1/3 das ações que possuía. No início de
fevereiro 1/3 das ações que restaram após a venda
feita em janeiro. Repetiu o mesmo procedimento
em março, abril, maio e junho, quando, após a
venda possuía 256 ações. Quantas ações vendeu
no início de abril?
a) 128
b) 384
c) 576
d) 288
e) 192
5 - As x pessoas de um grupo deveriam contribuir
com quantias iguais a fim de arrecadar
R$15000,00, entretanto 10 delas deixaram de fazêlo, ocasionando, para as demais, um acréscimo de
R$50,00 nas respectivas contribuições. Então x
vale.
V = {(8, 2)}
Exercícios
1 - Sobre as raízes reais da equação x + 32/x - 12 =
0, é verdade que:
a.
b.
c.
d.
e.
uma delas é o dobro da outra.
têm sinais contrários.
são maiores que 10.
não são inteiras.
são inexistentes.
a) 60
b) 80
c) 95
d) 115
e) 120
2 - Resolvendo a equação 1/2 - x = 6 (1/3 - x) no
conjunto R; obtemos a raiz:
6 - Um grupo de estudantes dedicado à confecção
de produtos de artesanato gasta R$15,00 em
material, por unidade produzida, e, além disso, tem
um gasto fixo de R$600,00. Cada unidade será
vendida por R$85,00. Quantas unidades terão de
vender para obterem um lucro de R$800,00?
a) 3/10
b) 1/10
c) 10
d) 3
e) 5/2
a) 7
b) 10
c) 12
d) 15
e) 20
3 - Para que as equações: (m - 2)x - (m - 1) = 0 e 2x
- 4 = 0 sejam equivalentes, devemos ter m igual a
7 - Três números naturais e múltiplos consecutivos
de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro
do maior. Dentre esses números, o maior é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 3/2
a) múltiplo de 3
b) ímpar
c) quadrado perfeito
d) divisor de 500
e) divisível por 4
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a) 300
b) 360
c) 1.000
d) 1.600
e) 2.000
8 - Dê a soma das raízes do sistema:
Gabarito:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9
-
O
conjunto
verdade
do
sistema
,é
a) {(– 1, 2)}
b) {(1, 2)}
c) {(1, – 2)}
d) {(2, 1)}
e) {(3, 1)}
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
A
A
B
D
A
E
A
E
D
E
B
D
Inequações do 1º grau
Denominamos
inequação
toda
sentença
matemática aberta por uma desigualdade.
10 - Se o par ordenado (x, y) é a solução do
sistema
As inequações do 1º grau com uma variável podem
ser escritas numa das seguintes formas:
,
,
como a e b reais
, então o valor de 7x + y é:
a) 8.
b) 15.
c) –6.
d) 48.
e) 0.
11 - A soma de dois números é 35. Se o dobro do
maior excede de 10 unidades o triplo do menor,
então o maior número é:
,
,
. Exemplos:
A forma que usamos para resolver as inequações é
a mesma usada nas equações,
observando que as equações são igualdades e as
inequações são desigualdades.
Exercícios:
a) 12
b) 23
c) 26
d) 24
e) 30
1 - Se 3 ≤ 5 - 2x≤7, então:
12 - Uma fábrica de refrigerante produz refrescos
de guaraná nas versões tradicionais e diet, e
envasa em garrafas de 300ml. Os bares vendem os
refrigerantes tradicionais por R$ 1,00 e os
refrigerantes diet por R$ 1,25. Ao final do dia
haviam sido vendidos 2.000 refrigerantes, com um
faturamento de R$ 2.100,00. Quantas garrafas de
refrigerante tradicional foram vendidas?
4
Matemática – Apostila
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a) -1 ≤x ≤1
b) 1 ≤ x ≤ -1
c) -1 ≤x ≤ 1
d) x = 1
e) x = 0
2 - Os valores inteiros de k que satisfazem a
inequação (2k-3)/(3-k)>1 são em número de:
a) 0
b) 1
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8 - Quantos números inteiros satisfazem
simultaneamente as desigualdades 2x + 3 ≤ x + 7 ≤
3x + 1:
c) 2
d) 3
e) 4
3 - Em N, o produto das soluções da inequação 2x3≤3 é:
a) maior que 8
b) 6
c) 2
d) 1
e) 0
4 - Fábio quer arrumar um emprego de modo que,
do total do salário que receber, possa gastar 1/4
com alimentação, 2/5 com aluguel e R$ 300,00 em
roupas e lazer. Se, descontadas todas essas
despesas, ele ainda pretende que lhe sobrem no
mínimo R$ 85,00, então, para que suas pretensões
sejam atendidas, seu salário deve ser no mínimo
a) R$ 950,00
b) R$ 980,00
c) R$ 1000,00
d) R$ 1100,00
e) R$ 1500,00
5 - O maior número inteiro que satisfaz a inequação
5/(x-3)>3 é:
a) um múltiplo de 2.
b) um múltiplo de 5.
c) um número primo.
d) divisível por 3.
e) divisível por 7.
6 - Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira
hora de uso, R$ 3,00 por hora adicional e tem uma
despesa diária de R$ 320,00. Considere-se um dia
em que sejam cobradas, no total, 80 horas de
estacionamento. O número mínimo de usuários
necessário para que o estacionamento obtenha
lucro nesse dia é:
a) 25
b) 26
c) 27
d) 28
e) 29
a) 4
b) 1
c) 3
d) 2
e) 5
1–A
2–A
3–E
4–D
5–A
6–C
7–B
8–D
Progressões Aritméticas
Para entendermos esta matéria, vamos dar uma
olhada no sentido do nome "Progressões
Aritméticas".
"Progressão" é tudo aquilo que progride, que vai
para frente, que muda. Como estamos falando de
matemática, certamente será com números. Uma
progressão é uma sucessão de números um após
os outros (Ex. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... - ou também, 1,
5, 23, -25, 20, 20, 7,...). Ou seja, quando falamos
simplesmente PROGRESSÃO, estamos nos
referindo a alguns números colocados um após o
outro sem, necessariamente, possuir uma lógica
em sua distribuição.
E para ser uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA
(PA), o que deve acontecer?
Uma progressão aritmética é uma sucessão de
números, um após o outro, que seguem um "ritmo
definido".
Veja a progressão abaixo:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
Esta progressão segue um ritmo definido, mostrado
na figura abaixo:
7 - Quantos números inteiros e estritamente
positivos satisfazem a sentença 1/(x-20) ≤1/(12-x)?
a) Dezesseis.
b) Quinze.
c) Quatorze.
d) Treze.
e) Menos que treze.
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Ou seja, temos um ritmo que é o de SOMAR DUAS
UNIDADES a cada elemento que acrescentamos.
Este é o ritmo que estamos falando, somar sempre
o mesmo número a cada elemento acrescentado.
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Como ela é uma progressão numérica que segue
um "ritmo definido" de acréscimo em relação ao
número anterior, ela pode ser classificada como
uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA CRESCENTE,
pois note que sempre irá crescer.
Matemática – Apostila
Soma dos "n" Primeiros Termos
Observe o exemplo:
Veja outro exemplo:
(16, 13, 10, 7, 4, 1, -2, -5...)
Esta também pode ser classificada como uma PA,
pois segue um ritmo definido. O qual, diferente da
anterior, é de decréscimo. Por ser assim, ela é
chamada
de
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
DECRESCENTE.
Termo Geral
Vamos usar a progressão dada anteriormente:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e
assim por diante. Cada termo de uma PA tem seu
nome: o primeiro é chamado de a1, o segundo de
a2, o terceiro de a3 e assim sucessivamente. A
razão é um termo qualquer a partir do 2º, menos o
seu antecessor. Nessa seqüência a razão é igual a
2.
Quando temos um termo que não sabemos sua
posição, chamamos de an, onde "n" é a posição
ocupada pelo termo em questão. Este é o termo
geral, pois pode ser qualquer um. Sua expressão é
dada por:
an = Termo geral
a1= 1º Termo
n = Número de termos
r = Razão
OBS : A razão define se a
decrescente ou constante.
Decrescente: r < 0
Sn = [(a1 + an )/ 2] . n
OBS: Se o número de termos for ímpar podemos
utilizar :
Para 3 termos - ( x – r , x , x + r )
Para 5 termos - ( x - 2r , x - r , x , x + r , x + 2r )
Exercícios:
1 - Em uma Progressão Aritmética, em que o
primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição
ocupada pelo elemento -13 é:
a) 8a
b) 7a
c) 6a
d) 5a
e) 4a
an = a1+ (n -1) . r
Crescente: r >0
Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos
de uma PA com "n" termos? A soma do primeiro
com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja,
podemos escrever:
P.A é crescente,
2 - O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x)
seja uma PA é:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3
d) 1/3
e) 2
Constante: r = 0
3 - A soma dos n primeiros termos de uma PA é
dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA
é:
a) 195
b) 190
6
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c) 27
d) 26
e) 25
10 - A quantidade de meios aritméticos que se
devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter
uma PA de razão 7, é
4 - Quantos meios devemos interpolar entre 112 e
250 para termos uma PA de razão 23?
a) 3a-2
b) 3a-1
c) 3a
d) 3a+1
e) 3a+2
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Gabarito:
5 - Na seqüencia definida por
soma dos 10 primeiros termos é igual a:
, a
a) 53/2
b) 265/2
c) 53
d) 265
e) 530
6 - A PA (a1, a2, a3, ...) tem razão "r". A razão da
progressão definida por bn=a5n é
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
B
B
A
C
B
C
E
D
B
B
Progressão Geométrica
Vamos ver um exemplo: escolhemos um termo
qualquer para ser o primeiro. Pode ser 5. Para
razão, escolhemos 3. Pronto, então a PG seria
assim:
a) r
b) r+r
c) 5r
d) r-5
e) r/5
7 - O número de termos de uma PA, cuja razão é 9,
o primeiro termo é 4 e o último 58, é
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
8 - A soma dos 40 primeiros números naturais é
igual a
a) 400
b) 410
c) 670
d) 780
e) 800
a1=5
agora para achar o a2 devemos
simplesmente multiplicar o
primeiro termo, que é 5, pela
razão, que é 3;
a2=5 .3=15
para achar o próximo termo,
multiplicamos novamente pela
razão;
a3=15 .3=45
e assim sucessivamente...
a4=45 .3=135
a5=135.3=405
Este quadro nos dá a PG:
(5, 15, 45, 135, 405...)
9 - Um atleta corre sempre 400 metros a mais que
no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um
total de 35200 metros. O número de metros que ele
correu no último dia foi igual a
a) 5100
b) 5200
c) 5300
d) 5400
e) 5500
Atualizada 27/08/2008
Note que esta PG esta crescendo, pois qualquer
número multiplicado por um número maior que 1
aumenta. Esta, então, se chama PG crescente.
Mas e se a nossa razão fosse menor que 1, mas
maior que 0 (0<q<1), por exemplo, 1/2.
Se isto ocorrer, os termos desta PG irão diminuir
cada vez mais, chegando bem perto de 0 (zero).
Esta, então, se chama PG decrescente.
Quando a PG tem um final, ou seja, um último
termo, chamamos de PG finita. Se não tiver um
final, ou seja, nenhum último termo, é chamada de
PG infinita.
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3 - Para interpolar 3 meios geométricos entre 6 e
4374, a razão deve ser:
Termo Geral:
an = a1 . qn-1
an = Termo geral
a1= 1º Termo
n = Número de termos
q = Razão
Propriedades:
a)
b)
c)
d)
e)
1º) q = (a2 / a1 ) = (a3 / a2 ) = (a4 / a3) = constante
4 - O valor positivo de x que torna a sucessão
2º) a2 2 = a1 . a3
uma PG é:
OBS: Se a1 = q temos ainda: a1 . a3 = a4
a1 . a3 . a4
=
1+3+4=8
8
a)
a8
b)
(A soma dos índices de cada lado devem ser iguais )
c)
Soma dos termos de uma P.G
d)
a) P.G Finita: ( limitada)
Sn = [ a1 . (qn - 1)] / q - 1
b) Limite da soma de uma P.G infinita: (ilimitada)
Sn = a1 / 1 - q
Exercícios:
1 - A soma dos seis primeiros termos da seqüência
definida por
, com
, é:
a)
5 - Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é
igual ao dobro da razão, e a soma dos dois
primeiros é 24. Nessa progressão a razão é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6 - O valor de x para que a seqüência
seja uma PG é
b)
c)
d)
e)
a)
2 – Sendo
valor de X:
, calcule o
b)
c)
a) 17/6
b) 15/6
d)
c) 15/4
e)
d) 95/94
7
e) impossível de se calcular
8
e)
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-
O
conjunto
solução
da
equação
é:
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a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
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Análise Combinatória
Fatorial de um número
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
8 - A soma de três números que formam uma PG
crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem
alterar os outros dois, eles passam a constituir uma
PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros
números e o terceiro é:
Definições especiais:
0!=1
1!=1
Exemplos:
a)-2
b)-1
c) 0
d)1
e) 2
9 - A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500000) é
a)222 222
b) 333 333
c) 444 444
d) 555 555
e) 666 666
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!
Princípio fundamental da contagem
10 - De acordo com a disposição dos números
abaixo,
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas
diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1
maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras
diferentes, e assim sucessivamente , então o
número total T de maneiras de ocorrer o
acontecimento
é
dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Arranjos simples
Dado um conjunto com n elementos , chama-se
arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de
k elementos distintos dispostos numa certa
ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem
de colocação dos elementos. Assim, no conjunto
E
=
{a,b,c},
teremos:
A soma dos elementos da décima linha vale:
a) 2066
b) 5130
c) 10330
d) 20570
e) 20660
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Representando o número total de arranjos de n
elementos tomados k a k (taxa k) por An,k ,
teremos a seguinte fórmula:
Gabarito:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
C
B
D
D
C
C
C
D
D
C
Obs: é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
Arranjos simples
Dado um conjunto com n elementos, chama-se
arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de
k elementos distintos dispostos numa certa
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ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem
de colocação dos elementos. Assim, no conjunto
E
=
{a,b,c},
teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Matemática – Apostila
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a
elementos repetidos, b elementos repetidos, c
elementos repetidos e assim sucessivamente , o
número total de permutações que podemos formar
é dado por:
Representando o número total de arranjos de n
elementos tomados k a k (taxa k) por An,k ,
teremos a seguinte fórmula:
Exercícios
Obs: é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
1 - Quantos são os números inteiros positivos de 5
algarismos que não têm algarismos adjacentes
iguais?
Combinações simples
a) 59.
Denominamos combinações simples de n
elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos
subconjuntos formados por k elementos distintos
escolhidos entre os n elementos dados. Observe
que duas combinações são diferentes quando
possuem elementos distintos, não importando a
ordem em que os elementos são colocados.
b) 9 × 84.
c) 8 × 94.
d) 85.
e) 95.
Exemplo:
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
Representando por Cn,k o número total de
combinações de n elementos tomados k a k (taxa
k) , temos a seguinte fórmula:
Permutações simples
Permutações simples de n elementos distintos são
os agrupamentos formados com todos os n
elementos e que diferem uns dos outros pela ordem
de
seus
elementos.
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as
seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA,
CAB e CBA.
O número total de permutações simples de n
elementos distintos é dado por n!, isto é
=
Pn
n! = n(n-1)(n-2)... .1 .
n!
Permutações com elementos repetidos
10
Atualizada 27/08/2008
onde
2 - Uma caixa automática de banco só trabalha com
notas de 5 e 10 reais. Um usuário deseja fazer um
saque de R$100,00. De quantas maneiras
diferentes a caixa eletrônica poderá fazer esse
pagamento?
a) 5.
b) 6.
c) 11.
d) 15.
e) 20.
3 - Considere todas as trinta e duas seqüências,
com cinco elementos cada uma, que podem ser
formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas
seqüências possuem pelo menos três zeros em
posições consecutivas?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16
4 - Seja o conjunto A= {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
Quantos produtos de 4 fatores distintos, escolhidos
entre os elementos de A, contêm o fator 5 e são
pares?
a) 21
b) 24
c) 35
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Matemática – Apostila
d) 42
e) 70
d) 18.000
e) 32.000
5 - Seja o conjunto A= {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
Quantos produtos de 4 fatores distintos, escolhidos
entre os elementos de A, contêm o fator 5 e são
pares?
10 - O número de múltiplos de 10, compreendidos
entre 100 e 9999 e com todos os algarismos
distintos, é:
a) 250
b) 321
c) 504
d) 576
e) 630
a) 21
b) 24
c) 35
d) 42
e) 70
6 - Uma prova de matemática é constituída de 16
questões do tipo múltipla escolha, tendo cada
questão 5 alternativas distintas. Se todas as 16
questões forem respondidas ao acaso, o número de
maneiras distintas de se preencher o cartão de
respostas será:
11 - Considere o conjunto A dos múltiplos inteiros
de 5, entre 100 e 1000, formados de algarismos
distintos. Seja B o subconjunto de A formado pelos
números cuja soma dos valores de seus algarismos
é 9. Então, a soma do menor número ímpar de B
com o maior número par de B é:
a) 80
b) 165
c) 532
d) 1610
e) 516
a) 835.
b) 855.
c) 915.
d) 925.
e) 945.
7 - Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por
24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam
palpites sobre os países que se classificariam nos
três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil;
2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada
tampinha, os três países são distintos, quantas
tampinhas diferentes poderiam existir?
a) 69
b) 2024
c) 9562
d) 12144
e) 13824
12 - O número de múltiplos de três, com quatro
algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9
é:
a) 24
b) 36
c) 48
d) 72
e) 96
13 - Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, sem
repetição, quantos números pares de três
algarismos e maiores que 234 pode-se formar?
8 - Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão
ocupadas por dois alunos. O número de maneiras
distintas possíveis que esses alunos terão para
escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupálas, é
a) 110
b) 119
c) 125
d) 129
e) 132
14 - O número de maneiras que se pode escolher
uma comissão de três elementos num conjunto de
dez pessoas é:
a) 1225
b) 2450
c) 250
d) 49!
e) 50!
9 - Quantas motos podem ser licenciadas se cada
placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais
repetidas) e 3 algarismos distintos?
a) 25.000
b) 120
c) 120.000
Atualizada 27/08/2008
a) 120.
b) 210.
c) 102.
d) 220.
e) 110.
15 - De quantas maneiras podem ser escolhidos 3
números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que
sua soma seja par?
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a) 1200.
b) 2100.
c) 3102.
d) 2030.
e) 5152.
16 - São dados 12 pontos num plano, 3 a 3 não
colineares. O número de retas distintas
determinadas por esses pontos é:
a) 66
b) 78
c) 83
d) 95
e) 131
17 - Num grupo de 10 pessoas temos somente 2
homens. O número de comissões de 5 pessoas que
podemos formar com 1 homem e 4 mulheres é:
a) 70.
b) 84.
c) 140.
d) 210.
e) 252.
18 - O número de anagramas da palavra
BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS,
nesta ordem é:
a) 9!
b) 11!
c) 9!/(3! 2!)
d) 11!/2!
e) 11!/3!
19 - Seis pessoas, entre elas João e Pedro, vão ao
cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e
consecutivos. O número de maneiras distintas
como as seis podem sentar-se sem que João e
Pedro fiquem juntos é
a) 720
b) 600
c) 480
d) 240
e) 120
20 - Os anagramas distintos da palavra
MACKENZIE que têm a forma E.......E são em
número de:
a) 9!
b) 8!
c) 2.7!
d) 9! -7!
e) 7!
consoante. Os
respectivamente:
Matemática – Apostila
valores
de
x
e
y
são,
a) 48 e 36.
b) 48 e 72.
c) 72 e 36.
d) 24 e 36.
e) 72 e 24.
22 - Um fiscal do Ministério do Trabalho faz uma
visita mensal a cada uma das cinco empresas de
construção civil existentes no município. Para evitar
que os donos dessas empresas saibam quando o
fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas
visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal
pode organizar o calendário de visita mensal a
essas empresas?
a) 180
b) 120
c) 100
d) 48
e) 24
23 - O número de anagramas da palavra
EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas, é
a) 360
b) 720
c) 1.440
d) 2.160
e) 4.320
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
E
C
C
D
D
E
D
B
D
D
E
D
B
A
D
A
C
C
C
E
A
B
E
21 - Com as letras da palavra PROVA podem ser
Descontos
escritos x anagramas que começam por vogal e y
anagramas que começam e terminam por
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Notações comuns na área de descontos:
D Desconto realizado sobre o título
A Valor Atual de um título
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i = taxa de desconto
i = taxa de juros
n = no. de períodos
n = nº. de períodos
O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:
N Valor Nominal de um título
i
Taxa de desconto
n
Número de
desconto
A = N / (1 + i n)
períodos
para
o
Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de
um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo
título.
D=N-A
Desconto Comercial composto (por fora):
Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é
análogo ao cálculo dos Juros compostos,
substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N
do título.
Desconto composto por fora
Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais
(por fora) ou Racionais (por dentro).
Tipos de descontos
Descontos simples são obtidos com cálculos
lineares, mas os Descontos compostos são obtidos
com cálculos exponenciais.
Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo
deste desconto é análogo ao cálculo dos juros
simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de
juros simples pelo Valor Nominal N do título.
Desconto por fora
Juros simples
D=Nin
j=Pin
N = Valor Nominal
P = Principal
i = taxa de desconto
i = taxa de juros
n = nº. de períodos
n = nº. de períodos
O valor atual no desconto por fora, é calculado por:
A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)
Desconto Simples Racional (por dentro):
A = N(1-i)
n
Juros compostos
S = P(1+i)n
A = Valor Atual
P = Principal
i = taxa de desconto negativa
i = taxa de juros
n = nº. de períodos
n = nº. de períodos
Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula
para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por
aplicações repetidas do desconto simples para 1
período.
Para n=1, o desconto composto por fora funciona
como o desconto simples por fora, logo:
A1 = N(1-i)
Onde A1 é o valor atual do título com valor nominal
N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo
processo, substituindo agora N por A1, para obter
A2, isto é:
A2 = A1(1-i) = N(1-i)2
Por este raciocínio, temos que, para cada número
natural n:
An = N(1-i)n
O cálculo deste desconto funciona análogo ao
cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital
P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do
título.
Esta fórmula é similar à formula do montante
composto, dada por:
O cálculo do desconto racional é feito sobre o
Valor Atual do título.
Desconto Racional composto (por dentro):
S = P(1+i)n
Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.
Desconto por dentro
Juros simples
D=Ain
j = P.i.n
N = Valor Atual
P = Principal
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Como D = N - A e como N = A(1 + i)n , então
D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]
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O melhor estudo que se pode fazer com o
desconto racional composto é considerar o Valor
Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o
Valor Nominal N como o montante desta aplicação,
levando em consideração que as taxas e os
tempos funcionam de forma similar nos dois casos.
Exemplo a: Qual é o desconto racional composto
de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o
prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de
desconto é de 3,5% ao mês.
Solução:
D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30
Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que
deverá ser pago 1 ano após em um único
pagamento de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao
mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a
empresa já tem condições de resgatar o título. Se
a empresa tiver um desconto racional composto
calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros
cobrada na operação do empréstimo, qual será o
valor líquido a ser pago pela empresa?
Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal:
i=4,5%=0,045
Número de períodos para o desconto:
n=12-5=7
Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n
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3 - Qual o valor atual de um título que, descontado
a 6% a.a., 4 meses antes do vencimento, produziu
um desconto comercial simples de R$ 600,00?
a) R$ 22.590,00
b) R$ 12.550,00
c) R$ 22.360,00
d) R$ 27.803,00
e) R$ 29.400,00
4 - Qual o valor nominal de uma duplicata que, à
taxa de 6% a.m., sofreu um desconto bancário
comercial ou por fora de R$ 60,00, ao ser
resgatado 2 meses antes de seu vencimento?
a) R$ 350,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 890,00
e) R$ 994,00
5 – Qual o valor atual de um título de
R$
800,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento,
à taxa de desconto composto de 2% ao mês?
a) R$ 590,00
b) R$ 600,00
c) R$ 690,00
d) R$ 739,08
e) R$ 943,00
6 - Qual o valor atual de um título de valor nominal
de R$ 1.120,00 com vencimento para 2 anos e 6
meses, à taxa de desconto composto de 36 % ao
ano?
Exercícios:
1- Uma nota promissória de R$ 186.000,00,
vencendo em 72 dias, sofreu R$ 3.199,20 de
desconto comercial simples. Qual a taxa anual
usada nessa operação?
a) i = 8,6%
b) i = 9,6%
c) i = 10,6%
d) i = 11,6%
e) i = 12,6%
a) R$ 519,24
b) R$ 750,00
c) R$ 830,00
d) R$ 927,00
e) R$ 1005,00
Gabarito:
2- Qual o valor atual de um título de
R$
20.000,00, descontado a 5% a.a. em 6 meses,
considerando desconto simples?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A
C
E
B
D
A
a) R$ 18.550,00
b) R$ 17.500,00
c) R$ 19.500,00
d) R$ 19.706,00
e) R$ 20.450,00
14
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