FAAP - Colégio Código da Disciplina: 9EX120

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Como estudar Matemática
Você acha possível que alguém consiga resolver mesmo as mais simples equações
sem conhecer as 4 operações básicas ( +, - , x e : )?
Na Matemática, principalmente, os pré-requisitos são essenciais. É impossível
construirmos o “prédio da Matemática” sem as pedras fundamentais ou sem uma
estrutura sólida.
Caso você sinta dificuldades em algum assunto, o primeiro passo é avaliar se o
conceito foi bem compreendido. Se mesmo assim as dificuldades persistirem, é
necessário verificar em quais pré-requisitos estão as suas falhas. Para isso, peça a
ajuda do seu professor, que é a pessoa que possui uma visão global da Matemática.
E no dia-a-dia, procure sempre se lembrar do seguinte:


estudar por pouco tempo, todos os dias, sem se cansar, assim, a sua
assimilação e a sua fixação serão bem mais eficazes;
deixar que os assuntos se acumulem e estudar somente na véspera das
provas – é a forma mais errada e ineficaz de se estudar! – isto porque exige
tempo demais num único dia, estourando o seu potencial de estudos e
ultrapassando o seu tempo de concentração.
Faça uma simples analogia:
“A sua boa saúde pode ser mantida se você tomar uma única refeição por semana?
Ou seja, se comer em um só dia o que você come em 7 (sete) dias?”
Intervalos
Exercem papel importante, em qualquer ramo de estudo, os subconjuntos de R
denominados intervalos.
Quaisquer que sejam os números reais a e b, a < b, temos:
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São, também, intervalos os seguintes subconjuntos de R, qualquer que seja o
número real a:
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Intersecção, Reunião e Diferença de Conjuntos
Vamos lembrar, do ensino do 1° grau, as operações primordiais entre conjuntos.
Sejam A e B conjuntos contidos num conjunto universo E.
Exemplos:
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Relação e função
Como localizar-se
Um trecho de anúncio num jornal traz os dizeres:
Venha conhecer o conforto total de
morar bem num bairro residencial,
sem as agitações e as aglomerações
da grande metrópole.
R. Pedro Pomponazzi, xyz.
Naturalmente, não é todo mundo que conhece a localização de tal rua. Afinal a Rua
Pedro Pomponazzi não é nenhuma Avenida Paulista ( de São Paulo ) ou Avenida
Atlântica ( do Rio de Janeiro ) ou Avenida Afonso Pena ( de Belo Horizonte ),
conhecidas por muitas pessoas.
Então, as pessoas consultam guias e mapas para descobrir a sua posição
geográfica. Por exemplo, num determinado guia, encontramos:
04115 Pedro Pomponazzi 137 F3
De acordo com a convenção do guia, a rua de CEP 04115 encontra-se na página
137, nas coordenadas F e 3.
Tais coordenadas facilitam a procura e, além disso, dão a posição do logradouro.
A Matemática também faz uso de coordenadas (como abscissas e ordenadas), que
serão vistas a seguir.
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Sistema Cartesiano Ortogonal
Seja α o plano determinado por dois
eixos perpendiculares entre si com a
mesma origem 0.
O eixo desenhado na posição horizontal é denominado eixo das abscissas, em
geral indicado por 0x.
O eixo desenhado na posição vertical é denominado eixo das ordenadas,
geralmente denotado por 0y.
α é chamado de plano cartesiano ortogonal.
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
É a correspondência biunívoca entre os pares ordenados de números reais e os
pontos do plano cartesiano ortogonal.
Para indicar que P tem abscissa Xp e ordenada Yp, usamos a notação P(Xp;Yp) ou
P=(Xp; Yp).
O plano cartesiano fica dividido em quatro regiões distintas, denominadas
quadrantes.
2º Quadrante
3º Quadrante
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1º Quadrante
4º Quadrante
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Exercícios Propostos
1. Localizar no plano cartesiano ortogonal os pontos A(2; 6), B(-4; 5), C(-5; -2), D(4;
-3), E(3; 0), F(0; 4), G(-4; 0) e H(0; -1).
2. Determinar as coordenadas de A, B, C, D, E, F, e H da figura:
3. Determinar o quadrante ao qual pertence cada um dos pontos:
(A 2 – 1; - π ), B( 3 – 2; 5 – 2), C(2 – π; 2 – 2) e D( 3 – 1; 3 – π).
4. a) Localizar no plano cartesiano ortogonal os pontos A (-1; 3), B (0; 3), C (2; 3) e
D (5; 3).
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b) O que ocorre com os pontos que tem ordenadas iguais?
c) O que ocorre com as ordenadas dos pontos que pertencem a uma mesma reta
paralela ao eixo de abscissas?
5. a) Localizar A(-3; 3), B(-3; 0), C(-3; 4) e D(-3; -2) no plano cartesiano ortogonal.
b) O que ocorre com os pontos que tem a mesma abscissa?
c) O que ocorre com as abscissas dos pontos pertencentes a uma mesma reta
paralela ao eixo de ordenadas?
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Função
Função
Uma relação f, de um conjunto A num conjunto B, é aplicação (função) de A
em B se, e somente se, f associa a todo elemento de A um único elemento de B
Numa aplicação f de A em B:
A é o conjunto de f; será denotado por D(f);
B é o contradomínio de f; será denotado por CD(f);
indicando por x um elemento qualquer de A, o seu correspondente y
em B é a imagem de x
os elementos de B que são imagens dos elementos de A pela f
constituem o conjunto imagem de f; será indicado por Im(f);
será usada a indicação
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Exercícios Propostos
Quais das relações de A em B são funções?
Determinação de Domínio de Função


Para a completa caracterização de uma função necessitamos de:
dois conjuntos – u m chamado de domínio e o outro, de contradomínio;
uma sentença aberta y = f(x) que a todo x  D (f) possibilita o cálculo de um
único y  CD(f).
Quando uma função f for descrita, apenas, por uma sentença aberta y = f(x),
subentendemos que:
o domínio é o subconjunto de R, no qual são possíveis as operações indicadas em
f(x);
o contradomínio é R.
Exemplos:
a) f ( x ) = x + 3
x-2
Devemos impor que o denominador não pode ser nulo:
x–2 0 x2
Portanto, D(f) = { x  R / x  2 } = R – {2}.
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b) f ( x ) =
4
2x - 6
Em R, o radicando de uma raiz de índice par não pode ser negativo:
2x – 6 ≥ 0  2x ≥ 6  x ≥ 3
Portanto, D ( f ) = { x  R/ x ≥ 3} = [ 3; + ∞]
c) f ( x ) =
3
2x - 8
O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser negativo, nulo ou positivo, ou
seja, 2x – 8 pode assumir todos os valores reais.
Portanto, D ( f ) = R.
d) f ( x ) =
As operações indicadas em
são possíveis se, e só se:
Exercícios Propostos
Determinar o domínio de cada função:
a)
b)
c)
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Função Constante
Uma função f, de R em R, que a todo número x associa sempre o mesmo K é
denominada função constante de valor k.
f:R→R
x→y=k
É claro que: Im( f ) = { k }.
Costumamos dizer, de forma abreviada, que a função constante de valor k é a
função definida por y = k ou por f( x ) = k, ficando subentendido que o domínio e R.
Exemplos:
a) f( x ) = 3 é função constante de valor 3.
Observemos que : qualquer que seja o número que colocarmos no lugar de x, a
imagem será sempre 3.
Assim:
f (2) =3
f (-4) = 3
f (1) = 3
f (-3) = 3
f( 2)=3
f (0,666...) = 3
b) f (x) = -2 é função constante de valor –2.
c) f (x) = 0 é função constante nula.
Gráfico Cartesiano
Seja dada a função f (x) = k, de domínio R.
Atribuindo alguns valores a x, temos:
Os pontos do gráfico de f (x) = k
têm a mesma ordenada k; portanto, o
gráfico de f (x) = k é a reta paralela ao
eixo das abscissas que passa por (0; k).
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Função Linear
Uma função f, de R em R, que a todo número x associa o número ax, com a
real não-nulo, é denominada função linear.
f:R→R
x → y = ax, a ≠ 0
Costumamos dizer, de forma abreviada, que função linear é a função definida
por y = ax, a  0, ou por f (x) = ax, a  0, ficando subentendido que o domínio é R.
Exemplos:
a) y = 3x, onde a = 3
b) y = -2x, onde a = -2
c) y = x, onde a =1
Na função linear f (x) = ax, a é denominado coeficiente angular ou declividade
do gráfico de f.
Gráfico Cartesiano
Inicialmente, notemos que o gráfico cartesiano de qualquer função linear y =
ax, de domínio R, passa pela origem, pois
x=0  y=0
Agora, vamos analisar alguns exemplos:
a) y = 3x, de domínio R.
Construindo uma tabela de valores, temos:
Observamos que o gráfico é uma reta; considerando que ela passa pela
origem e que dois pontos distintos determinam uma única reta, basta atribuir a x um
valor não-nulo e obter o correspondente valor de y para a construção do gráfico de
qualquer função linear.
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b) y = -2x, de domínio R.
Usando o procedimento prático descrito no exemplo anterior, temos:
x=1 → y= -2
Os exemplos analisados nos mostram que o gráfico cartesiano de uma função
linear y = ax, de domínio R, é uma reta que passa pela origem e pelos 1° e 3°
quadrantes para a > 0 ou pelos 2° e 4° quadrantes para a < 0.
Função Crescente e Função Decrescente
Consideremos as funções f (x) = 2x e g (x) = - 2x, de domínio R, e analisemos o que
ocorre com as imagens quando aumentamos os valores de x.
a) f (x) = 2x
X
Y = -2x
-2
-4
-1
-2
0
0
1
2
2
4
Aumentando os valores de x, as imagens
correspondentes também aumentam.
Dizemos que: f (x) = 2x é crescente em R.
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b) g (x) = -2x
X
Y = -2x
-2
4
-1
2
0
0
1
-2
2
-4
Aumentando os valores de x, as imagens
Correspondentes diminuem.
Dizemos que: g (x) = -2x é decrescente em R.
Função Afim
Uma função f, de R em R, que a todo número x associa o número ax + b , com
a ≠ 0 e b reais, é denominada função afim ou função polinomial do 1° grau.
F:R→R
X → y = ax + b, a ≠ 0
Costumamos dizer, de forma abreviada, que função afim é a função definida
por y = ax + b, a  0, ou por f (x) = ax + b, a  0, ficando subentendido que o domínio
é R.
Exemplos:
a) y = 3x + 2, onde a = 3 e b = 2
b) y = 2 – 4x, onde a = -4 e b = 2
c) y = - 2x – 6 , onde a = - 2 e b = -6
3
3
d) y = 2x, onde a = 2 e b = 0
Na função afim f (x) = ax + b, a é o coeficiente angular ou declividade, e b é o
coeficiente linear do gráfico de f.
Uma função afim é caracterizada pelos valores de a e de b. Assim,
consideradas as funções polinominais do 1° grau f (x) = ax + b e g (x) = mx + n, de R
em R, temos:
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f = g  (a = m (não-nulos) e b = n)
f  g  (a  m ou b  n )
Raiz ou Zero
Um número r  D(f) é raiz ou zero de uma função f se, e somente se, f(r) = 0.
Para uma função afim f (x) = ax + b, a raiz é obtida, resolvendo-se a equação
f (x) = 0;
ax + b = 0  ax = -b  x = - b
a
Exemplo:
A raiz ou o zero de f (x) = - 2x + 7 é dada por:
- 2x + 7 = 0  x = 7
2
Estudo do Sinal
Estudar o sinal de uma função f de domínio D (f)
valores de x para os quais
R significa descobrir os
f (x) < 0 ou f (x) = 0 ou f (x) > 0
Para uma função afim f (x) = ax + b, de domínio R, analisando pelo gráfico,
temos:
x > - b → f (x) tem o mesmo sinal de a;
a
x < - b → f (x) tem o sinal contrário ao de a;
a
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x = - b → f (x) = 0.
a
Podemos esquematizar o sinal da função afim f (x) = ax + b assim:
Inequação do 1° grau na variável real x é toda inequação redutível à forma ax + b
> 0 ou ax + b < 0 ou ax + b  0 ou ax + b  0 onde a  0 e b são números reais.
Exercícios de Fixação ( Feitos com o Professor )
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Exercícios Propostos
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Função quadrática
Uma função f, de R em R, que a todo número x associa o número ax2 + bx + c,
com a ≠ 0, b e c reais, é denominada função quadrática ou função
polinomial do 2° grau.
f:R→ R
x → y = ax2 + bx + c, a ≠ 0
Costumamos dizer, de forma abreviada, que função quadrática é a função
definida por y = ax2 + bx + c, a  0, ou f (x) = ax2 + bx + c, a  0, ficando
subentendido que o domínio é R.
Exemplos:
a) y = 3x2 + 6x + 2, onde a = 3, b = 6, c = 2
b) y = 1 - 4x2 - 8x, onde a = -4, b = -8, c = 1
c) y = 20x – 5x2 , onde a = -4, b = 20, c = 0
d) y =
3 - 2x2 , onde a = - 2 , b = 0, c =
3
3
3
e) y = -4x2 , onde a = -4, b = 0, c = 0
Os elementos caracterizadores de uma função quadrática são os seus
coeficientes a, b e c; assim, considerados as funções quadráticas f (x) = ax2 + bx + c
e g (x) = mx2 + nx + p, de R em R, temos:
f = g  a = m (não-nulos), b = n e c = p
f  g  a  m ou b  n ou c  p
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Raízes
Obtemos as raízes de uma função quadrática f (x) = ax2 + bx + c resolvendo a
equação ax2 + bx + c = 0; elas são dadas por:





A concavidade dessa parábola está voltada para baixo ( a = - 1 < 0 );
c = -2 é a ordenada do ponto que essa parábola corta 0y;
essa função não tem raízes reais ( a parábola não intercepta 0x );
existe, nessa curva, o ponto de máximo, localizado em (1 ; - 1 ), que é o vértice;
a reta vertical que passa pelo vértice é o eixo de simetria.
Podemos, então, organizar o seguinte quadro:
V indica o vértice; e s, o eixo de simetria.
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Se houver necessidade de utilizarmos outros pontos, atribuiremos a x valores
simetricamente dispostos em relação ao eixo de simetria.
Obs.: Conhecidas as raízes reais x1 e x2 de uma função quadrática, como x1 +
x2 =
b
b
e xv =
, temos
a
2a
Vértice ( V )
O gráfico cartesiano de uma Função
Quadrática y = ax2 + bx + c, de domínio
R e coeficientes reais, corta 0y em ( 0; c ).
Para y = c em y = ax2 + bx + c, temos:
c = ax2 + bx + c → x = 0 ou x = - b
a
Logo, para b  0, existe um outro ponto
Dessa parábola, como ordenada c, que é
Como
e ( 0 ; c ) são eqüidis-
tantes do eixo de simetria, todos os pontos deste
têm abscissa igual à metade de – b , ou seja, - b ;
a
2a
em particular, o vértice V tem abscissa xv = - b e a
2a
ordenada yx é a imagem de xv pela função:
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É fácil notar que essa relação são válidas,também, para b = 0.
Máximo ou Mínimo. Conjunto Imagem
Para uma função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, de domínio R e coeficientes
reais, podemos registrar que:
Exercícios Resolvidos
De todos os retângulos de mesmo perímetro 40 cm, determinar o de área máxima.
Resolução:
Indicando a medida, em cm, de um lado
Por x(x > 0), cada um dos lados conse cutivos mede
40 – 2x = 20 – x, x < 20
2
Logo, a área A (x) desse retângulo é expressa por:
A(x) = x( 20 – x ) → A(x) = x2 + 20x, com 0 < x < 20
Como a = -1 existe valor máximo de A(x) que ocorre para
x = - b = - 20 = 10
2a
2( -1)
A outra dimensão do retângulo é 20 – x = 20 – 10 = 10.
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Portanto, o retângulo procurado é um quadrado de lado 10 cm.
Exercícios Propostos
Para que valor de x a função f (x) = x2 - 2x + 1 assume valor mínimo?
A função f (x) = 3x2 + 6x – m assume valor mínimo igual a 4. Determinar m.
Determinar m e n para que o vértice da parábola de equação y = - 4x2 + mx + n
Seja ( ½; 9 ).
Determinar o conjunto imagem de cada função de domínio R;
a) f (x) = 2x2 - 7x + 3
d) f (x) = - x2 + 4
b) f (x) = -3x2 + 7x -1
e) f (x) = 5x2 - 4x + 1
c) f (x) = 5x2 - 10x
f) f (x) = -9x2 + 6x - 1
Determinar m para que a função:
a) f (x) = ( 10 - 5m) x2 + 4x + 3 tenha valor mínimo.
b) f (x) = ( -3m + 6) x2 - 2x - 6 tenha valor máximo.
De todos os pares de números reais de mesma soma 12, determinar aquele de
produto máximo.
A função horária de movimento de um ponto material é expressar por s = 20 - 9t + t2
(SI). Em que instante o móvel muda de sentido e qual a sua posição?
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Sinal da Função Quadrática
Estudar o sinal de uma função f significa descobrir os valores de
x E D (f) para os quais f (x) < 0 ou f (x) = 0 ou f (x) > 0.
Para uma função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, de domínio R e coeficientes
reais, temos três casos a considerar:
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Inequação do 2° grau
Inequação do 2° grau na variável real x é toda inequação redutível à forma
ou
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ou
ou
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0
com a  0, b e c reais.
Para obtermos o conjunto solução S de cada uma dessas inequações, basta
analisarmos o sinal de ax2 + bx + c.
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Exercícios de Fixação ( Feitos com o Professor )
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Exercícios Propostos
Resolver cada inequação em R:
a) ( 2x + 3 ) ( x2 + 3x – 4 ) < 0
b) ( - x2 + 4 ) ( 4x2 – 4x + 1 ) ≤ 0
c) - x2 + 3x + 10 < 0
x -3
d) x2 – 4x + 3 ≥ 0
x2 - x – 2
Equações Exponenciais
Toda equação com incógnita no expoente é denominada equação exponencial.
Exemplos:
a) 2 x = 128
c) 2 x . 3 = 3 x . 2
b) 2 x – 2 x 1 + 2 x  2 = 9
d) 25 x – 6 . 5 x + 5 = 0
Estudaremos, inicialmente, as equações exponenciais que possam ser resolvidas
reduzindo-se o 1° e o 2° membros a potências de mesma base. Usaremos a
propriedade:
a m = a n ↔ m = n, com a > 0 e a ≠ 1
Completaremos o estudo de equações exponenciais na unidade de
logaritmos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ER.1 Resolver a equação 5 x 2 . 5-4x = 3125.
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Resolução:
Como 3125 = 55, temos:
5X2 –4X = 55 ↔ x² -4x = 5 ↔ x² - 4x – 5 = 0 ↔x = 5 ou x = -1
Portanto, o conjunto solução é S = { 5; -1}.
ER.2 Resolver a equação 2x . 27 = 3x . 8.
Resolução:
Isolando no 1° membro as potências com incógnita, obtemos:
x
3
2x
8
2  2

     x3
x
3
27
3  3
Portanto, o conjunto solução é S= {3}
ER.3 Resolver a equação 2 x 1 + 2 x – 2 x  2 = 88.
Resolução:
Colocando 2 x em evidência no 1° membro, temos:


2 x 2  1  2 2  88  2 x.
11
 88  2 x  25  x  5
4
Portanto, o conjunto é S= {5}.
ER.4 Resolver a equação 5 2 x – 23 . 5 x – 50 = 0.
Resolução:
Temos uma equação do 2° grau em 5 x .
Colocando 5 x  y, com y > 0, temos:
y 2 - 23y – 50 = 0  y = -2 ou y = 25
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y = - 2 não serve, pois não satisfaz a condição y > 0 .
Substituindo y = 25 em 5 x = y, obtemos:
5x = 52  x = 2
Portanto, o conjunto solução é S = {2}.
Logaritmo
1 - INTRODUÇÃO
O logaritmo na Química
Os químicos utilizam-se dos logaritmos para quantificar a acidez de um meio,
por exemplo. Definem o que é denominado potencial hidrogeniônico (pH)
como sendo o cologaritmo da concentração hidrogeniônica:
pH = colog [H +]
que também pode ser expresso:
pH = - log [H+]
De modo análogo, existe o potencial hidroxiliônico (pOH):
POH = colog [OH -]
ou
pOH = - log [OH-]
Consulte os livros de Química e procure saber de onde vem a relação:
pH + pOH = 14
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2 - Logaritmo
Sabemos que
8n  2  n 
1
3
Chamamos: x de logaritmo de 81 na base 3;
m de logaritmo de 1 na base 5;
125
n de logaritmo de 2 na base 8.
Logaritmo de um número positivo b numa base a, 0 < a ≠ 1, é o expoente da
potência à qual deve-se elevar a para se obter b.
log a b = x  a x = b, b > 0, 0 < a ≠ 1
Na igualdade logab = x, b é denominado logaritmando ou antilogaritmo de
x na base a e é indicado por antilogax.
antilog a x = b  log a b = x
b  0

Notemos que : existe log a b  e
0  a  1

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3 - Propriedades Imediatas
Sejam a, b e c números positivos, com a ≠ 1, e m um número real. Da
definição de logaritmo decorrem as propriedades:
1) log a 1 = 0
2) log a a m = m
3) a
log
ab
=b
Colocando log a b = x, temos a x = b e substituindo x obtemos a
log
ab
=b
4) log a b = log a c  b = c
Aplicando a definição em log a b = log a c, temos a
log
ac
= b e, como a
log
ac
= c,
obtemos c = b.
4 - Propriedades Operatórias
Logaritmo de Produto
O logaritmo, em qualquer base a (0 < a ≠ 1), de um produto de dois
números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa base, dos fatores.
loga( b . c ) = logac + logac, 0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0
Logaritmo de Quociente
O logaritmo, em qualquer base a (0 < a ≠ 1), de um quociente de dois
números positivos é igual à diferença entre os logaritmos, nessa base, do
dividendo e do divisor.
loga b = logab - logac, 0 < a ≠ 1, b > 0, c >0
c
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
30
FAAP - Colégio
Logaritmo de Potência
O logaritmo , em qualquer base a (0 < a ≠ 1), de uma potência de base
positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo, na
base a, da base dessa potência.
log a b
m
= m . log a b, 0 < a ≠ 1, b > 0, m e ε IR
Caso particular:
Se m =
p
, com p inteiro e q natural (q ≥2), é irredutível , então, temos
q
logaritmo de uma raiz:
log log a q b p

p
.log a b,0  a  1, b  0
q
Exemplos:
a) log 3 56  6. log 3 5
2
2
b) log 7 5 32  log 7 3 5  .log 7 3
5
3
c)
3
. log 5 11  log 5 114  log 5 4 113
4
EQUAÇÕES MODULARES
Notemos uma propriedade do modulo dos números reais:
x
= 1  x² = 1  x=1 ou x = -1
De modo geral , sendo k um número positivo ,temos:
x
= k  x = k ou x = -k
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
31
FAAP - Colégio
1 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
SEQÜÊNCIAS
Na lista de chamada de sua classe, o nome de cada aluno está associado a
um número natural não-nulo. Por exemplo:
1. Alberto Vieira de Moraes
2. Alessandra Rodrigues Fontana
3. Alex Stanley

30. Valdir de Souza e Ramos
Existem, também, seqüências infinitas como, por exemplo, a seqüência dos
números naturais pares em ordem crescente (0, 2, 4, 6, 8,...).
NOTAS
1. Cada elemento de uma seqüência também pode ser denominado termo da
seqüência.
2. O termo de uma seqüência que ocupa a posição de número n é indicado pelo
símbolo a
n.
. Isto é:
a 1 indica o primeiro termo da seqüência
indica o segundo termo da seqüência
a
2
a
3
indica o terceiro termo da seqüência
n
indica o enésimo termo da seqüência

a
3. Uma seqüência
a1 , a2 , a3 ,..., an ,...
pode ser representada abreviadamente por
an nIN .
EXEMPLO
Na seqüência (3, 7, 11, 15, ...), temos:
a1  3, a2  7, a3  11, a4  15,...
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
32
FAAP - Colégio
Lei da formação de uma seqüência
Um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma
seqüência e a ordem em que se apresentam é chamado de lei de formação da
seqüência.
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
33
FAAP - Colégio
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A)
Definição
Progressão aritmética é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma constante r. O
número r é chamado de razão da progressão aritmética.
Exemplos
a) (4, 7, 10,13, 16,19, 22) é uma P.A. finita de razão r=3.
b) (10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, ...) é uma P.A. infinita de razão r=-2.
c) (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.A. infinita de razão r=0.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1
1
1. Calcular a razão da P.A. an nIN , sabendo que a7  ea8  .
3
2
Resolução
A razão r da P.A. é tal que:
1 1 1
r  a8  a7   
2 3 6
2. Verificar se a seqüência an nIN tal que an = 3n+8 é ou não P.A.
Resolução
Devemos verificar se a diferença entre um termo qualquer, a partir do
segundo, e seu antecessor é constante ou não.
Sabemos que an  3n  8ean 1  3n  1  8 são termos consecutivos da seqüência
n, com n  IN . Calculando a diferença an 1  an , obtemos:
an 1  an  3n  1  8  3n  8  3
Como essa diferença é constante, concluímos que a seqüência é P.A.
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
34
FAAP - Colégio
Classificação das progressões aritméticas
Uma P.A. é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o
termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a
sua razão seja positiva.
Exemplo
(7, 11, 15, 19, ...) é uma P.A. crescente. Note que sua razão é positiva, r =4.
Uma P.A. é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o
termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a
sua razão seja negativa.
Exemplo
(50, 40, 30, 20, ...) é uma P.A. decrescente . Note que sua razão é negativa, r
= -10.
Uma P.A. é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso
aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.
Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética
an  a1  n  1r
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. Determinar o 61° termo da P.A. (9, 13, 17, 21, ...)
Resolução
a1  9, r  4, n  61, a61  ?
Aplicando a fórmula do termo geral, an  a1  n  1r , para n = 61, temos
a61  a1  61  1r  a1  60r
a61  9  60.4  249
4. Determinar a razão da P.A. a1 , a2 , a3 ,... em que a1  2 e a8  3.
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
35
FAAP - Colégio
Resolução
a1  2, a8  3, n  8, r  ?
Aplicando a fórmula do termo geral, an  a1  n  1r , para n = 8, temos
a8  a1  7 r
3  2  7r
r
1
7
5. Determinar o número de termos da P.A. (4, 7, 10, ...., 136).
Resolução
a1  4, an  136, r  3, n  ?
Aplicando a fórmula do termo geral, an  a1  n  1r , temos:
136  4  n  1.3
136  4  3n  3
3n  135
n  45
Logo, a P.A. possui 45 termos.
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A.
Seja, S n 
a1  an n
2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
6.
Calcular a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (4, 9, 14, 19, ...)
Resolução
Aplicando a fórmula S n 
S30 
a1  an n
2
para n  30 , temos
a1  a30 30
2
Precisamos calcular o valor de a30 . Pelo termo geral
an  a1  n  1r , temos :
a30  a1  29r
a30  4  29.5  149
Logo: S30 
4  14930  2.295
2
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
36
FAAP - Colégio
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Definição
Progressão geométrica é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir
do segundo, é igual ao produto do termo, a partir do segundo, é igual ao produto
do termo precedente (anterior) por uma constante q é chamado de razão da
progressão geométrica.
Exemplos
a) (3, 6, 12, 24, 48, 96) é uma P.G. finita de razão q = 2.
1
 1 1 1 1 
b) 1, , , , ,... é uma P.G. infinita de razão q = .
2
 2 4 8 16 
c) (2, -6, 18, -54, 162,...) é uma P.G. infinita de razão q = -3.
d) (5, 0, 0, 0, ...) é uma P.G. infinita de razão q = 0.
e) (0, 0, 0, ...) é uma P.G. infinita de razão indeterminada.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
7. Determinar a razão da P.G. an nIN tal que a15  32 e a16  108.
Resolução
Como a 15  0 , a razão q da P.G. é tal que:
q
a16 108 27


a15
32
8
Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica
an  a1q n 1
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
37
FAAP - Colégio
Matemática Financeira
Noções de matemática financeira
1 – Razão e proporção
Sejam dois números reais a e b, com b  0. Chama-se razão entre a e b (nessa
a
ordem ) o quociente a : b, ou .
b
Exemplo 1
20 2
50 5
A razão entre 20 e 50 é
 ; já entre 50 e 20 é
 .
50 5
20 2
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
38
FAAP - Colégio
Exemplo 2
Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças.
18 3
 , o que
24 4
significa que para “ cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o
18 3
número de rapazes e o total de alunos é dada por
 , o que equivale a dizer
42 7
que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes”.
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.
3 6
Na proporção  ( lê-se :” 3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os
5 10
números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados
meios.
Observamos que o produto 3  10 = 30 é igual ao produto 5  6 = 30, o que
caracteriza a propriedade fundamental das proporções:
A razão entre o número de rapazes e o número de moças é
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos”.
Exemplo 1
Na proporção
e em
2
3

6
, temos 2  9 = 3  6 = 18;
9
1
4

, temos 4  4  1  16  16
4 16
Exemplo 2
Para determinarmos o valor de x em
x  1 2x  6

, fazemos :
5
15
15. (x + 1) = 5. (2x + 6 )  x = 3 .
Exemplo 3
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas
para cada 2kg do “peso” da criança.
Se uma criança tem 12kg, a dosagem correta x é dada por:
5 gotas
x

 x  30 gotas
2kg
12kg
Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a
uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:
5 gotas 20 gotas

 p  8kg
2kg
p
(Nota: O procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra
de três simples.).
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
39
FAAP - Colégio
2 - Porcentagem
A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São
exemplos de razões centesimais:
30
4
135
27,9
,
,
e
100
100 100
100
Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais:
30
4
135
27,9
 30% ;
 4% ;
 135 % ;
 27,9% Tais razões estão
100
100
100
100
expressas em taxas percentuais.
Exemplo 1
De um grupo de 100 jovens. 30praticam basquete. Isso significa que 30% (lê-se
“trinta por cento”) dos jovens praticam basquete.
Exemplo 2
Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito; a razão entre o número de
lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:
13
26

 26% O que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas,
50
100
deveríamos encontrar 26 com defeito.
26
O número
 26% é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas, e o número
100
26 é a porcentagem de lâmpadas com defeito.
Exemplo 3
Outro modo de representar a taxa 4% =
4
é obtido, simplesmente,
100
Efetuando a divisão de 4 por 100:
4: 100 = 0,04
Da mesma forma:
37% = 0,37
80% = 0,80 = 0,8
14,5% = 0,145
100% = 1
0,7 % = 0,007
250 % = 2,50 = 2,5
3- Juros
Suponhamos que uma pessoa deseja comprar uma geladeira e não disponha de
dinheiro suficiente para pagamento á vista. Nessas condições, ela pode efetuar a
compra a prazo ou tentar um empréstimo em um banco. Em qualquer um dos
casos, a pessoa geralmente paga uma quantia - além do preço da geladeira - a
título de juros. O valor desses juros é justificado pelo prazo obtido para o
pagamento ou pelo “aluguel” do dinheiro emprestado.
Há outras situações em que aparecem juros. Por exemplo: se uma pessoa
dispõe de uma importância em dinheiro, ela pode aplicá-lo em uma caderneta de
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
40
FAAP - Colégio
poupança ou em algum outro investimento. Ao fim de certo período, ela receberá do
banco a importância paliçada acrescida de um valor referente aos juros da
aplicação.
Normalmente, quando se realiza alguma operação desse tipo, fica estabelecida
uma\ taxa de juros por um período (mês, dia, anos), a qual incide sobre o valor
da transação, chamado de capital.
4 -Juros Simples
Suponhamos que sobre uma quantia devam ser calculados juros simples, a uma
taxa fixa por período, durante certo número de períodos.
Isso significa que os juros correspondentes a cada um dos períodos serão
sempre calculados sobre a quantia inicial, e só serão incorporados a ela ao final
do último período.
Dizemos, portanto, que nesse regime há pagamento de juros constante por
períodos iguais.
Atualmente, a maioria dos investimentos financeiros – como caderneta de
poupança e fundos de aplicações -, além de dívidas e reajustes de preços, não
obedece ao princípio de juros simples. A exceção principal é o mecanismo de
desconto simples, que estudaremos adiante.
Exemplo 1
Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600, 00,
comprometendo-se a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 5 %
a.m (ao mês).
Para calcularmos os juros serem pagos, fazemos:
1º) Em um mês, os juros são de:
5% de 600,00 = 0,05. 600 = 30,00
2º) Como o prazo é de 3 meses, o total de juros é:
j = 3. 30,00 = 90,00.
Assim, ao final de 3 meses, o comerciante deverá pagar:
600,00
+
90,00
=
690,00
capital
juros
O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado montante.
De modo geral, um capital C, empregado durante n períodos, à taxa i, produz
juros j dados por:
J = C. i. n
e montante M igual a:
M = C + J = C + Cin 
M = C (1 + i . n )
Observação : A taxa deve ser sempre compatível com a unidade de tempo
consideranda. Por exemplo, se a taxa for de 4 % a.m, para um prazo de 60 dias
adotaremos n = 2( 2 meses)
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
41
FAAP - Colégio
Exemplo 2
Um capital de R$ 210,00, aplicado em regime de juros simples durante 4 meses
gerou um montante de R$ 260,40.
Para calcularmos a taxa mensal de juros considerada, fazemos:
M = C ( 1+ in),isto é,
260,40 = 210 (1 + i . 4)
260,40

 1  4i  1, 24  1  4i  0,24  4i  i  0,06  6 % a.m .
210
Exemplo 3
À taxa anual de 30% (30%a.a) , certo capital, em 8 meses, produziu, a juros
simples, um total de R$ 1500,00. Calculemos o capital de C aplicado.
30
Uma taxa de 30% a.a, equivale a
= 2,5% a.m. Assim, devemos adotar
12
i = 0,025.
Daí:
1500 = C (1 + 0,025 . 8)
= C
.
(1 + 0,2)
 1500
 1500  1,2 C  C  R$1250,00
5 – Juros Compostos
O regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais e
finmanceiras é o de juros composto, que se baseia no seguinte princípio:
 Ao final do 1º período, os juros incidentes sobre o capital inicial são a ele
incorporados, produzindo o 1º montante.
 Ao final de 2º período, os juros incxidem sobre 1º montante e incorporam-se a
ele, gerando o 2º montante.
 Ao final do 3º período, os juros, calculados sobre o 2º montante , incorporanse a ele, gerando o 3º montante ; assim por diante.
De modo geral, um capital C, a juros compostos aplicado a uma taxa fixa i,
durante n períodos, produz:




ao fianl do 1º período : M 1 = C + Ci  M 1 = C ( 1 + i)
ao final do 2º período : M2 = M1 + M1i = M 1( 1+i)  M2 = C (1+i)2
ao final do 3º período : M3 = M2 + M 2 i= M2 91+i)  M3 = C ( 1+i)3
ao final do n-ésimo: M3 = C (1+i)n
Devido à sua natureza, o sistema de juros compostos é chamado
capitalização acumulada.
Exemplo 1
Joana aplicou R4 400,00 num investimento que rende 2% a.m., a juros
compostos .
 O montante, ao fianl de 3 meses, é dado por:
M 3 = 400 (1 +0,02)3 = 400 . 1,023 = 424,48
 Ao final de 6 meses:
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
42
FAAP - Colégio
M 6 = 400 ( 1 +0,02)6 = 400 . 1,02 6 = 450,46
 Ao final de 1 ano (12 meses) :
M12 = 400 ( 1 + 0,02)12 = 400 . 1,0212 = 507,29
Exemplo 2
Considerando os dados do exemplo anterior, suponhamos que Joana deseje
saber o tempo necessário para que o montante sejaR$ 600,00.
Temos :
M n  600
600

n
 1,02 n  1,5  1,02n
C  400  600  400 (1  0,02) 
400
i  0,02

A determinação do expoente n é feita através de logaritimos:
log 1,5
0,1761
n  n . log 1,02  log 1,5  n

 n  20,47meses
log 1,5 = log 1,02
log 1,02 0,0086
O valor obtido, entre 20 e 21 meses, significa que :
a) caso Joana efetue o resgate após o final do 20º. mês ou no decorrer do
21ºmês, ela não terá o valor desejado, mas apenas
M 20 = 400 . 1,0220 = 594,37
b) caso Joana efetue o resgate ao final do 21º mês, ela terá disponível o valor de
M21 = 400 . 1,0221 = 606,26.
Observação
Em geral, o prazo de resgate de uma aplicação financeira é determinado pelo
governo federal.Na maioria das vezes, o prazo é mensal, e o resgate antecipado
( antes do vencimento da aplicação) acarreta a perda de juros correspondentes
áquele mês, cabendo ao poupador sacar apenas o montante acumulado até o
mês anterior.
Exemplos 3
No dia 1º de junho, Cristiano abriu uma crdeneta de poupança no valor de R4
200,00. Nesse mês, a taxa de rendimento da poupança foi de 1,2% e , em julho,
foi de 1,4%. Qual será o saldo de Cristiano em 1º de agosto ?
Em problemas como esse não podemos aplicar a fórmula do montante de juros
composto, pois as taxas de rendimento não são iguais; entretanto , o princípio de
capitalização acumulada é mantido. Vejamos:
a) Em 1º de julho, serão capitalizados os juros correspondentes ao rendimento
de junho e incidentes sobre o valor inicialmente aplicados, produzidos um total de
:
200 + 1,2% de200 = 200 + 0,012 . 200 = 1,012 . 200 = 202,40
b) Em 1º de agosto, serão capitalizados os juros correspondentes ao
rendimento de julho e incidentes sobre seu último “saldo”, gerando um total de :
202,40 + 1,4% de 202,40 = 202,40 + 0,014 . 202,40 =
= 1,014 . 202,40 = 205,23
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43
FAAP - Colégio
6 - Desconto Simples
Suponhamos que um fabricante de tecidos tenha efetuado uma vendaà rede
Tecidos Brasil no valor de R$ 80 000 , 00, quantia a ser paga três meses após a
entrega.
Passado um mês da data da entrega, o fornecedor, pecisando de dinheiro,
procurou o Banco da Nação para tentar descontar a duplicata (documento
comprobatório da dívida contraída pela rede Tecido Brasil). O banco ofereceu
em troca do título a quantia de R$ 76 000,00. Tendo sido aceita a proposta, o
fornecedor recebeu do banco a importância de R$ 76 000,00, e o banco passou a
ser o credor da dívida, que será saldada pela Tecidos Brasil; ou seja, na data
inicialmente estabelecida, a Tecidos Brasil fará o pagamento de R$ 80 000,00
diretamente ao Banco da Nação, e não mais ao fornecedor .
Esse tipo de operação recebe o nome de desconto de título.
O valor do título na data do vencimento - R$ 80 000,00 – é chamado valor
nominal.
O valor pago pelo Banco da Nação – R$ 76 000,00 – é chamado valor atual ou
valor descontado.
A diferença entre o valor nominal e o atual:
R$ 80 000,00 - R$ 76 000,00 = 4 000,00 é chamada desconto.
Normalmente, nesse tipo de operação, o valor proposto pelo banco decorre
da aplicação de uma taxa de desconto simples, que incide sobre o valor nominal do
título, em regime semelhante ao de juros simples.
No exemplo, a taxa de desconto simples usada teria sido de 2,5% a.m e por 2
meses, que corresponde ao número de meses de antecipação:
d = (2,5% de 80 000,0000) . 2
de = 0,025 . 80 000,00 . 2 = R$ 4 000,00
Exemplo 1
Um título de valor nominal R4 900,00, com vencimento para 150 dias, sera
descontado em um banco que opera com a taxa de desconto de 6% a.m
 Se o prazo de antecipação for de 3 mese, o desconto será dado por
d = 0,06 . 900 . 3 = R4 162,00
e o valor atual será :
V A = 900 – 162 = R$ 738,00
 Se o resgate for feito 48 dias antes do vencimento, o prazo de antecipação será
48
= 1,6 mês, e o desconto será :
30
d = 0,06 . 900 . 1,6 = R$ 86,40
produzindo o valor atual de :
VA = 900 – 86,40 = R$ 813,60
Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA
44
FAAP - Colégio
Exercícios Complementares
1. Comércio. No primeiro dia de sua liquidação anual, uma loja vendeu 40% do
estoque de determinado produto; no segundo dia, vendeu 25% do restante.
Qual a porcentagem do estoque do produto que não foi vendida?
2. Saúde. Feita uma pesquisa junto à população de certa região, constatou-se
que 20% dos entrevistados usavam óculos e que, entre eles, 40% são
míopes. Qual a porcentagem de pessoas míopes nessa população?
3. Metrô. Um dos meios de transportes mais eficientes nas grandes capitais são
os trens de metrô. Ao adquirir seu bilhete, o usuário do metrô tem diversas
alternativas. Se o bilhete unitário custa, hoje R$ 2,10 e o chamado “múltiplo
10”, R$ 20,00, que porcentual de economia o usuário terá ao adquirir o bilhete
“múltiplo 10” em relação a dez bilhetes unitários?
4. Economia. Em países de economia instável, observa-se o fenômeno da
inflação, que basicamente é a perda do valor de compra de uma moeda.
a) Se um país a inflação mensal é de 5%, qual a taxa de inflação
trimestral?
b) Uma inflação de 44%, acumulada em dois anos, corresponde a que
inflação média ao ano?
5. Finanças. A valorização de uma ação foi de 38% em dois meses. Qual foi sua
valorização do 2º mês, sabendo que no 1º mês a valorização foi de 15%?
6. Comércio. Uma loja compra televisores por R$ 500,00 cada e os revende por
R$ 700,00 cada.
a) Determine o lucro da loja sobre o preço de custo.
b) Devido à crise econômica, o fornecedor passou a cobrar R$ 400,00 por
televisor e a loja passou a vender por R$ 600,00, a título de repasse do
desconto.
Calcule o lucro da loja sobre o custo.
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c) Se o repasse do desconto fosse “correto”, por quanto a loja deveria
vender os televisores?
7. Comércio. Ao vender um produto por R$ 520,00, um comerciante obtém lucro
de 30% sobre o preço que pagou pelo mesmo produto. Qual o preço de
compra desse produto?
8. Comércio. Um objeto que custava R$ 260,00 sofreu dois aumentos
sucessivos, um de 20% e depois outro de 30%. O novo valor do objeto é 50%
maior que o original? Qual o novo valor e qual a taxa acumulada pelos dois
aumentos?
9. Comércio. Um vendedor repassa seus produtos ao consumidor com um lucro
de 60% em relação ao preço de vendo. Qual a taxa de lucro do comerciante
em relação ao preço de custo?
10. Comércio. Um comerciante compra um produto por R$ 28,00 a unidade e o
revende com um lucro igual a 20% do preço de venda. Qual o preço de venda
do produto? E se o lucro fosse de 20% do preço de custo?
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Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
 bases: as regiões poligonais R e S
 altura:a distância h entre os planos
 arestas das bases:os lados
( dos
polígonos)
 arestas laterais:os segmentos
 faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação
Um prisma pode ser:
 reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
 oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
prisma oblíquo
prisma reto
Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são
polígonos regulares:
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prisma regular hexagonal
prisma regular triangular
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma
região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com
um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções
transversais são congruentes ( figura 2).
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim,
temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as
faces;
b) área lateral ( AL ): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces
do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n. AF (n = número de lados do polígono da base).
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
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Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta
temos:
lateral h,
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são
paralelepípedo.Assim, podemos ter:
paralelogramos
a) paralelepípedo oblíquo
recebe
o
nome
de
b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de
paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
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Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro
arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
db = diagonal da base
dp = diagonal do
paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
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No triângulo AFD, temos:
Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas
de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
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Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando
um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4. 2. 2 cubos
de aresta 1:
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado
por:
V = abc
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como
qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do
paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura
h:
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes
( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadradas.
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Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:
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Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
AL=4a2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de
aresta a é dado por:
V= a. a. a = a3
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Generalização do volume de um prisma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri
(matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para
sólidos diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo a
, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm
volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da
base pela medida da altura:
Vprisma = ABh
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