o pert probabilístico. 8

Avila & Jungles
Planejamento
O PERT PROBABILÍSTICO.
8
8.1 – Os tempos no PERT.
Como comentado anteriormente, a metodologia utilizada no
estudo das redes tanto no método PERT como no CPM é a
mesma. A diferença existente entre os dois métodos é quanto à
abordagem adotada no estabelecimento do atributo tempo de cada
atividade.
Sob a abordagem do CPM, admite-se que a estimativa de
duração de qualquer atividade seja efetuada por experiência. Ou
seja, de modo determinístico.
Há o entendimento de que, ao se planejar programas cujas
atividades apresentem duração bem conhecida ou dominada, a
estimativa baseada em experiência pode ser adotada, sem causar
expressivo erro de avaliação quanto à duração total do projeto.
No método do PERT, admite-se ser difícil estimar, com
precisão aceitável, a duração de uma atividade, mormente quando
o projeto é composto por um conjunto de serviços
tecnologicamente não dominados ou inusitados.
PlnjArq~aula8~PRBLT
Visando contornar tal limitação, a metodologia do PERT
considera que o atributo tempo possa ocorrer sob diversas
possibilidades de duração.
Em decorrência desse fato é possível deduzir a
probabilidade do tempo de ocorrência de cada evento integrante de
uma rede, a partir da definição da estimativa de duração de cada
atividade.
Assim sendo, o atributo tempo das atividades de uma rede,
dos respectivos eventos e a duração total de um programa pode
ser definido de forma probabilística, fato que permite estimar
probabilisticamente e definir percentualmente a duração total de
um programa.
8.2 – O Método da função BETA.
A função Beta permite, com facilidade, estimar o atributo
tempo de qualquer alternativa ao utilizar três estimativas visando a
determinação do seu tempo de duração.
8.2.1 - As estimativas de tempo.
O método em questão estabelece a definição de três
estimativas para a duração de cada atividade, nomeadas de
duração otimista; mais provável e pessimista, a saber:
a) Estimativa Otimista é definida como o tempo de menor duração,
considerando uma combinação de recursos de forma favorável.
Isto é, não ocorrerá falta e em condições favoráveis, dos
133
Avila & Jungles
recursos de pessoal, mão de obra, insumos e equipamentos.
No método a ser apresentado, essa alternativa é notada “a”.
b) Estimativa Mais Provável é definida como o tempo mais
provável de ocorrer a execução da alternativa, pois baseado em
condições consideradas normais. No método em pauta essa
alternativa é notada “m”.
c) Estimativa Pessimista é definida como a estimativa de tempo de
maior duração, dado a possível ocorrência de uma conjugação
de acontecimentos desfavoráveis para a execução da atividade.
No presente caso essa alternativa é notado b.
O estabelecimento dos tempos acima definidos pode ser
efetuado por um grupo de especialistas no assunto ou, em
havendo a disponibilidade de dados relativos a serviços similares,
empregada a própria experiência acumulada.
8.2.2 – Hipóteses.
Para passar das três alternativas, a; m; b, para a estimativa
de tempo esperado e a definição da variância, são adotadas duas
hipóteses:
1ª Hipótese: O desvio padrão, σ, deve ser igual a um sexto (1/6) do
intervalo da variação da variável aleatória. Isto porque, a partir do
intervalo de 3σ, a própria Distribuição Normal apresenta distorções.
2ª Hipótese: Para que a distribuição de probabilidade seja uma
distribuição Beta, deve-se ter:
PlnjArq~aula8~PRBLT
Planejamento
m = o valor da moda, estatisticamente falando;
a = limite inferior da distribuição;
b = limite superior da distribuição.
te = tempo esperado de cada atividade.
8.2.3 – A Função Beta.
Considerando ser o tempo total de um programa definido
pelo caminho crítico, somente são consideradas no calculo da
estimativa de duração do mesmo os tempos das atividades dele
integrantes. Deste modo, são calculadas as variâncias e desvios
padrão, apenas, das atividades integrantes do caminho crítico, pois
ocorrendo atraso em qualquer delas, decorre em atraso no evento
final.
Associando a cada uma das durações das atividades uma
função de variável aleatória estatisticamente independente, cujas
somas sigam uma distribuição normal de probabilidade, é possível
caracterizar uma função de probabilidade denominada de função
BETA.
Então, associando a cada tek → VE ( tek )
teA
teB
...............
tek
Fig. 9.1 – Tempos Esperados = te(k)
134
Avila & Jungles
Planejamento
Da teoria da probabilidade sabe-se que:
a) O Valor Esperado, VE, de uma soma de variáveis aleatórias
estatisticamente independentes é igual à soma dos Valores
Esperados das variáveis.
VE ( teA+ teB + L+ tek ) = VE( teA ) + VE( teB ) + L + VE ( tek )
b) A Variância de uma soma de variáveis aleatórias
estatisticamente independentes é igual à soma das variâncias
dessas variáveis.
Considerando uma distribuição normal de probabilidade, a
probabilidade de um evento ocorrer dentro de um Tempo Esperado
é obtida utilizando a área sob a curva de distribuição normal.
Do desenho abaixo, te corresponde ao tempo médio
estimado de ocorrência de um evento. Isto é, o tempo calculado
conforme o item “c”, acima.
O objetivo, então, é conhecer a probabilidade de ocorrência
de um evento a ocorrer dentro do tempo Ts.
σ (2A +B+L+k ) = σ 2A + σB2 + L + σ k2
Para tanto, é utilizada uma tabela que forneça a área sob a
curva normal, área esta que expressa a probabilidade desejada.
A função Beta permite definir o Tempo Médio Estimado de
cada atividade, a variância e o desvio padrão segundo o modelo:
Considerando o desenho, a área a ser determinada e que
expressa porcentagem é aquela definida como “S1”.
c) Tempo Médio Estimado:
t e (k ) =
d) A Variância – S
a + 4m + b
6
b − a 
s(k ) = σ = 

 6 
2
2
e) O Desvio Padrão - σ
b − a 
σK = s(k ) = 

 6 
f) Probabilidade da Ocorrência de um Evento.
PlnjArq~aula8~PRBLT
0,5
S1
te=0
Ts
Tempo(z)
z
Fig.9.2 – Área sob a curva normal.
Exprimindo a distância (Ts-te) em relação ao desvio padrão,
obté-se a variável z, denominada de variável padronizada.
135
Avila & Jungles
Planejamento
Então:
z=
Ts − Te
σ
2º - É possível que a curva seja assimétrica para ambos o lado da
média, situação comum em projetos de engenharia quando se
efetuam varias estimativas de tempo;
Calculado o valor de z e disponível uma tabela que
apresenta a área sob a curva normal, obtém-se o valor de
probabilidade, representado graficamente pela área S1. Ver na
ultima página desate Capítulo a Tab.5.4 – Área sob a Curva
Normal (%).
8.3.2 – Precisão das Informações.
A probabilidade de ocorrer um evento dentro do tempo Ts é
dada por:
Assim:
O parâmetro estatístico que define a precisão da informação sobre
o atributo tempo é dado pela variância da variável aleatória - s.
1º - Quanto maior for a variância, maior a dispersão dos
dados e, conseqüentemente, menor a precisão das
informações;
P ( z ≤ Ts ) = 0,5 + S1
2º - Quanto menor for a variância, menor é a dispersão dos
dados, em decorrência de haverá maior a precisão das
informações.
8.3 - Comentários sobre a Função Beta.
A adequação da função Beta para o calculo das
probabilidades considerando a adoção de três possíveis
alternativas para o atributo tempo é justificada dado as suas
seguintes características:
MODA
MODA
8.3.1 – Forma da Curva.
1º - Sendo os extremos perfeitamente definidos e,
conseqüentemente, não sendo assintótica ao eixo das abscissas
ou dos tempos, fica perfeitamente caracterizado o intervalo de
variação da função;
PlnjArq~aula8~PRBLT
a
te
b
a
te
b
136
Avila & Jungles
Planejamento
MODA
MODA
0,5
K1
dias
te= 500 Ts=515
σ
a
te
b
Variância - s
Quanto Maior
Quanto Menor
a
te
b
Segurança
Maior Dispersão dos Dados;
Menor precisão nas informações.
Menor Dispersão dos Dados;
Maior precisão nas informações.
8.4 – Exemplo de Cálculo de Probabilidade.
Dado o evento final de um programa cujo tempo mais cedo
de fim foi calculado em 500 dias, estabelecer qual a probabilidade
de que ele ocorra antes de 515 dias?
É conhecida a variância do evento s = 256.
z=
Ts − Te 515 − 500 15
=
=
= 0,94
σ
16
256
PlnjArq~aula8~PRBLT
Sendo, z = 0,94,
da tabela tem-se:
K1 = 0,3264
P ( t = 515 ) = 0,5 + K1 ∴ P ( t = 515 ) = 0,5 + 0,3264 ∴
P( t = 515 ) = 0,8264
ou,
P( t = 515 ) = 82,64%
8.5 – O Método do PERT.
A aplicação do método PERT segue a seguinte marcha:
1º Passo – Estimar os três possíveis tempos de execução para
cada atividades.
a = tempo otimista ou de menor duração;
b = tempo pessimista ou de maior duração;
m = tempo mais provável de ocorrer ou moda.
137
Avila & Jungles
Planejamento
2º Passo - Calcular o Tempo Médio Esperado e a Variância de
cada Atividade.
s REDE = Σs k →ca min hocritico
O estabelecimento da probabilidade de conclusão de um
projeto dentro de espaço de tempo pré-determinado, é função da
variância conexa ao tempo total do programa.
Volta-se a ressaltar que o calculo da variância da rede deve
ser efetuada utilizando as variâncias das atividades integrantes do
caminho crítico, pois ocorrendo atraso em qualquer delas, decorre
em atraso no evento final.
Para tanto, calcula-se a variância de cada nó (evento)
integrante do Caminho Critico, após ter sido obtida a variância das
atividades dele integrantes. Deste modo, a variância
correlacionada ao tempo total de duração de um projeto é
equivalente à soma das variâncias das atividades componentes do
caminho crítico.
5º Passo – Calcular a Probabilidade de Ocorrência do Evento
Final.
s REDE = Σs k →ca min hocritico
Tendo “z” e dispondo de uma tabela que forneça a área sob
a Curva Normal, obtêm-se k1, coeficiente que estabelece a
probabilidade de ocorrência ou de cumprimento do projeto dentro
do tempo desejado, Ts .
t e (k ) =
a + 4m + b
6
b − a 
s(k ) = σ = 

 6 
2
z=
Ts − Te
σ
2
3º Passo - Determinação do Caminho Crítico.
Nesta etapa, definir os TCI e TTI de cada evento da rede,
considerando os tempos estimados das atividades, te(k).
4º Passo - Calcular a Variância dos Nós e da Rede.
PlnjArq~aula8~PRBLT
138
Avila & Jungles
Planejamento
8.6 – Exemplo de Aplicação.
Dado o projeto abaixo, representado pelo conjunto de suas
atividades, calcular a probabilidade dos serviços serem executados
num prazo inferior a 100 dias.
Para tanto, preencher e indicar os valores dos tempos e da
variância correlacionados a cada nó da figura indicada.
1
A
o
A’
Evento
A
B
A’
C
D
E
F
0-1
0-2
1-2
2-3
2-4
3-4
4-5
Estimativas
a
8
14
0
16
24
28
18,5
m
10
20
0
20
30
36
20
b
14
26
0
22
36
46
21,5
te
s
10,33
20
0
19,67
30
36,33
20
1
4
0
1
4
9
0,25
3
C
E
2
B
Atividade
4
D
5
F
2º Passo – Calcular a Média e a Variância das Atividades.
8 + 4 × 10 + 14
= 10,33dias
6
b−a 2
14 − 8 2
6
s( A ) = (
) =(
) = ( )2 = 1
6
6
6
t e (A) =
1º Passo – Cálculo do Tempo Esperado
PlnjArq~aula8~PRBLT
3º Passo - Determinação do Caminho Crítico.
133
Avila & Jungles
Planejamento
Nó
0
1
2
3
4
5
s (k)
0
1
4 =0+4
5 =4+1
14 =9+5
14,25 =14+0,25
te(k)
0
10,33
20
39,67
76
96
Obs: é mais crítica a tarefa que apresentar a maior
variância.
Tempo Mais Cedo
Tempo Mais Tarde
0
1
2
3
4
5
0
10,33
20
39,67
76
96
0
20
20
39,67
76
96
5º Passo – Calculo da Probabilidade.
O,3554
Nó
0,5
4º Passo – Calcular a Variância dos Nós e da Rede.
Neste caso, adota-se o tempo mais cedo das atividades
integrantes do Caminho Crítico.
σ (2A +B+L+F) = σ 2A + σ B2 + L + σ F2
PlnjArq~aula8~PRBLT
te= 96
z=
Ts − t e
2
σ REDE
=
Ts=100
100 − 96
14,25
=
dias
4
= 1,06
3,77
134
Avila & Jungles
Planejamento
Sendo, z = 1,06, da tabela obtém-se K1 = 0,3554, que corresponde
a área da curva de probabilidade entre os valores 96 e 100 dias.
Então:
P (z < 100) = 0,5 + 0,3554 = 0,8554 ou,
P (z < 100) = 85,54%
8.7 – Exercício.
a) Probabilidade de Ocorrência.
Partindo do problema anterior, item 7.5, determinar o tempo
total de execução para que ele ocorra com uma probabilidade de
cumprimento de 90%.
-
A probabilidade de o programa ser executado com 90%
de certeza.
Atividade
Dependência
A
B
C
D
E
F
G
----A
B
A
B
C,D
Previsão
Otimista
12
16
3
7
5
5
8
Previsão Mais
Provável
15
18
5
10
6
8
12
Previsão
Pessimista
20
19
7
12
8
12
14
P(rede) = 90% → P ( 0,50 + 0,40 )
Considerando que K1 = 0,40, da tabela obtém-se: z = 1,28.
Sendo:
Então,
Ts − Te
σ
Ts − 96
1,28 =
∴ Ts ≅ 100 dias
3,77
z=
Logo, o tempo estimado para executar o referido projeto
considerando uma probabilidade de êxito de 90% é de 100 dias.
Atividade
TCI
Variância
Desvio
A
B
C
D
E
F
G
Variância da Rede
Para o calculo da variância da rede só considerar atividades
integrantes do caminho critico.
b) Dado o projeto representado pelo seu rol de atividades, definir:
- Projeto da rede;
- Caminho Critico;
- A duração total do programa;
PlnjArq~aula8~PRBLT
135
Avila & Jungles
PlnjArq~aula8~PRBLT
Planejamento
136
Avila & Jungles
Planejamento
c) Dado o projeto representado por suas atividades, informar:
O tempo de execução para ser realizado com uma
confiabilidade de 90%;
A probabilidade de que seja realizado em 47 tempos.
PlnjArq~aula8~PRBLT
137
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila, MSc.
Planejamento
Atividade
Dependência
Tempo
Otimista
Tempo
Médio
Tempo
Pessimista
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
R
A
B
C
D;B
E
I
F;B
G;H
E
I;J
K
M
N;P;L
3
3
2
5
7
6
1
3
1
5
8
8
9
6
7
8
4
3
4
6
8
7
3
4
3
5
10
10
10
8
7
9
5
6
6
7
9
8
3
5
5
5
11
12
11
10
10
10
Tempo
Estimado
s²(k)
s(k)
Obs: para o calculo da variância da rede, somente considerar atividades integrantes do caminho critico.
PlnjArq~aula8~PRBLT
138
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila, MSc.
Planejamento
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
0.0000
0.0398
0.0793
0.0040
0.0438
0.0832
0.0080
0.0478
0.0871
0.0120
0.0517
0.0910
0.0160
0.0557
0.0948
0.0199
0.0596
0.0987
0.0239
0.0636
0.1026
0.0279
0.0675
0.1064
0.0319
0.0714
0.1103
0.0359
0.0753
0.1141
0.1179
0.1554
0.1915
0.2257
0.1217
0.1591
0.1950
0.2291
0.1255
0.1628
0.1985
0.2324
0.1293
0.1664
0.2019
0.2357
0.1331
0.1700
0.2054
0.2389
0.1368
0.1736
0.2088
0.2422
0.1406
0.1772
0.2123
0.2454
0.1443
0.1808
0.2157
0.2486
0.1480
0.1844
0.2190
0.2517
0.1517
0.1879
0.2224
0.2549
0.2580
0.2881
0.3159
0.2611
0.2910
0.3186
0.2642
0.2939
0.3212
0.2673
0.2967
0.3238
0.2704
0.2995
0.3264
0.2734
0.3023
0.3289
0.2764
0.3051
0.3315
0.2794
0.3078
0.3340
0.2823
0.3106
0.3365
0.2852
0.3133
0.3389
0.3413
0.3643
0.3849
0.4032
0.3438
0.3665
0.3869
0.4049
0.3461
0.3686
0.3888
0.4066
0.3485
0.3708
0.3907
0.4082
0.3508
0.3729
0.3925
0.4099
0.3531
0.3749
0.3944
0.4115
0.3554
0.3770
0.3962
0.4131
0.3577
0.3790
0.3980
0.4147
0.3599
0.3810
0.3997
0.4162
0.3621
0.3830
0.4015
0.4177
0.4192
0.4332
0.4452
0.4207
0.4345
0.4463
0.4222
0.4357
0.4474
0.4236
0.4370
0.4484
0.4251
0.4382
0.4495
0.4265
0.4394
0.4505
0.4279
0.4406
0.4515
0.4292
0.4418
0.4525
0.4306
0.4429
0.4535
0.4319
0.4441
0.4545
0.4554
0.4641
0.4713
0.4772
0.4564
0.4649
0.4719
0.4778
0.4573
0.4656
0.4726
0.4783
0.4582
0.4664
0.4732
0.4788
0.4591
0.4671
0.4738
0.4793
0.4599
0.4678
0.4744
0.4798
0.4608
0.4686
0.4750
0.4803
0.4616
0.4693
0.4756
0.4808
0.4625
0.4699
0.4761
0.4812
0.4633
0.4706
0.4767
0.4817
0.4821
0.4861
0.4893
0.4826
0.4864
0.4896
0.4830
0.4868
0.4898
0.4834
0.4871
0.4901
0.4838
0.4875
0.4904
0.4842
0.4878
0.4906
0.4846
0.4881
0.4909
0.4850
0.4884
0.4911
0.4854
0.4887
0.4913
0.4857
0.4890
0.4916
0.4918
0.4938
0.4953
0.4965
0.4920
0.4940
0.4955
0.4966
0.4922
0.4941
0.4956
0.4967
0.4925
0.4943
0.4957
0.4968
0.4927
0.4945
0.4959
0.4969
0.4929
0.4946
0.4960
0.4970
0.4931
0.4948
0.4961
0.4971
0.4932
0.4949
0.4962
0.4972
0.4934
0.4951
0.4963
0.4973
0.4936
0.4952
0.4964
0.4974
0.4974
0.4981
0.4987
0.4975
0.4982
0.4987
0.4976
0.4982
0.4987
0.4977
0.4983
0.4988
0.4977
0.4984
0.4988
0.4978
0.4984
0.4989
0.4979
0.4985
0.4989
0.4979
0.4985
0.4989
0.4980
0.4986
0.4990
0.4981
0.4986
0.4990
Tab.5.4 – Área sob a Curva Normal (%)
PlnjArq~aula8~PRBLT
139