Otimização de torres de linhas de transmissão em seções tubulares

OTIMIZAÇÃO DE TORRES DE LINHAS DE TRANSMISSÃO EM SEÇÕES
TUBULARES VIA ALGORITMOS GENÉTICOS
Marcelo da Fonseca
[email protected]
Mestrando em Engenharia Civil, Escola de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto.
Campus Morro do Cruzeiro, 35400-000, Ouro Preto - MG – Brasil.
Francisco Assis das Neves
[email protected]
Departamento de Engenharia Civil, Escola de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto.
Campus Morro do Cruzeiro, 35400-000, Ouro Preto - MG – Brasil.
Abstract. É observada na literatura técnica e científica que existem pouquíssimos
trabalhos relativos às torres de transmissão em perfis tubulares em contraposição ao que
acontece com esse tipo de estrutura desenvolvida em perfis do tipo de cantoneira. Como
estruturas de linhas de transmissão são estruturas que são usadas em famílias, portanto, com
padrões de repetição, é importante que se busquem processos de projeto que impliquem na
obtenção final de uma estrutura bem dimensionada e econômica.
Visando alcançar esse objetivo, é proposto neste trabalho a aplicação dos algoritmos
genéticos, tanto do tipo geracional quanto em regime (steady-state), para proceder a
otimização desse tipo de sistema estrutural. Quanto às solicitações, consideraram-se as
combinações usuais de carregamento e quanto às restrições, àquelas baseadas nas
recomendações de normas nacionais e internacionais relativas às torres de linhas de
transmissão.
Finalmente, são apresentados dois exemplos de torres otimizadas segundo à
abordagem descrita anteriormente. São comparados os resultados da otimização de peso
para a estrutura sob às restrições de tensões e deslocamentos com aqueles das
recomendações normativas. Os resultados mostram que, na maioria das vezes, as restrições
baseadas nas recomendações de normas são quase sempre violadas, quando da otimização
da torre só sob as restrições de tensões e deslocamentos. Ou seja, é necessário considerá-las
no processo de otimização, sob pena de se encontrar soluções que não possam ser aplicadas
na prática, pois não estarão respeitando as prescrições normativas.
Keywords: Otimização estrutural, Algoritmos genéticos, Torres de transmissão e
Perfis tubulares.
1.
INTRODUÇÃO
Poucos trabalhos relativos às torres de transmissão em perfis tubulares são encontrados
na literatura técnica e científica, em contraposição ao que é observado quando se buscam
trabalhos desse tipo de estrutura constituídos por perfis do tipo cantoneira. Como estruturas de
linhas de transmissão são estruturas que são usadas em famílias, portanto, com padrões de
repetição, é importante que se busquem processos de projeto que impliquem na obtenção final
de uma estrutura bem dimensionada e econômica.
Devido a peculiaridade do tipo de sistema estrutural aqui estudado, que são projetadas por
grupos de famílias de torres, as quais serão empregadas para as variadas características de
linhas de transmissão, nada mais apropriado do que a aplicação de técnicas de otimização
como uma alternativa ao procedimento clássico de espiral de projeto, comumente empregado.
O grande número de soluções possíveis torna a busca por um projeto otimizado um
processo de tentativa e erro, onde o projetista escolhe, de acordo com sua experiência, uma
solução inicial e verifica se a estrutura suporta o carregamento a qual está submetida e se as
restrições foram violadas. Se o resultado da verificação não for satisfatório quanto à
capacidade de suporte e à violação das restrições, o projetista obrigatoriamente deve escolher
uma nova solução e proceder novamente à verificação. Contudo se o resultado for satisfatório,
nem sempre o projetista verificará a existência de uma solução mais econômica, reduzindo
assim a eficiência do projeto.
Os algoritmos de otimização estrutural se mostram uma ferramenta útil neste processo,
pois realiza de forma automática a busca da melhor solução.
Com o objetivo de se verificar a viabilidade de projetos de torres de linhas de transmissão
constituídas de perfis tubulares em seção tubular, é proposto neste trabalho a aplicação dos
algoritmos genéticos, tanto do tipo geracional quanto em regime (steady-state), para proceder
a otimização desse tipo de sistema estrutural. Quanto às solicitações, foram consideradas as
combinações usuais de carregamento e quanto às restrições, àquelas baseadas nas
recomendações de normas nacionais e internacionais relativas às torres de linhas de
transmissão. Para torres de estruturas em perfis tubulares, essas restrições na verdade são os
quesitos utilizados no processo de dimensionamento dos elementos, ou seja, o Índice de
Esbeltez Limite e a Resistência às solicitações. Como não existe uma norma especifica para
dimensionamento de torres em perfis tubulares, serão adotadas as prescrições sugeridas por
Gabrielli (2004), onde é feito uma combinação de diferentes normas, como por exemplo,
NBR 8800/1986 e NBR 5422/1985.
Visando verificar a importância de se incorporar as restrições normativas, ou de ordem
prática, no processo de otimização estrutural, serão analisados e comparadas duas situações
para cada exemplo (plano e espacial). Uma seguindo o procedimento clássico, onde serão
consideradas apenas as restrições de deslocamento admissível e tensão admissível. E uma
outra, onde além das restrições clássicas (deslocamentos e tensões) serão incorporadas as
restrições normativas: limite de esbeltez de cada elemento e capacidade resistente calculado
de acordo com as Equações (13), (15) e (17), mostradas ao longo do texto.
2.
ALGORITMOS GENÉTICOS
Os Algoritmos Genéticos representam um grupo de estratégias utilizadas para resolver
problemas de otimização, e segundo Mendonça (2004) é caracterizado por algoritmos de
otimização global, devido a sua grande eficácia em realizar buscas globais. Foi idealizado por
John Holland (1975) e baseia-se nos princípios da genética, mais precisamente no processo de
evolução dos seres vivos descoberto por Charles Darwin em 1859.
Os Algoritmos Genéticos introduz um novo conceito sobre os algoritmos de otimização, a
simulação do processo evolutivo dos seres humanos baseados nos conceitos Darwinianos de
seleção natural. Uma de suas características mais marcantes é a existência de dois espaços de
busca: Genótipico e Fenótipico. Como na genética, o espaço genótipico é a representação
codificada dos indivíduos de uma população; no caso do espaço fenótipico, é a representação
física do indivíduo.
Os Algoritmos Genéticos simulam a evolução biológica através de uma busca em várias
regiões do espaço de busca do problema, utilizando para isso vários indivíduos ao mesmo
tempo, formando uma população de possíveis soluções (indivíduos). A cada geração a
população é modificada por meio dos operadores genéticos, de modo que os indivíduos mais
adaptados possam se reproduzir e passar à nova geração enquanto os menos adaptados serão
descartados.
2.1 Histórico
Os Algoritmos Genéticos foram inicialmente estudados por Holland (1975), cujo objetivo
era a elaboração de um modelo que representasse biologicamente a evolução das espécies e
pudesse ser implementado computacionalmente. Ele também pretendia utilizar esse algoritmo
como ferramenta para resolver problemas complexos, baseados nos mecanismos de seleção
natural.
2.2 Codificação
Dentro da estratégia de evolução dos Algoritmos Genéticos, os indivíduos devem ser
convertidos do espaço fenótipico para espaço genótipico, onde são aplicados os operadores
genéticos. Há vários tipos de representações possíveis para os genótipos que vão desde uma
simples cadeia de 0’s e 1’s (alfabeto binário) até complexas estruturas de dados.
Apesar da grande utilização, a representação binária apresenta alguns problemas. O
primeiro deles se refere à representação das variáveis reais, quando há a necessidade de
precisão alta, gerando uma cadeia binária bastante extensa. O outro problema se refere às
variáveis inteiras, que é a presença de Hamming cliffs, ou seja, valores adjacentes possuem
grandes diferenças na cadeia binária que os codificam. Como por exemplo, os valores 7 e 8
que são codificados respectivamente, pelas cadeias binárias 0111 e 1000.
Uma solução para o problema do Hamming cliffs é a utilização de códigos ciclos, também
conhecidos como Códigos Gray. Como na codificação binária, utilizam-se apenas os
caracteres 0 e 1 na representação. A diferença entre os códigos está na semelhança entre as
codificações adjacentes. Isto facilita a convergência do algoritmo, mas pode levar a um ótimo
local. Já a representação binária se torna mais “livre” para explorar novas regiões e localizar o
ótimo global, mas o refinamento da solução torna-se mais difícil, como adverte Ávila (2002).
Para a representação de um número decimal em código Gray, inicialmente este número é
representado em alfabeto binário. A seguir, cada bit é somado em módulo dois com o bit à
esquerda (a soma em módulo dois é uma soma sem ‘vai-um’, ou seja, o resultado somente é
um quando os dois operandos forem diferentes).
Por exemplo, o número decimal 15 é representado por 01111 em binário. E a conversão
para código Gray é apresentado na Fig. (1).
Figura 1 – Código Gray
A Tabela (1) apresenta alguns exemplos da codificação nos dois sistemas para efeito de
comparação. No desenvolvimento deste trabalho optou-se pela utilização da codificação
binária, seguindo as recomendações de Soares (1997), pois segundo ele a codificação binária
apresenta uma grande facilidade na busca de similaridade e na implementação. Além disso, a
codificação binária permitir uma busca mais “livre” das regiões factíveis, como afirma Ávila
(2002).
Tabela 1 – Código Binário usual e Código de Gray
Inteiro
0
1
2
3
4
5
Binário
00000
00001
00010
00011
00100
00101
Gray
0000
0001
0011
0010
0110
0111
Inteiro
6
7
8
9
10
11
Binário
00110
00111
01000
01001
01010
01011
Gray
0101
0100
1100
1101
1111
1110
Inteiro
12
13
14
15
Binário
01100
01101
01110
01111
Gray
1010
1011
1001
1000
2.3 População inicial
A população inicial indica as regiões do espaço de busca por onde será iniciado o
processo, por isso deve apresentar uma grande diversidade genética para que todas as regiões
do espaço de busca estejam presentes no inicio do processo. Inicialmente era gerada de forma
aleatória, mas como o processo aleatório não garante a representação uniforme do espaço de
busca, vários pesquisadores sugeriram outras possibilidades.
Uma tentativa de obter uma população inicial representativa de todo o espaço de busca é
a geração aleatória dos indivíduos com base em uma distribuição uniforme. Pode-se também
gerar somente a metade dos indivíduos da população de forma aleatória, e a outra parte será
preenchida a partir da primeira, simplesmente invertendo os bits. Outra forma é utilizar uma
população inicial maior do que as demais, permitindo uma melhor representação do espaço de
busca.
A geração da população inicial foi realizada através da geração aleatória dos indivíduos
com base em uma distribuição uniforme. A população inicial tem grande importância em toda
a evolução da solução. Quando se parte de uma boa solução inicial (grande diversidade
genética) o processo converge para uma boa solução; contudo, quando se parte de uma
população uniforme (pouca diversidade genética) o processo fica preso em regiões de
mínimos locais.
2.4 Função de aptidão
Para implementar o processo de seleção que valorize o indivíduo melhor adaptado ao
meio, há a necessidade de um parâmetro que indique a qualidade do indivíduo em relação aos
demais. A função de aptidão tem essa propriedade, ela recebe como entrada as características
do indivíduo (fenótipo) e fornece como resultado a sua aptidão. A aptidão (fitness) representa
a adaptabilidade do indivíduo ao meio e está baseada na função objetivo do problema, bem
como nas restrições do mesmo. A Equação (1) expressa essa relação entre função objetivo e
restrição, onde: Faptião = função aptidão; Fobjtivo = função objetivo do problema; Fpenal = função
de penalidade e α = fator de ponderação.
Faptidão = Fobjetivo + αFpenal
(1)
A função de penalidade ( Fpenal ) incorpora todas as restrições do problema, penalizando
aqueles indivíduos que as violarem. Desta forma a função de aptidão somente será diferente
da função objetivo quando alguma restrição for violada. Maiores detalhes sobre a composição
da função penalidade será apresentada mais à frente, quando tratarmos dos exemplos.
2.5 Seleção
Inspirados no processo de seleção natural do seres vivos, onde há a sobrevivência dos
melhores indivíduos, os cromossomos com melhor aptidão recebem uma probabilidade maior
de serem utilizados no processo de reprodução e contribuírem para formação da nova
população. O processo de seleção não garante necessariamente a seleção de um indivíduo em
particular, mesmo o mais apto, segundo Coley (1999), citado em Castilho (2003).
Seleção por posição (rank) – os indivíduos (cromossomos) são ordenados de acordo
com o valor de sua aptidão. Desta forma os indivíduos mais aptos terão as melhores posições
e consequentemente as maiores probabilidades de serem utilizados nos processos
reprodutivos. Ou seja, é associada a cada indivíduo uma probabilidade, conforme a Eq. (2), de
acordo com a posição ocupada no rank, onde: Pn = probabilidade associada ao n-ésimo
indivíduo do rank; Rn = posição do n-ésimo indivíduo no rank; N pop = tamanho da população
de indivíduos. Vale lembrar que esse método não tem analogia com teoria da seleção natural.
Pn =
2 Rn
N pop (N pop − 1)
(2)
Seleção por roleta (roulette wheel) – neste método cada indivíduo tem a oportunidade de
ser selecionado de acordo com seu desempenho relativo ao da população. Este método de
seleção foi o método original proposto por Holland (1975), sendo ainda muito utilizado apesar
de possuir algumas falhas. O procedimento para a seleção via método da roleta é o seguinte:
a) Some todas as aptidões da população, Eq. (3), onde: FT = aptidão total da população; Npop =
tamanho da população; Fi = aptidão do i-ésimo indivíduo.
b) Escolha um número aleatório n entre 0 e FT
c) Retorne o primeiro elemento da população, cuja soma das aptidões dos elementos até ele,
inclusive, é maior ou igual a n.
FT =
Npop
∑F
i =1
i
(3)
Seleção por torneio – baseado no princípio biológico de sobrevivência do mais forte,
esse método escolhe o melhor indivíduo entre n indivíduos da população anterior escolhidos
aleatoriamente. O processo se repete até que a nova população esteja completa. O número de
indivíduos que competem entre si (n) é usualmente igual a 2, uma vez que para n > 2 há uma
grande pressão sobre o processo de seleção.
Seleção elitista – a seleção elitista é na verdade uma adaptação que se faz aos demais
métodos de seleção, na tentativa de aumentar a velocidade de convergência do algoritmo. O
método consiste em copiar os n melhores indivíduos da população corrente para a próxima
geração, garantindo a preservação do melhor material genético.
Neste trabalho se utilizou a seleção por roleta em conjunto com a seleção elitista, onde o
melhor indivíduo da geração anterior é copiado para a geração seguinte sem a interferência
dos operadores genéticos.
2.6 Reprodução
A simulação da reprodução nos algoritmos genéticos acontece em três etapas sucessivas.
A primeira é composta pela seleção dos indivíduos aptos a se reproduzirem. Na segunda
etapa, são formados os casais que irão se reproduzir e, finalmente, na terceira etapa, são
aplicados os operadores genéticos de cruzamento e mutação. Os procedimentos de reprodução
estão divididos em dois tipos: Geracional e Steady-state.
Geracional – descrito por Goldberg (1989), é o mais simples esquema de reprodução,
onde a partir de uma população inicial são gerados novos indivíduos por meio da aplicação
dos operadores genéticos. Em cada geração todos os indivíduos são substituídos. Isto pode
ocasionar uma perda de material genético de boa qualidade. Para evitar esse problema utilizase uma estratégia de seleção elitista, que garante a sobrevivência dos n melhores indivíduos da
geração anterior.
Steady-state – segundo Mendonça (2004), o algoritmo Steady-state é similar ao algoritmo
desenvolvido por De Jong (1975), onde há uma superposição das populações. Neste esquema
somente um novo indivíduo é gerado a cada iteração, e ele somente será incorporado à
população se sua aptidão for melhor do que a aptidão do pior indivíduo da população atual.
Caso ele seja pior que todos os indivíduos da população atual então nada é alterado e procedese uma nova criação de indivíduo.
Devido a uma acentuada perda da diversidade genética quando se testou a utilização do
algoritmo do tipo steady-state, e conseqüentemente, estagnação nas regiões próximas aos
mínimos locais, optou-se pela utilização do algoritmo Geracional conjuntamente com a
seleção elitista, a fim de evitar a perda de material genético de boa qualidade.
2.7 Operadores genéticos
Os operadores genéticos são aplicados aos indivíduos, decodificados em cromossomos
(espaço de busca genótipico), para gerar novos indivíduos a partir de indivíduos existentes.
São responsáveis pela manutenção da diversidade genética da população, que permite uma
exploração inteiramente nova dentro do espaço de busca, bem como fazer um exploração
refinada nas regiões consideradas factíveis. Essas duas propriedades, diversificação
(exploration) e intensificação (explotation), são obtidas através de uma correta aplicação dos
operadores genéticos.
2.7.1 Crossover
É o operador responsável por promover a recombinação genética dos pais, permitindo
que os filhos herdem as características genéticas de seus progenitores. Essa recombinação
genética é o principal mecanismo de exploração e explotação do espaço de busca. Existem
vários modelos de crossover: Crossover de ponto único, Crossover de dois pontos, Crossover
uniforme, etc.
2.7.2 Mutação
A mutação tem como objetivo a introdução e manutenção da diversidade genética da
população, que pode ter sido perdida durante a aplicação do crossover. A mutação assegura
que a probabilidade de examinar qualquer ponto do espaço de busca nunca será nula, e
também contorna o problema de mínimos locais.
Maiores informações sobre esses operadores pode ser obtida em Fonseca e Neves (2005),
dentre outros.
2.8 Parâmetros genéticos
O desempenho dos Algoritmos Genéticos pode ser afetado por alguns parâmetros que
podem dificultar a busca ou até mesmo conduzi-la a uma direção errada no espaço de busca.
Tamanho da população – indica o número de pontos do espaço de busca que será
analisado em cada iteração. Afeta diretamente o desempenho global do algoritmo e sua
eficiência. Uma população pequena indica poucos pontos de amostragem do espaço de busca,
podendo conduzir o algoritmo a uma convergência prematura. Por outro lado, uma população
maior aumenta a cobertura do espaço de busca e dificulta a homogeneização da população.
Porém, para grandes populações são necessários maiores recursos computacionais para o
cálculo da função de aptidão dos indivíduos em cada iteração, podendo se tornar inviável
computacionalmente.
Probabilidade de crossover (Pc) – indica com que freqüência o operador de crossover
será aplicado sobre a população. Uma probabilidade alta permite a introdução de novas
estruturas na população, aumentando a explotação do espaço de busca, e reduz as chances de
convergência para um ótimo local. Em contrapartida, se essa taxa for muito alta pode resultar
na perda de tempo computacional devido à explotação de regiões não promissoras dentro do
espaço de soluções e na retirada da população de indivíduos promissores.
Na prática a probabilidade de crossover, Pc, varia entre 60% e 90%. Não ocorrendo o
crossover, os filhos serão iguais aos pais (isto permite que algumas soluções sejam
preservadas) (Castro, 2001).
Probabilidade de mutação (Pm) – a determinação da probabilidade de mutação deve ser
ponderada de forma que evite a estagnação do algoritmo por falta de diversidade genética ou
que execute uma procura aleatória em todo o espaço de busca.
Para Silva (2001) a probabilidade de mutação, Pm, suficiente para assegurar a
diversidade, encontra-se normalmente entre os valores 0,1% e 5%. Outras sugestões de
valores de Pm e formas de calculá-lo podem ser obtidas em Castro (2001).
3.
TORRES DE TRANSMISSÃO
As torres de transmissão são estruturas treliçadas, geralmente constituídas de perfis
metálicos, cujas ligações são aparafusadas ou por meio de chapas (gusset plates). A maioria
das torres apresenta uma arquitetura padrão, composta por alguns elementos básicos,
conforme mostra a Fig. (2). Esses elementos são: pernas principais; contraventamentos
verticais primários e secundários; contraventamentos horizontais. A seguir serão apresentados
mais alguns detalhes sobre o dimensionamento dessas estruturas.
Figura 2 – Elementos básicos de uma torre de transmissão
3.1 Normas e especificações
O projeto das linhas de transmissão segue as orientações de normas brasileiras, normas
estrangeiras e especificações estabelecidas pelo contratante.
Quanto às normas brasileiras tem-se:
• NBR 5422/1985 – “Projetos de Linha de Transmissão de Energia Elétrica”. Ela
aborda as condições básicas para linhas de transmissão dentro do intervalo de
35 kV e 800 kV, no que se refere, por exemplo, a parâmetros meteorológicos,
hipóteses de cálculo para condutores e pára-raios, isolamento, ferragens,
estruturas, fundações, esforços mecânicos, distâncias de segurança,
aterramento, travessias, faixas de segurança, etc.
•
NBR 8842/1985 – “Suporte Metálico para linhas de Transmissão”. Especifica
as condições de ensaio para os suportes metálicos utilizados nas linhas de
transmissão.
• NBR 8850/1985 – “Execução de Suportes Metálicos Treliçados para Linhas de
Transmissão”.
A norma estrangeira utilizada é o Manual 52/1991 “Guide for Design of Steel
Transnission Towers” da ASCE (American Society of Civil Engineers).
As normas citadas acima se referem às torres constituídas de perfis-cantoneira. Quanto
aos perfis tubulares, utilizar-se-ão, conforme sugerido por Gabrielli (2004), as prescrições da
NBR 8800/1986 – “Projeto e Execução de Estruturas de Aço de Edifícios” e o do LRFD 2000
– “Load and Resistance Factor Design Specification for Steel Hollow Structural Sections” da
AISC (American Institute of Steel Construction), além daqueles listadas já citadas.
3.2 Cargas atuantes
Como em todas as estruturas, as cargas atuantes nas torres são dividas em permanentes e
especiais. A NBR 5422/1985 define que as seguintes cargas devem ser consideradas no
dimensionamento:
• Peso próprio da estrutura;
• Peso próprio dos cabos, ferragens e isoladores;
• Cargas especiais de manutenção e construção;
• Ação do vento sobre a estrutura, isoladores, cabos condutores e pára-raios.
3.3 Hipóteses de cálculo
As hipóteses de cálculo variam de acordo com a região onde a torre será instalada e com
o tipo de função de linha da torre. A seguir serão apresentadas as hipóteses de cálculo
utilizadas por Gabrielli (2004) referentes a torres com função estrutural e que serão
implantadas em regiões onde não há neve.
• Hipótese 1 – consideram-se os cabos com vento máximo em qualquer direção.
Geralmente consideram-se ventos longitudinais, transversais e a 45º;
• Hipótese 2 – considera-se a ruptura de cada um dos cabos pára-raios. O
número de hipóteses geralmente é igual à quantidade de cabos pára-raios da
torre;
• Hipótese 3 – considera-se a ruptura de cada um dos cabos condutores. O
número de hipóteses geralmente é igual à quantidade de cabos condutores da
torre.
3.4 Modelagem
As torres são geralmente modeladas como treliças espaciais, apesar do comportamento
dos seus elementos constituintes serem diferentes. Por exemplo, as pernas são contínuas, ou
seja, funcionam como elemento de pórtico e os contraventamentos, rotulados, funcionando
como treliça.
Gabrielli (2004) destaca que na modelagem como treliça espacial, os contraventamentos
secundários não devem ser considerados, pois geram mecanismos hipoestáticos, tornando o
sistema de equações singulares. Impossibilitando, com isso, a conclusão do procedimento de
análise estrutural. A presença desses mecanismos não necessariamente indica uma estrutura
instável, mas requer a necessidade de um algoritmo que identifique esses mecanismos e gere
uma restrição automática dos mesmos.
3.5 Dimensionamento
O propósito deste trabalho é incorporar as restrições normativas, ou de ordem prática, ao
processo de otimização de estruturas. Para torres de estruturas em perfis tubulares, essas
restrições na verdade são os quesitos utilizados no processo de dimensionamento dos
elementos, ou seja, o Índice de Esbeltez Limite e a Resistência às solicitações. Como não
existe uma norma especifica para dimensionamento de torres em perfis tubulares, serão
adotadas as prescrições sugeridas por Gabrielli (2004), onde é feito uma combinação de
diferentes normas, como por exemplo, NBR 8800/1986 e NBR 5422/1985.
As restrições serão calculadas seguindo essas prescrições sugeridas por Gabrielli (2004),
e apresentadas a seguir.
Limites do índice de esbeltez efetivo - λe = KL/r - o índice de esbeltez efetivo (λe) dos
elementos depende da posição do elemento na estrutura (perna principal, outros e
redundantes) e também do esforço solicitante. Para os elementos comprimidos têm-se duas
situações: quando o elemento pertence às pernas principais, o limite de esbeltez é λe = 150; já
para os demais elementos, o limite de esbeltez é λe = 200. Para os elementos tracionados, o
limite de esbeltez é λe = 300, independentemente do tipo de elemento. No caso dos elementos
redundantes, ou seja, aqueles que têm a finalidade de somente diminuir o comprimento de
flambagem, sem função estrutural, o limite de esbeltez é λe = 250.
Compacidade – para o perfil tubo circular, a compacidade foi usada como D/t, que é a
relação utilizada para verificação da flambagem local em perfis tubulares, onde D é o
diâmetro externo e t é a espessura.
3.5.1 Barras comprimidas
Índice de esbeltez relativa (λc) – neste caso, o dimensionamento é igual para todas as
barras, as diferentes condições de extremidade é representada pelo coeficiente K. O índice de
esbeltez é calculado de acordo com a Eq. (4), onde: L = comprimento do elemento; r = raio de
giração mínimo; K = parâmetro que leva em consideração o tipo da condição de extremidade.
λc =
KL Fy
rπ E
(4)
Embora, de acordo com as especificações da LRFD 2000 – “Load and Resistance Factor
Design Specification for Steel Hollow Structural Sections” da AISC, o parâmetro λc seja
referido como a esbeltez da coluna, preferimos nomeá-lo de esbeltez relativa, já que o mesmo,
a menos do fator de área Q, é a relação entre o índice de esbeltez efetivo - λe - e o índice de
esbeltez limite - λlim (Onde λlim é o menor valor de λe para o qual a flambagem ocorre
elasticamente).
Tensão de critica de flambagem à compressão (Fcr) e resistência à compressão (Nc) –
dependente da compacidade do perfil (λ), do índice de esbeltez relativa (λc) e do fator de área
efetiva Q. Pode ser obtida da seguinte forma:
λ=
D
t
(5)
λ r = 0,114
E
Fy
(6)
λ 2 = 0,448
E
Fy
(7)
Se:
λ ≤ λ r ! Q = 1,0
λr ≤ λ ≤ λ2
(8)
 E  2
+
Q = 0,0379
F λ 3
y


!
(9)
Quando:
2
Qλ
λ c Q ≤ 1,5 ! Fcr = Q ⋅ 0,658 ⋅ Fy
 0,877 
 Fy
Fcr = 
λ
λ c Q > 1,5
c


!
N c = Ag Fcr
(10)
(11)
(12)
φ=0,9
N cd = φN c
(13)
Elementos redundantes – têm a função de reduzir a esbeltez dos outros elementos,
sendo os esforços atuantes nos mesmos insignificantes. Por esse motivo, muitas das vezes eles
não são considerados no modelo estrutural, ou seja, a estrutura é analisada desconsiderando a
presença desses elementos. A NBR 8850/1985 indica que para os casos onde os elementos
redundantes não são considerados o limite de esbeltez efetivo é λe ≤ 250 , o mesmo valor
indicado pelo Manual Nº 52 (ASCE, 1991). Já para os casos onde os elementos redundantes
são considerados no modelo estrutural, o Manual Nº 52 (ASCE, 1991) indica um
procedimento para o calculo do limite de esbeltez efetivo.
Segundo o Manual Nº 52 (ASCE, 1991), para elementos onde o índice de esbeltez, dado
por λ=L/r, é λ ≤ 120 , o índice de esbeltez efetivo vale λe = λ . Já para os elementos onde
λ ≥ 120 , o índice de esbeltez efetivo vai depender das condições de extremidades: para
elementos com ambas as extremidades rotuladas e com λ ≤ 250 , o índice de esbeltez efetivo é
λe = λ ; para os elementos com uma extremidade rotulada, outra parcialmente engastada e
com λ ≤ 290 , o índice de esbeltez efetivo é λe = 28,6 + 0,762λ ; e finalmente para os casos de
ambas as extremidades parcialmente engastadas e com λ ≤ 330 , o índice de esbeltez efetivo é
λe = 46,2 + 0,615λ .
3.5.2 Barras tracionadas
A verificação dos elementos é realizada segundo as especificações do LRFD 2000 –
“Load and Resistance Factor Design Specification for Steel Hollow Structural Sections” da
AISC (American Institute of Steel Construction), que considera os seguintes estados limites:
Escoamento da seção bruta – verifica a capacidade de resistência ao escoamento da seção do
elemento, essa capacidade resistente é definida pela Eq. (14), onde: Nt = resistência à tração;
Ag = área bruta da seção transversal; Fy = Tensão de escoamento do aço.
φ=0,9
N t = Ag Fy
(14)
N td = φN t
(15)
Ruptura da seção líquida – verifica a capacidade resistente da seção efetiva do elemento,
obtida através da Eq. (16), onde: Nt = resistência à tração; Fu = tensão limite de tração do aço;
Ae = área efetiva da seção transversal, calculada de acordo a Eq. (18), sendo que para ligações
soldadas em todo o perímetro do tubo, A=Ag e U=1; para ligações com chapa de topo (gusset
plates), A=An, sendo An a área bruta menos a área do tubo retirada pelo entalhe da peça e U
dado pela Eq. (19).
φ=0,75
N t = Ae Fu
N td = φN t
Ae = U ⋅ A
(16)
(17)
(18)
D 
U = 1 −  π  ≤ 0,9
L


4.
(19)
EXEMPLOS
Visando verificar a importância de se incorporar às restrições normativas, ou de ordem
prática, no processo de otimização estrutural, serão analisadas e comparadas duas situações
para cada exemplo (plano e espacial). Uma seguindo o procedimento clássico, onde serão
consideradas apenas as restrições de deslocamentos admissíveis e tensões admissíveis. E uma
outra, onde além das restrições clássicas (deslocamentos e tensões) serão incorporadas as
restrições normativas: limite de esbeltez de cada elemento e capacidade resistente calculado
de acordo com as Eqs. (13), (15) e (17).
As restrições normativas foram incorporadas na função penalidade da mesma forma que
as demais restrições clássicas. Ou seja, seguindo a Eq. (20), onde Radm = valor admissível para
a variável e Ri valor da variável. Desta forma, cada variável somente contribuirá para a função
penalidade se a restrição i for violada (Ri > Radm ).
Se Ri > Radm
faça
 R
F penal = ∑  i
 Radm
 
 − 1
 
(20)
End
4.1 Treliça de 25 barras
Nesta aplicação, utilizou-se a estrutura apresentada na Fig. (3), bem como todas as
informações fornecidas pelas Tabs. (2) a (4). O objetivo é a redução do peso da estrutura,
tendo com base o espaço de busca apresentado na Tab. (5). Os perfis que compõem o espaço
de busca são perfis tubulares fabricados pela Vallourec & Mannesmann Tubes (V & M do
Brasil), com as seguintes propriedades: Fy = 250 MPa (limite de escoamento), Fu = 400 MPa
(limite da resistência à tração), E = 205000 MPa (módulo de elasticidade) e ρ = 7850 kg/m3
(densidade do aço).
As restrições utilizadas no procedimento clássico são as seguintes: deslocamento
admissível de 8,89 mm e tensão admissível de 276,6 MPa. Já as restrições normativas foram
obtidas a partir da metodologia proposta por Gabrielli (2004), para dimensionamento de torres
metálicas tubulares. Foram consideradas as seguintes restrições: Índice de esbeltez máximo:
elementos comprimidos λe = 150, elementos tracionados λe = 300; Esforços solicitantes: os
esforços solicitantes não devem ultrapassar os esforços resistentes calculados de acordo com
as Eqs. (13) (elementos comprimidos) e (15) ou (17) (elementos tracionados). Todos os
elementos foram considerados como não redundantes e as ligações são do tipo soldadas.
Tabela 2 – Carregamento treliça de 25 barras
Nó
1
2
3
6
Fx (N)
4453,74
0,00
2226,87
2672,24
Fy (N)
- 44537,40
- 44537,40
0,00
0,00
Fz(N)
-44537,40
-44537,40
0,00
0,00
Figura 3 – Treliça de 25 barras (coordenadas em centímetros)
Tabela 3 – Incidência treliça de 25 barras
Elem.
Incidência
Elem.
Incidência
Elem.
Incidência
Elem.
Incidência
Elem.
Incidência
1
2
3
4
5
7-3
7-4
7-6
10 - 3
10 - 6
6
7
8
9
10
10 - 5
8-3
8-4
8-5
9-6
11
12
13
14
15
9-4
9-5
3-6
6-5
5-4
16
17
18
19
20
3-4
1-3
1-6
1-4
1-5
21
22
23
24
25
2-3
2-6
2-4
2-5
2-1
Tabela 4 – Grupo de elementos treliça de 25 barras
Grupo
1
2
3
4
Elementos
25
19; 20; 21; 22
17; 18; 23; 24
13; 15
Grupo
5
6
7
8
Elementos
14; 16
3; 4; 9; 11
2; 6; 7; 10
1; 5; 8;12
Visando uma redução no número de variáveis de projeto, os elementos foram agrupados
de acordo com as suas características estruturais, conforme mostra a Tab. (4). Outro
procedimento usado foi a adoção de espaço de busca reduzido para cada variável. Esse espaço
foi formado utilizando as áreas do espaço de busca global (Tab. 5). A determinação de quais
áreas iriam compor o espaço de busca de cada variável foi baseado no valor médio de cada
variável. Essa média foi obtida a partir de resultados previamente conhecidos. Cada espaço de
busca local (variável) contém 16 áreas distribuídas uniformemente em torno do valor médio
da variável. Essas 16 áreas foram escolhidas dentro do espaço de busca global (Tab. 5). Por
exemplo, se média da variável x é igual a 6,50, o seu respectivo espaço de busca será formado
pelas seguintes áreas: 2,15; 2,80; 3,19; 3,31; 4,32; 5,20; 5,40; 6,38; 7,15; 7,68; 8,34; 9,23;
9,53; 10,20; 11,00; 11,60.
Tabela 5 – Espaço de busca treliça de 25 barras
D
(mm)
26,70
26,70
33,40
38,10
42,20
38,10
33,40
60,30
42,20
60,30
t
(mm)
2,90
3,90
3,40
3,00
3,60
5,00
6,40
3,60
6,40
4,40
A
(cm2)
2,15
2,80
3,19
3,31
4,32
5,20
5,40
6,38
7,15
7,68
r
(cm)
0,849
0,818
1,070
1,250
1,370
1,180
0,980
2,010
1,290
1,980
D
(mm)
60,30
48,30
60,30
73,00
73,00
73,00
48,30
88,90
114,30
60,30
t
(mm)
4,80
7,10
5,50
4,80
5,20
5,50
10,20
4,80
4,00
8,70
A
(cm2)
8,34
9,23
9,53
10,20
11,00
11,60
12,20
12,60
13,70
14,20
r
(cm)
1,970
1,480
1,950
2,420
2,410
2,390
1,400
2,980
3,900
1,850
D
(mm)
73,00
114,30
88,90
60,30
88,90
88,90
114,30
114,30
101,60
168,30
t
(mm)
7,00
4,40
6,40
11,10
7,10
7,60
6,00
6,40
8,10
4,80
A
(cm2)
14,50
15,10
16,50
17,10
18,30
19,50
20,50
21,50
23,70
24,60
r
(cm)
2,350
3,890
2,930
1,780
2,900
2,890
3,830
3,820
3,320
5,780
A solução desse problema utilizou uma rotina baseada em Elementos Finitos para a
análise estrutural e uma outra rotina para a otimização estrutural (Algoritmo Genético, do tipo
geracional). Ambas as rotinas foram implementadas em FORTRAN 90, e validadas a partir de
exemplos clássicos da literatura (benchmark).
Os parâmetros utilizados nos Algoritmos Genéticos para solução desse problema foram
os seguintes: tamanho da população = 40 indivíduos; fator penalidade (alfa) = 1000;
probabilidade de crossover (Pc) = 0,80; probabilidade de mutação (Pm) = 0,01. Foi utilizado
também o Algoritmo Genético geracional do tipo elitista, com operador de crossover de 2
pontos.
A Figura (4) apresenta a evolução das soluções para a treliça de 25 barras. Para o
problema clássico foi obtido um peso mínimo de 269,54 kg, já para o problema com
restrições normativas foi obtido um peso mínimo de 306,17 kg. A Tabela (6) apresenta uma
comparação das áreas de cada um dos casos, a presença das restrições normativas provocou
um aumento 36,63 kg no peso da estrutura, representando um aumento de 13,60 % . A Figura
(5) apresenta a evolução da pior e melhor run.
Evolução da Solução
Peso (kg)
500
400
300
Normativa
Clássico
200
100
0
0
10
20
30
40
50
Iteração
Figura 4 – Comparação da evolução da solução treliça 25 barras, de acordo com as restrições
normativas.
Evolução da Solução
Peso (kg)
(Clássica)
700
600
500
400
300
200
100
0
Melhor Run
Pior Run
0
10
20
30
40
50
Iteração
Figura 5 – Comparação da solução treliça 25 barras, melhor e pior run.
Tabela 6 – Resultados treliça de 25 barras
Restrição
Clássico
Prático
A1
5,4
5,2
A2
5,4
4,32
Grupo de Áreas (x 10-4 m2)
A3
A4
A5
A6
3.19
3,19
3,19
2,15
3,19
4,32
10,20 3,19
A7
3,19
3,31
A8
7,68
8,34
4.2 Torre de 47 barras
Figura 6 – Torre de 47 barras (cotas em metros)
Peso (kg)
269,54
306.17
Neste exemplo, pretende-se minimizar o peso da torre de transmissão apresentada na Fig.
(6), submetidas ao carregamento estático (vento + peso dos cabos) descrito na Tab. (7), e
sujeita às seguintes restrições normativas propostas por Gabrielli (2004): Deslocamento
admissível L/400 (L= altura); Índice de esbeltez máximo: elementos comprimidos - λe = 150,
elementos tracionados - λe = 300; Esforços solicitantes: os esforços solicitantes não devem
ultrapassar os esforços resistentes calculados de acordo com as Eqs. (13) (elementos
comprimidos) e (15) ou (17) (elementos tracionados). O espaço de busca utilizado é
apresentado na Tab. (9), e composto por perfis tubulares fabricados pela Vallourec &
Mannesmann Tubes (V & M do Brasil), com as seguintes propriedades Fy = 250 MPa (limite
de escoamento), Fu = 400 MPa (limite da resistência à tração), E = 205000 MPa (módulo de
elasticidade) e ρ = 7850 kg/m3 (densidade do aço). A conectividade dos elementos é
apresentada na Tab. (10).
Tabela 7 – Carregamento torre de 47 barras
Nó
17
22
15
6
13
Fx (N)
14820,00
11850,00
3040,00
2672,24
3090,00
Fy (N)
-11800,00
-11800,00
0,00
0,00
0,00
Fz(N)
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Nó
11
9
7
5
3
Fx (N)
3040,00
2890,00
2600,00
2600,00
1876,00
Fy (N)
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Fz(N)
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Utilizou-se aqui também redução do espaço de busca a partir de resultados previamente
conhecidos e a formação de grupos de elementos de acordo com suas características
estruturais (esforços e deslocamentos). Os grupos de elementos estão apresentados na Tab.
(8).
Os parâmetros utilizados nos Algoritmos Genéticos para solução desse problema foram
os seguintes: tamanho da população = 40 indivíduos; fator penalidade (alfa) = 2000;
probabilidade de crossover (Pc) = 0,80; probabilidade de mutação (Pm) = 0,01. Foi utilizado
também o Algoritmo Genético geracional do tipo elitista, com operador de crossover de 2
pontos.
Tabela 8 – Grupo de elementos torre 47 barras
Grupos
1
2
3
4
5
6
Elementos
23; 24; 25; 26; 27
11; 12; 17; 18
19; 20; 21; 22
5; 6; 8; 9; 15; 16
1; 2; 3; 4; 13; 14
7; 10; 28
Grupos
7
8
9
10
11
Elementos
29; 30
31; 32
33; 38; 43
36; 37; 41; 42; 46; 47
34; 35; 39; 40; 44; 45
A Tabela (11) apresenta a solução para dois casos distintos: no primeiro caso, o problema
clássico é analisado; já no segundo, são consideradas as restrições normativas: índice de
esbeltez e esforços solicitante/resistentes. Observando os resultados, nota-se a influência das
restrições normativas na resposta do problema. Essa influência provoca um aumento de
35,50 % no peso da estrutura. Uma comparação da evolução da solução para os dois casos é
apresentada na Fig. (7), e na Fig. (8) é apresentada uma comparação entre a pior e melhor run.
Tabela 9 – Espaço de busca torre de 47 barras
D
(mm)
26,70
38,10
33,40
42,20
48,30
73,00
73,00
88,90
114,30
114,30
88,90
60,30
88,90
73,00
t
(mm)
2,90
3,00
6,40
6,40
7,10
4,80
5,50
4,80
4,00
4,40
6,40
11,10
7,10
9,50
A
(cm2)
2,15
3,31
5,40
7,15
9,23
10,20
11,60
12,60
13,70
15,10
16,50
17,10
18,30
19,00
r
(cm)
0,849
1,250
0,980
1,290
1,480
2,420
2,390
2,980
3,900
3,890
2,930
1,780
2,900
2,270
D
(mm)
88,90
114,30
114,30
101,60
168,30
114,30
88,90
114,30
141,30
168,30
141,30
114,30
168,30
114,30
t
(mm)
7,60
6,00
6,40
8,10
4,80
7,90
11,10
8,60
7,10
6,40
7,90
11,10
9,50
17,10
A
(cm2)
19,50
20,50
21,50
23,70
24,60
26,50
27,20
28,40
30,10
32,30
33,20
36,10
47,50
52,30
r
(cm)
2,890
3,830
3,820
3,320
5,780
3,770
2,780
3,750
4,750
5,730
7,720
3,670
5,620
3,490
D
(mm)
141,30
168,30
168,30
273,00
168,30
273,00
323,80
273,00
273,00
219,10
273,00
273,00
323,80
355,60
t
(mm)
19,10
18,30
19,10
11,10
22,00
12,70
11,10
15,10
15,90
23,00
18,30
21,40
20,60
20,60
A
(cm2)
73,20
86,10
89,30
91,60
101,00
104,00
109,00
122,00
128,00
142,00
146,00
169,00
196,00
217,00
r
(cm)
4,370
5,340
5,320
9,270
5,230
9,210
11,100
9,130
9,110
6,980
9,030
8,830
10,700
11,900
Tabela 10 – Incidência torre de 47 barras
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Incidência
9 - 11
10 - 12
11 - 13
12 - 14
9 - 12
10 - 11
11 - 12
11 - 14
12 - 13
13 - 14
Elem.
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Incidência
13 - 15
14 - 16
13 - 19
14 - 20
13 - 20
14 - 19
15 - 17
16 - 22
15 - 19
16 - 20
Elem.
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Incidência
15 - 18
16 - 21
17 - 18
21 - 22
18 - 19
20 - 21
19 - 20
9 - 10
7-9
8 - 10
Elem.
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Incidência
7 - 10
8-9
7-8
5-7
6-8
5-8
6-7
5-6
3-5
4-6
Elem.
41
42
43
44
45
46
47
Incidência
3-6
4-5
3-4
1-3
2-4
1-4
2-3
Peso (kg)
Evolução da Solução
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Normativa
Clássica
0
10
20
30
40
50
Iteração
Figura 7 – Comparação da evolução da solução torre 47 barras, de acordo com as restrições
normativas.
Evolução da Solução
Peso (kg)
(Clássica+Normativa)
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Melhor Run
Pior Run
0
10
20
30
40
50
Iteração
Figura 8 – Comparação da solução torre 47 barras, melhor e pior run.
Tabela 11 – Resultados torre de 47 barras
Restrição
Clássico
Prática
4.
Grupo de Áreas (x 10-4 m2)
A1
A2
A3
A4
5,4
17,1 13,7 11,6
17,1
13,7 28,4 12,6
A5
15,1
33,2
A6
15,1
18,3
A7
73,2
16,5
A8
2,15
12,6
A9
23,7
10,2
A10
71,5
20,5
A11
16,5
23,7
Peso (kg)
1214,42
1645,58
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Mais uma vez os Algoritmos Genéticos se mostram robustos na otimização estrutural.
Porém, sua eficiência é dependente da delimitação das regiões factíveis (exploração), sendo
deficiente no processo de refinamento da solução (explotação). Essa característica pode ser
observada nas Figs. (4) e (7), onde no início do processo a evolução é acelerada, já no final a
solução esta praticamente estagnada em um patamar.
Os resultados mostram que, na maioria das vezes, as restrições baseadas nas
recomendações de normas são quase sempre violadas, quando da otimização da torre só sob
as restrições de tensões e deslocamentos. Isto pode ser confirmado quando se analisa o peso
da estrutura. Houve um aumento considerável do peso da estrutura quando foram
consideradas as restrições normativas. A violação, quase constante, das restrições normativas,
considerando o problema de otimização somente sob às restrições de deslocamentos e tensões,
justifica a necessidade de considerá-las no processo de otimização, sob pena de se encontrar
soluções que não possam ser aplicadas na prática, pois não estarão respeitando as prescrições
normativas
Outras restrições também devem ser incorporadas ao problema, de forma a tornar a
solução obtida mais próxima da realidade. Como por exemplo: freqüências naturais, carga
crítica de Euler, custo dos materiais, custos construtivos, etc.
5.
AGRADECIMENTO
Agradecemos à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais - Fapemig pela bolsa de mestrado.
6.
REFERÊNCIAS
Ávila, S. L., 2002. Algoritmos Genéticos Aplicados na Otimização de Antenas Refletoras.
Dissertação de Mestrado Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica – UFSC.
AISC, 2000. Load and Resistance Factor Design Specification for Steel Hollow Structural
Sections.
ASCE, 1991. Design of Latticed Steel Transmission structures, New York.
Castilho, V. C., 2003. Otimização de Componentes de Concreto Pré-Moldado Protendidos
Mediantes Algoritmos Genéticos. São Carlos, 283p. Tese de doutorado Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
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