Prof. Dr. Armando Caputi 1 Prof. Dr. João Roberto Gerônimo 2

Guia
1
Universidade Federal do ABC
e-mail: [email protected]
2
Universidade Estadual de Maringá
e-mail: [email protected]
Prof. Dr. Armando Caputi
1
Prof. Dr. João Roberto Gerônimo
2
A. Caputi J. R. Gerônimo
Histórico
O projeto Matemativa – Exposição Interativa de Matemática teve início
em 2004 na Universidade Estadual de Maringá (UEM), com apoio do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). A
primeira exposição do projeto ocorreu em outubro de 2005, durante o
evento I Educação Com Ciência, realizado em Maringá pela Secretaria de
Educação do Estado do Paraná. Ainda no mesmo mês, mas dessa vez de
forma independente, ocorreu a segunda exposição da Matemativa, na Usina
de Conhecimento, também em Maringá (PR). Em junho de 2006, o projeto
esteve presente no II Educação Com Ciência apresentando uma oficina
sobre simetrias, baseada na exposição Matemativa (essa oficina é uma das
atividade da III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática).
Atualmente, o projeto consiste em duas exposições temáticas:
Geometria das Curvas e Simetrias, totalizando cerca de 50 exhibits (embora
alguns desse ainda se apresentem como protótipos). Em fase de
desenvolvimento
encontra-se
também
o
sítio
do
projeto:
www.matemativa.uem.br, com previsão de implantação para 2007.
Guia da Exposição
Introdução
Descrever a matemática em poucas palavras é uma tarefa difícil, talvez até
indesejável. Mas uma parte essencial do trabalho do matemático pode ser
descrita como sendo a classificação e o estudo de padrões, entendendo-se
por padrão qualquer tipo de regularidade que se possa imaginar na mente
ou observar no mundo sensível, qualquer tipo de estrutura, de relação ou de
ordem. Decerto não haverá consenso em torno dessa concepção, talvez
estruturalista demais. Entretanto, é essa a concepção que adotamos para
nortear o trabalho que vimos desenvolvendo com a Matemativa – Exposição
Interativa de Matemática.
Junto com essa concepção do que é a matemática, há uma concepção do
que é (ou deveria ser) uma exposição de matemática: não uma aula de
matemática, não um livro exposto nas paredes, não uma coleção de jogos
com fundo matemático. Para nós, uma exposição de matemática deve
colocar à mostra a própria matemática, sem subterfúgios ou camuflagens,
buscando sensibilizar os seus visitantes através de uma experiência
diferente com os objetos e conceitos matemáticos. Fazendo uso de uma
formulação suficientemente clara a um público escolarizado, deve, mais do
que fornecer respostas, provocar perguntas e questionamentos. Deve
também saber diferenciar-se tanto do contexto escolar quanto do espaço
lúdico, apesar de poder ser complementar ao primeiro e fazer uso do
segundo.
Como colocar em prática essa concepção? Dentre os vários modos
possíveis, adotamos dois princípios: por um lado, a estruturação da
exposição em setores temáticos homogêneos; por outro, organizar cada
setor em “percursos”. Estes seriam conjuntos de exhibits coerentes entre si,
todos relacionados a um determinado objeto ou conceito matemático. O
primeiro princípio busca evitar um contexto dispersivo e fragmentado,
dentro do qual o visitante logo se sentiria desmotivado e perdido. Ao
contrário, em um ambiente homogêneo, cada etapa da visita reforça as
outras já visitadas, mantendo a motivação e o interesse. Já a adoção dos
“percursos” como unidades expositivas, em lugar de cada exhibit
separadamente, encontra sua justificativa em uma das principais
especificidades da matemática: seu acentuado caráter abstrato.
Diferentemente das outras ciências, a matemática não possui, salvo
raríssimas exceções, fenômenos a serem exibidos. Os objetos matemáticos
são construtos mentais e não permitem, em geral, serem apresentados de
modo direto. Daí a necessidade de construir um percurso que conecte
diferentes propriedades do objeto ou conceito que queremos “expor”, de
modo a permitir que o visitante, através da experiência conjugada dos
diferentes exhibits do percurso, tenha alguma percepção do objeto ou
conceito exposto.
Aos dois princípios acima, há ainda que se acrescentar um outro princípio,
já amplamente adotado pela maioria das exposições de caráter científico no
Brasil e no mundo: o da interatividade. Mais do que exibir um objeto, ou até
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mesmo solicitar ao visitante que acione o objeto para ver seu
funcionamento, a interatividade é pensada, hoje, em um sentido mais forte:
o objeto ou experimento só tem lugar com a participação do visitante, como
se este fosse parte do objeto em questão. Essa característica tem se
mostrado fundamental para o sucesso das exposições científicas em todo o
mundo.
A exposição Matemativa organiza-se em dois setores temáticos: Geometria
das Curvas e Simetrias. O primeiro é centrado quase que totalmente nas
curvas clássicas: reta, circunferência e cônicas, fazendo uso também de
algumas superfícies quádricas regradas. Conta também com algumas
curvas como espirais e ciclóide, com a perspectiva futura de ampliar ainda
mais essa classe de curvas. O segundo, em sua versão atual, trata de
simetrias planas, fazendo bastante uso de espelhos. Temos a perspectiva
de, em um futuro não muito remoto, incluir também as simetrias espaciais.
Cada um desses setores foi fortemente inspirado em exposições já
existentes. O primeiro, na exposição Oltre il Compasso – La Geometria
delle Curve, do museu Il Giardino di Archimede (museu dedicado à
matemática, com sede em Priverno e em Florença, Itália). O segundo, na
exposição Simmetrie – Giochi di Specchi, organizada pela Universidade de
Milão, Itália, e já reproduzida em Portugal pela associação Atractor – Centro
Ciência Viva, da cidade do Porto. Em ambos os casos, parte do material
exibido é uma reprodução do material dessas exposições. Parte do material
é original.
Esperamos que essa iniciativa, junto com outras que estarão presentes
nesta bienal, acabem por envolver outras instituições para que, em um
trabalho coordenado e voltado ao desenvolvimento de exposições
dedicadas à matemática, possamos dar mais um passo na melhoria das
condições de ensino e aprendizagem da matemática no Brasil.
Gostaríamos de agradecer à organização da III Bienal da Sociedade
Brasileira de Matemática e à Universidade Federal de Goiás pelo apoio e
pela oportunidade de apresentarmos nosso trabalho neste evento. Um
agradecimento especial ao Prof. Ronaldo Garcia, por todo seu empenho e
dedicação.
Geometria das Curvas
As curvas ocupam um lugar privilegiado no imaginário matemático. Desde a
origem da geometria, as curvas permeiam praticamente toda a atividade e
pensamento dos matemáticos, que nunca pouparam esforços para estudálas, classificá-las, medi-las e até excogitar instrumentos para traçá-las. No
âmbito das ciências naturais, as curvas também ocupam um lugar de
destaque, já que se prestam fortemente à modelação e à descrição de
inúmeros fenômenos naturais.
Guia da Exposição
As curvas tratadas neste setor da Matemativa são, quase todas, bem
conhecidas de qualquer estudante do ensino médio: retas, circunferências,
elipses, parábolas e hipérboles são as protagonistas, acompanhadas de
algumas curvas menos famosas, como a espiral de Arquimedes e a
ciclóide.
O setor inicia colocando o visitante diante de uma pergunta simples: o que é
mais fácil traçar: uma reta ou uma circunferência? De posse de uma
barbante e uma caneta, o visitante é
convidado a fazer suas tentativas. Em breve,
ele perceberá que a circunferência é bem
mais simples, pois o barbante pode servir
como instrumento para traçá-la. Já para traçar
uma reta, o
visitante sentirá
a falta de uma
régua, ou seja,
de um perfil (o barbante, para isso, é pouco
satisfatório). Existirá algum instrumento para
traçar retas? As primeiras peças da exposição
tratam de mostrar a evolução das respostas a
essa pergunta. Primeiro, algumas soluções
aproximadas, depois duas soluções exatas.
Após esse breve passeio por retas e circunferências, o visitante se depara
com uma classe um pouco mais geral de curvas, as chamadas seções
cônicas:
elipses,
parábolas
e
hipérboles.
Continuando
com
a
descoberta de novos instrumentos para
traçar curvas, vários mecanismos
articulados e bielismos para construção
de cônicas são apresentados. Alem de
traçar as curvas desejadas, os
mecanismos e bielismos colocam em
evidência algumas propriedades dessas curvas, presentes no próprio
funcionamento desses mecanismos.
Dentre as inúmeras propriedades das cônicas,
a propriedade de reflexão é uma das mais
importantes: Como reflete um
espelho parabólico? Por que
a antena parabólica é
parabólica? Como seria um
bilhar elíptico? Após explorar
as perguntas acima através de algumas peças curiosas, o
visitante é levado um pouco fora do tema das curvas e
acaba diante de algumas superfícies. Logo ele verá,
porém, que tais superfícies têm muito em comum com as
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cônicas, pois estamos falando do hiperbolóide de rotação e do parabolóide
hiperbólico. E mais surpreendentemente, descobrirá que essas superfícies,
apesar de sua aparência curva, podem ser formadas por retas: são as
chamadas superfícies regradas.
Concluindo esse setor, o visitante é levado a
conhecer algumas curvas mais complexas: a
espiral de Arquimedes e a ciclóide. Esta é
apresentada através de dois problemas
famosos: o problema da curva tautócrona e o
da curva braquistócrona.
Simetrias do plano
A simetria é um padrão importante presente tanto na natureza quanto na
arte. Está presente nos seres vivos, nos cristais, em diversas pinturas,
desenhos, esculturas e até mesmo na música. Mas o que um matemático
entende por simetria? Ou melhor, como um matemático traduz, em sua
linguagem própria, esse conceito quase universal de harmonia e equilíbrio?
Neste setor da Matemativa, serão tratadas somente as simetrias planas,
mas de modo bastante completo. Ao observarmos as figuras simétricas com
o devido cuidado, percebemos que há algum tipo de regularidade que as
caracteriza. A questão, para o matemático, passa a ser, então, achar um
modo de descrever essa regularidade para, em seguida, classificar os
diferentes tipos de simetrias possíveis, a partir dessa descrição.
Afinal, o que um matemático entende por figura simétrica? É a essa
pergunta que o visitante é convidado a encontrar a
resposta, através das duas primeiras peças deste
setor. São duas mesas ilustradas com um mesmo
desenho simétrico. Em uma das mesas, pequenos
triângulos (todos iguais) reproduzem uma porção
do desenho original.
Manipulando
esses
triângulos, o visitante
poderá perceber como a
figura toda pode ser reproduzida a partir desse
pequeno padrão que se repete. Na outra mesa,
pedaços relativamente grandes de acrílico também
reproduzem parte do desenho original. Dessa vez,
movendo oportunamente essas peças de acrílico,
o visitante perceberá como após certos movimentos o desenho permanece
inalterado. Esses dois experimentos correspondem a duas concepções
(equivalentes) de simetria usadas em matemática.
Guia da Exposição
O elemento de destaque das primeiras duas peças são as chamadas
isometrias do plano. As quatro peças
seguintes
proporcionam
a
possibilidade de explorar um pouco
mais esses objetos matemáticos.
Novamente
fazendo
uso
de
mecanismos
articulados
e
de
bielismos, o visitante pode explorar as
quatro isometrias planas: translação,
rotação, reflexão e glissoreflexão.
As peças que se seguem, estão divididas conforme a classificação típica
das simetrias planas: rosetas, frisos e papéis de
parede. Em uma primeira mesa, vários jogos de
espelhos permitem a exploração de rosetas e frisos,
além de algumas câmaras
quadradas para a produção
de papéis de parede. Em
seguida, quatro câmaras de
espelhos – uma retangular e três triangulares –
permitem a produção de diferentes tipos de papéis
de parede (um para cada câmara). Aqui, o
visitante é desafiado a reproduzir algumas figuras
propostas, a partir da observação da forma como cada câmara produz o
padrão simétrico. Após o desafio, em um momento
lúdico, o visitante poderá se ver dentro de uma caixa
triangular simulando um caleidoscópio gigante.
A essa altura, o visitante já percebeu a grande
variedade de possibilidades das simetrias. E chegou
a hora de tomar ciência de que, na verdade, não são
tantas assim as possibilidades. Há somente 7 tipos
diferentes de frisos e 17 tipos diferentes de papéis de
parede. Há infinitas rosetas, é verdade, mas todas
elas
se
encaixam,
essencialmente, em somente
duas classes (a dos grupos cíclicos e a dos grupos
diedrais). O visitante é apresentado à classificação
completa das simetrias do plano e, de posse disso,
convidado a reconhecer a classe de algumas figuras
simétricas, usando alguns mecanismos simples que
têm como finalidade ajudar a perceber as isometrias presentes em cada
padrão simétrico.
Concluindo esse setor, os computadores trazem dois programas: SIMIS e
Reflexão de Rosto. Este último tem um caráter mais lúdico: o visitante que
se dispuser a tirar uma foto sua, verá seu rosto de quatro modos diferentes:
original, refletido como no espelho, refletido pelo lado direito, refletido pelo
lado esquerdo. Desse modo, verá quanto seu rosto é realmente simétrico.
Já o programa SIMIS proporciona a possibilidade de produzir figuras
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simétricas de todos os padrões simétricos. Ele é organizado conforme a
classificação das simetrias, de modo que o visitante, ao utilizá-lo, terá a
ocasião de consolidar os conhecimentos porventura adquiridos durante a
exposição.
Créditos
CONFECÇÃO DOS EXHIBITS
UEM: Adão Fernandes; Aparecido Caetano da Silva; Claudelino
Bergamasco; Edson Caetano da Silva; Flávio Aparecido Gravina; Isaac
Tonini; Jair Spurio Garcia; José Aparecido Solego; José Francisco
Pereira; Jurandir Alves Pereira; Márcio Hideki Babata; Márcio Justino;
Osvaldo Santa Rosa; Valdir Socorro Ribeiro.
MUDANDO A MADEIRA: Antonio J. Marques e Júlia Cristina Cegenta
METALÚRGICA TUIUTI: José Alves de Souza
ARTE
Costa Galli Propaganda
AGRADECIMENTOS
Aos alunos e alunas que colaboraram com o desenvolvimento do projeto
Ana Costa Galli e equipe (Costa Galli Publicidade)
A todos os monitores da exposição
AGRADECIMENTOS ESPECIAIS
Prof.a Maria Dedò (Università degli Studi di Milano)
Prof. Manuel Arala Chaves (Atractor – Portugal)
Rosalia Vargas (Ciência Viva – Portugal)
REFERÊNCIAS PRINCIPAIS
Simmetrie – Giocchi di specchi (Itália)
Oltre il Compasso – La geometria delle curve (Itália)
Matemática Viva (Portugal)
Guia da Exposição
Apoio:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PRÓ-REITORIA DE EXTENSÃO E CULTURA
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO