Linhas de campo magnético caóticas em tokamaks
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Anais do 14O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XIV ENCITA / 2008 Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 20 a 23, 2008. Linhas de campo magnético caóticas em tokamaks Kauê Cabrera Rosalem Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Campus de Presidente Prudente - Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Física, Química e Biologia Presidente Prudente, SP, 19060-900, Brasil Bolsista PIBIC-CNPq [email protected] Marisa Roberto Instituto Tecnológico de Aeronáutica Departamento de Física São José dos Campos, SP, 12228-900, Brasil [email protected] Resumo. As instabilidades na borda do plasma causam a deterioração das condições de equilíbrio e a perda total do confinamento do plasma em tokamaks. Perturbações ressonantes em determinadas superfícies magnéticas permitem redirecionar o escape do plasma para determinadas regiões da parede do tokamak, evitando a contaminação do plasma por impurezas e o aquecimento excessivo e localizado na parede da câmara de confinamento. Utilizamos uma formulação Hamiltoniana para o traçado das linhas de campo magnético, fornecendo assim os Mapas de Poincaré para análise da camada estocástica, sendo perturbada por um Limitador Magnético Ergódico, para diferentes intensidades e modos ressonantes de perturbação com um perfil radial nãomonotônico do fator de segurança. Mostramos que as linhas de campo caóticas no tokamak devido à perturbação são determinadas pelas variedades estáveis e instáveis dos pontos fixos hiperbólicos das cadeias de ilhas magnéticas perturbadas. Palavras chave: Equilíbrio MHD, Limitador Magnético Ergódico, Modos Ressonantes, Variedades Estáveis e Instáveis. 1. Introdução O interesse pelo estudo das linhas de campo magnético que colidem com a parede da câmara de confinamento é devido ao processo de transporte de partículas e energia. Sendo que as estruturas do fluxo de calor nas paredes do tokamak são encontradas em trabalhos experimentais recentes (Jakubowski, 2004), e estas apresentam relevante semelhança com as estruturas das linhas de campo magnético deixadas nas paredes. Dentre os fenômenos que causam a deterioração das condições de equilíbrio e a perda total do confinamento, estão as instabilidades na borda do plasma, causadas pelas mudanças topológicas em determinadas superfícies magnéticas. Através do Limitador Magnético Ergódico (LME), é possível criar uma região de linhas de força caóticas na periferia da coluna de plasma, com uma alta concentração de partículas e um alto coeficiente de difusão nesta região. Este dispositivo corresponde às fatias das hélices de um Enrolamento Helicoidal Ressonante (EHR). As coordenadas polares toroidais representam corretamente os efeitos toroidais de um tokamak (Roberto, 2004), fazendo com que as superfícies magnéticas não possuam simetria poloidal, conforme o chamado deslocamento de Shafranov, que resulta na helicidade não constante das linhas de campo magnético e, conseqüentemente do fator de segurança, violando as condições da Teoria Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) para pequenas perturbações nesta região. Utilizou-se na simulação numérica os parametros do tokamak brasileiro TCABR, o qual tem-se projetado um LME para controlar as oscilações do plasma (Heller, 2005). Obtemos neste trabalho os Mapas de Poincaré através de uma função delta para a posição dos anéis limitadores e da formulação Hamiltoniana para o traçado das linhas de campo magnético. Analisou-se a atuação do LME para os modos de perturbação ressonantes (4,1) e (5,1), e as variedades estáveis e instáveis dos pontos fixos hiperbólicos das cadeias de ilhas magnéticas. 2. Equilíbrio MHD O equilíbrio MHD (Magnetohidrodinâmico) do tokamak apresenta dois aspectos básicos: inicialmente há um balanço entre a pressão do plasma e as forças devido ao campo magnético; posteriormente a forma e a posição do plasma são definidas e controladas pelas correntes das bobinas externas (Wesson, 2004). Pela teoria MHD, o plasma é considerado como um fluído condutor de resistividade nula, com energia interna, sob a ação de campos eletromagnéticos (Freidberg, 1987). Nesta configuração de equilíbrio os efeitos quânticos e relativísticos não são considerados, e o sistema é considerado conservativo. Para descrever a geometria das linhas de campo magnético, definimos as coordenadas polares toroidais (rt , θ t , ϕt ) com relação às coordenadas toroidais (ξ , ω , ϕ ) (Kucinski, 1990): Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , rt = R0' , θ t = π − ω , ϕt = ϕ , cosh ξ − cos ω r r onde R 2 = R0' 2 1 − 2 t' cos θt − t' R R0 0 sistema de coordenadas cilíndricas. (2.1) 2 2 sin θt relaciona o eixo do sistema de coordenadas polares toroidais com o Tratando-se de um tokamak de alta razão de aspecto (r / R t ' 0 →0 ) (Kroetz, 2006), a equação de Grad- Shafranov é dada por: 1 d dψ P rt = µ0 Jϕ ( rt ) , rt dt drt (2.2) onde ψ P é o fluxo magnético poloidal. Utilizaremos um perfil radial não-monotônico da densidade de corrente toroidal Jϕ , obtidos de resultados experimentais: γ I P R0' ( γ + 2 )(γ + 1) r2 r2 (2.3) 1 + β t 2 1 − t 2 , 2 β +γ +2 a a πa onde I P é a corrente total de plasma, β e γ são parâmetros ajustáveis e a é o raio da coluna de plasma. Substituindo o perfil radial não-monotônico da densidade de corrente toroidal Jϕ na equação 2.2, obtemos: Jϕ = γ +1 2 rt 2 dψ P µ0 I P R0' ' rt 1 − 1 + β 2 1 − 2 , = drt 2π rt a a (2.4) onde β ' ≡ β ( γ + 1) ( β + γ + 2 ) . As componentes do campo magnético podem ser obtidas através da equação do campo magnéticos em coordenadas polares toroidais: 1 ∂ψ P = 0, Brt = − ' R0 rt ∂θt (2.5) γ +1 2 rt2 1 ∂ψ P µ0 I P ' rt Bθ t = ' = 1 − 1 + β 2 1 − 2 , (2.6) 2π rt2 R0 rt ∂rt a a −1 (2.7) rt µ0 I µ0 I e , Bϕt = − 2 = 1 − 2 cos θ t 2 ' R 2πR0' R0 sendo que I e ≈ −2π I é a corrente elétrica externa que produz o campo toroidal. As linhas de campo magnético devido aos campos poloidal e toroidal apresentam formato helicoidal. Uma vez que as superfícies magnéticas não possuem simetria poloidal, a helicidade das linhas de campo não é constante. Podemos definir ∂ϕt ∂θt a inclinação local das linhas de campo, assim uma inclinação média das linhas de campo é dada por: 1 2π Bϕ t dθ t . (2.8) ∫ 2π 0 Bθ t onde q é denominado fator de segurança, com a necessidade de um valor q ≥ 1 no eixo magnético para que o plasma seja estável, logo fator de segurança q é assim chamado por determinar a estabilidade (Silva, 2000). Desta forma, percebemos que o fator de segurança representa uma média do ângulo toroidal percorrido enquanto uma linha de campo executa uma volta no sentido poloidal. Quanto mais lentamente as linhas de força do campo magnético evoluir na direção poloidal, ou seja, quanto maior for o fator de segurança, mais estável será a configuração do campo associado a essas linhas de força. No caso em que q = m / n apresenta valor racional, temos linhas de campo que se fecham após percorrer m voltas no sentido toroidal e n voltas no sentido poloidal. Se este valor for irracional, temos linhas de campo que nunca retornam a posição inicial, ocupando em tempo infinito todos os pontos da superfície magnética. q= Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , Utilizou-se nesta simulação numérica os parâmetros típicos de operação do tokamak TCABR: raio maior R0 =0,61m, raio menor b =0,22m, raio da coluna de plasma a =0,18m, corrente do campo externo I e =4×106 A, corrente de plasma I P =7×104 A e fator de segurança na borda do plasma q ≈ 5. Os resultados obtidos com estes valores encontram-se normalizados, de forma que podem ser aplicados a outros tokamaks. Figura 1. Perfis radiais normalizados do fator de segurança. Na Fig. 1, podemos perceber que o perfil do fator de segurança também está relacionado à escolha do perfil de densidade de corrente toroidal Jϕ . No caso não-monotônico, há dois valores de rt relacionado ao mesmo fator de segurança. Veremos na seção 5 que os fenômenos de reconexão e bifurcação são conseqüência da não validade da teoria KAM nesta região não monotônica do fator de segurança (Roberto, 2004). 3. Campo Perturbativo Os campos magnéticos ressonantes são formados pela atuação de EHR, cujas helicidades são iguais às helicidades das linhas de força de campo magnético de equilíbrio que repousam sobre as superfícies que se deseja perturbar, conforme a Fig. 2. Figura 2. Esquema de um Enrolamento Helicoidal Ressonante. As linhas de força do campo magnético não apresentam um passo de enrolamento constante, sendo maior na região equatorial, mais afastada do eixo de simetria do toróide, do que na região mais próxima ao mesmo. Desta forma consideramos a seguinte lei de enrolamento para as hélices condutoras de corrente elétricas (Silva, 2000): ut = m0 θt + λ sen (θ t ) − n0ϕt = cte , (3.1) sendo que a não uniformidade está relacionada ao fator de modulação λ . O sistema de equações diferenciais ordinárias que descreve o traçado das linhas de força do campo magnético dado por B × dl = 0 , onde dl é um deslocamento ao longo da linha de força e B corresponde ao campo de equilíbrio. Desde que o campo de equilíbrio tem simetria em ϕt , isto representa, em termos da descrição Hamiltoniana para o traçado das linhas de campo, um sistema dinâmico integrável (Goldstein, 1980): Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , dΙ ∂H dϑ ∂H , . =− = (3.2) dt ∂ϑ dt ∂Ι Realizando-se a mudança de coordenadas ( rt ,θt , ϕt ) para as coordenadas ( Ι,ϑ ,t ) , temos a coordenada de ângulo dada por (Engelhardt, 1978): 1 sen (θt ) 1 θt Bϕ ( rt ,θt ) dθ = 2arctg ϑ ( rt ,θt ) = (3.3) , ∫ q( rt ) 0 Bθ Ω ( rt ) 1 + cos (θt ) onde o ângulo poloidal Ω é dado por: Ω ( rt ) = 1 − 2 rt R0' 1+ 2 rt R0' , e a coordenada de ação, definida em termos do fluxo magnético toroidal, é dada por: 2 1 1 1 − 1 − 4 rt , Ι ( rt ) = B ⋅ d σ = t ' 2π R0' 2 Bϕt ∫ 4 R0 onde d σ t = R0' rt drt dθt êϕ . (3.4) (3.5) Sendo que para esta mudança de coordenadas fazemos t = ϕt . Para as equações de Hamilton (eq. 3.2) obtemos por integração: 1 H0 (Ι) = ψ P (Ι) , (3.6) BT R0' 2 isto é, H 0 ( Ι ) é o fluxo poloidal normalizado. O campo magnético resultante sujeito a uma perturbação ressonante devido a uma hélice é dado por: B = B ( rt ) + BP ( rt , θt , ϕt ) , (3.7) onde o primeiro termo do lado direito representa o campo magnético de equilíbrio e o segundo termo representa o campo perturbativo. Ao considerarmos uma Hamiltoniana de perturbação H1 , verificamos que as componentes do campo de equilíbrio dependem de ψ P da mesma maneira que as componentes do campo de perturbação dependem do potencial vetor Aϕt , correspondente ao potencial magnético gerado pelas hélices, tal que BP = ∇ × AM . Logo a Hamiltoniana total do sistema é dada por (Silva, 2001): 1 1 H ( Ι , ϑ , t ) = H 0 ( Ι ) + H1 ( Ι , ϑ , t ) = ψ (Ι) + Aϕ t ( Ι, ϑ , t ) , '2 P BT R0 BT R0' 2 onde H1 << H 0 , sendo que somente a componente azimutal Aϕt do potencial vetor (3.8) AM permanece devido a simetria. O fato de um LME corresponder a uma estreita fatia de um EHR faz com que sua atuação se dê apenas durante um percurso toroidal l bastante curto, assim sua ação pode ser definida com funções δ na posição do LME. Logo a Hamiltoniana perturbada pela ação do limitador passa a ser dada por: +∞ 1 2π H1 = A (Ι, ϑ , t ) ∑ δ t − k (3.9) , ' 2 ϕt Nr BT R0 k =−∞ com k = 0,1, 2...N r − 1 , sendo o número de anéis limitadores distribuídos simetricamente na direção toroidal. Com isso a Hamiltoniana total do sistema é dada por: H ( Ι, ϑ , t ) = H 0 ( Ι ) + ε H1 ( Ι, ϑ , t ) , (3.10) sendo que o parâmetro de perturbação ε é dado por: Ih ε = 2 . (3.11) 2π R ' I 0 e As equações de Hamilton passam agora a ser escritas como: ∂H 0 ( Ι ) ∂ε H1 ( Ι, ϑ , ϕ t ) ∂H1 dΙ =− − = −ε , (3.12) d ϕt ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂H1 dϑ ∂H 0 ( Ι ) ∂ε H1 ( Ι, ϑ , ϕt ) 1 = + = +ε . d ϕt ∂Ι ∂Ι q (Ι) ∂Ι (3.13) Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , A Hamiltoniana local, que descreve o comportamento do sistema ao redor apenas de uma determinada ressonância, pode ser representada de forma idêntica àquela para um pêndulo não-linear. Desta forma podemos mapear as linhas de campo magnético através de Mapas de Poncaré. Uma seção de Poincaré registra os pontos oriundos da intersecção da trajetória com uma determinada superfície sempre que a trajetória cruza esta superfície num mesmo sentido. Embora os resultados sejam equivalentes aos de um mapa estroboscópico, estes são conceitualmente diferentes, pois na seção de Poincaré os intervalos de tempo entre pontos consecutivos podem não ser regulares. 4. Limitador Magnético Ergódico A idéia de um LME surgiu com os trabalhos originais de Karger e Lackner et al. (1977) e Engelhardt e Feneberg et al. (1978). O objetivo proposto para este dispositivo foi o de criar uma região de linhas de força caóticas na periferia da coluna de plasma, visando evitar a contaminação do plasma por impurezas. Assim obter-se-ia uma região com uma alta concentração de partículas e um alto coeficiente de difusão nesta região, visto que a concentração de impurezas no centro da coluna de plasma é proporcional ao fator 1 DP nP , onde D P e n P são, respectivamente, o coeficiente de difusão e da densidade do plasma na região de linhas caóticas de campo magnético próxima à parede da câmara. Evitando também o aquecimento excessivo e localizado dos componentes que compõem a parede interna da câmara de confinamento do tokamak. O LME possibilita o controle dos modos de oscilações MHD presentes no plasma. Esses modos podem ser atenuados ou induzidos dependendo da forma com que atuamos sobre eles com os anéis LMEs. De acordo com a Fig. 3, um anel LME corresponde a uma fatia do EHR de comprimento l , muito pequena quando comparada ao comprimento típico 2π R0' do percurso toroidal. Figura 3. Esquema de um Limitador Magnético Ergódico. Mapeamos as linhas de campo através de um modelo impulsivo para as equações de Hamilton (eqs. 3.12 e 3.13). As equações que produzem os Mapas de Poincaré são escritas como (Silva, 2001): ∂H1 Ι n +1 = Ι n − ε , (4.1) ∂ϑ ∂H1 2π ϑn +1 = ϑn + +ε . (4.2) q ( Ι n +1 ) N r ∂Ι Isto nos permitiu a utilizarmos a descrição Hamiltoniana na busca de um mapeamento estroboscópico para este dispositivo, simulando a atuação de N r = 4 anéis limitadores distribuídos simetricamente na direção toroidal. 5. Mapas de Poincaré Um sistema dinâmico pode ser descrito por um conjunto de equações diferenciais, que expressam a taxa de variação temporal das coordenadas de estado do sistema em função de seu valor presente. À medida que o sistema dinâmico evolui no tempo, ele ocupa uma série de posições em seu espaço de fase, que forma curvas contínuas a qual chamamos de trajetórias. O mapa destas trajetórias consiste em um conjunto de pontos que interceptam este espaço de fase. Para um sistema dinâmico com um grau de liberdade, cujo espaço de fase é bidimensional, como por exemplo, um pêndulo, o mapa resultante consiste numa linha reta, constituída por uma sequência de pontos sobre um plano. Denomina-se seção de Poincaré uma seção que registra pontos originários de uma intersecção da trajetória com uma determinada superfície em um mesmo sentido. A seção de Poincaré é uma maneira de reduzir o estudo de um sistema dinâmico num espaço de fases com n dimensões, construindo o chamado Mapa de Poincaré, que apresenta n − 1 dimensões. Portanto, o Mapa de Poincaré é uma seqüência de pontos nos quais as trajetórias interceptam a seção de Poincaré. Neste trabalho a coordenada ϕt desempenha o papel do tempo em um sistema dinâmico, logo o Mapa de Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , Poincaré será um espaço de fase Ιxϑ onde os valores destas coordenadas serão registrados em valores de ϕt = 0, 2π ,..., 2nπ . Desta forma, traçamos os Mapas de Poincaré para três correntes de perturbação I h em dois modos de perturbação, utilizando um conjunto de condições iniciais, fornecendo um grande número de possibilidades de evolução do sistema. Inicialmente, o modo de perturbação escolhido foi (4,1). Os valores dos parâmetros de equilíbrio foram γ = 0,8 ; β = 3, 0 e λ = 0, 45319 . Alteramos entre estes mapas, com modo de perturbação (4,1), somente a intensidade da corrente de perturbação I h , respectivamente, para 2%, 5% e 11% de I P , conforme mostrados nas Figs. 4, 5 e 6. Posteriormente, traçamos os mapas de Poincaré no modo de perturbação (5,1) para três correntes de perturbação I h . Os valores dos parâmetros de equilíbrio foram γ = 0,8 ; β = 3, 0 e λ = 0,5895 . Alteramos entre estes mapas, com modo de perturbação (5,1), somente a intensidade da corrente de perturbação I h , respectivamente, 2%, 5% e 11% de I P , conforme mostrados nas Figs. 7, 8 e 9. Os mapas estão representados em coordenadas canônicas (Ι, ϑ ) . Figura 4: Mapa de Poincaré com (m0 , n0 ) = (4,1). Figura 5. Mapa de Poincaré com (m0 , n0 ) = (4,1). I h = 2% de I P e Figura 7. Mapa de Poincaré com I h = 2% de I P e (m0 , n0 ) = (5,1). I h = 5% de I P e Figura 8. Mapa de Poincaré com I h = 5% de I P e (m0 , n0 ) = (5,1). Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , Figura 6. Mapa de Poincaré com (m0 , n0 ) = (4,1). I h = 11% de I P e Figura 9. Mapa de Poincaré com I h = 11% de I P e (m0 , n0 ) = (5,1). Observamos pela Figs. 4 e 7 que as cadeias de ilhas magnéticas se formam ao redor das regiões para as quais o fator de segurança é um número racional. As cadeias de ilhas primárias apresentam as maiores larguras e são decorrentes das ressonâncias entre os harmônicos do campo magnético de perturbação e o campo magnético de equilíbrio nas regiões em que o fator de segurança q é um número racional. As cadeias de ilhas intermediárias se formam entre as cadeias de ilhas primárias com q = m n e q = m' n ' ao redor da superfície magnética para a qual q = m + m' n + n' . As cadeias de ilhas secundárias se formam no interior de outras ilhas (primárias) em decorrência das ressonâncias dos harmônicos do campo magnético de perturbação em regiões onde o fator de segurança local (que mede o giro de uma linha de força com relação ao ponto elíptico no centro de uma ilha) apresenta valores racionais. O teorema KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) estabelece que sistemas multiplamente periódicos, obtidos por perturbações suficientemente pequenas de um sistema integrável, terão trajetórias sobre os toros invariantes dos respectivos sistemas integráveis, desde que as condições iniciais correspondam a freqüência suficientemente distantes das ressonâncias do sistema (Tabor, 1989). Esses toros invariantes são destruídos por perturbações suficientemente grandes. Entretanto, a ocorrência dos fenômenos de reconexão e bifurcação são conseqüência da não validade da teoria KAM na região não monotônica do fator de segurança. Ao analisar o perfil da densidade de corrente toroidal na Fig. 1, verificamos que há dois valores de J cujo , q = 4 1 devido à escolha do perfil do fator de segurança não-monotônico. Logo temos duas cadeias de quatro ilhas, conforme mostram as Figs. 4 até 9. Na região próxima à q = 5 1 o fator de segurança passa a ter localmente um comportamento monotônico, sendo assim teremos somente uma cadeia de cinco ilhas no mapa. Na região próxima à cadeia (5,1) a teoria KAM passa a valer devido à monoticidade local. Observamos na Fig. 5 o início da perda de estabilidade da superfície próxima à cadeia, que posteriormente foi totalmente destruída para uma elevada corrente de perturbação, conforme a Fig. 6. Observa-se pelas Figs. 8 e 9 que na camada (4,1) onde não ocorre a teoria KAM, ao aumentar o valor da corrente de perturbação, o tamanho das cadeias também aumenta havendo o início da destruição das camadas subseqüentes (Tabor, 1989). Analisando as Figs. 7 e 8, o efeito perturbativo produzido pelo campo magnético do LME se mostrou mais localizado no correspondente modo de perturbação. Notamos também, que à medida que intensificamos a corrente de perturbação I h , superfícies mais afastadas passam a fazer parte das cadeias inferiores. É importante ressaltar que as demais superfícies racionais originam cadeias de ilhas de pequenas dimensões, que muitas vezes não podem ser observadas na resolução destes mapas. Conforme as Figs. 10(a), 10(b) e 10(c), este aumento acontece até que o ponto mais baixo (alto) da cadeia superior (inferior), o qual é chamado de separatriz, esteja na mesma posição que o ponto hiperbólico da cadeia inferior (superior), eliminando as superfícies que separam as cadeias, caracterizando a reconexão das cadeias de ilhas (Roberto, 2004). Os pontos 1 e 3 são os pontos elípticos pertencentes, respectivamente, a cadeia superior e inferior. Já os pontos 2 e 4 são os pontos hiperbólicos pertencentes, respectivamente, a cadeia superior e inferior. O ponto 5 é o ponto mais baixo da cadeia superior e o ponto 6 é o mais alto da cadeia inferior. Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , Figura 10. Esquema representando as estrutura das cadeias de ilhas e dos pontos fixos (a) antes, (b) durante e (c) depois da reconexão, e (c) depois da bifurcação. O fenômeno de bifurcação ocorre ao aumentar a corrente de perturbação I h , sendo que os pontos hiperbólicos da cadeia superior se aproximam dos pontos elípticos da cadeia inferior, conforme observamos a tendência das cadeias (4,1) na Fig. 8. Na bifurcação estes pontos se unem, havendo completa destruição da cadeia inferior, conforme a Fig. 10(d). 6. Variedades Observações experimentais mostram que os padrões de deposição de fluxo de calor nas paredes do tokamak mostram estruturas semelhantes às obtidas através do estudo dos padrões de deposição das linhas de campo magnético (Jakubowski, 2004). O movimento das partículas ionizadas no plasma ocorre, principalmente, ao longo das linhas de campo magnético. Conseqüentemente, o processo de transporte de partículas e energia pode ser estudado através destas linhas. As técnicas utilizadas para analisar este sistema dinâmico não-linear através da representação das variedades foram: o método “sprinkler” (Kantz, 1985) e o método “saddle-straddle tripe” (Nusse, 1997). O método “sprinkler” obtém a variedade através de um conjunto de pontos iniciais ao redor do ponto hiperbólico, isto é, pela escolha de uma área ao redor deste ponto. O método “saddle-straddle tripe” calcula a variedade através de condições iniciais alinhadas na direção da variedade. Portanto os métodos se diferenciam pela escolha dos pontos iniciais. Entretanto o método “sprinkler” é mais rápido que o “saddle-straddle tripe” e fornece o mesmo resultado. Ao iterar um conjunto de condições iniciais, se estas convergirem para o mesmo ponto, este é chamado ponto fixo elíptico. Variando as condições iniciais pode-se mudar de um ponto fixo elíptico para outro. Enfatizamos este estudo nos pontos fixos hiperbólicos, caracterizados pelas variedades estáveis e instáveis. Um ponto de equilíbrio é instável se este ponto for originado de um cruzamento, onde o conjunto de condições iniciais ao redor deste ponto se aproxima ou se afasta do ponto após um número de iterações. Nos pontos fixos hiperbólicos, as trajetórias aproximamse da origem segundo uma das direções e afastam-se pela outra, como conseqüência, é sempre instável, conforme a Fig. 11. A variedade estável (instável) constitui um conjunto de pontos que quando iterados se aproximam do ponto fixo hiperbólico para n → ∞ (n → - ∞). Um conjunto de variedades é invariável no sentido que, uma vez determinada a sua condição inicial, a órbita de cada segmento pertencerá a este conjunto. Pontos homoclínicos e heteroclínicos são termos usados para descrever um cruzamento, respectivamente, entre as variedades que pertencem a um mesmo ponto fixo e a que pertencem a dois pontos fixos (Lichtenberg, 2002; Silva, 2006). O conjunto de pontos homoclínicos e heteroclínicos, obtidos pelo cruzamento, é a estrutura fundamental na qual uma órbita caótica se desenvolve. De acordo com a Fig. 11, as representações gráficas das variedades permitem compreender, quando comparada com a Fig. 4, a natureza da órbita caótica e de suas conseqüências no transporte de linhas de campo magnético. Para estas representações escolhemos um ponto fixo hiperbólico no meio da região caótica e representamos as variedades estáveis e instáveis que provém deste ponto. Uma condição inicial típica escolhida dentro desta região caótica produzirá uma trajetória que não coincide, exatamente, com as demais variedades. Entretanto, as trajetórias seguem aproximadamente as mesmas direções, sendo que as iterações para frente (para trás) produzem trajetórias arbitrariamente próximas de um trecho das variedades instáveis (estáveis). Acompanhando-se as variedades na Fig. 12(a), observamos o fenômeno de esticamento e dobra (Stretching and Folding) bastante comum nos sistemas caóticos conservativos (Lichtenberg, 2002). O efeito de esticamento é caracterizado pelo afastamento de pontos inicialmente próximos após uma pequena evolução toroidal. No entanto, as trajetórias também sofrem o mecanismo de dobra, que está associado ao aprisionamento de algumas linhas de campo magnético por regiões regulares (ilhas de estabilidade). Conforme a Fig. 12(b), este fenômeno é conseqüência do Teorema de Liouville, que diz respeito da conservação de áreas em sistemas integráveis e com perturbações de pequena Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , amplitude. Logo, se há conservação da área em regiões próximas às ilhas, deverá haver maior “esticamento” ao aproximar do ponto fixo hiperbólico. Figura 11. Variedades correspondentes ao Mapa de Poincaré 4 com I h = 2% de I P e (m0 , n0 ) = (4,1). Figura 13. Variedades correspondentes ao Mapa de Poincaré 7 com I h = 2% de I P e (m0 , n0 ) = (5,1). 14(b) 12(b) Figura 12(a). Variedades correspondentes ao Mapa de Poincaré 5 com I h = 5% de I P e (m0 , n0 ) = (4,1). Figura 14(a). Variedades correspondentes ao Mapa de Poincaré 8 com I h = 5% de I P e (m0 , n0 ) = (5,1). Figura 12(b). Ampliação da seção selecionada na Figura 12(a), representando a validade do Teorema de Liouville. Figura 14(b). Ampliação da seção selecionada na Figura 14(a), representando a perda de regularidade das variedades. Quando aplicada a corrente de perturbação de I h = 2% de I P , conforme a Fig. 13, as variedades apresentam um comportamento delineado pela formação da cadeia de ilhas. Podemos observar através da Fig. 7 que a trajetória das linhas de campo magnético na borda do plasma possui uma estrutura bem definida pelas variedades estáveis e instáveis associadas a cada ponto fixo hiperbólico. Observamos pela Fig. 14(a) que ao intensificar a corrente de perturbação, Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 , essas variedades atingem regiões caóticas (mar estocástico), em que há destruição das cadeias de ilhas perturbadas vistas na Fig. 8, e a regularidade das variedades é perdida, conforme a Fig. 14(b). A complexidade notada nas variedades é o motivo fundamental do comportamento caótico das linhas de campo magnético quando estas sofrem uma perturbação. 7. Conclusão Estudamos as linhas de campo magnético em tokamaks, geradas através de perturbações ressonantes de um LME. Tem-se particular interesse no estudo das linhas de campo que colidem com a parede da câmara de confinamento, já que as partículas acompanham as linhas de campo. Assim, pretende-se estudar o comportamento das linhas com o objetivo de se evitar a contaminação do plasma por impurezas e o aquecimento excessivo e localizado em tokamaks. Através das coordenadas polares toroidais, representamos corretamente os efeitos toroidais de um tokamak. Buscamos soluções para alta razão de aspecto. Devido a este sistema de coordenadas escolhido, as superfícies magnéticas não possuem simetria poloidal, apresentando o chamado deslocamento de Shafranov, que resulta na helicidade não constante das linhas de campo magnético e, conseqüentemente, do fator de segurança. Obtemos os Mapas de Poincaré através de uma função delta para a posição dos anéis limitadores e da formulação Hamiltoniana para o traçado das linhas de campo magnético. Traçamos os mapas para os modos (4,1) e (5,1) em diferentes intensidades de perturbação, e verificamos a formação e destruição das cadeias de ilhas magnéticas, e a não validade da Teoria KAM devido ao perfil da densidade de corrente toroidal não-monotônico. Posteriormente estudamos as variedades estáveis e instáveis associadas aos pontos fixos hiperbólicos, permitindo verificar a natureza caótica deste sistema dinâmico nãolinear. 3. Agradecimentos O presente trabalho foi realizado com apoio do CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – Brasil. 4. Lista de referências Engelhardt, W., Feneberg, W., 1978, “J. Nucl. Mater.”, vol.76/77, pp.518. Freidberg, J.P., 1987, “Ideal Magnetohydrodynamics”, Plenum Press, New York. Goldstein, H., 1980, “Classical Mechanics”, Reading, MA: Addison-Wesley, 2nd edition. Heller, M.V.A.P., Caldas, I. L., Ferreira, A. A., Saettone, E. A. O., Vannucci, A., Nascimento, I. C., 2005, “Czech J. Phys.”, vol.55, pp.265. Jakubowski, M.W., Abdullaev, S.S., Finken, K.H., 2004, “Nuclear Fusion”, vol.44, pp.S1-S11. Kantz, H., Grassberger, P., 1985, “Physica D”, v.17, pp.75. Karger, F., Lackner, K., 1977, “Phys. Lett. A”, vol.61(6), pp.385. Kucinski, M.Y., Caldas, I.L.; Monteiro, L.H.A., Okano, V. J. Plasma Phys., vol.44, pp.303-311, 1990. Kroetz, T., 2006, “Linhas de Campo Magnético Caóticas em Tokamaks”, Tese de mestrado, ITA, São José dos Campos. 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