Flutuações. Choques, Incerteza e a Escolha de - mit

Flutuações. Choques, Incerteza e a Escolha de Consumo/Poupança
Olivier Blanchard*
Abril de 2002
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*14.452. 2º Trimestre de 2002. Tópico 2.
14.452. 2º Trimestre de 2002
2
Quero iniciar com um modelo com dois ingredientes:
? Choques, portanto incerteza (a maior parte do que acontece é inesperada)
Choques naturais se quisermos ter bons tempos. Maus tempos: choques de produtividade.
? Escolha básica intertemporal: Consumo/poupança
Então, vamos pegar o familiar modelo de Rams ey, adicionar choques tecnológicos e, por implicação,
incerteza.
O modelo claramente não pode ir muito longe. Não há movimentos no emprego e há vários outros
problemas.
Mas é um bom ponto de partida. Choques/Mecanismos de propagação. A natureza da uniformização
do consumo. Co-movimento no consumo e investimento.
É uma estrutura simples para discutir vários assuntos conceituais e metodológicos básicos. Como
solucionar? Equivalência entre economia centralizada e descentralizada.
1
O problema de otimização
sujeito a:
Como pensar nesse sistema? Daremos mais tarde uma interpretação da economia descentralizada. Mas
é mais fácil solucionar desta maneira.
Separabilidade. Descontos exponenciais. Por quê? O que há em não-exponencial/hiperbólico, por
exemplo.
Expectativa com base nas informações no tempo t.
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Não há crescimento. Se quisessemos crescer, gostaríamos de um caminho equilibrado, como o
progresso neutro de Harrod. Zt F(Kt ,At N). É possível pensar em todas as variáveis divididas por At (veja a
apostila de Thomas).
2
Derivando as condições de primeira ordem
A maneira mais fácil de se derivá-las é da maneira antiga. Multiplicadores de Lagrange. Coloque os dois
fatores limitadores juntos. Associe ßt ?t com o fator limitador no tempo t. (Por que fazer isso? Por
conveniência: para obter o valor marginal do capital no tempo t + j, não do tempo t):
Assim, as Condições de Primeira Ordem são dadas por:
Defina
. E use o fato de que Ct , ?t são conhecidos no tempo t para
conseguir:
Interpretação
? A utilidade marginal do consumo deve ser igual ao valor marginal do capital (riqueza).
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? O valor marginal do capital deve ser igual ao valor esperado do valor marginal do capital de
amanhã vezes o retorno bruto esperado sobre o capital, vezes o fator de desconto subjetivo.
Ou, mesclando os dois:
Essa é a condição de Keynes-Ramsey: Uniformização e inclinação. Para ver com mais clareza, use a
função de elasticidade constante (que, no contexto de incerteza, também corresponde com a função CRRA):
Então:
Ou, como Ct é conhecido no tempo t:
É possível brincar bastante com essa fórmula, e isso é o que é feito em finanças. Mas, por causa da
intuição, ignore toda a incerteza:
1
2
, como
, então
Interpretação.
3
Os efeitos dos choques. Usando as CPOs e a intuição
Veja o estado estacionário não estocástico, Z ? 1:
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Essa é a Regra de Ouro modificada
? Leve em consideração um outro turno permanente em F (.,.). Não é muito realista, mas útil.
Nenhuma alteração no estado estacionário. Nenhuma alteração em FK para um determinado K,
portanto não há inclinação. O consumo aumenta um a um com o choque.
? Leve em consideração um choque multiplicativo permanente. Z vai para cima permanentemente.
Então, no novo estado estacionário, K: é mais alto. Investimento positivo. Portanto, C deve
aumentar menos de ZF(K,1). É possível que C desça? Sim, se s for alto suficiente. Por quê?
Uniformização: para cima. Inclinação: para baixo.
? Por que transitório? C sobe menos. Portanto, menos investimento, mas por menos tempo.
Resumindo:
choques
positivos
para
a
tecnologia.
Aumento
do
investimento.
Consumo:
provavelmente, mas não necessariamente. Até agora, consegue se encaixar nos fatos básicos.
E os outros choques? Vamos supor uma alteração no fator de desconto. ß desce: como o futuro, menos
(problemas mais profundos de incerteza na taxa de desconto). O que ele faria?
Iria inclinar o caminho de consumo em direção ao consumo corrente. Assim, o consumo atual
aumentaria. Mas, como a produção não foi alterada, o investimento diminuiria. Claramente robusto. Não são
boas notícias para choques de gostos nesta classe de modelos.
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O efeito dos choques. Resolvendo o modelo realmente
A resolução do modelo é difícil. São várias abordagens.
? Ignore a incerteza, vá para o tempo contínuo e use um diagrama de fases.
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? Log-linearize e obtenha uma solução explícita (numérica ou analiticamente).
? Ajuste-o como um problema de programação dinâmica estocástico e solucione-o numericamente.
? Encontre casos especiais que são solucionados explicitamente.
4.1
Tempo contínuo, ignorando a incerteza
Prepare o modelo em tempo contínuo. BF, Capítulo 2. É difícil de lidar com a incerteza, portanto presuma
que as pessoas agem como se tivessem certeza.
Depois é possível usar um diagrama de fases para caracterizar os efeitos dinâmicos dos choques.
Muitas vezes é útil.
Assuma que
está sujeito a;
Depois CPO de Keynes-Ramsey:
É possível representar esse sistema diferencial em um diagrama de fases. Caso isso seja feito, depois
para mostrar a solução é um ponto sela. Dado K, determine o valor de C.
Nesse sistema, mostre o efeito de um aumento permanente (inesperado) em Z. Mostrar se C sobe ou
desce é ambíguo e depende de s.
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4.2
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Log-linearização
Olhe o sistema composto pela CPO e pela equação de acumulação. Pense nisso como um sistema de
diferença não linear:
Consumo Ct depende de Kt+1 e Ct+1 .
Capital Kt+1 depende de Kt e Ct .
O aspecto não linear torna a solução difícil. Se for linearizado, ou log-linearizado, então tudo será
muito mais fácil (é possível intervir na expectativa e na soma). Por que log-linearizar e não apenas
linearizar? Pela mesma razão que as elasticidades são cada vez mais úteis que as derivadas (veja Campbell
para uma derivação detalhada).
Assim, a log-linearização ao redor do estado estacionário fornece:
onde as letras pequenas denotam desvios proporcionais do estado estacionário.
(Como derivar essas relações? Diferencie totalmente cada equação. Em seguida, multiplique e divida
as derivadas para obter as elasticidades. Por exemplo, pegue a equação de Euler:
Divida os dois lados por U1 e use ßR = 1 para obter
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e use 1/s = –U"C/U' para obter a expressão acima).
Depois, ao substituirmos Ert+1 pela segunda expressão e substituir k t+1 por seu valor a partir da terceira
expressão, obteremos um sistema linear em ct , ct+1 , k t+1 , k t e zt .
Esse sistema de diferença pode ser solucionado de várias maneiras. Coeficientes indeterminados. Se
você tiver que supor:
1 linear em
Ou solucionar explicitamente, usando a álgebra da matriz: BK, ou algum dos métodos de BF (veja a
apostila e o programa Matlab escrito por Thomas Philippon (RBC.m)).
Assuma também que estamos tentando assumir um processo para zt . Por exemplo:
Então, todas as expectativas do futuro dependem apenas de zt . Assim, o consumo é determinado por:
1 linear em
Regra de consumo: O consumo depende de k t e zt . Isso nos leva à programação dinâmica estocástica.
4.3
Programação dinâmica estocástica
Se estivermos dispostos a assumir um processo específico para zt , podemos então usar SDP.
Vamos supor, por exemplo, que Zt siga um processo de Markov. De modo que tudo que precisamos
saber para prever os valores futuros de Z é Zt . Então o valor do programa depende apenas de Kt e Zt . (Por
quê?)
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Então, escreva isso como V (Kt , Zt ):
sujeito a:
O insight do SDP é que podemos reescrever esse problema de horizonte infinito como um problema de
dois períodos:
sujeito a
Se conhecêssemos a forma da função de valor, isso seria então bastante direto. Obteríamos a regra:
Obviamente nós não conhecemos a função de valor. Mas isso é fácil de ser derivado numericamente:
? Comece com qualquer função V (.,.), chame de V0 (.,.).
? Use-a como a função do lado direito. Solucione para C0 (.,.).
? Solucione para o V1 (.,.) implicado do lado esquerdo.
? Use V1 (.,.) do lado direito, derive C1 (.,.) e reitere.
Em condições gerais, isso convergirá para a função de valor e a regra de consumo ideal. Vários
problemas numéricos. É necessária uma grade para K, Z. Mas conceitualmente direto (sobre isso, leia
Ljungqvist e Sargent, Capítulos 2 e 3).
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Se fizer isso (veja o exercício de Matlab DP.m escrito por Thomas), depois será possível derivar a
superfície de consumo como uma função de K, Z. Pode-se ver como C se move com Z para os valores
diferentes de s e verificar nossa intuição do diagrama de fases.
4.4
Casos especiais
Finalmente, é possível descobrir casos especiais que têm uma solução implícita. Para esse modelo, um caso
especial bastante conhecido e examinado é (veja BF, Capítulo 7, ou LS, Capítulo 2):
(Depreciação completa)
A última suposição é claramente a menos palatável. Sob essas suposições (não precisamos especificar
o processo para Zt ):
Um choque positivo afeta o investimento e o consumo da mesma maneira. Ambos aumentam em
proporção ao choque.
Um atalho ainda mais drástico é simplesmente desistir da estrutura de horizonte infinito e pensar como
um problema de otimização de dois períodos. Muitas vezes esse é um passo bastante útil e proporciona boa
parte da intuição.
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A economia descentralizada
Até o momento, analisamos um problema de planejamento central. Mas, dadas as suposições, há um
equilíbrio competitivo que o replica.
É útil olhar para a economia descentralizada, com vários consumidores/trabalhadores idênticos. Há
muitas firmas idênticas.
Há várias maneiras de descrever a poupança. As firmas podem comprar e manter o capital, ou alugá-lo
dos consumidores. Eles podem financiar a si próprios por débito, ou patrimônio, e assim por diante. Aqui,
assumimos que todo o capital é mantido pelos consumidores, que o aluga para as firmas.
Os mercados de bens, trabalho e serviços do capital são competitivos. As firmas alugam trabalho e
serviços do capital no mercado de trabalho e capital.
Consumidores
? Cada um tem as mesmas preferências acima.
? Cada um fornece uma unidade de trabalho inelasticamente em um mercado de trabalho
competitivo, com o salário Wt .
? Cada um pode economizar ao acumular capital. O capital é alugado para firmas todos os períodos
em um mercado competitivo para serviços de aluguel, na taxa líquida de aluguel (taxa de aluguel
líquida de depreciação) rt ,
? Cada um possui uma parcela igual de todas as firmas na poupança. Entretanto, como a firma opera
com retornos constantes, os lucros são zero, portanto podemos ignorar isso.
? A restrição orçamentária dos consumidores é, portanto, dada por:
? Portanto a condição de primeira ordem é:
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Firmas
? As firmas têm a mesma tecnologia acima, ou seja, Zt F (Kt , Nt ).
? Elas alugam trabalho e capital. O lucro é, portanto, dado por
O último termo em parênteses é a taxa de aluguel bruta.
? Elas maximizam o valor presente dos lucros, descontado da taxa de juros. Portanto:
? A maximização do lucro implica:
Finalmente, o equilíbrio do mercado de trabalho implica
Agora, é importante mostrar que o equilíbrio é o mesmo que no problema de planejamento central:
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Usando a relação entre taxa de aluguel e produto marginal de capital e substituindo nas condições de
primeira ordem:
Usando as expressões para o salário e a taxa de aluguel na restrição orçamentária dos consumidores,
temos:
Ou
O que aprendemos disso? Dê uma interpretação diferente. Pense nos consumidores depois de um
choque positivo a Zt . Eles prevêem salários mais altos, mas também taxas de juros mais altas. O que eles
fazem?
Sabemos que não podemos tipicamente resolver o consumo (não podíamos antes, não podemos agora).
Mas, novamente, podemos "colar" de casos anteriores ou considerarmos casos especiais.
Por exemplo: ignore a incerteza, assuma um log e mostre (nas linhas de BF, p50) que:
onde
Assim, os consumidores analisam a riqueza humana, o valor presente dos salários, e não a riqueza
humana, capital. Eles então consomem uma fração constante dessa riqueza total. Tudo que eles não
consumirem, eles economizam.
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Agora pense novamente sobre os efeitos de um choque tecnológico. Quais são os efeitos no trabalho?