CAP.11-Leis de kirchhoff

I
i n'rRoDUÇÀo
i. as LEÌs
Dx{rRcHHoFF
]i, POTENCÌOMETRO
DE?OCGENDOPJF
.f
'll:Ettudamos,nestecapítulo,as leisde Kifchhoff,pelas
quait se determinamas intensidadesdãs correntes
elétricasem.ircuitos que não podem ser reduzidosa
circuitossimples.Estudamostambém o potenciómetro
de Poggendo'Jf,um aparelhoque se prestaã determinar
a fem de um gefádoi Na foto, vemosum circuitotípico
para apli<aÍãodar leir de Kirchhoff.
E t.Introdução
A lei de PouilletpermitedeteÍminara Ìntensìdade
de corÍentenurn circuitosimples.Quando o
circuitonão pode serreduzidoa um cÌrcuitosimples,paraa determinação
de todasas intensidades
de
correnteelétÍicarecoÍrese àschamadasleisde Kir(hhoff*:lei dos nos e lei dâs malhas-
B z.nt leisdeKirchhoff
de doisgeradoConsidere
uma rede elétricaconstituída
fes (E, f) e (É,, r,), de um feceptor (É3,t) e de resistoresde
resistêncìas
elétficasR,, Rre R. (figurâ 1).
Numa rede elétricachama-senó o ponto no qual a
cofrenteelétricase divide.No exemplodado, B e E são nós.
Os trechosde circuitoentfe dois nós consecutivos
são deramos
nomÌnadosramos,Na redeelétricadada,os
sãotrês:
BAFE,
BEe BCDE.
Qua queÍ conjuntode ramosÍormandoum percursofechadorecebeo nornede malha, No circuitoem questãoas
malhassão:.48fFA,ECDEB
e ABCDEFA.
A cadaraÍìo do circuÌtoatribuímos
um sentidode corrente elétÍica(fÌgura2). EssesentÌdo,embora afbìtrário,deve ser
coerente
com o elementode circuitodo ramo,Sendogefador,
a correnteentra pelo terrfina negativoe, sendoreceptoÍ,
pelopositivo.
A primeiralei de Kirchhoffou lei dos nós estabelece:
Em um nó, a soma das intensidadesde corrente
que chegamé igualà somadasintensidades
de correnteque
5aem.
*
l
' l,
Figurã r. Redeelétrica.
1(rR,
-:+
'2
-ll
,li
FJ
FRLt)
Figurà 2.
Kln cHHo FF,Cuí av Rober t ( 13241337) , f G c oaeh ã o q u e a p r e 3 e ô 1 o u i m p ô n a n t ê s c o n t r b ! i ç õ e 5 p a r à ã F ú . à
problÊnàs
numerosoi
tis.os,.omo,pôr€x€mpo,o.álculo
expeÍihenta,alémdedàrtatatreôtoffatemáticoa
dad Írbu cáode.orenÌese éÍica5enc Í.u tose éÍi.os.
.,238
ôÂ F í.a
05 FuNoÀüENÌós
A lei dos nós aplìcada
ao nó I fornece:rt + t = lr O
Observeque essaleiaplicadaao nó [ levaà equaçãoO.
De um modogeral,sendon o númerode nós,a lei deve5eÍaplicadapara(n - I ) nós.Paraa determinação
de rr,t e I faltamduas
(Íigura
equações.
Considere,
então,a malhaÁ8fF,4
3) e sejamyÀ y&
yEe yf os potencìais
elétricos
dospontos,4,8, É e t respectìvamente.
Percorrendo
a malhano sentìdohoráÍio(ü), por exemplo/vem:
EíD
EI
..
ó
VÁ- V s+V B -V L+V E V F+V F V Á = O
U as+UB Í+Uú+ UFA :0 @
O resultadoO constituia segundalei de Kirchhoffou lei das
matnâs:
Figurà3.
t
Paraa aplicação
da lei dasmalhasobserveque num resistor
a ddp é do tipo :l:R. l, valendo o sinal
+ se o sentidoda corÍentecoincidecom o sentidodo percursoadotadoe o sinal no caso contlário
(íigura4):
B
."__-.,_-.,- _/Ì/Í\r'"--..,'.,'-'._'--.
--Ì,,
v,
..
--
i;ã,,.;
.- - ..-
FlguÌâ4.
a
PaÍa as fem e fcem vale o sinal de entrada no sentido do percurso adotado (figura 5):
A
;;;r n
;
.+
B
Á+B
;;-
1f
n
È", *,o q
-
FiguÌô 5.
Assim,na malhaÁ8[f/4,a partìrde Á e no sentidodo percurso
cí (fìgura6), temos:
rz.iz+
Er+
Rr+
rr.
ir:
0
. \
@
\.it
NoendeÌeço
elêtrônicohttp://
$/ww.vestibulandoweb.coìn.brl
sinulajava/javtktÍchz/irdex.httnÌ
voccencontra ì
laeso en z7z7aoo4,
a!ücaçõês
dãsleìsdeKiÌchhoff.
)
FiguÌà6.
Na malha8CDÉ4a partirde C e no sentidodo p€ÍcursoB,temos:
E r+\.\
E,+ rz . rr+ 8 3 . / j= 0
@
Dasexpressões
podemos
determinarasintensidades
dascorrentes
O, @ e @,
elétícas,r, rze t em
todosos ramosdo circuÌto.
CÁnÌuo n
. As trE DEKR.HHo+
2t9 "
ffi._ffi&
'ffi
umaredede.listribuição
o
'"p.""entã
que constãde:
de""qu"..
ênergiâelétrica
. gerãdores GÌ e G, de lem tÌ : t, : 20 V e
ÌesistênciasinternasrÌ : t:0,5 Q
. motor M de fcem4 : 6 V e resistênciainterna
. resistores de Ìesistências,4, = Ã, = 0,5 o,
 3. = 3ll e à 4 = l o
Determineas tntensÌdadesdâs correnteselétrica êm cãdãrmo do circüito.
t
Iniciâlmenteatribuimosacadâ rmo do circuito
um sentidode corrente.
. PÌimeiralei de KirchhoÍfou Ìei dos nós
NóA : i1+ Ì ; = i ì O
. Segündalel de KlÍchhoftou lêl dâs mâlhâs
Malhâ ÁBtÍi{ (a pârÌú de À e no sentido s):
0,5O
\'\vú
Á
i-----
l rÌ
o,,nffo
ì'
ì
0,5iÌ 0,5i, + 20 - 0,5i?+ liì - 20 + 0.5tÌ= 0
2iì - i, : 0 @
B
:ovi
l
j+
0 , 5( )
20V Ì
Mâlha BCDTA(a petir de A e no sentido Íj):
3Ì 3+ 6+ u3 + 0 ,5 i ' 2 0 + 0 ,5 1 2 =0
4i3+ i' - 14= 0
o
Dasexpressões
o, @ e @, obtivemoso sistema:
{ ï:':.r'É,
a resoruçâo
sistemâ r.--",
desse
-"
=,
a
€
ì , a,ì: rAì " [,::3Àì
6=
Seo vaÌorde umacorrenteelétrica resultar negativo,significaqueosentido ãdotâdonâo é o coÍrêtu.
Ì{ffi
earaoFecnode cncuitoda6suhcalculeaddp:
â) entÍeos pontos,4e a (yl Y,);
b) entr€ os ponros C e a (Y. - Y,).
,4
Í
.
10v
l F ].^ &
o..o
.
/r\' .
o
)" /
1.-v/"
+o . o
_
.
.v
,to
tv
l
vv.,
r\ o
2v
l
. /..
o,n \
i =3 4
a) Parao cálculoda ddp entre dois pontosÁ eB de um tfecho de ctrcuito,escoÌhemosum sentidoü de per
cursoe efetuãmosasômaalgébricadasddpsdetodos os elementosdo trecho.Àdotândoa no sentidode,4
paraã, caÌculãmosyr - y,. LembFse, ainda,de que para6 femse fcemsvàìeô sinãìdeenhãdanô seniido
do percursoadotado.Paraos resistoresâ ddp é 1R.1, valendoo sinâl + se o s€ntidode i coincidecom o
deoe o sinaÌ no casocontrário,
.24D
DÁFÈ.a
Os FUNDÂMrNÌos
1oY
2V
2Q
*a:ï'-Xt$'u
^'-,Ë-Jl8
----\
_'--
yi - y,= -10+ 0,5.3+2.3 +2 +0,5 3
"
1-
R
!I
'--
Ë
H
b) Àdotândo-seosentidôde percursoF de CpdaB, calcuY.
Yj -
0 ,5 .3
2
lV
,.ô
2V
,. 'rl^;É-í,ü,
.lO
1 ,5 .3 + 3 -4 .3
----'i
^r.
i,,,5
1rj
= A
-c
o
vc- vb: -t7v
-;
Relpüta: ã) 1V; b)
17V
t
ffiffie
m
Parao ciÌcuito da fisura,dete.mineâs intensidâdes.lâs cor
renteselétricâsen todos os râmos.
-
I
ì
B
+l
-i'l!
?
No ciÍcuito dado,determinea dileÌençade potenclal4
ve
3
E
a\
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Ã
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àio
I
- a,,u
lr5 o
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3,nì \'.
i.!
l
f,= l 2v
r = 0,5O
V'\/,rr
-
t
=,on
--i --B
3
€
(El"i.MG) A" duu" baierias do circuito, associadasem pdãlêlo,
alimentamìo amperÍmeto A ideãI,â ìâmpadâde incandescênciâde resistênciaAe o resistorde resistência1 O, todos
em série.Seo âmpeÍímetroregistra4 À, calcule:
4!)
rf!\M--
TllY
.!
ã ro o
ffi
l 4V
|l
2rì
\itÂ,r-
---------rÀwr--
lf
----
r, = 10V L
l
lt
rÂ\ ,--'
â) as intensidâdesdecorrenteiÌ e ü na bateridi
b) a resistênciâelétricaR da lânpãdã-
L-#-:--_--s.
I
l
(TEISP)No clrcuito dâ âgürã, â intensidade de corrente i1vale
e&.
0,2A. Derermine
',,,3
ffieaao
trectrooe circuito dadoabaixo,câlculea ddp entreos pontos:
a) AeB(u^ vB)
b) CeB(vc vò
5V
3V
4V
.
G \,\\..1 !/
l i .-1 ts \/ ,..1t
o
oco
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CÁPlÌuro1r. A5 truDÊKn.HBô*
\//,{
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.6V
l Ë ^\/.
oca
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]V
a
v.\i /- | .w \
4Q
05o ,l\
241.
No üecho de cncuitodafieüra,sabesequeaddp
entreos pontos.4eBé nulê.Calculeâsjntensidades dãs correntês4ê !.
m
(tIrPD Calculeo potencialelétricono pontoÁ,
em volts,conside.andoqueõ bateri6 têm resis
tènciasìntêrnasdespÌezÍveise que o potencial
no pontoB é iguâlâ 15volrs.
m
r o o ]:v .oa . _oa 8ov
, P\..v
:t
í\\' .-Ì v/r
r_..
i, = 2,04
i,
,rl=e,oo
ví
ittl
,," ,_ _ .j u n u
ï
.D
2,0rì
I
t
@ 3.potenciômetro
de poggendorff
fusim como a pontede Wheatstone
serveparamedh resistências
elétricas,
o potenciômetrode
Poggendorff*é usadoparamedir,com p.ecisão,
a forçaeletromotriz
de um gerador.
O potenciômetro
de Poggendorff
é um circuitoque obedeceao esquema
da figura7, baseando-se
naassociação
em paralelode geradores
defemsdiferentes.
O usodo potenciômetro
comoaparelhod€
precisão
deve-se
à existência
de pilhas-padrão,
cujasfemssãopeíeitamenteconhecidas.
Essecìrcuito
permitecomparar
a fem E de umapilhadesconhecida
coma femEph"de umapilha-padrão.
a
;-B.Lã-:l
-
Pl
-- .,ú ----
l E ,' ì
.-Ì
t
,l
I
j
Ë
€
.li:-,--'-
E
Figu.a 7. Potenciômetro
dê Poggendorff.
p
Entre,4e Etemosum fio homogêneo
de seçãotransv€rsal
constante,
Umabaterìade acumuladores
de fem Emaiordo que [oih"e f, forneceenergiaao circuito.
Utilizando-se,
de início,a pilha-padrão,
exìsteparao cursorumaposìçãoC em que nào passãcorrenteoelaoilha:
l l !' :u l
t.
i;
e
N€ssas
condições,
o potenciômetroé <onsiderado
em equilíbíio.ComoR/.é a resistência
elétrica
do ramo,4Ce i, a correnteque a bateriamantémno circuitorestante,
pelaleideOhmtemos:
fph" = R/ . . i o
pelapilhacujafem 4 se quer medir,o equilíbdodo potenciômetro
Ìrocando-sea pilha-padrão
se
realizará
quandoo cursorfor levadoa umanovaposiçãoC' de Á8tal que o ampefímetro
novamente
indiquezero.ComoRrc,é a resistêncìa
elétricado ramo,4Ce a bâterìamantéma mesmacoffenteI no
clrcuitorestante,
temos,
,., ,
,,:
^n
l+ POGGENDORFF,
JohannChrÈtlân(r796 1377),
fGi.ô alemãoqu€,bâseaidos€nã a$ociacáoen Darãlelo
de
q€ÍãdoÍês
paraa medÌçáo
defemsdiferenÌes,
Ìdeaiizou
um métodoprecÌso
de umaforçâêletromorrÌz.
Reall:ou,
também,tÍahalhor€mópt
ca,<omo
o métodopaÌaamediçáodeângu
ospêquenos.
.242
Os FuNoaMlNÌos
oÁFsca
Dividindo-se
O por O, temos:
@
Como as resistêncìas
dos Íamos ÁC e Ì4C'são diretamente proporcìonaisaos respectivoscomprìmentos, escÍevemoS:
Dessãigualdadepode-sedeterminar,com precisão,o valor da fem É".
. rt,E
.È:Í.tt!t No ciÍcúito.o 60.18é hoÌnogêneo,
.ìe seçãotransversaÌ
coDstanre.
?l c4
Acorrente que atravessao anperíúetfo Aj é nulã pâra
quandoâ ddp entre,,1etsé2.5V
F
' .
A i-----------Ì----+,
l-
b) Seo anÌperinetroA: ìndica0.5A. câìculeaiem''
j
a) Comoo no ,1, é homogêneoe de seçãotrâ.sversâlconstanie,
1(
R.
4
R,
R,,
ÀB
R,,
5
=
pelalêi
t,
deohm:
SeArindicazero.temsear:.
e,
i,
J a" = n . - L i = Ã , ._
u. Rú I u,,:o,,.,.
!
5
t.
c
,.t
t
-
",
"
-.8
.À.',
ì,
!
lr *,
Cr
I
0,,= t,
t_aìl
b) Sendo a indicação de41 0,5 A. pelaequaçãodo gè.âdor.temos:
!
r]ì
,
','
..r',rr:
i
1.
2.5
tr
[-ì\ì
Resposta:a) 2 vi b) 3 V
No circuìto dado, os gefad.rrestêú resistênciâsnÌtenÌâsdespÌeziveise,4B é um no hoDÌogêneode seção
transveÌsalconstârte.Sãb+seque ô âmperimeboA não i'rdicapássagem
de coÌrentenumaposição,t.taì que
u r = 'f
/:
carcure
d rP m
f= l ov
r+
,4 .---,--' --- --.---
t
- --------' --i B
iA i
rlr
l
E
CaPirulorr . As trs DEff.HHotr
24' "
E
&
ffia
ffi
a) Determineo valor dã corente iÌ pea r : 0 s.
b) Determine o instante t em que a corrente iÌ é
Considerc o circuito abaixo. Determin€ ãs intên
sidad$ das correntes€léricãs iÌ, L e ij.
c) Numafolha de papelquadriculadoreproduza
â figuraàbãúo.En seguldâ,tÍãce â cuNa que
repÍesentaa conente iÌ em iunçãodo tempo
t, no intervâlo de 0 ã 100s. Utilize os eixos
dâ lìguÌa indicando cìaramenteâ escalada
corrente em âmpère (A).
t
Determine a potência eléÌrica dissipada no .esistor de 3,0Odo circuito esquematizado.
rè
!
ffi
(EEM-SP)
No
"i.",ito
sâodados:
,: Iorçaeletromotrizde cadagerador: 12,0V
r: resistênciainternade cadagerado.: 1,00Í)
Â: resistênciade cadano condutor:3,00 í)
O Determineo vaÌor da potência PoÍ recebida ou
IomecidapeÌâbateÍiâA no instantet:90 s.
@
3
iru"est-Sr) co""idere o circuito da figura, en
!
quet: 10V eR = 1.000
'r.
a
€
.t
E
&
B
Determinea intensidadee o sentidode corrente
elét.icaque perconeo tÌecho 2-5.
m*
7
GuveslsP)No circuitomostadonã figurâ
abaixo.os três resistorêstêm vâlorcsfÌ = 2 O,
Â,:20O eìR3:5O. À bateriaB tem tensáoconstate de 12V À correnieiÌ éconsideEdapositiva
no sentido indicado. Entre os instmtes Í = 0 s e
r: i00 s, o geradorG lomece umatensãovariável v: 0,5.(vem volts e ren segundos).
a) QuaÌ a leiturâ do ãmperimétrô A?
b) Quâì a leiturâ do voÌtimetro V?
(Considseo ãmp*Ímetro eovoltinetrc ideâis.)
m
Determine a dile.ença de potencial entre os pontos ,4 e A do circuito dã Êgura.
12v
.2.4
05 FUNDÁMrNÌos
DÁFk cÀ
ffi
,
s
{UnrD I ng".. itu.tÍâo dispositìvousadopara
mediÍ â IoÍçâeletromotdzde um geradorNêle,
uú gêradorde forçaeletrcmotriziguala Ì2 Ve
reistênciâ internaiguala I !) é ligadôã um no
. oldulo r o h m :.oÁ3 .d p .u m t' i rê rl ôl . ' ê\;o
unilorme,e rcsistênciatotalRr = 5 O.
O pólo negativo do gerador,de lorçâ eletro
motrizt desconhecida,
é ligadoà eltremidade
B do condutor Em série côm essegeradorhá
um amperímetroideal.Aèttrmidade Cpodeser
ligadaa qualqueÍpôntô do condutorentreas extrêúidãdes,4e A.
ë,
que, qúãndoâ dtÍemidade Cé coìocadaa umâ distanciadeÁ icual a
Por tentativas,verifrca-se
de,aa, a
ì
t
intensidadedacorrenteque passapeÌoampeÍímetrotornase nüla.Calculeã forçã eìebomotriz
''
flììritffig
Ounèsp) O amperimetroA indicadono cir.uito
é ideál,isto é, tem resistênciapraticãúentenulaOs Êosde ligâçãotêmrcsistêúciadèsprezivel.
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Quâis são$ correntes ir, Ì;e!: (em nódulo)?
a)
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4
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riÍi
E
r ,:
A intensidade da coÍrcnte eìéüìcâ indicada no
e ) i :5 À
if.;-',l{Ì;i(Nlo"t
sel ro trecho de circuito elétrico
s ê Ìe rsJo sáo
m nr r r"n,i"
J d oa b d i x o .o s g Êra c o re d
.B
----,,-
A ddp enhe ôs termnÌâisÁ e B é:
â)3v
í-\Sì
I
e) ev
c) 7V
o 8v
b) 5v
Cv..""pl tlo
r/ìjvÌ
"i l
n
ËE
O6í}
ê)3ç)
resistoresôhmicos,sen-
o 6.0v
: 24v,', = 12v e
Ì_,,,___ ì
R /i ,
ì
c) 4cl
"iúcoÃr 3,0 O e um resistor
do quat.o resistores
R, = 6,0o e três bâteriãsideais.
sendorl = 6,0v
e4:4=
12V consi derddoqueessesel e m en'
tos lossem arrãnjadosconlorme o ci.cuito dâ
Agurâã seguir,dsinãle â alternativa que indicâ o
vâÌor correto pârâ â dilsença de potencial entÍe
os pontos,4eB [yl,ou (yl - Y,)]:
e) l ov
â) 3,0V
c) 10v
b) 3,0v
,R= 6,0().' "i."'ito.Ìado:4
I
b)5c!
lt-:liì,ï!i.ü-i
Cuor--rntouoo"
lv
i"
i
t
*,n
No circuitô ã.imã, o gèrâdore o rcceptor são ideais
e ãs côÍrentestêm os sentidosindicados,Se â
ìntensidâdedacorrenterÌ é5A, entãoo valoÍ dâ
resistênciadô r*istorR é:
a)8c)
'u"l
lou
tì
.) i = 34
lo
l.
ã.u
oi=4À
2l)
2
2
i:Í.rii!i*.ttu."t"'"i*sn
b0v ) ô
r ' 11^
rl
a) t : 14
iÀ)
'. 4
l
R :t,
'
i i -l
CÀPÌuror.
A str E DEI RcHHo tr
24r.
iÌf.i{s.i.1i
rv,'""p) u-
cüjâresìstêncìa
inÌema
""ti.erro,
é muito grânde,
é usadopah medir â dìferença
potencial
de
ent.e os pontos,4 e A dô ci.cuito
mostrâdona frgu.a,Devemosesperârque â Ieìâ) 9V
b)0 V
c) 6v
O2 V
e) 3V
.rii,"- :[
Qual a diÌerençade potencìal entre os pontos
C eB Ì
â) 4V
b) 6v
c) l ov
l2 v
l.-fffi!
o 16v
6-rn.vq ro c;c'ito elétricomostrâdoabãixo,
Í
e) Denhumdos vâìoresanterioÍes
as resistência RÌ, F2,Ã1eÃ, são iguais.
Nocircuuooa ngurâ,quândoa Ìigãçàodo cuÍsor
i-ni-3j$,-gj
móvel se taz no pôntoX, taìqueÂY: 80 cü, o
âhperimetro A não acüsapassagemde coÍrente. O fio ,44 é homogêneode seção rransver
sãl constânte e tem 100 cm dê compÌimento.
As resistênciâs dos geradorcs e dos fios de liga
çào sãodesprezíveis.
Dobrandcseo váÌor dâ resistência,qì,a tensão
U# entreos pontosÁ eB, eú móduloe em rclâção à tensãol/ÌÍ seráde:
. I .,
a)
t
u"'
b)-.U,,
- l
.
I
dì-.u.
i .,.-.nr,.
-l
Considere3 segui.tesafrrmâçôes:
I. À diversaspútes docircufto,n6.ôndições
dadas,nào são percorÌidaspor correnteelél l . À Ìem,' é i gualà l emE
III. A Ìem4' vate 1,6V
e) uu
:-*.'.à-Ì6n-sp) No
dado,quandoo.ürsor é
"i.c,,ito
q ô amperímetroAnãoâcüsã
colocado
noponto
pãssâgem
de corente.
O Há,pelomeno$,duascorretas.
e) Nenhumad3 ãnteriores.
05 FuNoaMrNÌos
DÁFs.a