1 As Leis de Kirchhoff( *) As Regras de Kirchhoff são: 1. A soma das

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1
As Leis de Kirchhoff( *)
As Regras de Kirchhoff são:
1. A soma das correntes em qualquer junção de
circuito é zero.
Figura 1 - Lei dos nós (a) e Lei das malhas (b).
i1
(a)
i
i2
A soma das diferenças potenciais ao redor
qualquer circuito fechado é zero.
2.
(b)
r2
a
-
b
Biografia - Kirchhoff
R1
c
d
( *)
ε1
+
ε2
- +
I
i
R2
r1
R4
h
R3
g
+
f
-
ε3
e
Tabela I – Tensão em componentes do circuito (b).
Diferença de
Componente Potencial de x á y
Valor
Resistor r2
Va-Vb
- r2.I
Vb-Vc
Gerador ε2
− ε2
Resistor R1
Vc-Vd
- R1.I
Resistor R2
Vd-Ve
- R2.I
Ve-Vf
Gerador ε3
− ε3
Resistor R3
Vf -Vg
- R3.I
Resistor R4
Vg -Vh
- R4.I
Resistor r1
Vh-Vi
- r1.I
Vi-Va
Gerador ε1
+ ε1
Notação de sinais:
Sentido da análise Sentido da corrente I
•
Gerador e resistor:
Kirchhoff Nasceu em 12 de março de
1824 em Königsberg, Prussia (hoje Kaliningrad,
Russia) e morreu em 17 de outubro de 1887 em
Berlin, Alemanha. Era um estudante de Gauss. Ele
ensinou em Berlim em 1847 e Breslau. Em 1854
ele foi designado a professor de físicas a
Heidelberg onde ele colaborou com Bunsen.
Foi um físico que fez contribuições
importantes à teoria de circuitos e elasticidade. As
leis de Kirchhoff, anunciadas em 1854, permitem
cálculo de correntes, voltagens e resistências de
circuitos elétricos que estendem o trabalho de
Ohm. O trabalho dele em radiação de corpo negro
era fundamental no desenvolvimento de teoria do
quantum.
Kirchhoff foi o primeiro a explicar as
linhas escuras presentes no espectro do sol espectro
como causa da absorção de comprimentos de onda
particulares. Isto começou uma era nova em
astronomia.
Em 1875 ele foi designado à cadeira de
físicas matemáticas em Berlim. Sua inaptidão o
levou a gastar muito tempo de sua em muletas ou
em uma cadeira de rodas. O melhor trabalho
conhecido são as quatro obra-prima de volume
Vorlesungen über mathematische Physik (187694).
Geradores, Receptores e Aparelhos de
medida.
Geradores - Introdução:
Se uma quantidade de carga atravessa um
resistor, estabeleceu-se uma diferença de potencial
entre seus terminais. Para manter-se esse fluxo de
carga constante, é necessário conectar ao resistor
um
gerador , o qual
possui uma força
eletromotriz (fem), que realiza trabalho sobre a
carga, mantendo-a constante sobre o resistor;
analogamente ao que acontece a uma bomba de
água que faz com que o escoamento de água em
uma tubulação de irrigação seja constante.
Um dispositivo que possui uma força
eletromotriz é uma bateria ; outro é o gerador
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elétrico. Células solares são também dispositivos que por essa reação química (resistência interna da
possuem a fem.
bateria) controla quantos elétrons podem fluir e
i
- +
entrar em seus terminais. Elétrons fluem na bateria
para fio e o fazem do terminal negativo para o
terminal positivo pela reação química, que pode
r
ε
durar até um ano. Uma vez conectado fio do, um
Equação do gerador (i,U):
inicia-se de química de reação.
U = ε − r ⋅i
Figura
2 – Gráfico U vs. i para gerador.
U
40
Figura 3 – Ilustração do circuito de uma bateria.
35
i
30
25
-
+ (i Convencional)
r
ε
i (real:sentrido dos elétrons)
20
15
10
A Química da Bateria:
5
I
2
4
6
8
Algumas retas características estão indicadas na
figura acima.
O valor de corrente pelo qual a tensão nos
terminais do gerador é nula, é denominado de corrente de
curto circuito (icc) e é a máxima corrente lançada por um
gerador num circuito.
- +
icc
r
ε
U = ε − r ⋅ i = 0 ⇒ icc =
ε
r
Baterias são utilizadas em muitas aplicações:
carros, PCs, laptop, MP3 e telefones celulares. Uma
bateria possui essencialmente uma química capaz de
produzir elétrons. Reações químicas que produzem
elétrons são chamadas de reações eletroquímicas
A Bateria Básica:
Se você observou uma bateria, notou que ela
possui dois terminais. Um positivo do (+) e outro terminal
negativo (-). As células de Nas AA, ou de C D
extremidades da bateria são os terminais. Em uma bateria
de um carro, há duas peças que atuam como terminais.
Os elétrons são coletados numa bateria no
terminal negativo. Se você conectar um fio no terminal
negativo para o positivo, fluirão elétrons do terminal
negativo para o terminal positivo tão rápido quanto
podem. Normalmente pode-se conectar algum dispositivo
à uma bateria, como uma lâmpada, uma lanterna de
automóvel, ou usando um fio em uma bateria.
Dentro da própria bateria, uma reação química
produz elétrons. Uma velocidade dos elétrons produzida
Se você quer saber como são as reações
químicas existentes numa bateria, é fácil realizar
experimentos na própria casa tentando obter
diferentes combinações. Para fazer esses
experimentos cuidadosamente, gastando cerca de
R$10,00 - R$30 ,00 em uma casa de componentes
eletrônicos. Adquira um fio (1m) que para baixas
voltagens e baixas correntes (de 5 - 10 mA).
A primeira bateria foi criada por
Alessandro Volta em 1800. Para criá-la, ele
montou um conjunto de finas placas alternando
camadas de zinco intercaladas por papel embebido
em água salgada e (prata), como mostra a figura.
Esse arranjo era conhecido como "pilha
voltaica". As camadas superiores e inferiores
consistiam de metais diferentes. Se você conectar
os extremos, é possível medir uma voltagem da
pilha. Você pode aumentar o valor da voltagem
com o aumento do crescimento das camadas.
Você pode criar sua própria pilha voltaica
usando moedas e toalha de papel. Misture sal com
água (tanto sal quanto a água segurará) e empape a
toalha de papel nesta salmoura. Então crie uma
pilha alternando moedas de diferentes tamanhos.
Veja que tipo de voltagem e corrente produz a
pilha.
Figura 4 – Ilustração de uma bateria alimentando
um motor (a) e estrutura interna de uma bateria (b)..
(a)
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Figura 5 – Diagrama das camadas que constituem a
pilha
(b)
Esse arranjo era conhecido como “pilha
voltaica”. As camadas superiores e inferior
consistiam de metais diferentes. Se você conectar
os extremos, é possível medir a voltagem e a
corrente na pilha. Você pode aumentar a pilha
aumentando assim a voltagem com o crescimento
das camadas.
Figura 6 – Diagrama das camadas de uma pilha (a) e
bateria ideal (b).
(a)
Outros metais para tentar incluem chapa de
alumínio e aço. Cada combinação metálica deveria
produzir uma voltagem ligeiramente diferente.
Nos 1800s, antes da invenção do gerador elétrico
(o gerador não foi inventado e foi aperfeiçoado até os
1870s), a cela de Daniel (que também é conhecida através
de três outros nomes--a "cela" de Crowfoot por causa da
forma típica do elétrodo de zinco, a "cela" de gravidade
porque gravidade mantém o dois sulfates separados, e
uma "cela molhada" ao invés da cela seca moderna
(porque usa líquidos para os eletrólito), era extremamente
comum para telégrafos operacionais e doorbells. A cela
de Daniell é uma cela molhada que consiste em cobre e
zincoe uma chapa de cobre e sulfato de zinco.
Article by: J J O'Connor and E F Robertson
Baterias são utilizadas em muitas aplicações: em
carros, PCs, laptops, MP3 players e telefones celulares.
Uma bateria possui essencialmente uma química capaz de
produzir elétrons. Reações químicas que produzem
elétrons são chamadas de reações eletroquímicas.
(b)
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Reações de bateria
Provavelmente a bateria mais simples que você
pode criar é chamada uma bateria de zinco carbono.
Entendendo a reação química que entra em nesta bateria
você pode entender como baterias trabalham em geral.
Imagine que você tem um pote de ácido sulfúrico
(H2SO4). Colocando uma barra de zinco nisto, o ácido
começará a corroer o zinco imediatamente. Você verá gás
de hidrogênio borbulhando e forma no zinco, e a barra e
ácido começarão a aquecer. Está acontecendo:
As moléculas ácidas migram para cima com três
íons: dois íons de H+ e um íon SO4.
Os átomos de zinco na superfície da barra de
zinco perdem dois elétrones (2e-) se tornar íons de Zn++.
Os íons de Zn++ combinam com os SO4 íon para
criar ZnSO4 que dissolvam no ácido.
Os elétrons dos átomos de zinco combinam com
os íons de hidrogênio no ácido para criar moléculas de H2
(hidrogênio gasoso). Nós vemos o hidrogênio subir como
gás como bolhas que formam na barra de zinco.
Se você agora introduzir uma barra de carbono
no ácido, o ácido não faz nada a isto. Mas se você conecta
um arame entre a barra de zinco e a barra de carbono,
duas mudanças ocorrem.
• Os elétrons fluem pelo arame e combina com
hidrogênio na barra de carbono, assim gás de hidrogênio
começa a borbulhar a barra de carbono.
• Há menos calor. Você pode dar potência a uma
lâmpada incandescente ou carga semelhante que usa os
elétrons que fluem pelo arame, e você pode medir uma
voltagem e corrente no arame. A energia do calor se
transforma em movimento dos elétrons.
Os elétrons vão se mover à barra de carbono porque
há mais facilidade em se combinar com hidrogênio. Há
uma voltagem característica na cela de 0.76 volts.
Eventualmente, a barra de zinco dissolve completamente
os íons de hidrogênio no ácido se acostumam e os
estampa " de bateria ".
Em qualquer bateria, o mesmo tipo de reação
eletroquímica acontece de forma que elétrons movam de
um lado para o outro. Os metais e o eletrólito usado
controlam a voltagem da bateria. Cada reação diferente
tem uma voltagem característica. Por exemplo, aqui é o
que acontece em uma cela da bateria de conduzir ácido de
um carro:
• A cela tem um prato feito de chumbo e
outro prato feito de dióxido de chumbo, com um eletrólito
de ácido sulfúrico forte no que os pratos são submergidos.
• Chumbo combina com SO4 para criar
PbSO4 mais um elétron.
• Condução de dióxido, íons de
hidrogênio e íons SO4 , mais elétrons do chumbo crie
PbSO4 e molhe no prato de dióxido de chumbo.
• Como as descargas de bateria, ambos os
pratos constroem PbSO4 (conduza sulfato), e água
constrói no ácido. A voltagem característica é de
4
aproximadamente 2 volts por célula, assim
combinando seis células você adquire uma bateria
de12V.
Tipos de Baterias:
Uma bateria de condução de ácido tem
uma característica agradável: a reação é
completamente reversível. Se você aplica corrente
para a bateria à voltagem certa, conduz a formação
de dióxidos e formam novamente nos pratos; assim
você pode usar de novo a bateria. Em uma bateria
de zinco-carbono, não há nenhum modo fácil para
inverter a reação porque não há nenhum modo fácil
para voltar gás de hidrogênio no eletrólito.
Baterias modernas usam uma variedade de
substâncias químicas para dar poder a as reações.
Baterias euímicas típicas incluem:
• Bateria de "zinco-carbono”.
Também conhecido como uma bateria de carbono
padrão (standard). Os elétrodos são zinco e
carbono, com uma pasta ácida entre eles servindo
como o eletrólito.
• Bateria alcalina - Pilhas
Duracell e baterias de Energizer em comum, os
elétrodo são zinco e manganês-óxido, com um
eletrólito alcalino.
• Bateria de Lithium (fotografia) Lithium, lithium-iodide e conduzir-iodide é usado
em máquinas fotográficas por causa da habilidade
para prover ondas de calor.
• Bateria ácida - Uso em
automóveis, os elétrodo são feitos de chumbo e
óxido como um eletrólito ácido forte
(recarregável).
• Bateria de "níquel-cádmio” - Os
elétrodos são hidróxidos de níquel e cádmio, com
hidróxido
de
potássio
como
eletrólito
(recarregável).
• Bateria de metal de níquel - Esta bateria
está substituindo a de níquel-cádmio rapidamente
porque não sofre do efeito de memória que níquelcádmio fazem (recarregável).
• Bateria Lithium-íon - Com uma relação
de potência boa, é achada freqüentemente em
computadores laptop e telefones celulares.
(recarregáveis).
• Bateria de zinco - Esta bateria é de peso
leve e recarregável.
• Bateria de óxido de "zinco-mercúrio” Isto é freqüentemente usado na ajuda para audição.
• Bateria de “prata-zinco” - Usada em
aplicações aeronáuticas porque a relação de poderpara-peso é boa.
• Bateria de “metal-cloreto” - Usada em
veículos elétricos.
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Potência Elétrica do gerador:
Se multiplicarmos por i a equação do gerador:
U ⋅i = ε ⋅i − r ⋅i2
Denominamos de:
• Potência Total: Também denominada de Potência
lançada :
Pl = ε ⋅ i
5
Na associação em série de n geradores de
iguais força eletromotriz e e iguais resistência
onterna r, as forças eletromotrizes se somam e
também se somam suas resistências internas:
ε eq = nε ↔ req = nr
Já na associação em paralelo de n
geradores iguais, , a fem do gerador equivalente é
a mesma e a resistência interna do gerador
equivalente fica dividida por n:
ε eq = ε ↔ req = r
n
• Potência dissipada: Potência dissipada por efeito
Joule na Bateria pela resistência interna.
Pd = r ⋅ i 2
• Potência útil: Potencia aproveitada da bateria .
Figura 7 – Associação em paralelo (a) e série (b) de
geradores. Tipos de pilhas (c). Circuitos com mais de uma fonte
(d)
(a)
Pu = U ⋅ i = ε ⋅ i − r ⋅ i 2
A máxima potência útil ocorrerá quando:
dPu
ε
= 0 ⇒ ε − 2⋅r ⋅i = 0 ⇒ i =
di
2⋅r
Ou:
i=
icc
2
(b)
Substituindo esse valor de corrente na expressão
da potência útil, teremos:
Pu max =
ε2
4r
Os gráficos a seguir ilustram as curvas
características da potência útil para uma bateria.
Figura 7 – Gráfico da Potência útil versus corrente num
gerador.
Pu
60
(c)
50
40
30
20
10
I
2
4
6
8
• Arranjos ou associações de geradores.
Em quase qualquer dispositivo que usa baterias,
você não usa uma célula de cada vez. Você regularmente
as agrupa serialmente para formar voltagens mais altas,
ou em paralelo para formar correntes mais altas. Em um
arranjo consecutivo, somam-se as voltagens. Em um
arranjo paralelo, somam as correntes. O diagrama
seguinte mostra estes dois arranjos.
Podemos associar geradores de duas formas: em
série e em paralelo.
(d) Quando duas fontes são conectadas entre si num
único circuito, a fonte que possui fem maior fornece energia
para a outra.
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O arranjo anterior (a) é chamado de arranjo
paralelo. Se você assume que cada célula paralela também
produzirá 1.5 volts, mas a corrente será quatro vezes isso
de uma única cela. O arranjo inferior é chamado de
arranjo consecutivo. As quatro voltagens se somam para
produzir 6 volts.
Esquematicamente
teremos
os
seguintes
circuitos:
• Série:
Circuito equivalente:
Força eletromotriz equivalente:
6
(b)
(c)
N
ε eq = ∑ ε i
i =1
Resistência equivalente:
N
req = ∑ ri
i =1
• Paralelo:
Circuito equivalente:
Força eletromotriz equivalente:
ε eq = ε
(d)
Resistência equivalente:
req =
•
r
n
Exemplos de associações:
Nas figuras, encontre a corrente que circula em
cada malha:
Figura 8 – Tipos de associações entre geradores:
(a)
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(e)
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7
(i) Qual a indicação do voltímetro?
(j) Procedimento experimental para medir a corrente
e a fem de um gerador.
(f)
(j)
(g)
(k)
(h)
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8
(l)
(o)
(m)
(p)
(n)
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9
Figura 9 – Fonte de tensão em circuito aberto (a) e
em curto-circuito (b).
(q)
(a)
(b)
Normalmente, quando você compra um pacote
de baterias, o pacote lhe contará a voltagem e avaliação
de corrente para a bateria. Por exemplo, uma máquina
fotográfica digital usa quatro baterias de níquel-cádmio
que estão avaliados em 1.25 volts e 500 milliampéreshoras para cada célula.
• Trabalho, Energia e fem:
Em um dispositivo com uma fem, tal como uma
bateria, há uma terminal carregado positivamente e um
terminal carregado negativamente. Na figura abaixo
representamos o sentido da corrente convencional em
uma bateria. Uma vez que as cargas entram no
dispositivo, este realiza trabalho sobre elas, forçando-as
ao polo positivo e fechando o ciclo. A energia que o
dispositivo utiliza para tal processo pode ser de origem
química, como uma bateria, ou mecânica, como em um
gerador de Van de Graaff. Pode ainda utilizar energia
solar, como em células solares.
Assumimos que a carga deva entrar no
dispositivo no terminal onde há o potencial mais
baixo, e deva deixá-lo no potencial maior. O
dispositivo deve realizar um trabalho dW no
elemento de carga dq, para força-lo a se mover.
Definimos a força eletromotriz e no dispositivo
como sendo:
dW
ε=
dq
Em outras palavras, a força eletromotriz é
o trabalho por unidade de carga para que o
dispositivo mova a carga do mais baixo potencial
ao maior.
A unidade do SI é o joule por coulomb ou
o volt (V).
Um dispositivo gerador ideal é aquela
que não apresenta resistência interna para mover a
carga de um terminal ao outro. A ddp entre os
terminais é igual a fem do dispositivo. Por
exemplo, uma bateria de fem 12 V tem ddp de
12V.
Um dispositivo gerador rea l, é aquele
que apresenta resistência interna para o movimento
interno da carga. A seguir representamos o gerador
ideal e o real.
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Figura 10 – Geradores real e ideal.
10
Para representarmos o gerador entre dois
pontos A e B de um circuito, utilizamos o símbolo:
Figura 12 – Geradores e tensão nos trerminais (a).
Variação da tensão nos elementos de um circuito (b).
(a) Gerador real.
(a)
(b) Gerador ideal.
(b)
Nesses circuitos para analisar a corrente que
percorre a resistência, temos que obedecer às seguintes
regras:
1) A soma algébrica da mudança do potencial em
um caminho completo do circuito dever ser zero.
2) A corrente entrando pelo pólo negativo e
saindo pelo pólo positivo de um dispositivo (gerador ou
resistor): e > 0 ou V > 0 .
3) A corrente entrando pelo pólo positivo e
saindo pelo pólo negativo de um dispositivo ( gerador ou
resistor): e < 0 ou V < 0 .
4) A corrente entrando em um nó, se divide de tal
forma que a soma das partes que saem do nó é igual a que
chega.
Estas regras são denominadas Regras de
Kirchhoff .
Considere um nó em que chega uma corrente i
como indica a figura abaixo:
A tensão entre os pontos a e b é dada por:
V = ε − ri
Multiplicando por i a relação acima
chegamos a:
Vi = εi − ri2 ⇒ Pu = Pt − Pd
Nessa equação, Pu= V . i é a potência útil
, Pt = e . i é a potência total e Pd = ri2 é a
potência dissipada
na resistência interna do
gerador.
Definimos como o rendimento h do
gerador, a relação dada por:
P
η = Pu ⇒ η = Vε
t
O rendimento
é a relação entre a
potência elétrica lançada e a potência total.
• Receptores:
Figura 11 – Lei dos nós.
Então:
i1 + i3 = i2 + i4
Assim aplicando essas regras ao gerador ideal e
chamando de a o pólo positivo::
Va + ε − iR = Va ⇒ i = ε
R
Para o gerador real, teremos:
ε − ir − iR = 0 ⇒ i = ε
r+R
Esta também é chamada de Lei de Ohm-Pouillet.
Existem aparelhos capazes de receber
energia elétricas e transformá-las em outras
formas de energia que não sejam exclusivamente
térmica. Esses aparelhos denominam receptores e
funcionam quando estão ligados a um circuit,
onde existem um ou mais geradores.Como
exemplos de receptores, citamos os aparelhos
domésticos como o liquidificador, batedeira e
furadeira, que transformam energia elétrica em
mecânica. Acumuladores formados por placas de
chumbo dentro de um eletrólito , transformam
energia elétrica em energia química. Receptor
elétrico é o aparelho que transforma energia
elétrica em outras formas de energia que não
sejam exclusivamente térmica.
Esquema do receptor: Como o receptor
recebe energia elétrica do circuito, as cargas
elétricas que constituem a corrente vão do
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potencial maior (pólo positivo) ao potencial menor (pólo
negativo). Todavia, um receptor não poderá transformar
toda a energia elétrica recebida em energia útil, não
elétrica. Uma parte dessa energia dissipa-se na
resistência interna r' de maneira análoga ao que ocorre
no gerador. Para os receptores mais comuns em
funcionamento verifica-se que a potência elétrica útil do
receptor é diretamente proporcional à corrente que o
atravessa. Se Pu é a potência elétrica útil do receptor e i
a corrente que o atravessa, temos:
Pu = ε '. i ⇒ ε ' =
Pu
i
Aqui, e' é a força contra eletromotriz (fcem ) ,
uma constante de proporcionalidade. Sua unidade no SI
é o volt (V). A equação do receptor e seu esquema é
mostrado a seguir:
i
V = ε ' + ri
As potências útil, total e dissipada do receptor
são deduzidas de maneira análogas ao do gerador.
• Aparelhos de medida elétrica:
Muitos instrumentos de medida elétrica
envolvem circuitos que podem ser analizados por
métodos que discutiremos:
1) O Amperímetro : O instrumento usado para se
medir corrente é o amperímetro. Para medir a corrente
em uma resistência, colocamos o amperímetro em série
com essa resistência.
Figura 13 – Montagens com amerímetro e voltímetros.
11
A resistência interna de um amperímetro
ideal é nula para que toda a corrente elétrica passe
pelo amperímetro.
2) O Voltímetro : É o aparelho usado para
medir diferença de potencial Para encontrar a
diferença de potencial entre dois pontos em um
circuito ou em uma resistência, necessitamos
colocar o voltímetro em paralelo com a
resistência.
A resistência interna de umvoltímetro
ideal é infinita, para que não passe corrente por
ele.
3) O potenciômetro : O potenciômetro é
um aparelho que mede uma desconhecida força
eletromotriz ex comparando com uma fem padrão
es.
Exercícios
1) Qual o trabalho que uma bateria ideal
de 12 V de fem realiza em um elétron que passa
pelos terminais da bateria? Se 3, 4 .108 elétrons
passam a cada segundo, qual a potência da
bateria?
2) Uma corrente de 5 A percorre um
circuito com uma bateria de 6V de fem por 6 min.
Qual a energia química reduzida da bateria?
3) Uma bateria de flash pode desenvolver
2 W-h de energia depois de ligada.
a) Se a bateria custa 80 cents, qual é o
custo de operação de uma lâmpada de 100W
durante 8h de uso da bateria?
b) Qual é o custo da bateria se usamos a
potência de uma determinada compania a 12 cents
por kW-h.
4) Na figura vemos e1=12V e e2=8V.
a) Qual a direção da corrente no resistor?
b) Qual bateria está realizando trabalho
positivo?
c) Qual ponto, a ou b está no maior
potencial?
a
b
R
1
2
5) Um fio de resistência 5W é conectado
em uma bateria de fem 2 V e resistência interna 1
W. Em 2 min:
a) Quanta energia é transferida de energia
química para energia elétrica?
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b) Quanto de energia aparece no fio na forma de
energia térmica?
c) Qual a diferença entre os ítens a e b?
12
As equações de Poisson e Laplace:
Podemos escrever a equação:
G G
∇ ⋅ D = ρv
6) Encontre a corrente que circula nos circuitos
abaixo:
como:
a)
∇ 2V =
3,0
ρv
ε
Essa é a equação de Poisson, e quando a
densidade de cargas volumétrica é nula,
denomina-se equação de Laplace:
150V
∇ 2V = 0
50V
Aqui, “ é denominado de operador Laplaciano, e
pode ser escrito em coordenadas cartesianas
por:
2
2,0
b)
20
∇2V =
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
30
Em coordenadas cilíndricas:
120V
40
220V
∇2V =
1 ∂ ⎛ ∂V ⎞ 1 ∂2V ∂2V
⎜ρ
⎟+
+
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ ρ 2 ∂φ 2 ∂z 2
Em coordenadas esféricas:
∇2V =
1 ∂ ⎛ 2 ∂V ⎞
1
1
∂ 2V
∂ ⎛
∂V ⎞
⎟+ 2 2
⎜ senθ
⎟+ 2
⎜r
2
∂θ ⎠ r sen θ ∂φ 2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r senθ ∂θ ⎝
Teorema da Unicidade:
Se V1 e V2 são soluções da equação de
Laplace, então cada solução deve satisfazer as
condições de fronteira, e se representamos os
valores dos potenciais na fronteira por Vb, os
valores dos potenciais devem ser iguais na
fronteira:
V1b = V2b
Depois das condições de fronteira estarem
definidas, os passos necessários para dado V,
determinar a capacitância, teremos:
1.
Dado V, determinar E:
G
G
E = −∇V
2.
Determinar D:
3.
Calcule a densidade de carga superficial:
4.
Encontre a carga por:
G
G
G
D = εE = −ε∇V
ρ s = DN
Q = ∫∫ ρ s dS
s
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13
X ( x) = Ge nπx b + He − nπx b
5. Determine a capacitância:
Aplicando as condições de contorno, teremos:
Exemplo 1 – Seja o problema de resolver a
equação:
⎧ x=0
V = V0 ⇒ ⎨
⎩x → ∞
∇ V =0
2
Com as condições de contorno:
G=0
⎧y = 0
⎧ x=0
V =0⇒⎨
; V = V0 ⇒ ⎨
⎩y = b
⎩x → ∞
Ou seja, o potencial de dois eletrodos paralelos e
aterrados em y=0 e y = b.
Assim:
nπy −
V ( x, y ) = Csen
e
b
Para que a condição V(x=0, y) = V0 devemos
impor:
∞
V ( x, y ) = ∑ C n sen
y
n =1
b
nπx
b
nπy −
e
b
nπx
b
Para avaliar os coeficientes Cn usamos a condição
de contorno:
nπy −
V ( x = 0, y ) = ∑ C n sen
e
b
n =1
∞
n πy
∞
V0
0
∑C
x
n =1
Com o método da separação de variáveis:
V ( x, y , z ) = X ( x )Y ( y ) Z ( z )
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por
V, teremos:
1 ∂ 2 X 1 ∂ 2Y 1 ∂ 2 Z
∇V=
+
+
=0
X ∂x 2 Y ∂y 2 Z ∂z 2
2
n
sen
b
nπx
b
= V0
= V0
A série acima é denominada de série de
Fourier.
Usando a técnica e análise de Fourier,
multiplicando ambos os membros da equação por
sen(pπy/b) e integrando, teremos:
b
∞
∫ ∑ C n sen
0 n =1
n πy
p πy
p πb
sen
dy = ∫ V 0 sen
dy
b
b
y
0
b
Pode-se escrever:
1 d2X
1 d 2Y
1 d 2Z
C
C
=
⇔
=
⇔
= C3
1
2
Z dz 2
Y dy 2
X dx 2
Com: C1 + C 2 + C 3 = 0
Resolvendo o lado direito:
b
∫ V0 sen
0
É de se esperar que a solução não tenha dependência
em z. Portanto C3 = 0 e chamando:
C1 + C 2 = 0 ⇔ C 2 = −C1 = k 2
Assim:
Resolvendo o lado esquerdo:
b
∫ C n sen
0
d2X
− k2X =0
dx 2
d 2Y
+ k 2Y = 0
2
dx
Y ( y ) = Asenky + B cos ky
Aplicando as condições de contorno:
⎧y = 0
V =0⇒⎨
⎩y = b
Asen0 + B = 0 ⇒ B = 0 ⇔ Asenkb= 0 ⇒ kb = nπ
n πy
Y ( y ) = Asen
; (n = 1, 2 ,3 " )
b
d 2 X ⎛ nπ ⎞
−⎜
⎟ X =0
dx 2 ⎝ b ⎠
2
⎧ 2bV 0
p πb
⇔ p = 1,3,5, "
⎪
dy = ⎨ pπ
y
⎪⎩ 0 ⇔ p = 2, 4,6, "
⎧⎪ 0 ⇔ p ≠ n
n πy
p πy
sen
dy = ⎨ b
b
b
⎪⎩C n 2 ⇔ p = n
Igualando:
⎧ 4V0
⎪
⇔ n = 1,3,5, "
C n = ⎨ nπ
⎪⎩ 0 ⇔ n = 2,4,6,"
determinamos que a solução é dada por:
V ( x, y ) =
nπy −
1
sen
e
∑
b
π n =1,3,5," n
4V0
∞
nπx
b
ou
V ( x, y ) =
4V0
π
∞
∑ (2m − 1) sen[(2m − 1)πy ]e (
m =0
1
− 2 m −1)πx
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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Podemos obter numericamente a solução, de acordo
com Patrick Tam, A Physicist´s Guide to Mathematica,
Academic Press.
14
(b) +q e +q:
Exemplo 3 – Campo entre duas placas
paralelas aterradas e duas placas a potenciais
opostos.
y
b
V1
Exemplo 2 – Solução para as linhas de força do
campo elétrico e superfície equipotencial quando temos
duas cargas puntiformes:
(a) 2q e –q:
V2
0
x
V = V1 ⇒ {x = 0 ; V = V2 ⇒ {x = a
A solução geral que satisfaz as condições de
contorno, é dada por:
nπx
nπx
−
⎛
⎞
nπy
b
V ( x, y, z ) = ∑ ⎜⎜ An e
+ Bn e b ⎟⎟sen
b
n =1 ⎝
⎠
∞
Aplicando a condição de contorno em x =0:
∞
V ( x = 0, y, z ) = ∑ ( An + Bn )sen
n =1
nπy
= V1
b
Os coeficientes são calculados pelo mesmo
método de Fourier utilizado no exemplo1.
Multiplicando a equação por sen ppy/b e
integrando de y = 0 a y = b teremos:
b
V1 ∫ sen
0
n πy
dy = ( An + B n ) b2
b
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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15
Resolvendo o lado direito:
⎧ 4V1
⎪
⇔ n = 1,3,5, "
An + B n = ⎨ n π
⎪⎩ 0 ⇔ n = 2 , 4 , 6 , "
Aplicando a condição de contorno em x =b:
nπb
nπb
−
⎛
⎞
nπy
b
V ( x = b, y, z ) = ∑ ⎜⎜ An e
+ Bn e b ⎟⎟sen
b
n =1 ⎝
⎠
− n πa
n πa
⎧ 4V 2
⎪
⇔ n = 1,3,5, "
b
b
An e
+ Bn e
= ⎨ nπ
⎪⎩ 0 ⇔ n = 2,4,6, "
∞
p = p0 e
n = n0 e
− ∇ 2V =
ε
( P − N + n0 e
−
eV
kT
eV
− n0 e kT )
e x − e−x
2
e
eV
∇ 2V = − ( P − N − 2n0 senh
)
ε
kT
Podemos aproximar a relação:
−
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
nπa
nπa
−
⎛
−
4e b ⎜ V2 − V1e b
Bn =
⎜
2 nπa
−
nπ ⎜
b
⎝ 1− e
e
ε
(P − N ) = −⎛⎜ 2eP0 ⎞⎟ x
⎝ εt ⎠
Onde t é a espessura da junção e P0 um parâmetro
conhecido.
Assim a equação de Poisson ficaria:
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, onde n=1,3,5,.... Assim o Potencial será dado por:
e
eV ⎛ 2eP0 ⎞
d 2V
= 2n0 senh
−⎜
⎟x
2
kT ⎝ εt ⎠
ε
dx
Pode-se também estimar a densidade de
carga pela relação:
Solução da equação de Poisson para V
Diodo de junção p-n em silício:
Se chamarmos de P e N o número de cargas
positivas e negativas por metro cúbico e n e p o número
de cargas móveis negativas e positivas por metro cúbico,
a densidade de carga total será:
ρ t = e( P − N + p − n )
G G
ρ
∇ ⋅ E = −∇ 2V = t
ε
( P − N + p − n)
Os elétrons de condução e os buracos se difundem
dentro do material como moléculas em um gás.; assim,
sobre equilíbrio térmico, p e n satisfazem a equação de
Boltzmann da mecânica estatística:
x
a
ρ v = 2 ρ v sec h tanh
0
x
a
(Hayt, Cap.7,pg.123)
Assim, a equação a resolver seria:
nπa
nπa
nπa
⎛ ⎛
−
−
⎞ ⎞
⎞
⎛
−
⎜ 4 ⎜V1 −V2e b ⎟ −nπx 4e b ⎜V2 −V1e b ⎟ nπx ⎟ nπy
b
e b ⎟sen
e +
V(x, y, z) = ∑⎜ ⎜
⎜
2nπa ⎟
2nπa ⎟
−
−
π
π
n
n
n=1 ⎜
⎟
⎜ 1−e b ⎟ ⎟ b
⎜
b
⎠ ⎠
⎠
⎝
⎝ ⎝ 1−e
∞
ε
e
senhx =
Teremos como solução:
e
eV
kT
Como:
n πa
− n πa
⎧
4V
b
+ Bn e b = 2
⎪⎪ An e
nπ
⎨
4
V
⎪
An + B n = 1
⎪⎩
nπ
− ∇ 2V =
eV
kT
Aqui n0 é o mesmo valor de p ou de n no
mesmo ponto onde o potencial V é escolhido ser
zero, isso é, na origem.
Assim:
Resolvendo o sistema:
nπa
−
⎛
4 ⎜ V1 − V2 e b
An =
⎜
2 nπa
−
nπ ⎜
b
⎝ 1− e
−
2 ρ v0
x
x
d 2V
=
−
sec h tanh
2
ε
a
a
dx
Integrando uma vez, teremos:
2 ρ v0
dV
x
x
= ∫−
sec h tanh dx
dx
a
a
ε
ρ
2
a
x
dV
v0
=
sec h + C1
a
ε
dx
Como:
G
G
dV
E = −∇ V ⇔ E x = −
dx
2 ρ v0 a
x
E ( x) = −
sec h + C1
ε
a
Para calcular a constante C1, note que
nenhuma denidade de carga líquida e nenhum
campo devem existir longe da junção. Assim: C1
=0
Integrando novamente, teremos:
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16
⎛ 2 ρ v0
⎞
x
V ( x) = ∫ ⎜⎜
sec h + C1 ⎟⎟dx
a
⎝ ε
⎠
2
4 ρ v0 a
⎛ ⎡ x ⎤⎞
V ( x) =
arctg ⎜⎜ tgh ⎢ ⎥ ⎟⎟ + C1 x + C 2
ε
⎝ ⎣ 2a ⎦ ⎠
Escolhendo a referência de Potencial em V(x=0) =
0, teremos:
V ( x = 0) =
V ( x = 0) =
V ( x = 0) =
4 ρ v0 a 2
ε
4 ρ v0 a 2
ε
4 ρ v0 a 2
ε
⎛ ⎡ 0 ⎤⎞
arctg ⎜⎜ tgh ⎢ ⎥ ⎟⎟ + C1 0 + C 2 = 0
⎝ ⎣ 2a ⎦ ⎠
arctg (0) + C 2 = 0
π + C2 = 0
C2 = −
4πρ v0 a 2
ε
Assim:
V ( x) =
4 ρ v0 a 2 ⎡
⎤
⎛ ⎡ x ⎤⎞
⎢arctg ⎜⎜ tgh ⎢ ⎥ ⎟⎟ − π ⎥
ε ⎣
⎝ ⎣ 2a ⎦ ⎠
⎦
Os gráficos da densidade de carga, campo e do
potencial estão esquematizados a seguir:
Para calcularmos a carga na junção:
∞
x
x
Q = ∫ 2 ρ v0 sec h tanh dx
a
a
0
x
Q = − 2aρ v0 sec h
a
x → +∞
x →0
Como:
sec h
x
=
a
2
x
a
−
x
e +e a
x
x⎞
⎛
Q = −2aρ v0 ⎜ lim sec h − lim sec h ⎟
a x → +0
a⎠
⎝ x →+∞
2⎞
⎛
Q = − 2 a ρ v 0 ⎜ 0 − ⎟ = 2 a ρ v0
2⎠
⎝
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- 2°S-2005
1a Prova
Questão 1 – (3,0 Pontos)
17
Questão 3 – (3,0 Pontos) A densidade de
G
fluxo elétrico é dada por D = r aˆ r C/m2 e é
Uma linha infinita de carga uniforme de
densidade rL = +0,4 m.C/m está localizada no eixo z e é representada vetorialmente na figura a seguir.
concêntrica a uma distribuição superficial de carga
cilíndrica infinita de equação r = 4 m e densidade
superficial rs = - 0,8 m.C/m2. Considere e = e0.
2
Determine:
(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m.
(b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m.
(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m.
(d) a carga que está contida na esfera de r = 4m?
Questão 4 – (2,0 Pontos)
A figura mostra a trajetória de um elétron
num tubo de raios catódicos, no qual um elétron
deve ser acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106
(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o
m/s.
espaço.
(a) Para atingir esta velocidade, através de
qual
ddp
ele deve passar?
(b) Assumindo que o potencial elétrico seja 0V em r
b
)
Nessas condições, se d = 2 cm calcule
(
= 2m, encontre o potencial elétrico em r = 1 m e em r =
o
campo
elétrico
entre as placas.
6m.
(c) Qual a densidade de carga superficial
na placa?
Questão 2 – (2,0 Pontos)
Considere
ρv = ρ0
a
r
−
r0
densidade
volumétrica
de
carga
e
existe em todo o espaço livre. Calcule a
r2
carga total presente.
y0
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Gabarito
18
2
Questão 1 – (3,0 Pontos)
(a)
rL = +0,4 m.C/m e
r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2.
Considere e = e0.
V ρ = 2, ρ =1 = V ρ = 2 − V ρ =1 = − ∫
7193,22
ρ
1
dρ
V ρ = 2, ρ =1 = 0 − V ρ =1 = −7193,22ln ρ 1 = −7193,22 ln 2
2
− V ρ =1 = −4985,96
Vρ =1 = 4985,96V
G G ⎧
G G
ρ L L se ρ < 4
Em r = 6 m:
∫∫S D ⋅ dS = Qi ⇒ ∫∫S D ⋅ dS = ⎨⎩ρ L L + ρ s 2πLR se ρ > 4
V ρ =6, ρ = 2 = V ρ =6 − V ρ = 2 = V ρ =6 − V ρ = 4 + V ρ = 4 − V ρ =2
ρ L L se ρ < 4
⎧
D ρ 2πLρ = ⎨
⎩ ρ L L + ρ s 2πLR se ρ > 4
ρLL
⎧
se ρ < 4
⎪⎪
2πLρ
Dρ = ⎨
ρ L + ρ s 2πLR
⎪ L
se ρ > 4
⎪⎩
2πLρ
⎧
G ⎪⎪
D=⎨
ρ
⎪ L
⎩⎪
ρL
aˆ ρ se ρ < 4
2πρ
+ 2πρ s R
aˆ ρ se ρ > 4
2πρ
(
)
0,4
⎧
aˆ ρ µC m 2 se ρ < 4
G ⎪⎪
2πρ
D=⎨
0,4 − 2π 0,8R
⎪
aˆ ρ µC m 2 se ρ > 4
2πρ
⎩⎪
(
(
)
)
⎧ 0,2
2
ˆ
G ⎪⎪ πρ a ρ µC m se ρ < 4
D=⎨
0,2 − 3,2π
⎪
aˆ ρ µC m 2 se ρ > 4
⎪⎩ πρ
⎧ 0,06366
aˆ ρ µC m 2 se ρ < 4
G ⎪⎪ ρ
D=⎨
3,1363
⎪−
aˆ ρ µC m 2 se ρ > 4
⎪⎩
ρ
(
)
(
)
(
)
⎧ 0,06366 aˆ ρ
(V m ) se ρ < 4
K ⎪⎪ ε 0
ρ
E=⎨
aˆ
⎪− 3,1363 ρ (V m ) se ρ > 4
ε0 ρ
⎩⎪
aˆ ρ
⎧
(V m) se ρ < 4
7193,22
K ⎪⎪
ρ
E=⎨
aˆ
⎪− 3,54 ⋅10 5 ρ (V m ) se ρ > 4
⎪⎩
ρ
(b) Potencial:
G G
V AB = V A − V B = − ∫ E ⋅ dL
A
B
Em r = 1 m:
G G
= − ∫ E ⋅ dL
2
V ρ = 2, ρ =1 = V ρ = 2 − V ρ =1
1
aˆ ρ
⎧
(V m) se ρ < 4
7193,22
⎪
K ⎪
ρ
E=⎨
aˆ
⎪− 3,54 ⋅10 5 ρ (V m ) se ρ > 4
⎪⎩
ρ
6 G
4 G
G
G
V ρ =6, ρ = 2 = − ∫ E ⋅ dl + − ∫ E ⋅ dl
4
2
6
V ρ =6, ρ = 2 = − ∫ − 3,54 ⋅ 10 5
dρ
ρ
4
6
V ρ =6, ρ = 2 = 3,54384 ⋅ 10 5 ∫
dρ
4
ρ
4
− ∫ 7193,22
2
4
− 7193,22 ∫
2
dρ
ρ
dρ
ρ
6
− 7193,22 ln 2
4
= 143690,4202 − 4985,96
V ρ = 6, ρ = 2 = 3,54384 ⋅ 10 5 ln
Vρ =6 − Vρ = 2
Vρ =6 = 138704,4598V
Questão 2 – (2,0 Pontos)
−
ρv = ρ0
e
e Q = ∫∫∫ ρ v dv
r2
V
−
2π π ∞
Q=
r
r0
∫∫∫r
2
0 0 0
ρ0
r
r0
e
r 2 senθdrdθdφ
2
r
2π
π
∞
0
0
0
Q = ρ 0 ∫ dφ ∫ senθdθ ∫ e
−
r
r0
dr
r →∞
r
− ⎤
⎡
r0
Q = ρ 0 2π [− cos θ ] ⎢− r0 e ⎥
⎢⎣
⎥⎦ r =0
Q = ρ 0 2π 2[− r0 0 + r0 ]
θ =π
θ =0
Q = 4πr0 ρ 0 (C )
Questão 3 – (3,0 Pontos)
G
densidade de fluxo elétrico: D = r aˆ r C/m2
e é representada
2
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Determine:
(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m.
G G
(c) Qual a densidade de carga superficial
na placa?
ρv = ∇ ⋅ D
∂Dφ
1 ∂ 2
1 ∂
(Dθ senθ ) + 1
r Dr +
2
r ∂r
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
G G 1 ∂
= ∇ ⋅ D = 2 r 4 = 12 4r3
r
r ∂r
(
ρv
( )
ρ v = ∇ ⋅ D = 4r ; ρ v = 16 C m 3
(b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m.
G
G
D = 4 2 aˆ r C/m2 ñ D = 16 aˆ r C/m2
(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m.
G
G
ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi
S
G
D = r 2 aˆ r
π 2π
ψ = ∫ ∫ r 2 r 2 dφdθ = 4πr 4
0 0
ψ = 4π 4 4 = 1024πC
(d) a carga que está contida na esfera de r = 4m?
ρ v = 16 C m 3
Q = Aρ v = 4π 4 216 = 1024πC
G G
ρ v = ∇ ⋅ D = 4r
2π π 4
Q=
∫ ∫ ∫ 4rr
2
senθdrdθdφ
0 0 0
2π π 4
Q=
∫ ∫ ∫ 4r
3
senθdrdθdφ
0 0 0
Q = 4π 4 4 = 1024π C
Questão 4 – (2,0 Pontos)
3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s.
(a) Para atingir esta velocidade, através de qual
ddp ele deve passar?
W = − q ∆V
G
dW = −QE ⋅ aˆ L dL
1
W = − q∆V = ∆Ec = m(v f 2 − vi 2 )
2
∆V =
∆V =
No interior:
)
G G
1
m(v 2f − vi2 )
2e
1
9,31 ⋅ 10 −31 ((8 ⋅ 10 6 ) 2 − (3 ⋅ 10 6 ) 2 )
−19
2 ⋅ 1,6 ⋅ 10
∆V = 156,578V
(b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o
campo elétrico entre as placas.
E = V d = 156,578 0,02 = 7,828V / m
E = 7,83 kV m
19
E=
σ
⇒ σ = ε 0 E = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 7828,9
ε0
σ = 69,28 nC m 2
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20
Questão 3 – (2,0 Pontos) A densidade de
fluxo elétrico devido a certa distribuição de carga é
Duas distribuições infinitas de carga uniforme de dada por:
G
densidades volumétrica rv = +2,0 m.C/m3 e outra de
D
= r 2 cos 2 θ aˆr mC2
2
densidade superficial com rs = - 2,0 m.C/m estão
localizadas de forma concêntrica ao eixo z e possuem raio
e é representada vetorialmente na figura a
ρ a= 2m e ρb =5m, respectivamente. Considere e = e0.
seguir.
Questão 1 – (3,0 Pontos)
( )
Determine:
(a) a densidade volumétrica de carga em:
r = 1m, θ =π/3.
(b) a densidade de fluxo elétrico em:
r = 1m, θ =π/3.
(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o
espaço.
(b) Assumindo que o potencial elétrico tenha valor
0V em r = 3m, encontre o potencial elétrico em r = 2 m.
Questão 2 – (2,0 Pontos)
Três densidades de cargas estão posicionadas no
espaço livre como se segue: ρs = 20 nC/m2 em z=-3m;
ρL = -30 nC/m no eixo z e ρL = 40 nC/m em x = 2m,
z = 1m. Determine a magnitude de E em:
(a) PA(1, 1, 2); (b) PB(-4,3, -1);
Questão 4 – (3,0 Pontos)
A figura mostra, para o campo potencial
em coordenadas cilíndricas:
V=
50
ρ cos 2 φ (V )
z
,as
superfícies
equipotenciais
correspondentes a V = 50V, 25V e 10V e o
ponto P em ρ = 3m, φ = 30°, z = 2m, determine
os valores em P para:
(a) V;
(b) E. Como é posicionado em relação à
equipotencial no ponto P?
(c) E;
(d) dV/dN;
(e) aN ;
(f) ρv no espaço livre.
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21
Q = ∫∫∫ ρ v dv
Trabalho:
W = − q ∆V
G
dW = −QE ⋅ aˆ L dL
V
Energia cinética
1
2
2
∆Ec = m(v f − vi )
2
Lei de Coulomb
Teorema da Divergência (Teorema Gauss):
G G
S
V
G
G
Lei de Gauss
ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi
ñ
G G
G G
Q (r − r ′)
E (r ) =
G G 3
4πε 0 r − r ′
G
Qi
0
Gda Stokes
G Teorema
G
G G
∇ × H ⋅ dS = ∫ H ⋅ dl
∫∫ (
Campo elétrico
G
∫∫ E ⋅ dS = ε
S
S
C2
N ⋅m 2
G
G G
ρ v (r ′)dv ′
E (r ) = ∫∫∫
G G 2
v 4πε 0 r − r ′
G
G
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ FdV
G
G G
G
Q1Q2
R
r2 − r1
12
ˆ
F12 =
a
ˆ
a
=
=
G
12
G G
12
4πε 0 R122
r2 − r1
R12
ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12
G G
ρv = ∇ ⋅ D
S
)
C
Potencial elétrico
A
G G
V AB = V A − V B = − ∫ E ⋅ dL
G G
r − r′
G G
r − r′
B
Carga elétrica
Sistemas
Cartesianas
Cilíndricas
P(r, f, z)
Esféricas
P(r, f, q)
ρ = x2 + y2
y
φ = arctg
x
r = x2 + y2 + z 2
P(x, y, z)
Relações
Vetor
posição
Incremento
G
G
dL = dr
Versores
φ = arctg
z=z
θ = arctg
G
G
r = xaˆ x + yaˆ y + zaˆ z
r = ρaˆ ρ + zaˆ z
G
G
dL = dxaˆ x + dyaˆ y + dzaˆ z dr = dρaˆ ρ + ρdφaˆφ + dzaˆ z
{aˆ x , aˆ y , aˆ z }
⎧ aˆ ρ = aˆ x cosφ + aˆ y senφ
⎪
⎨aˆφ = −aˆ x senφ + aˆ y cosφ
⎪
aˆ z = aˆ z
⎩
y
x
x2 + y 2
z
G
r = raˆr
G
dr = draˆ r + rdθaˆθ + rsenθdφaˆφ
aˆ r = cos φsen θ aˆ x + sen φ sen θ aˆ y + cos θ aˆ z
aˆ θ = cos θ cos φaˆ x + cos θsen φaˆ y − sen θaˆ z
aˆ φ = − sen φ aˆ x + cos φ aˆ y
Elemento de
Volume
Divergente
G G
∇⋅ D
dv = dxdydz
dv = ρdρdφdz
dv = r 2 senθdrdφdθ
∂Dx ∂Dy ∂Dz
+
+
∂z
∂y
∂x
1 ∂
(ρDρ ) + 1 ∂ (Dφ ) + ∂Dz
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
∂Dφ
1 ∂ 2
1 ∂
(Dθ senθ ) + 1
r Dr +
2
r ∂r
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
Gradiente
G
∇V
G
∂V
∂V
∂V
∇V =
aˆx +
aˆ y +
aˆz
∂x
∂y
∂z
G
∂V
∂V
1 ∂V
∇V =
aˆ z
aˆρ +
aˆφ +
ρ ∂φ
∂ρ
∂z
G
∂V
1 ∂V
1 ∂V
∇V =
aˆ r +
aˆθ +
aˆφ
∂r
r ∂θ
rsenθ ∂φ
⎛ ∂H z ∂H y ⎞
⎛ ∂H y ∂H x ⎞
⎛ ∂H x ∂H z ⎞
−
−
−
⎜
⎟ aˆ x + ⎜
⎟ aˆ y + ⎜
∂z ⎠
∂x ⎠
∂y ⎠
⎝ ∂z
⎝ ∂y
⎝ ∂x
⎛ 1 ∂H z ∂H φ ⎞
⎛ ∂H
∂H z
⎜⎜
⎟aˆ ρ + ⎜⎜ ρ −
−
∂z ⎟⎠
∂ρ
⎝ ρ ∂φ
⎝ ∂z
Rotacional
G G
∇× H
Laplaciano
∇2V
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
⎞
1 ⎛ ∂(ρH φ ) ∂H ρ
⎟⎟aˆφ + ⎜⎜
−
∂φ
ρ ⎝ ∂ρ
⎠
(
⎞
⎟⎟aˆ z
⎠
1 ∂ ⎛ ∂V ⎞ 1 ∂ 2V ∂ 2V
+
⎟+
⎜ρ
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ ρ 2 ∂φ 2 ∂z 2
)
1 ⎛ ∂(Hφ senθ ) ∂Hθ
⎜
−
∂θ
∂φ
rsenθ ⎜⎝
⎞
1 ⎛ 1 ∂H r ∂(rHφ ) ⎞
1 ⎛ ∂(rHθ ) ∂H r ⎞
⎟⎟aˆr + ⎜⎜
⎟aˆθ + ⎜
−
−
⎟aˆφ
∂r ⎟⎠
∂θ ⎠
r ⎝ senθ ∂φ
r ⎝ ∂r
⎠
1 ∂ ⎛ 2 ∂V ⎞
1
1 ∂ 2V
∂ ⎛
∂V ⎞
⎜r
⎟+
⎜ senθ
⎟+
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 senθ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r 2 sen2θ ∂φ 2
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Q = ∫∫∫ ρ v dv
Trabalho:
W = − q∆V
G
dW = −QE ⋅ aˆ L dL
V
Teorema da Divergência (Teorema Gauss):
G G
G G
F
⋅
d
S
=
∇
∫∫
∫∫∫ ⋅ FdV
S
G
G G
G
Q1Q2
R12
r2 − r1
ˆ
F12 =
a
ˆ12 = G = G G
12 a
4πε 0 R122
r2 − r1
R12
G
G
ñ
ε0
Gda Stokes
G G
G Teorema
G
∇ × H ⋅ dS = ∫ H ⋅ dl
∫∫ (
G G
G G
Q (r − r ′)
E (r ) =
G G 3
4πε 0 r − r ′
G G Qi
E
∫∫ ⋅ dS =
S
S
Campo elétrico
istemas
V
Lei de Gauss
ψ = ∫∫ D ⋅ dS = Qi
C2
N ⋅m 2
G
G G
ρ (r ′)dv ′
E (r ) = ∫∫∫ v G G 2
v 4πε 0 r − r ′
G G
ρv = ∇ ⋅ D
Energia cinética
1
2
2
∆Ec = m(v f − vi )
2
Lei de Coulomb
ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12
1
- CAPÍTULO VI– Circuitos DC e Geradores
S
)
C
Potencial elétrico
G G
V AB = V A − V B = − ∫ E ⋅ dL
A
G G
r − r′
G G
r − r′
B
Carga elétrica
Cartesianas
Cilíndricas
P(r, f, z)
Esféricas
P(r, f, q)
ρ = x2 + y2
r = x2 + y2 + z 2
P(x, y, z)
φ = arctg
Relações
y
x
φ = arctg
z=z
Vetor
posição
Incremento
G
r = xaˆ x + yaˆ y + zaˆ z
θ = arctg
G
r = ρaˆ ρ + zaˆ z
y
x
x2 + y 2
z
G
r = raˆr
G
dL = dxaˆ x + dyaˆ y + dzaˆ z
G
dr = dρaˆ ρ + ρdφaˆφ + dzaˆ z
G
dr = draˆ r + rdθaˆθ + rsenθdφaˆφ
aˆ r = cos φsen θ aˆ x + sen φ sen θ aˆ y + cos θ aˆ z
Versores
{aˆ x , aˆ y , aˆ z }
⎧ aˆ ρ = aˆ x cosφ + aˆ y senφ
⎪
⎨aˆφ = −aˆ x senφ + aˆ y cosφ
⎪
aˆ z = aˆ z
⎩
Elemento de
Volume
Divergente
dv = dxdydz
G
G
dL = dr
aˆ θ = cos θ cos φaˆ x + cos θsen φaˆ y − sen θaˆ z
aˆ φ = − sen φ aˆ x + cos φ aˆ y
dv = ρdρdφdz
1 ∂
dv = r 2 senθdrdφdθ
(ρD ) + 1 ∂ (D ) + ∂D
∂Dφ
1 ∂ 2
1 ∂
(Dθ senθ ) + 1
r Dr +
r 2 ∂r
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
G G
∇⋅ D
∂Dx ∂Dy ∂Dz
+
+
∂y
∂z
∂x
Gradiente
G
∂V
∂V
∂V
aˆz
aˆ y +
aˆx +
∇V =
∂z
∂y
∂x
G
1 ∂V
∂V
∂V
∇V =
aˆρ +
aˆ +
aˆ
ρ ∂φ φ ∂z z
∂ρ
G
∂V
1 ∂V
1 ∂V
∇V =
aˆ r +
aˆθ +
aˆφ
∂r
r ∂θ
rsenθ ∂φ
Rotacional
G G
∇× H
⎛ ∂H z ∂H y ⎞
⎛ ∂H ∂H ⎞
⎛ ∂H ∂H ⎞
⎜⎜
⎟aˆ x + ⎜ x − x ⎟aˆ y + ⎜⎜ y − x ⎟⎟aˆz
−
∂z ⎟⎠
∂y ⎠
∂z ⎠
⎝ ∂z
⎝ ∂y
⎝ ∂x
⎛ ∂H
⎛ 1 ∂H z ∂H φ ⎞
∂H z ⎞
1 ⎛ ∂(ρH φ ) ∂H ρ ⎞
⎟aˆ z
⎟aˆφ + ⎜⎜
⎜⎜
⎟aˆ ρ + ⎜⎜ ρ −
−
−
∂φ ⎠⎟
ρ ⎝ ∂ρ
∂ρ ⎠⎟
∂z ⎠⎟
⎝ ∂z
⎝ ρ ∂φ
1 ⎛ ∂(Hφ senθ ) ∂Hθ ⎞
1 ⎛ 1 ∂H r ∂(rHφ ) ⎞
1 ⎛ ∂(rHθ ) ∂H r ⎞
⎟aˆr + ⎜⎜
⎜
⎟aˆθ + ⎜
−
−
−
⎟aˆφ
∂θ
∂φ ⎟⎠
∂r ⎠⎟
∂θ ⎠
rsenθ ⎝⎜
r ⎝ senθ ∂φ
r ⎝ ∂r
Laplaciano
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
1 ∂ ⎛ ∂V ⎞ 1 ∂ 2V ∂ 2V
+
⎟+
⎜ρ
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ ρ 2 ∂φ 2 ∂z 2
1 ∂ ⎛ 2 ∂V ⎞
1
1 ∂ 2V
∂ ⎛
∂V ⎞
⎜r
⎟+
⎜ senθ
⎟+
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 senθ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r 2 sen2θ ∂φ 2
G
∇V
∇2V
ρ ∂ρ
ρ
ρ ∂φ
φ
z
∂z
(
)
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA -"Júlio de Mesquita Filho"Campus de Sorocaba/lperó
Unidade Diferenciada Sorocaba/lperó -Engenharia de Controle e Automação;Habilitação:Controle e Automação
Prova 1 –Eletromagnetismo I - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – 05/05/2005
Questão 1 – (3,0 Pontos)
(a)
Densidade superficial:
ρb =5m com rs = - 2,0 m.C/m2. Considere
Densidade volumétrica:
0 ≤ ρ ≤ρ a= 2m com rv = +2,0 m.C/m3
e = e0.
⎧ ρvπρ2L se ρ < 2
G G
G G ⎪
w
∫∫S D⋅ dS = Qi ⇒ w
∫∫S D⋅ dS = ⎨ ρvπρa2L se 2 ≤ ρ < 5
⎪
2
⎩ρvπρa L + ρs 2πρb L se ρ ≥ 5
⎧ ρvπρ 2 L se ρ < 2
⎪
Dρ 2π Lρ = ⎨ ρvπρa2 L se 2 ≤ ρ < 5
⎪
2
⎩ ρvπρa L + ρ s 2πρb L se ρ ≥ 5
⎧
ρ vπρ 2 L
se ρ < 2
⎪
πρ
L
2
⎪
⎪⎪
ρ vπρ a2 L
Dρ = ⎨
se 2 ≤ ρ < 5
2πρ L
⎪
⎪ ρ πρ 2 L + ρ 2πρ L
s
b
se ρ ≥ 5
⎪ v a
2πρ L
⎪⎩
⎧ ρv
⎪ 2 ρ se ρ < 2
⎪
G ⎪ ρ v ρ a2 1
se 2 ≤ ρ < 5
D=⎨
2 ρ
⎪
⎪ ρ v ρ a2 + 2 ρ s ρ b 1
se ρ ≥ 5
⎪
ρ
2
⎩
⎧ 2µ
ρ se ρ < 2
⎪
2
⎪
G ⎪ 2 ⋅ 22 µ 1
se 2 ≤ ρ < 5
D=⎨
2
ρ
⎪
⎪ 2 ⋅ 2 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 5 1µ
se ρ ≥ 5
⎪
2
ρ
⎩
⎧ ρ se ρ < 2
⎪4
G ⎪⎪ se 2 ≤ ρ < 5
D = ⎨ρ
( µC m2 )
⎪ 6
⎪ − se ρ ≥ 5
⎩⎪ ρ
⎧ ρ aˆ ρ se ρ < 2
⎪
G ⎪⎪ 4 aˆ ρ se 2 ≤ ρ < 5
D = ⎨ρ
( µC m2 )
⎪ 6
⎪ − aˆ ρ se ρ ≥ 5
⎪⎩ ρ
⎧ρ
⎪ ε aˆ ρ se ρ < 2
⎪ 0
K ⎪ 4
aˆ ρ se 2 ≤ ρ < 5 ( µV m )
E=⎨
ε
ρ
0
⎪
⎪
6
aˆ ρ se ρ ≥ 5
⎪ −
⎩ ε0ρ
⎧ρ
⎪ ε aˆ ρ se ρ < 2
⎪ 0
K ⎪ 4
aˆ ρ se 2 ≤ ρ < 5 ( µV m )
E=⎨
ε
ρ
0
⎪
⎪
6
aˆ ρ se ρ ≥ 5
⎪ −
⎩ ε0ρ
(b) Potencial:
G G
V AB = V A − V B = − ∫ E ⋅ dL
A
B
Em r = 2 m:
G G
Vρ =3, ρ =3 = Vρ =3 − Vρ = 2 = − ∫ E ⋅ dL
3
2
3
Vρ =3, ρ = 2 = Vρ =3 − Vρ = 2 == − ∫
2
4µ
ε0ρ
dρ
Vρ =3, ρ = 2 = 0 − Vρ = 2 = −4,519774 ⋅105 ln ρ 2
3
−Vρ = 2 = −4,519774 ⋅105 ln
Vρ = 2 = 183261
3
2
Vρ = 2 = 183, 261( kV )
Questão 2 – (2,0 Pontos)
ρs = 20 nC/m2 em z=-3m;
G
ρ
Es = s aˆ s
2ε 0
ρL = -30 nC/m no eixo z:
G
El1 =
ρL
aˆ N
2πε 0 ρ1
1
l1
ρL = 40 nC/m em x = 2m, z = 1m.
G
El2 =
ρL
aˆ N
2πε 0 ρ 2
2
l2
Determine a magnitude de E em:
(a) PA(1, 1, 2);
G
G
20n
10n
Es A =
aˆ z ⇔ Es A =
aˆ
ε0 z
2ε 0
ρL = -30 nC/m no eixo z:
G
G
ρL
−30n ⎛ 1
1 ⎞
El1 = 1 aˆNl ⇔El1 =
aˆx + aˆy ⎟
⎜
1
2
2
2πε0ρ1
2 ⎠
2πε0 1 +1 ⎝ 2
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA -"Júlio de Mesquita Filho"Campus de Sorocaba/lperó
Unidade Diferenciada Sorocaba/lperó -Engenharia de Controle e Automação;Habilitação:Controle e Automação
Prova 1 –Eletromagnetismo I - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – 05/05/2005
G
−30n ⎛ 1
1 ⎞
El1 =
⎜ aˆx + aˆy ⎟
2πε0 2 ⎝ 2
2 ⎠
G −30n
El1 =
( aˆx +aˆy )
4πε0
G
El1 =−270( aˆx + aˆy )
G
El2 =
ρL
aˆ N
2πε 0 ρ 2
G
El2 =
l2
aˆ N2 =
1,1, 2 − 2,1,1
−1, 0,1
−1, 0,1
ρ2 =
G
El2 =
1,1, 2 − 2,1,1
=−
( −1)
2
1
1
aˆ x +
aˆ z
2
2
+ 12 = 2
Questão 3 – (2,0 Pontos)
G
D = r 2 cos 2 θ aˆr
G
G
20n
10n
Es A =
aˆ z ⇔ Es A =
aˆ
ε0 z
2ε 0
G
G
ρL
−30n
⎛ −4 3 ⎞
El1 = 1 aˆNl ⇔El1 =
⎜ aˆx + aˆy ⎟
1
2
2
2πε0ρ1
5 ⎠
2πε0 ( −4) +( 3) ⎝ 5
G −30n
El1 =
( −4aˆx +3aˆy )
2πε0 25
G
El1 =−21.6 −4aˆx +3aˆy
G
El1 = 86.4aˆx −64.8aˆy
2
l2
PB(-4,3, -1); P(2,y,1)
C
m2
G G
ρv = ∇ ⋅ D
∂Dφ
1 ∂ 2
1 ∂
(Dθ senθ ) + 1
r Dr +
2
r ∂r
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
G G 1 ∂
1
= ∇ ⋅ D = 2 ( r 2r 2 cos2 θ ) = 2 4r3 cos2 θ
r ∂r
r
(
ρv
(b) PB(-4,3, -1);
( )
(a) a densidade volumétrica de carga em
r = 1m, θ =π/3.
G
EPA = −630aˆ x − 270aˆ y + 1489.94aˆ z
ρL
aˆ N
2πε 0 ρ 2
6
2
⎛
⎞
aˆ x −
aˆ z ⎟
⎜−
2πε 0 40 ⎝
40
40 ⎠
G
40n
El2 =
( −6aˆ x − 2aˆ z )
2πε 0 40
G
El2 = 18 ( −6aˆ x − 2aˆ z )
G
El2 = −108aˆ x − 36aˆ z
G
G
G
G
EPA = El1 + El2 + Es A
40n
G
EPA = −21.6aˆ x − 64.8aˆ y + 1093.94aˆ z ( MV )
G
⎛
10n ⎞
EPA = −630aˆ x − 270aˆ y + ⎜ 360 +
⎟ aˆ
ε0 ⎠ z
⎝
G
EPA = −630aˆ x − 270aˆ y + 1489.94aˆ z
G
El2 =
= 40
2
G
⎛
10n ⎞
EPA = −21.6aˆ x − 64.8aˆ y + ⎜ −36 +
⎟ aˆ
ε0 ⎠ z
⎝
G
EPA = −21.6aˆ x − 64.8aˆ y + 1093.94aˆ z
ε0
)
2
ε0
G
10n
EPA = −270 ( aˆ x + aˆ y ) + 360 ( − aˆ x + aˆ z ) +
aˆ z
(
( −6 ) + ( −2 )
G
10n
EPA = 86.4aˆ x − 64.8aˆ y − 108aˆ x − 36aˆ z +
aˆ z
1
⎛ 1
⎞
aˆ x +
aˆ z ⎟
⎜−
2πε 0 2 ⎝
2
2 ⎠
G
40n
El2 =
( −aˆ x + aˆ z )
4πε 0
G
El2 = 360 ( −aˆ x + aˆ z )
G
G
G
G
EPA = El1 + El2 + Es A
40n
ρL = -30 nC/m no eixo z:
6
2
aˆ x −
aˆ z
40
40
=−
−6, 0, −2
ρ2 =
2
−4,3, −1 − 2,3,1
−6, 0, −2
aˆ N2 =
PA(1, 1, 2); P(2,y,1)
aˆ N2 =
−4,3, −1 − 2,3,1
aˆ N2 =
)
G G
ρv = ∇ ⋅ D = 4r cos 2 θ = 4 ⋅1cos 2 π3
ρ v = 1C m3
(b) a densidade de fluxo elétrico em:
r = 1m, θ =π/3.
G
D = r 2 cos 2 θ aˆr
G
( ) C/m ñ D = 0.25aˆ C/m
C
m2
2
2
r
Questão 4 – (2,0 Pontos)
V=
50
ρ cos 2 φ (V )
z
,as superfícies equipotenciais correspondentes
a V = 50V, 25V e 10V e o ponto P em ρ = 3m, φ =
30°, z = 2m, determine os valores em P para:
(a) V;
(b) E. Como é posicionado em relação à
equipotencial no ponto P?
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Prova 1 –Eletromagnetismo I - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – 05/05/2005
(c) E;
(d) dV/dN;
(e) aN ;
50
(a) V =
ρ cos 2 φ (V )
z
50
V = 3cos 2 30 (V )
2
50 3
V = 3 ⋅ (V )
2 4
450
V=
= 56, 25 (V )
8
G
G
(b) E = −∇V
G
∂V
1 ∂V
∂V
E=−
aˆρ −
aˆ −
aˆ
∂ρ
ρ ∂φ φ ∂z z
G ∂ ⎡50
⎤ 1 ∂ ⎡50
⎤ ∂ ⎡50
⎤
E=− ⎢ ρcos2 φ⎥aˆρ −
ρcos2φ⎥aˆφ − ⎢ ρcos2φ⎥aˆz
⎢
∂ρ ⎣ z
⎦ ρ ∂φ ⎣ z
⎦ ∂z ⎣ z
⎦
G
50 2
100
50
2
E = − cos φ aˆρ +
cos φ senφ aˆφ + 2 ρ cos φ aˆz
z
z
z
G
50 2
100
50
E = − cos 30°aˆρ +
cos30°sen30°aˆφ + 2 3cos2 30º aˆz
2
2
2
G
75
100 3
450
E = − aˆρ +
aˆφ +
aˆ z
4
8
16
G
E = −18.75aˆρ + 21.65aˆφ + 28.13aˆz
Normal à superfície equipotencial!
(c) E;
2
2
2
G
⎛ 75 ⎞ ⎛ 100 3 ⎞ ⎛ 450 ⎞
E = ⎜ − ⎟ + ⎜⎜
+
⎟ ⎜
⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 8 ⎟⎠ ⎝ 16 ⎠
G
E = 40.14 ( CN )
(d) dV/dN;
(e) aN ;
aˆ N =
G dV
E =
= 40.14 ( Vm )
dN
G
−∇V
aˆ N = G
−∇V
−18.75aˆ ρ + 21.65aˆφ + 28.13âz
40.14
ˆaN = −0.467 aˆ ρ + 0.539aˆφ + 0.701aˆ z
PROCEDIMENTO
PARA
ELABORAÇÃO DAS MANOGRAFIAS
A
1. Elaborar o título.
2. Indicar
o material necessário para a
montagem do experimento, se houver necessidade.
3. Diagramatizar o experimento, quando
houver.
4. Indicar o conteúdo em papel A4, com folhas
numeradas.
5. As
monografias
serão
elaboradas
individualmente .
6. As monografias individuais deverão ser
entregues até a data solicitada de entrega. Não serão
aceitas após a data pedida.
Considerar:
•
Ordem e apresentação da monografia.
•
Conteúdo
e
experimentais.
•
Conclusões e discussão dos resultados.
apresentação
dos
dados
No mínimo, para cada monografia deve sempre
conter:
1. Título , data de realização e colaboradores;
2. Objetivos e importância do tema pesquisado;
3. Roteiro dos procedimentos experimentais,
quando houver.
4. Esquema do aparato utilizado, quando
houver;
5. Descrição dos principais instrumentos e
equipamentos existentes;
6. Dados medidos;
7. Cálculos;
8. Gráficos;
9. Resultados e conclusões.
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA -"Júlio de Mesquita Filho"Campus de Sorocaba/lperó
Unidade Diferenciada Sorocaba/lperó -Engenharia de Controle e Automação;Habilitação:Controle e Automação
Prova 1 –Eletromagnetismo I - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – 05/05/2005
TEMAS:
Magnetoresistividade.
Efeito Peltier
Materiais Piezoelétricos
Equação de Poisson – Junção p-n
em semicondutores
Equação de Laplace
Programação de animações de
temas aprendidos em aula com softwares existentes