Sobre Circuitos RLC em Corrente Alternada Senoidal

Escola Técnica Estadual Monteiro Lobato - CIMOL
Apostila sobre:
Circuitos RLC em Corrente Alternada Senoidal
Monofásica
(última atualização: 23/07/2015)
Professor: Fabiano da Rosa Hollweg
Taquara, RS.
1
SUMÁRIO
1.
CAPÍTULO 1 – CORRENTES ALTERNADAS........................................................................... 3
2.
CAPÍTULO 2 – REATÂNCIAS CAPACITIVA E INDUTIVA .................................................... 9
3.
CAPÍTULO 3 – CIRCUITO RLC SÉRIE ................................................................................... 15
4.
CAPÍTULO 4 – CIRCUITO RLC PARALELO .......................................................................... 30
5.
CAPÍTULO 5 – POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA ....................... 38
6.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE CIRCUITOS RLC EM SÉRIE........................................ 55
7.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE CIRCUITOS RLC EM PARALELO .............................. 57
8.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE OS CAPÍTULOS 1, 2, 3 E 4 ........................................... 59
9.
MODELO/EXEMPLO DE PROVA COM A MATÉRIA DOS CAPÍTULOS 1, 2, 3 E 4 ............ 60
10. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE O CAPÍTULO 5 ............................................................. 63
2
1. CAPÍTULO 1 – CORRENTES ALTERNADAS
A maioria das casas e repartições são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (c.a.),
isto é, corrente cujo valor varia no tempo e, geralmente, de forma senoidal, trocando de sentido 60 vezes por
segundo (mais comumente). À primeira vista, pode parecer um procedimento estranho.
A velocidade escalar de deriva dos elétrons de condução num fio condutor é cerca de 4×10−5m/s. Se,
agora, invertermos seus sentidos a cada intervalo de 1/60 do segundo, estes elétrons poderiam mover-se apenas
6×10−7m, na metade de um ciclo. Com esta taxa, um elétron típico mover-se-ia passando por não mais do que
aproximadamente vinte átomos da rede cristalina do cobre antes que fosse forçado a inverter o sentido do
movimento. Como o elétron poderia vir a alcançar qualquer parte do fio?
Embora o fato possa ser embaraçoso, não implica preocupação. Os elétrons de condução não têm que
“alcançar qualquer parte do fio”. Quando dizemos que a corrente que percorre um fio é igual a um ampère,
significa que os portadores de carga atravessam qualquer plano ortogonal ao fio na taxa de 1 coulomb por
segundo. A velocidade escalar com que os portadores atravessam esse plano não entra diretamente neste cálculo;
um ampère pode corresponder a muitos portadores de carga se movendo lentamente ou a poucos se movendo
rapidamente. Além disso, o sinal que obriga os elétrons a inverterem seus sentidos de movimento − que resulta
da fem (força eletromotriz) alternada fornecida pelo gerador − propaga-se ao longo do fio a uma velocidade
praticamente igual a da luz, que é de aproximadamente 300.000km/s no vácuo. Todos os elétrons,
independentemente de onde estejam localizados, recebem este sinal que os obriga a mudarem de sentido
praticamente no mesmo instante. Finalmente, notamos que em muitos dispositivos, tais como lâmpadas ou
torradeiras elétricas, não interessa o sentido do movimento dos elétrons e sim que estejam em movimento e,
desse modo, transferindo energia ao dispositivo.
Uma das principais vantagens da corrente alternada é a seguinte: à medida que a corrente se alterna, o
campo magnético que circunda o condutor também se alterna. Tal fato torna possível a aplicação da lei da
indução de Faraday que, dentre outras coisas, nos permite aumentar ou diminuir, à vontade, o valor de uma
tensão alternada, usando um dispositivo chamado transformador (que funciona somente em c.a., lembre-se
“muito bem” disto). Além disso, a corrente alternada é mais adequada para o uso em máquinas rotativas, tais
como geradores e motores, do que a corrente contínua (c.c.). Por exemplo, girando-se uma bobina num campo
magnético externo, como na Figura 1.1, a fem induzida na bobina é alternada. Extrair uma tensão alternada de
uma bobina e, a seguir, transformá-la numa tensão de magnitude e polaridade constantes para que se possa suprir
um sistema de distribuição de energia de corrente contínua, tem sido um desafio para a engenharia.
Figura 1.1 − Ao lado, os rudimentos do
princípio básico de um gerador de corrente
alternada, também conhecido por alternador,
o qual consiste na rotação de uma bobina
num campo magnético externo. Nesta figura,
B é o vetor campo magnético (juntamente
com as linhas de indução), I é a corrente
alternada (induzida) e ε é a fem induzida.
As fems e as correntes alternadas geradas por elas são fundamentais, não apenas para os sistemas de
geração e distribuição de energia, mas também para o rádio, a televisão, a comunicação através de satélites, os
computadores, a medicina e para um grande número de situações que caracterizam nosso estilo moderno de vida.
3
Freqüência
A frequência (f) é uma grandeza física associada a movimentos de característica ondulatória, a qual
indica o número de revoluções (ciclos, voltas, oscilações, etc) por unidade de tempo. A unidade da freqüência no
SI (Sistema Internacional de Unidades de Medidas) é o inverso do segundo, ou seja, 1/s = s−1, também conhecida
por rps (rotações por segundo), a qual recebeu uma denominação especial, o hertz, cuja abreviação é Hz. Pode-se
também medir a freqüência em rotações por minuto (rpm). Uma rps (ou seja, 1Hz) equivale a 60rpm.
Período
Alternativamente, podemos medir o tempo decorrido para uma oscilação. Este tempo em particular
recebe o nome de período (T). Em outras palavras, o período é o tempo necessário para que um movimento volte
a se repetir. A unidade SI do período é o segundo (s). Matematicamente, a freqüência é o inverso do período, ou
seja,
f =
1
.
T
(1)
Freqüência Angular
A freqüência angular (ω) é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI, a freqüência angular é
medida em radianos por segundo (rad/s). É apenas um múltiplo da freqüência (f). Matematicamente,
ω = 2πf
(2)
ou
ω=
2π
.
T
(3)
Onda Senoidal
A onda senoidal é o mais básico dos sinais elétricos. Ela é usada freqüentemente, por exemplo, para
testar circuitos eletrônicos. Além disso, sinais complicados podem ser reduzidos a uma superposição de várias
ondas senoidais.
Figura 1.2 - Senóide
Observe, na Figura 1.2, como a
tensão aumenta de zero até um máximo
positivo aos 90º, diminuindo para zero em
180º, atinge um máximo negativo em 270º
e volta a zero em 360º. Conforme foi
indicado, Vp é o valor de pico de uma onda
seno, ou seja, o valor máximo que ela
atinge. A senóide tem um pico positivo em
90º e um negativo em 270º.
Nota: πrad = 180º, onde πrad = 3,14.
A onda senoidal que aparece no gráfico acima é uma função da forma:
4
v = V p ⋅ sen(ω ⋅ t ) ,
(4)
onde v é a tensão instantânea, Vp é a tensão de pico, ω é a freqüência angular da rede e t representa o tempo.
Aqui, vamos adotar uma convenção: sempre que nos referirmos à valores instantâneos das grandezas
elétricas c.a. em estudo, tais como corrente, tensão e potência, usaremos letras minúsculas. Por exemplo: se nos
referirmos a tensão instantânea sobre um resistor R, um capacitor C e um indutor L, usaremos vR, vC, e vL,
respectivamente; se nos referirmos a corrente instantânea sobre um resistor R, um capacitor C e um indutor L,
usaremos iR, iC, e iL, respectivamente; se nos referirmos a potência instantânea sobre um um resistor R, um
capacitor C e um indutor L, usaremos pR, pC, e pL, respectivamente. Da mesma forma, quando nos referirmos à
valores rms (que será visto a seguir) ou de amplitude (pico) de grandezas elétricas, usaremos letras maiúsculas.
Por exemplo: se nos referirmos a tensão de pico de um resistor R, um capacitor C e um indutor L, usaremos VR,
VC, e VL, respectivamente; se nos referirmos a corrente de pico de um resistor R, um capacitor C e um indutor L,
usaremos IR, IC, e IL, respectivamente; se nos referirmos a tensão rms de um resistor R, um capacitor C e um
indutor L, usaremos VR(rms), VC(rms), e VL(rms), respectivamente; e se nos referirmos a corrente rms de um resistor R,
um capacitor C e um indutor L, usaremos IR(rms), IC(rms), e IL(rms), respectivamente.
Ainda na equação (4), o produto ω⋅t que aparece no argumento da função seno corresponde ao
deslocamento angular (θ) efetuado pela onda seno durante o ciclo de oscilação do sinal c.a., ou seja,
θ = ω ⋅t .
(5)
A Figura 1.3 mostra que uma onda senoidal pode ser descrita por uma circunferência, na qual o vetor
(flecha) representa o valor de amplitude da tensão alternada (aqui, neste exemplo, sendo a amplitude de tensão
de um volt). Quando este vetor for projetado no eixo vertical, numa determinada posição angular (ω⋅t), o mesmo
fornece o valor instantâneo v da tensão alternada neste instante. Todo tipo de movimento oscilatório e, portanto,
“periódico” (tipo seno e cosseno), pode ser descrito de tal forma (via circunferência), na qual um vetor “gira” no
sentido anti-horário, com velocidade angular ω, efetuando um deslocamento angular dado por θ = ω⋅t. Este vetor
que “gira” é denominado fasor. Os fasores e diagramas fasoriais serão retomados nos capítulos mais adiante.
Figura 1.3 – como desenhar uma onda senoidal
Valor de Pico
O valor de pico de uma onda senoidal é o valor máximo (amplitude) que a onda seno atinge, ou seja, é a
máxima amplitude da onda seno.
Valor de Pico a Pico
O valor de pico a pico de uma onda senoidal é o dobro do valor de pico. Para a tensão senoidal acima, o
valor de pico a pico (Vpp) é
V pp = 2 ⋅ V p .
(6)
5
Valor Eficaz (rms)
O valor rms (raiz média quadrática, rms, do inglês root mean square, algumas vezes também traduzido
por raiz quadrática média, rqm) de uma onda senoidal, também chamado valor eficaz (Vef), valor c.a. (Vca) ou
valor de aquecimento, é definido como a tensão c.c. que produz a mesma quantidade de calor que a tensão
senoidal. Para tais cálculos usamos a relação
Vrms = Vrqm = Vef = Vca =
Vp
2
.
(7)
Se uma tensão senoidal aparecer através de um resistor, ela produzirá uma corrente senoidal em fase 1
através do resistor. Em outras palavras, o resistor dissipa uma quantidade constante de calor como se houvesse
uma tensão c.c. através dele. Colocando de outra forma, usando-se os valores médios quadráticos para as
grandezas alternadas, a taxa média de dissipação de energia (a potência média Pmed) será, para circuitos de
corrente alternada, a mesma que para circuitos de corrente contínua com uma fem constante.
Logo, a única razão (e de grande vantagem) para o uso de valores médios quadráticos em circuitos de
corrente alternada é o fato de que estes nos permitem aplicar as relações familiares de potência dos circuitos de
corrente contínua. Veremos isso em capítulos mais adiante.
Valor Médio
O valor médio de uma onda senoidal ao longo de um ciclo é zero. Isto porque a onda senoidal é
simétrica: cada valor positivo da primeira metade do ciclo é compensado por um valor igual e negativo da
segunda metade do ciclo. Se somarmos todos os valores da onda seno entre 0º e 360º, teremos zero como
resultado, o que implica um valor médio zero.
Contudo, algumas vezes é de interesse saber o valor médio de uma onda senoidal ao longo de um meio
ciclo de oscilação. Para tanto, o valor médio de uma onda senoidal ao longo de um meio período é dado por
valor médio =
2 ⋅ (valor de pico)
π
.
(8)
Assim, por exemplo, o valor médio de uma tensão senoidal (Vmed) num meio ciclo de oscilação, em
função da amplitude de tensão (Vp) da onda seno, é dado pela relação:
Vmed =
2 ⋅Vp
π
,
(9)
enquanto que a corrente média (Imed), num meio ciclo de oscilação, em função da amplitude (pico) de corrente
(Ip) da onda seno, é dada pela relação
I med =
2⋅ I p
π
.
(10)
Instrumentos de Medidas Elétricas – Amperímetros e Voltímetros
Os amperímetros/voltímetros quando ajustados na escala c.a. medem apenas valores eficazes. Em Porto
Alegre, por exemplo, a tensão nas tomadas é, em geral, de 110V (isto é: 110Vrms = 110Vrqm = 110Vef = 110Vca),
de modo que esse será o valor indicado por um voltímetro devidamente ajustado na escala c.a.
1
O termo fase será explicado em capítulos mais adiante.
6
Um voltímetro c.c. indicará zero se for usado para medir uma tensão senoidal. Por quê? Porque o
ponteiro de um voltímetro c.c. tenta flutuar positiva e negativamente com amplitudes iguais. Porém, a inércia das
partes móveis o impede de fazê-lo. Então, ele indica um valor médio igual a zero. Isto, é claro, supõe uma
freqüência maior do que aproximadamente 10Hz, de modo que o ponteiro não possa acompanhar variações
rápidas.
Gerador c.a.
Na figura abaixo, à direita, há o símbolo para um gerador c.a., que consiste num círculo com uma
senóide inscrita. Em comparação, na figura à esquerda, temos o já conhecido gerador c.c., onde a seta, na fonte,
indica o sentido (convencional) dos portadores de carga (positiva), que é do terminal positivo para o terminal
negativo no circuito externo (a carga R) e do terminal negativo para o positivo no circuito interno (dentro da
fonte).
Figura 1.4: circuito com gerador c.c.
Figura 1.5: circuito com gerador c.a.
EXEMPLOS
1) Considere uma tensão senoidal cuja função é v = 16,97 ⋅ sen(376,8 ⋅ t ) , sendo estes valores medidos em
unidades do SI. Determine, então, para esta senóide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
A tensão de pico.
A tensão de pico a pico.
A tensão eficaz.
A freqüência angular.
A freqüência em Hertz.
O período em milisegundos (ms).
Um eboço do gráfico da tensão (em volts) contra o tempo (em milisegundos) para esta senóide.
A tensão instantânea quando se atinge três quartos de um ciclo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Considere uma tensão senoidal cuja função é v = 282,84 ⋅ sen(314 ⋅ t ) , sendo estes valores medidos em
unidades do SI. Determine, então, para esta senóide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
A tensão de pico.
A tensão de pico a pico.
A tensão eficaz.
A freqüência angular.
A freqüência em Hertz.
O período em milisegundos (ms).
A tensão instantânea quando se atinge a metade de um ciclo.
A tensão média ao longo de um ciclo completo de oscilação.
Um eboço do gráfico da tensão (em volts) contra o tempo (em milisegundos) para esta senóide.
7
2) O gráfico ao lado ilustra uma tensão
senoidal ao longo de um ciclo de
oscilação. Determine, então, para esta
senóide:
a)
b)
c)
d)
A tensão de pico.
A tensão de pico a pico.
A tensão eficaz.
O período de oscilação da
senóide, em milisegundos (ms).
e) A freqüência em Hertz.
f) A freqüência angular, em rad/s.
g) A equação da tensão instantânea.
3) Qual a principal vantagem de se trabalhar com correntes alternadas em sistemas de produção e
distribuição de energia?
4) Qual a principal vantagem de se trabalhar com valores eficazes em circuitos que operam em correntes
alternadas?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
2.
3.
4.
a) 282,84V; b) 565,68V; c) 200V; d) 314rad/s; e) 50Hz; f) 20ms; g) Zero; h) Zero; i) Faça você mesmo.
a) 100V; b) 200V; c) 70,71V; d) 12,56ms; e) 79,62Hz; f) 500rad/s; g) v = 100 ⋅ sen(500 ⋅ t ) .
Faça você mesmo.
Faça você mesmo.
8
2. CAPÍTULO 2 – REATÂNCIAS CAPACITIVA E INDUTIVA
Resistência Elétrica
Quando uma corrente elétrica é estabelecida em um condutor metálico, um número muito elevado de
elétrons livres passa a se deslocar nesse condutor. Nesse movimento, os elétrons colidem entre si e também
contra os átomos que constituem o metal. Portanto, os elétrons encontram certa dificuldade para se deslocar, isto
é, existe uma “resistência” à passagem da corrente elétrica no condutor. Para medir essa resistência, definiu-se
uma grandeza denominada resistência elétrica (R).
A resistência elétrica é a capacidade de um corpo qualquer se opor à passagem de uma corrente elétrica
(I) pelo mesmo, quando existe uma tensão (V) aplicada entre seus extremos. Segundo o Sistema Internacional de
Unidades (SI), a unidade de medida para resistência elétrica é o ohm (Ω). Matematicamente, a resistência
ôhmica2 obedece a relação
V = R⋅I .
(1)
Nos cursos de corrente contínua (c.c.), vemos que a associação de resistências em série ou em paralelo
resulta numa chamada resistência equivalente (Req), de um ponto de vista geral para o circuito em questão. Em
tais casos:
n
Req = R1 + R2 + R3 + ... + Rn = ∑ R j .
(Resistências em Série)
(2)
(Resistências em Paralelo)
(3)
j =1
n
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
=∑
.
Req R1 R2 R3
Rn
j =1 R j
Para o caso especial de duas resistências associadas em paralelo, há uma relação bastante útil, derivada
do somatório acima, e expressa matematicamente da seguinte forma:
Req =
R1 ⋅ R2
.
R1 + R2
(Duas Resistências em Paralelo)
(4)
Capacitância
A capacitância (C) ou capacidade é a grandeza elétrica de um capacitor, determinada fundamentalmente
como sendo a constante de proporcionalidade entre a quantidade de carga elétrica (Q) armazenada neste
dispositivo e a tensão (V) entre as suas placas, sejam estas planas ou não. Matematicamente, a capacitância
obedece a relação:
Q = C ⋅V
(5)
2
Ressaltando o fato de que as resistências ôhmicas são grandezas lineares. Ou seja, a relação V versus I para uma resistência
ôhmica resulta num gráfico linear. Existem elementos não lineares, como é o caso do diodo semicondutor de silício. Neste
caso, a relação V versus I para esses elementos resulta num gráfico V versus I não linear.
9
Segundo o SI, a unidade de medida da capacitância de um capacitor é o farad (F). Um capacitor, em suma, é um
dispositivo destinado a armazenar energia elétrica através do campo elétrico que se estabelece entre suas placas.
Nos cursos de corrente contínua, vemos que a associação de capacitâncias em série ou em paralelo
resulta numa chamada capacitância equivalente (Ceq), de um ponto de vista geral para o circuito em questão. Em
tais casos:
n
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
=∑
.
C eq C1 C 2 C 3
Cn
j =1 C j
(Capacitâncias em Série)
(6)
(Capacitâncias em Paralelo)
(7)
n
C eq = C1 + C 2 + C 3 + ... + C n = ∑ C j .
j =1
Para o caso especial de duas capacitâncias associadas em série, há uma relação bastante útil, derivada do
somatório acima, e expressa matematicamente da seguinte forma:
C eq =
C1 ⋅ C 2
.
C1 + C 2
(Duas Capacitâncias em Série)
(8)
Indutância
Um indutor é um dispositivo que apresenta a propriedade denominada indutância (L). A unidade SI de
medida para a indutância é o henry (H). Um indutor, que consiste em nada mais do que uma bobina, é usado para
criar um campo magnético conhecido numa determinada região. Quando uma corrente elétrica I percorre N
espiras num indutor, um fluxo magnético Φ atravessa este dispositivo. A indutância (L) do indutor é então
matematicamente definida pela relação
L=
N ⋅Φ
.
I
(9)
Nos cursos de corrente contínua, vemos que a associação de indutâncias em série ou em paralelo resulta
numa chamada indutância equivalente (Leq), de um ponto de vista geral do circuito em questão. Em tais casos:
n
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + Ln = ∑ L j .
(Indutâncias em Série)
(10)
(Indutâncias em Paralelo)
(11)
j =1
n
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
=∑
.
Leq L1 L2 L3
Ln
j =1 L j
Para o caso especial de duas indutâncias associadas em paralelo, há uma relação bastante útil, derivada
do somatório acima, e expressa matematicamente da seguinte forma:
Leq =
L1 ⋅ L2
.
L1 + L2
(Duas Indutâncias em Paralelo)
(12)
10
Reatância
A reatância (X), ou reagência elétrica, é a oposição (resistência) oferecida à passagem de corrente
alternada por uma indutância ou uma capacitância ou, mais especificamente, ambas (capacitância e indutância),
num circuito elétrico qualquer submetido a uma fem alternada. Como a reatância desempenha um papel de
resistência, a mesma é medida, no SI, em ohms (Ω). A reatância constitui uma componente da impedância (Z) de
um circuito em c.a., grandeza essa que será estudada mais adiante. Por hora, basta saber que a impedância
representa a resistência total de um circuito à passagem da corrente alternada pelo mesmo.
Porém, é importante aqui ressaltar que a forma de se determinar reatância X num circuito resistivoindutivo-capacitivo (RLC) do tipo série difere daquela para um circuito de associação destes elementos (RLC)
em paralelo. Mostraremos isso nos próximos capítulos, mas antes precisamos saber como determinar a reatância
devida especificamente à capacitância (C) e a indutância (L) do circuito considerado; estamos falando da
reatância capacitiva (XC) e da reatância indutiva (XL). Estas, por sua vez, independem da forma como se ligam os
elementos C e L no circuito, sendo necessárias para a determinação da reatância X do circuito considerado.
Reatância Capacitiva
A reatância capacitiva (XC) é matematicamente expressa por
XC =
1
,
ω ⋅C
(13)
onde ω é a freqüência angular da fonte de fem c.a. e C é a capacitância do capacitor. A reatância capacitiva
também relaciona-se com a tensão de pico (VC) e a corrente de pico (IC) no capacitor pela definição de
resistência:
VC = X C ⋅ I C .
(14)
Também, a mesma (XC) pode ser obtida usando-se valores rms de tensão e corrente, isto é,
VC ( rms ) = X C ⋅ I C ( rms ) .
(15)
Reatância Indutiva
A reatância indutiva (XL) é matematicamente expressa por
XL =ω⋅L,
(16)
onde ω é a freqüência angular da fonte de fem c.a. e L é a indutância do indutor. A reatância indutiva também
relaciona-se com a tensão de pico (VL) e a corrente de pico (IL) no indutor pela definição de resistência:
VL = X L ⋅ I L .
(17)
Também, a mesma (XL) pode ser obtida usando-se valores rms de tensão e corrente, isto é,
V L ( rms ) = X L ⋅ I L ( rms )
(18)
11
Curvas de XL e XC versus f
Como se pode perceber em (13), a reatância capacitiva XC é inversamente proporcional a freqüência
angular ω (e conseqüentemente a freqüência f) e também a capacitância C. Ou seja, aumentando-se a freqüência
f do circuito, ω aumenta e a reatância capacitiva XC diminui. Por outro lado, se mantivermos a freqüência f fixa
(conseqüentemente fixando ω) e aumentarmos a capacitância C, a reatância capacitiva XC também se reduz. Com
a reatância indutiva XL, o efeito é diferente. Como se pode perceber em (16), a reatância indutiva XL é
diretamente proporcional à freqüência angular ω (e conseqüentemente a freqüência f) e também à indutância L.
Ou seja, aumentando-se a freqüência f do circuito, ω aumenta e a reatância indutiva aumenta. Por outro lado, se
mantivermos a freqüência f fixa (conseqüentemente fixando ω) e aumentarmos a indutância L, a reatância
indutiva XL também se eleva.
Ambas as equações (13) e (16) envolvem a freqüência angular no grau 1 (isto é, ω1 = ω), assim como a
freqüência f (isto é, f1 = f). Isto indica que a equação (13) é uma função cujo gráfico XL versus f resulta numa
hipérbole, conforme se verifica na Figura 2.1. Já a equação (16) é uma função linear (do primeiro grau), cujo
gráfico XC versus f resulta numa reta crescente, conforme se verifica na Figura 2.1. Essa figura exibe as duas
curvas, de XL e XC versus f, superpostas no mesmo plano coordenado. Observe que há uma freqüência
característica para a qual as duas reatâncias, indutiva e capacitiva, se igualam. Essa é a denominada freqüência
de ressonância fRES. A ressonância de um circuito em corrente alternada, e seus efeitos, será discutida em
capítulos mais adiante. Mas, por hora, é importante saber que essa condição para que um circuito em c.a.,
contendo elementos indutivos e capacitivos, entre em ressonância é que suas reatâncias devem se igualar.
Figura 2.1 – Curvas de XL e XC com relação a freqüência f .
Circuitos c.a.
Nos cursos de corrente contínua, geralmente estudamos circuitos elétricos que consistem na associação
em série, em paralelo e mista de resistências as quais são conectadas a uma fonte de fem c.c. (constante).
Pergunta-se: Se a fonte de fem não for contínua (c.c.), e sim alternada (c.a.), como se procede? Responde-se:
Para resolver um circuito c.a., somente com resistências, procede-se da mesma forma que para um circuito c.c.
No entanto, deve-se observar se a tensão fornecida é a tensão eficaz (Vrms) ou de pico (VP). Aplicamos, assim
como nos circuitos c.c., as leis de Kirchhoff, conforme for conveniente.
Existe a “reatância resistiva”? Não existe uma reatância resistiva. Seja em c.c. ou c.a., a resistência (R) é
sempre a “resistência”. A mesma relaciona-se com a tensão de pico (VR) e a corrente de pico (IR) no resistor pela
definição de resistência:
VR = R ⋅ I R .
(19)
12
Também, a mesma (R) pode ser obtida usando-se valores rms de tensão e corrente, isto é,
V R ( rms ) = R ⋅ I R ( rms ) .
(20)
A resistência, assim como a reatância, constitui uma componente da impedância (Z) de um circuito,
grandeza essa que será estudada posteriormente, conforme colocado anteriormente.
E como se procede caso, no lugar de resistências, tivermos a associação em série, em paralelo e até mista
de capacitores ou, então, indutâncias? Como em c.a. os capacitores e indutores se comportam como resistências,
o procedimento é idêntico ao descrito acima para as resistências puras. E como se procede caso tivermos um
circuito que combine os três elementos: resistor, capacitor e indutor? Este tipo de circuito será estudado nos
capítulos seguintes.
EXEMPLOS
1. Um capacitor conectado numa fem alternada, que oscila numa freqüência de 120Hz, apresenta uma
tensão de pico de 50V e é percorrido por uma corrente de pico igual a 100mA. Qual a capacitância deste
capacitor em microfarads (µF)?
2. Um indutor é conectado a uma fem alternada que oscila numa freqüência de 60Hz. Sabendo-se que a
tensão medida sobre o mesmo é de 63,83V e que a amplitude da corrente c.a. que o atravessa é de 2A,
determine a indutância deste indutor, em mili-henrys (mH).
3. Para qual a freqüência, em hertz (Hz), um capacitor de 10µF e um indutor de 10H apresentarão a mesma
reatância?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Um capacitor de 100µF é conectado a uma fem alternada que oscila numa freqüência de 60Hz.
Determine a reatância capacitiva deste capacitor.
2. Um capacitor de 100pF é conectado a uma fem alternada que oscila numa freqüência de 2MHz.
Determine a reatância capacitiva deste capacitor.
3. Um capacitor conectado numa fem alternada, que oscila numa freqüência de 60Hz, apresenta uma tensão
de pico de 100V e é percorrido por uma corrente de pico igual a 150mA. Qual a capacitância deste
capacitor em microfarads (µF)?
4. Um capacitor de 5µF conectado a uma fem alternada apresenta uma reatância de 1kΩ. Sendo assim, qual
a freqüência, em hertz (Hz), de oscilação desta fem?
5. Um indutor conectado numa fem alternada, que oscila numa freqüência de 120Hz, apresenta uma tensão
de pico de 45V e é percorrido por uma corrente de pico igual a 75mA. Qual a indutância deste indutor
em mili-henrys (mH)?
6. Um indutor de 45mH é conectado a uma fem alternada que oscila numa freqüência de 1kHz. Determine
a reatância indutiva deste indutor.
13
7. O gráfico ao lado ilustra a tensão
instantânea sobre um capacitor (vC)
e sobre um indutor (vL) num circuito
submetido a uma fem c.a. senoidal.
Sabendo-se que o valor eficaz da
corrente que atravessa o capacitor e
o indutor são de 212,77mA e
354,61mA,
respectivamente,
determine:
a) O valor do capacitor, em
microfarads (µF).
b) O valor do indutor, em milihenrys (mH).
8. Para qual a freqüência, em quilo-hertz (kHz), um capacitor de 10nF e um indutor de 10mH apresentarão
a mesma reatância?
9. Diferencie uma resistência ôhmica de uma reatância.
10. Afirmativa: “A reatância capacitiva aumenta conforme aumenta a freqüência da fonte de fem alternada”.
Verifique a validade desta afirmativa (ou seja, responda se a mesma é válida ou não e justifique sua
resposta).
11. Afirmativa: “A reatância indutiva aumenta conforme aumenta a freqüência da fonte de fem alternada”.
Verifique a validade desta afirmativa (ou seja, responda se a mesma é válida ou não e justifique sua
resposta).
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
26,53Ω
796,18Ω.
3,98µF.
31,85Hz.
796mH.
282,6Ω.
a) 5,32µF; b) 190,42mH.
15,92kHz.
Faça você mesmo.
Faça você mesmo.
Faça você mesmo.
14
3. CAPÍTULO 3 – CIRCUITO RLC SÉRIE
Impedância e Reatância
Impedância elétrica ou simplesmente impedância (quando, em domínio de circuitos ou sistemas elétricos
e Engenharia Elétrica, não houver possibilidade de confusão com outras possíveis acepções de impedância), em
circuitos elétricos, é a relação entre o valor eficaz da tensão entre dois pontos do circuito em consideração e o
valor eficaz da corrente resultante no circuito. A impedância é expressa em ohms (Ω), e designada geralmente
pela letra Z. A impedância indica a oposição total que um circuito, constituído de resistências puras (ôhmicas) e
mais as reatâncias, oferece ao fluxo de uma corrente elétrica variável no tempo. Matematicamente, exprime-se a
impedância de duas maneiras. Vejamos estas:
(1) Conforme mencionado acima, determina-se a impedância elétrica (Z) por
ε rms = Z ⋅ I rms .
(1)
Também, a impedância pode ser expressa pelos valores de pico da fem entre os terminais do determinado
circuito elétrico c.a. e da corrente resultante no mesmo, ou seja,
ε P = Z ⋅ IP .
(2)
(2) Pode-se relacionar a impedância com a resistência ôhmica R e a reatância X. Aqui, vamos subdividir em dois
casos: o primeiro, (2.1), para um circuito RLC série e o segundo, (2.2), para um circuito RLC paralelo. Este
último será tratado no próximo capítulo.
(2.1) Circuito RLC série:
Este tipo de circuito, conforme ilustra a Figura 3.1, consiste de uma resistência R, uma capacitância C e
uma indutância L associadas em série, de modo que esta combinação seja conectada a uma fonte de fem, seja c.c.
ou c.a..
Figura 3.1 – Circuito RLC série.
No presente caso, estamos nos restringindo a estudar o comportamento de circuitos submetidos a uma
fem c.a.. Nesta configuração (série), a impedância Z do circuito é matematicamente expressa em termos da
resistência R e da reatância X pela equação
Z = R2 + X 2 .
(3)
15
Nesta equação, a impedância elétrica Z, a resistência ôhmica R e a reatância X são, no SI, medidas em ohms (Ω).
Normalmente, a reatância X num circuito RLC série é expressa pela diferença entre a reatância indutiva (XL) e a
reatância capacitiva (XC), ou seja,
X = X L − XC .
(4)
Ainda, no circuito RLC série, a amplitude da fem c.a. no gerador pode ser obtida por uma relação
semelhante a da impedância dada em (3) para este tipo de circuito, isto é,
ε P = VR 2 + V X 2 .
(5)
Nesta equação, a fem de pico εP, a tensão de pico na resistência VR e na reatância VX são, no SI, medidas em
volts (V). O valor rms da fem c.a do gerador pode ser obtido por uma relação semelhante a (6), isto é,
ε rms = VR2( rms ) + V X2( rms ) .
(6)
Normalmente, a tensão de pico na reatância VX de um circuito RLC série é expressa pela diferença entre a tensão
de pico da reatância indutiva (VL) e da reatância capacitiva (VC), ou seja,
V X = VL − VC .
(7)
O valor rms da tensão na reatância VX(rms) de um circuito RLC série também pode ser expresso pela diferença
entre os valores rms da tensão de pico da reatância indutiva (VL) e da reatância capacitiva (VC), ou seja,
V X ( rms ) = VL ( rms ) − VC ( rms ) .
(8)
A reatância também relaciona-se com sua tensão de pico (VX) e sua corrente de pico (IX) pela definição de
resistência,
VX = X ⋅ I X ,
(9)
e, também, com seus valores rms de tensão e corrente, isto é,
V X ( rms ) = X ⋅ I X ( rms ) .
(10)
Ângulo de Fase (ou Defasagem)
No Capítulo 1 vimos a maneira básica da produção de corrente alternada senoidal, a qual consiste na
rotação de uma bobina num campo magnético externo. Matematicamente, a fem c.a. induzida na bobina pode ser
descrita pela equação
ε = ε P ⋅ sen(ω ⋅ t ) ,
(11)
onde ε é a fem instantânea, εP é a fem de pico, ω é a freqüência angular da rede e t representa o tempo.
Agora, por exemplo, considerando que um gerador c.a. conectado num circuito RLC série tenha uma fem
descrita pela equação (11) acima, pergunta-se: Qual é a corrente instantânea i que circula por esta malha? A
16
discussão precedente para responder detalhadamente esta questão está além do objetivo aqui proposto, de forma
que, simplesmente, apresentaremos o resultado final, o qual matematicamente é expresso pela equação
i = I P ⋅ sen(ω ⋅ t − φ ) .
(12)
Exatamente como nos circuitos de corrente contínua, a corrente alternada instantânea i, no circuito RLC
série, tem a mesma intensidade em qualquer parte da malha. Além disso, a freqüência angular ω da corrente i é
necessariamente a mesma da fem do gerador c.a. de (11), sendo IP a amplitude da corrente no circuito. A
novidade aqui é a constante de fase φ, mais conhecida como ângulo de fase (ou defasagem), que aparece no
argumento da função seno, subtraindo o deslocamento angular ω⋅t efetuado pela fem senoidal do gerador c.a..
Ainda, o argumento da função seno da equação (12), correspondente à diferença ω⋅t−φ, chama-se fase da onda
senoidal.
O que é o ângulo de fase φ (ou defasagem φ) que aparece no argumento da função seno da corrente i no
circuito RLC série? Matematicamente, o ângulo de fase φ mede a defasagem angular (isto é, a separação angular)
entre a tensão alternada e a corrente alternada no circuito RLC em questão, seja ele série, paralelo ou misto.
Fisicamente, o ângulo de fase (ou defasagem) entre a tensão alternada e a corrente alternada é uma grandeza
proporcional à quantidade de energia na forma reativa presente no circuito. Assim, quanto maior for a defasagem
angular entre a tensão alternada e a corrente alternada em um circuito RLC em questão, seja ele série, paralelo ou
misto, maior será a quantidade de energia reativa do circuito. Em outras palavras, o ângulo de fase (ou
defasagem) é uma grandeza proporcional à potência reativa do circuito. Ou seja, quanto maior for a defasagem
angular entre a tensão alternada e a corrente alternada em um circuito RLC em questão, seja ele série, paralelo ou
misto, maior será a potência reativa do circuito. O estudo de potência em circuitos de c.a. será realizado no
Capítulo 5. No entanto, para fins de entendimento prévio, pode-se dizer que a potência reativa, em circuitos de
c.a., é análoga à potência de perdas dos circuitos em c.c.. Logo, pode-se compreender, por analogia entre
circuitos c.a. e c.c., que a potência reativa, em circuitos de c.a., desempenha um papel similar à potência de
perdas dos circuitos em c.c.. Dessa ótica, a defasagem angular entre a tensão e a corrente alternada em circuitos
de c.a., é proporcional ao grau de desperdício (ou desaproveitamento) de energia do circuito na forma reativa.
Portanto, quanto maior a defasagem angular entre a tensão alternada e a corrente alternada em um circuito de
c.a., maior será o desperdício (ou desaproveitamento) de energia no circuito (na forma de energia reativa).
Por que ocorre a defasagem entre a tensão alternada e a corrente alternada em um circuito RLC
submetido a uma fem c.a.? O que significa “defasagem entre tensão alternada e corrente alternada” em um
circuito RLC submetido a uma fem c.a.? Para responder a estas perguntas, vamos considerar, inicialmente, três
circuitos separadamente: um circuito puramente resistivo (circuito resistivo R), um circuito puramente capacitivo
(circuito capacitivo C) e um circuito puramente indutivo (circuito indutivo L); todos estes circuitos submetidos a
uma fem c.a. dada por (11).
Circuito Resistivo R
A Figura 3.2 mostra um circuito contendo apenas um elemento resistivo R e o gerador de fem c.a., a qual
obedece (11).
Figura 3.2 – Circuito R.
De acordo com a lei das malhas, temos
17
ε − vR = 0 .
(13)
v R = ε P ⋅ sen (ω ⋅ t ) .
(14)
Usando (11), obtemos
Como a amplitude de tensão VR através do resistor R é igual à amplitude εP da fem c.a. do gerador, podemos
escrever a equação anterior como
v R = VR ⋅ sen(ω ⋅ t ) .
(15)
Usando a definição de resistência (V = R⋅I), também podemos escrever (11) como
iR =
v R VR
=
⋅ sen(ω ⋅ t ) = I R ⋅ sen (ω ⋅ t ) ,
R
R
(16)
ou seja,
i R = I R ⋅ sen (ω ⋅ t ) .
(17)
Comparando (17) com (12), vemos que no caso de uma carga puramente resistiva R, o ângulo de fase
vale φ = 0º. Então, a comparação destas equações mostra que as grandezas variáveis no tempo vR e iR estão em
fase. Isto significa dizer que os máximos e mínimos correspondentes de tensão e corrente ocorrem no mesmo
instante de tempo, dentro do ciclo de oscilação (ou período de oscilação) considerado. Os gráficos superpostos
de vR e iR, na Figura 3.3, ilustram este fato.
Figura 3.3
De (16), vemos também que a amplitude de tensão VR e a amplitude de corrente IR estão relacionadas
pela equação
VR = R ⋅ I R ,
(18)
a qual foi anteriormente apresentada, sem prova, no Capítulo 2. Embora tenhamos obtido esta relação para o
circuito puramente resistivo R, ela se aplica a um resistor distinto em qualquer circuito c.a., não importando quão
complexo este seja.
18
Circuito Capacitivo C
A Figura 3.4 mostra um circuito contendo apenas um elemento capacitivo C e o gerador de fem c.a., a
qual obedece (11).
Figura 3.4 – Circuito C.
De acordo com a lei das malhas, temos
ε − vC = 0 .
(19)
vC = ε P ⋅ sen (ω ⋅ t ) .
(20)
Usando (11), obtemos
Como a amplitude de tensão VC através do capacitor C é igual à amplitude εP da fem c.a., podemos escrever a
equação anterior como
vC = VC ⋅ sen(ω ⋅ t ) .
(21)
Usando a definição de capacitância (Q = C⋅V), também podemos escrever (21) como
qC = C ⋅ v C = C ⋅ VC ⋅ sen (ω ⋅ t ) .
(22)
Contudo, não estamos interessados na carga (instantânea) do capacitor, e sim, na corrente (instantânea). Assim
sendo, através de uma matemática avançada (derivando a quantidade de carga instantânea qC com relação ao
tempo t na equação anterior; ou seja, fazendo-se iC = dqC /dt), obtemos, a partir de (22), que
iC = ω ⋅ C ⋅ VC ⋅ cos(ω ⋅ t ) ,
(23)
donde o produto ω⋅C⋅VC corresponde a amplitude de corrente IC no capacitor (visto que ω⋅C = 1/XC), de forma
que (23) pode ser reescrita como
iC = I C ⋅ cos(ω ⋅ t ) .
(24)
Usando-se um pouco de trigonometria, verifica-se que
cos( ω ⋅ t ) = sen (ω ⋅ t + 90 º ) .
(25)
iC = I C ⋅ sen(ω ⋅ t + 90º ) .
(26)
Com isto, (24) pode ser escrita como
19
Comparando (26) com (12), vemos que, no caso de uma carga puramente capacitiva C, o ângulo de fase
vale φ = −90º. A comparação destas equações mostra que as grandezas variáveis no tempo vC e iC estão
defasadas em 90º, ou seja, em um quarto de ciclo, o que significa que os máximos e mínimos correspondentes de
tensão e corrente não ocorrem no mesmo instante de tempo, dentro do ciclo de oscilação (ou período de
oscilação) considerado. Os gráficos superpostos de vC e iC, na Figura 3.5, ilustram este fato. Vemos que iC está
avançada em relação a vC, ou seja, acompanhando-se as variações temporais da corrente iC e da tensão vC,
percebe-se que o máximo de iC ocorre um quarto de ciclo antes do máximo de vC.
Figura 3.5
De (23) e (24), vemos também que a amplitude de tensão VC e a amplitude de corrente IC estão
relacionadas pela equação
VC = X C ⋅ I C ,
(27)
1
.
ω ⋅C
(28)
sendo
XC =
Esta relação já foi anteriormente apresentada, sem prova, no Capítulo 2. Embora tenhamos obtido esta relação
para o circuito puramente capacitivo C, ela se aplica a um capacitor distinto em qualquer circuito c.a., não
importando quão complexo este seja.
Circuito Indutivo L
A Figura 3.6 mostra um circuito contendo apenas um elemento indutivo L e o gerador de fem c.a., a qual
obedece (11).
Figura 3.6 – Circuito L.
De acordo com a lei das malhas, temos
ε − vL = 0 .
(29)
20
Usando (11), obtemos
v L = ε P ⋅ sen(ω ⋅ t ) .
(30)
Como a amplitude de tensão VL através do indutor L é igual à amplitude εP da fem c.a., podemos escrever a
equação anterior como
v L = VL ⋅ sen(ω ⋅ t ) .
(31)
Usando a definição de auto-indutância em termos de derivada,
ε = −L ⋅
dI
,
dt
(32)
e desprezando o sinal negativo (referente à lei de Lenz), também podemos escrever
vL = L ⋅
diL
,
dt
VL ⋅ sen( ω ⋅ t ) = L ⋅
(33)
diL
,
dt
diL VL
=
⋅ sen( ω ⋅ t ) ,
dt
L
(34)
(35)
Contudo, não estamos interessados na taxa de variação temporal da corrente (diL/dt), e sim na corrente
propriamente dita. Assim sendo, através de uma matemática avançada, obtemos, a partir de (35), que
iL = −
VL
⋅ cos(ω ⋅ t ) ,
ω⋅L
(36)
onde o termo VL/( ω⋅L) corresponde a amplitude de corrente IL no indutor (visto que XL = ω⋅L), de forma que (36)
pode ser reescrita como
i L = − I L ⋅ cos(ω ⋅ t ) .
(37)
Usando-se um pouco de trigonometria, verifica-se que
− cos( ω ⋅ t ) = sen (ω ⋅ t − 90 º ) .
(38)
i L = I L ⋅ sen(ω ⋅ t − 90º ) .
(39)
Com isto, (38) pode ser escrita como
Comparando (39) com (12) vemos que no caso de uma carga puramente indutiva L, o ângulo de fase
vale φ = +90º. A comparação destas equações mostra que as grandezas variáveis no tempo vL e iL estão defasadas
em 90º, ou seja, em um quarto de ciclo, o que significa que os máximos correspondentes de tensão e corrente
não ocorrem no mesmo instante de tempo, dentro do ciclo de oscilação (ou período de oscilação) considerado.
Os gráficos superpostos de vL e iL, na Figura 3.7, ilustram este fato. Vemos que iL está atrasada em relação a vL,
21
ou seja, acompanhando-se as variações temporais da corrente iL e da tensão vL, percebe-se que o máximo de iL
ocorre um quarto de ciclo depois do máximo de vL.
Figura 3.7
De (36) e (37), vemos também que a amplitude de tensão VL e a amplitude de corrente IL estão
relacionadas pela equação
VL = X L ⋅ I L ,
(40)
XL =ω⋅L,
(41)
sendo
Esta relação já foi anteriormente apresentada, sem prova, no Capítulo 2. Embora tenhamos obtido esta relação
para o circuito puramente indutivo L, ela se aplica a um indutor distinto em qualquer circuito c.a., na importando
quão complexo este seja.
Como vimos, analisamos separadamente cada um dos componentes, resistor (R), indutor (L) e capacitor
(C), submetidos a fem c.a. dada por (9) e introduzimos o conceito de fase (ou defasagem) entre tensão e corrente
em um circuito c.a. simples (ou seja, com apenas um dos componentes: ou resistor, ou indutor ou capacitor).
Porém, em um circuito mais complexo, como é o caso do circuito RLC série, por exemplo, o avanço ou atraso da
corrente em relação à fem c.a. aplicada do gerador dependerá exclusivamente do valor das reatâncias capacitiva
e indutiva. Se o circuito RLC série for predominantemente indutivo (alto valor de XL, de modo que XL será maior
que XC), a corrente do circuito estará atrasada em relação à fem c.a. do gerador, de maneira que o ângulo de fase
φ assumirá valores entre 0º e 90º. Consequentemente, a reatância (X) e a tensão reativa (VX) do circuito
assumirão valores positivos. Em contrapartida, se o circuito for predominantemente capacitivo (alto valor de XC,
de modo que XC será maior que XL), a corrente do circuito estará avançada em relação à fem c.a. do gerador, de
maneira que o ângulo de fase φ assumirá valores entre −90º e 0º. Consequentemente, a reatância (X) e a tensão
reativa (VX) do circuito assumirão valores negativos. E no caso de um circuito RLC paralelo? Isto será tratado no
próximo capítulo, conforme mencionado anteriormente. Então, resumindo tudo que foi tratado neste ponto:
RLC série:
para X L > X C , temos que X > 0 , V L > VC , V X > 0 e, consequentemente, 0º < φ < 90º .
RLC série:
para X L < X C , temos que X < 0 , V L < VC , V X < 0 e, consequentemente, − 90º < φ < 0º .
Como se determina o ângulo de fase em um circuito RLC série? O ângulo de fase φ para um circuito
RLC série pode ser obtido por meio das relações de tangente dadas por
22
tg (φ ) =
VX
VR
(42)
ou
tg (φ ) =
X
,
R
(43)
bastando, para tanto, considerar o arcotangente da quantidade (tangente) obtida (seja por VX/VR ou X/R).
Fasores
Pergunta: Por que o cálculo da impedância (Z), da amplitude de fem c.a. (εP) e do ângulo de fase (φ) para
um circuito RLC série (e também no paralelo, já adiantando) têm expressões matemáticas de caráter pitagórico
(lembre aqui do teorema de Pitágoras), como é o caso das relações (3) e (5), e trigonométrico, como é o caso de
todas as relações para os valores instantâneos de tensão e corrente vistas para o resistor, o indutor e o capacitor e,
também, nas relações (42) e (43) para o ângulo de fase? Resposta: Porque tratamos as amplitudes de tensão e
corrente como grandezas vetoriais e não como grandezas escalares, como estas naturalmente são.
Em um circuito RLC submetido ao regime de corrente alternada, tratamos os valores instantâneos das
grandezas elétricas de interesse, como é o caso da tensão e da corrente, como estas naturalmente são, isto é,
como grandezas escalares, enquanto que as amplitudes e valores eficazes de tensão e corrente são tratadas como
grandezas vetoriais. Esta última consideração é suficiente para justificar porque a amplitude da fem do gerador
c.a. no circuito RLC série estudado neste capítulo não corresponde à soma (algébrica) das amplitudes de tensão
do resistor, do indutor e do capacitor, pois aqui a referida soma trata-se de uma soma vetorial, e não algébrica
(escalar). Isto, contudo, não implica que as amplitudes e, portanto, os valores eficazes, de tensões e correntes em
corrente alternada sejam vetores. Apenas é feito um tratamento vetorial destas grandezas.
Por que isto é feito? Porque esse tipo de abordagem evita a resolução de problemas via equações
diferenciais, que é uma ferramenta matemática que está muito fora ou muito além (!) do objetivo da disciplina.
As equações diferenciais podem ser aplicadas também na resolução de problemas referentes a grandezas
elétricas variantes no tempo, seja em circuito c.a. e, também, em c.c.3. No presente caso, diversas das relações
anteriores, como, por exemplo, as equações (12), (17), (21) e (31), dentre outras, são obtidas mediante a
resolução de tais equações para alguma grandeza elétrica de interesse como, por exemplo, a carga elétrica
instantânea no capacitor qC ou a corrente instantânea i no circuito. Embora a resolução de equações diferenciais
para a análise de circuitos RLC em regime de corrente alternada seja bastante vantajosa (no sentido de que
podemos, inclusive, analisar a fase transiente das oscilações elétricas), o método geométrico dos fasores é,
qualitativamente e matematicamente, muito mais que suficiente e, também, muito mais “simples” para certos
propósitos, como é o caso do nosso estudo.
Conforme discutido no Capítulo 1, uma função senoidal ou cossenoidal é dita “periódica”. Toda função
senoidal, e portanto periódica, pode ser descrita por um vetor que “gira” no sentido anti-horário, denominado
fasor. O mesmo efetua um deslocamento angular, correspondente ao produto ω⋅t, medido em relação ao eixo
horizontal, partindo da direita, com a mesma velocidade angular (frequência angular) ω do gerador. O fasor
descreve, então, ao final de um ciclo, uma circunferência completa. No caso da tensão alternada, a magnitude do
fasor representa a amplitude da mesma, de maneira que quando este (fasor) for projetado no eixo vertical, do
plano coordenado, sua projeção (também denominada componente do fasor) fornecerá o valor instantâneo da
fem c.a. do gerador no presente instante de tempo t do ciclo considerado.
3
Embora pareça estranho, podemos ter grandezas elétricas variáveis no tempo em c.c., como é o caso da carga e descarga
de um capacitor em um circuito RC série submetido a um fem constante (c.c.). Neste caso, o circuito RC série foi submetido
a uma fem c.c.. Porém, a carga elétrica q no circuito varia exponencialmente com o tempo no processo de carga e descarga.
23
A Figura 3.8 mostra as características básicas de um diagrama fasorial para o circuito RLC série
estudado neste capítulo. Para tanto, consideramos (arbitrariamente) um circuito predominantemente indutivo, de
maneira que a fem c.a. está adiantada em relação à corrente c.a., conforme se verifica na Figura 1-c.
Figura 3.8 – (a) Um fasor representando a amplitude da corrente alternada IP, no circuito RLC série. Também são mostradas
a corrente instantânea i (que é a projeção no eixo vertical do fasor IP) e a fase (ω⋅t−φ) da corrente senoidal. (b) O fasor de
(a) e os fasores representando as amplitudes de tensão através do resistor, do capacitor e do indutor. Note que a amplitude
de tensão do resistor VR está em fase com a amplitude de corrente IP, enquanto que as amplitudes de tensão no indutor VL e
no capacitor VC exibem suas diferenças de fase, de 90º (indicadas pela simbologia perpendicular ⊥), em relação à amplitude
de corrente alternada IP. (c) Os fasores de (b) se somando fasorialmente (vetorialmente) para fornecer o fasor (vetor)
resultante que representa a amplitude da fem alternada εP do gerador c.a..
A amplitude de corrente do circuito RLC série é IP. Portanto, este é o fasor IP. Em certo instante de
tempo t do período de oscilação da tensão senoidal, o ângulo descrito pelo fasor IP em relação ao eixo horizontal
do plano coordenado é dado pela fase (ω⋅t−φ) da onda seno da equação (12), o que pode ser observado na
Figura 3.8-a. Logo, a projeção deste fasor IP sobre o eixo vertical fornece o valor instantâneo i da corrente
alternada no circuito; isto é, estamos falando da equação (12), a qual fornece a corrente instantânea em um
circuito RLC série.
Como foi visto anteriormente, em um resistor a tensão está em fase com a corrente. Isto pode ser
observado na Figura 3.8-b, onde os vetores (fasores) IP e VR têm mesma direção e sentido. Logo, a projeção deste
fasor VR sobre o eixo vertical fornece o valor instantâneo da tensão no resistor (vR), isto é,
v R = VR ⋅ sen(ω ⋅ t − φ ) .
(44)
Esta é exatamente a equação que fornece a tensão instantânea na resistência num circuito RLC série. Ainda pela
Figura 3.8-b, uma análise semelhante, usando um pouco mais de trigonometria, nos permite concluir que as
tensões instantâneas no capacitor (vC) e no indutor (vL) são dadas, respectivamente, através das equações
vC = −VC ⋅ cos(ω ⋅ t − φ )
(45)
v L = VL ⋅ sen(ω ⋅ t − φ ) .
(46)
e
Estas são exatamente as equações que fornecem a tensão instantânea num capacitor e num indutor num circuito
RLC série. Note o sinal negativo na equação da tensão instantânea vC no capacitor (?!).
Da discussão acima, deve ficar claro que os valores instantâneos da tensão no resistor, no indutor e no
capacitor, no circuito RLC série, somam-se algebricamente de modo a fornecer a fem c.a. instantânea (ε) do
24
gerador, pois estas são (naturalmente) grandezas escalares, de modo que a segunda lei de Kirchhoff é aplicável,
o que nos fornece
3
ε = ∑ v j = v R + vC + v L .
(47)
j =1
Agora, pela Figura 3.8-c, percebe-se claramente que as amplitudes de tensão no resistor, no indutor e no
capacitor somam-se vetorialmente de modo a fornecer a amplitude da fem c.a. do gerador (εP), pois as
amplitudes de tensão e de fem são tratadas como grandezas vetoriais, de modo que a segunda lei de Kirchhoff
não é aplicável, visto ser esta uma lei referente a grandezas escalares, e não grandezas vetoriais. Ou seja, a
amplitude de fem do gerador c.a. (εP) obedece a equação vetorial dada por
3
r
r
r
r
r
ε P = ∑ V j = V R + VC + V L .
(48)
j =1
Assim, a magnitude do vetor (fasor) amplitude de fem do gerador c.a. (εP) é, pela Figura 3.8-c, dada pela
equação (8). Em outras palavras, embora isto não seja muito correto, digamos que (48) é a forma vetorial da
segunda lei de Kirchhoff para amplitudes de tensão em circuitos c.a.. Inclusive, note o caráter vetorial (com a
“seta”) nas amplitudes de tensão em (48). O mesmo vale para as tensões e fems c.a. eficazes, de modo que
r
3
r
r
r
r
ε rms = ∑ V j ( rms ) = VR ( rms ) + VC ( rms ) + VL ( rms ) .
(49)
j =1
No próximo capítulo, serão também analisadas e discutidas as características básicas de um diagrama
fasorial para um circuito RLC paralelo.
EXEMPLOS
1. Um circuito RLC série consiste de um resistor de 160Ω, um capacitor de 15µF e um indutor de 230mH
conectados numa fonte de fem c.a. de 36V de pico que oscila numa freqüência de 60Hz. Sendo assim,
determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito, em miliampères (mA).
A corrente de pico no resistor, em miliampères (mA).
A corrente de pico no capacitor, em miliampères (mA).
A corrente de pico no indutor, em miliampères (mA).
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no capacitor.
A tensão de pico no indutor.
2. Uma bobina de indutância igual a 88mH, um resistor de valor desconhecido e um capacitor de 940nF
são ligados em série a uma fem c.a. que oscila numa freqüência de 930Hz. Sabendo-se que o ângulo de
fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito é de 75º, qual é o valor do resistor?
25
3. Um circuito RLC série consiste de uma fonte c.a. com uma fem de amplitude igual a 30V e que opera
numa freqüência de 60Hz. Sabe-se que a tensão máxima no indutor é o triplo da tensão máxima no
capacitor a qual, por sua vez, é igual a tensão máxima no resistor. Além disso, a corrente máxima do
circuito tem uma intensidade de 300mA. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
O ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito.
O valor do resistor.
O valor do capacitor, em microfarads (µF).
O valor do indutor, em mili-henrys (mH).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Um circuito RLC série consiste de um resistor de 27Ω, um capacitor de 2µF e um indutor de 900mH
conectados numa fonte de fem c.a. de 50V de pico que oscila numa freqüência de 120Hz. Sendo assim,
determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito.
A corrente de pico no resistor.
A corrente de pico no capacitor.
A corrente de pico no indutor.
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no capacitor.
A tensão de pico no indutor.
2. Circuito RC série. Um circuito RC série, conforme o próprio nome sugere, consiste de uma resistência
ôhmica (R) em série apenas com uma capacitância (C), além da fonte de f.em. alternada do tipo senoidal.
Como não há indutância neste circuito (L = 0), a reatância indutiva do mesmo é nula (XL = 0) e,
consequentemente, a reatância do circuito se resume ao negativo do valor da reatância capacitiva do
mesmo (X = −XC). Considere um circuito RC série, o qual consiste de um resistor de 27Ω e um capacitor
de 2µF conectados numa fonte de fem c.a. de 50V de pico a qual, por sua vez, oscila em uma frequência
de 120Hz. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito.
A corrente de pico no resistor.
A corrente de pico no capacitor.
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no capacitor.
3. Circuito RL série. Um circuito RL série, conforme o próprio nome sugere, consiste de uma resistência
ôhmica (R) em série apenas com uma indutância (L), além da fonte de f.em. alternada do tipo senoidal.
Como não há capacitância neste circuito, a reatância capacitiva do mesmo é nula (XC = 0) e,
consequentemente, a reatância do circuito se resume ao valor da reatância indutiva do mesmo (X = XL).
Considere um circuito RL série, o qual consiste de um resistor de 27Ω e um indutor de 900mH
26
conectados numa fonte de fem c.a. de 50V de pico a qual, por sua vez, oscila em uma frequência de
120Hz. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
A reatância indutiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito.
A corrente de pico no resistor.
A corrente de pico no indutor.
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no indutor.
4. Num circuito RLC série, uma bobina de indutância igual a 90mH, um resistor de 270Ω e um capacitor de
valor desconhecido são conectados a uma fem c.a. que oscila numa freqüência de 1kHz. Sabendo-se que
o ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente é de 60º, qual é o valor do capacitor em
microfarads (µF)?
5. Para certo circuito RLC série a fem c.a. máxima do gerador é de 125V e a corrente máxima é de 3,2A.
Sabendo-se que a corrente está avançada de 56,29º em relação à fem do gerador, determine:
a) A impedância do circuito.
b) A resistência ôhmica do circuito.
c) Se o circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo. Justifique sua resposta.
6. Refaça o exercício 5 considerando que a corrente está atrasada de 56,29º em relação à fem do gerador.
7. Num circuito RLC série que consiste de uma fonte de fem c.a. com amplitude de 30V e que opera numa
freqüência de 60Hz, a tensão máxima no indutor é o quádruplo da tensão máxima no capacitor a qual,
por sua vez, é igual a três quartos da tensão máxima no resistor. Além disso, sabe-se que a corrente
máxima do circuito tem uma intensidade de 300mA. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
O ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito.
O valor do resistor.
O valor do capacitor, em nanofarads (nF).
O valor do indutor, em mili-henrys (mH).
8. Num circuito RLC série, sabe-se que as amplitudes de tensão medidas sobre o resistor, o capacitor e o
indutor são, respectivamente, de 60V, 30V e 70V. Além disso, a fem c.a. do gerador deste circuito opera
numa freqüência de 60Hz e o resistor vale 27Ω. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
A amplitude de tensão da fem c.a. do gerador do circuito.
A amplitude de corrente do circuito.
O valor do capacitor do circuito, em microfarads (µF).
O valor do indutor do circuito, em mili-henrys (mH).
9. Num circuito RLC série, sabe-se que as amplitudes de tensão medidas sobre o resistor, o capacitor e o
indutor são, respectivamente, de 15V, 30V e 40V. Além disso, a fem c.a. do gerador deste circuito opera
numa freqüência de 400Hz e o resistor vale 6,8kΩ. Sendo assim, determine:
a) A amplitude de tensão da fem c.a. do gerador do circuito.
b) A amplitude de corrente do circuito, em miliampères (mA).
c) O valor do capacitor do circuito, em nanofarads (nF).
27
d) O valor do indutor do circuito, em henrys (H).
10. Num circuito RLC série, sabe-se que as amplitudes das tensões medidas sobre o gerador, o capacitor e o
indutor são, respectivamente, de 110V, 100V e 15V. Além disso, a fem c.a. do gerador deste circuito
opera numa freqüência de 60Hz e o valor do capacitor é de 470nF. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
A amplitude de tensão do resistor.
A amplitude de corrente do circuito, em miliampères (mA).
O valor do resistor do circuito, em quilo-ohms (kΩ).
O valor do indutor do circuito, em henrys (H).
O ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito.
11. Num circuito RLC série, sabe-se que a tensão c.a. do gerador mede 220V e oscila numa freqüência de
60Hz. Ainda, a reatância indutiva do circuito vale 2,83kΩ e a resistência ôhmica do circuito vale 82kΩ.
Sabe-se também que a corrente do circuito está avançada de 17,86º em relação à fem c.a. do gerador.
Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
A amplitude de tensão da fem c.a. do gerador do circuito.
A amplitude de corrente do circuito, em mili-ampères (mA).
A impedância do circuito, em quilo-ohms (kΩ).
A reatância do circuito, em quilo-ohms (kΩ).
O valor do resistor do circuito, em quilo-ohms (kΩ).
O valor do capacitor do circuito, em nanofarads (nF).
O valor do indutor do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito.
12. Um circuito RLC série consiste de um resistor de 300Ω, um capacitor de 3µF e um indutor de 200mH
conectados a um gerador de fem c.a., o qual oscila numa freqüência de 90Hz e é atravessado por uma
corrente c.a. de intensidade igual a 53,26mA. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
A frequência angular da fonte, em radianos por segundo (rad/s).
A reatância indutiva do circuito.
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
A fem c.a. do gerador do circuito.
A amplitude de tensão da fem c.a. do gerador do circuito.
A corrente c.a. do circuito, em mili-ampères (mA).
A amplitude da corrente c.a. do circuito, em mili-ampères (mA).
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente c.a. do circuito.
13. Discuta com suas próprias palavras o que significa dizer que uma corrente alternada está “avançada” ou
“atrasada” em relação à fem alternada.
14. Se somarmos as amplitudes de tensão nos elementos do circuito do exercício 1, a 2ª lei de Kirchhoff é
satisfeita? Justifique sua resposta.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. a) 663,5Ω; b) 678,24Ω; c) 14,74Ω; d) 30,76Ω; e) 28,63º; f) 1,63A; g) 1,63A; h) 1,63A; i) 1,63A;
j) 44,01V; k) 1.081,51V; l) 1.105,53V.
28
2. a) 663,5Ω; b) –663,5Ω; c) 664,1Ω; d) –87,67º; e) 75,29mA; f) 75,29mA; g) 75,29mA; h) 2,03V;
i) 49,95V.
3. a) 678,24Ω; b) 678,24Ω; c) 678,78Ω; d) 87,72º; e) 73,66mA; f) 73,66mA; g) 73,66mA; h) 2V;
i) 49,96V.
4. 1,63µF;
5. a) 39,1Ω; b) 21,7Ω; c) Capacitivo, pois a corrente está avançada sobre a fem ca.
6. a) 39,1Ω; b) 21,7Ω; c) Indutivo, pois a corrente está atrasada em relação a fem ca.
7. a) 66,04º; b) 40,48Ω; c) 435,42 nF; d) 1,62 mH;
8. a) 72,11V; b) 2,22A; c) 196,4µF; d) 83,68mH;
9. a) 18,02V; b) 2,2mA; c) 29nF; d) 7,23H.
10. a) 69,82V; b) 17,71mA; c) 3,94kΩ; d) 2,25H; e ) −50,6°;
11. a) 311,13V; b) 3,61mA; c) 86,15kΩ; d) −26,42kΩ; e) 82kΩ; f) 90,68nF; g) 7,51H; h) −17,86º;
12. a) 565,49rad/s; b) 113,1Ω; c) 589,46Ω; d) −476,37Ω; e) 562,96Ω; f) 30V; g) 42,43V; h) 53,26mA;
i) 75,32mA; j) −57,82º;
13. Faça você mesmo.
14. Faça você mesmo.
29
4. CAPÍTULO 4 – CIRCUITO RLC PARALELO
Continuamos aqui a discussão iniciada no Capítulo 3, referente ao comportamento das tensões e
correntes nos circuitos RLC submetidos a uma fem c.a.. Porém, agora será feito o estudo do circuito RLC
paralelo.
(2.2) Circuito RLC paralelo:
Este tipo de circuito, conforme ilustra Figura 4.1, consiste de uma resistência R, uma capacitância C e
uma indutância L associadas em paralelo, de modo que esta combinação está conectada a uma fonte de fem c.a..
Figura 4.1 – Circuito RLC paralelo.
Nesta configuração (RLC paralelo), a impedância Z do circuito é matematicamente expressa em termos da
resistência R e da reatância X do circuito pelas equações
1
1
1
= 2 + 2 ,
2
Z
R
X
Z=
1
(1)
(2)
1
1
+ 2
2
R
X
ou
Z=
R⋅ X
R2 + X 2
.
(3)
Note que na equação (3) toma-se o módulo (valor absoluto) do produto da resistência R com a reatância X. Isto é
necessário porque mesmo que a reatância seja negativa, não haverá sentido em falar de uma impedância
negativa.
A reatância X no circuito RLC paralelo é dada por
1
1
1
=
−
,
X XC XL
(4)
30
X =
1
(5)
 1
1 


−
 XC X L 
ou
X =
XC ⋅ XL
,
XL − XC
(6)
sendo esta última bastante semelhante ao caso especial para duas resistências associadas em paralelo.
Ainda, no circuito RLC paralelo, a amplitude de corrente no gerador c.a. pode ser obtida por uma relação
semelhante a da impedância do circuito RLC “série”, ou seja,
2
2
IP = IR + IX ,
(7)
onde temos que a corrente da reatância (IX) é dada por
I X = IC − I L .
(8)
Assim como no circuito RLC série, a reatância também relaciona-se com sua tensão de pico (VX) e sua corrente
de pico (IX) pela definição de resistência,
VX = X ⋅ I X ,
(9)
e, também, com seus valores rms de tensão e corrente, isto é,
V X ( rms ) = X ⋅ I X ( rms ) .
(10)
Ângulo de Fase (ou Defasagem)
Inicialmente, vale lembrar que neste tipo de circuito a fem c.a. é constante para cada elemento do
circuito e a corrente diferente, em contraposição ao circuito RLC série, no qual a corrente é constante e a tensão
diferente para cada elemento. Se o circuito RLC paralelo for predominantemente indutivo (baixo valor de XL, de
modo que XL será menor que XC), a corrente do circuito estará atrasada em relação à fem c.a. do gerador, de
maneira que o ângulo de fase φ assumirá valores entre 0º e –90º, em contraposição ao circuito RLC série.
Consequentemente, a reatância (X) e a corrente reativa (IX) do circuito assumirão valores negativos. Em
contrapartida, se o circuito RLC paralelo for predominantemente capacitivo (baixo valor de XC, de modo que XC
será menor que XL), a corrente do circuito estará avançada em relação à fem c.a. do gerador, de maneira que o
ângulo de fase φ assumirá valores entre 0º e +90º, em contraposição ao circuito RLC série. Consequentemente, a
reatância (X) e a corrente reativa (IX) do circuito assumirão valores positivos. Então, resumindo tudo que foi
tratado neste ponto:
RLC paralelo: para X L < X C , temos que X < 0 , I L > I C , I X < 0 e, consequentemente, − 90º < φ < 0º .
RLC paralelo: para X L > X C , temos que X > 0 , I L < I C , I X > 0 e, consequentemente, 0º < φ < 90º .
31
Como se determina o ângulo de fase num circuito RLC paralelo? O ângulo de fase φ para um circuito
RLC paralelo pode ser obtido por meio das relações de tangente dadas por
tg (φ ) =
IX
IR
tg (φ ) =
R
,
X
(11)
ou
(12)
bastando, para tanto, considerar o arcotangente da quantidade (tangente) obtida (seja por IX/IR ou R/X).
Fasores
Como fica o diagrama fasorial para um circuito RLC paralelo? Analogamente à discussão feita no
Capítulo 3 para o circuito RLC série, mostraremos qualitativamente as características básicas do diagrama
fasorial para este circuito (RLC paralelo).
A Figura 4.2 mostra as características básicas do diagrama fasorial para o circuito RLC paralelo
estudado neste capítulo. Para tanto, consideramos (arbitrariamente) um circuito predominantemente capacitivo,
de maneira que a corrente c.a. está adiantada em relação à fem c.a., conforme se verifica na Figura 4.2-c.
Figura 4.2 – (a) Um fasor representando a amplitude da fem alternada εP, no circuito RLC paralelo e, também, a fem
instantânea ε (que é a projeção no eixo vertical do fasor εP). (b) O fasor de (a) e os fasores representando as amplitudes de
corrente através do resistor, do capacitor e do indutor. Note que a amplitude de corrente do resistor IR está em fase com a
amplitude da fem c.a. εP, enquanto que as amplitudes de corrente no indutor IL e no capacitor IC exibem suas diferenças de
fase, de 90º (indicadas pela simbologia perpendicular ⊥), em relação à amplitude da fem c.a. εP. (c) Os fasores de (b) se
somando fasorialmente (vetorialmente) para fornecer o fasor (vetor) resultante que representa a amplitude da corrente
alternada IP que atravessa o gerador c.a..
A amplitude de corrente do circuito RLC série é IP. Portanto, este é o fasor IP. Em certo instante de
tempo t do período de oscilação da tensão senoidal, o ângulo descrito pelo fasor IP em relação ao eixo horizontal
do plano coordenado é dado pela fase ( ω⋅t+φ), o que pode ser observado na Figura 4.2-c. Logo, a projeção deste
fasor IP sobre o eixo vertical fornece o valor instantâneo i da corrente alternada no circuito, isto é,
i = I P ⋅ sen(ω ⋅ t + φ ) .
(13)
Esta é exatamente a equação que fornece a corrente instantânea em um circuito RLC paralelo.
32
Como foi visto anteriormente, no Capítulo 3, em um resistor a tensão está em fase com a corrente. Isto
pode ser observado na Figura 4.2-b, onde os vetores (fasores) εP e IR tem a mesma direção e sentido. Logo, a
projeção deste fasor IR sobre o eixo vertical fornece o valor instantâneo da corrente no resistor (iR), isto é,
i R = I R ⋅ sen (ω ⋅ t ) .
(14)
Esta é exatamente a equação que fornece a corrente instantânea na resistência, a qual foi obtida anteriormente no
Capítulo 3. Ainda pela Figura 4.2-b, uma análise semelhante, usando um pouco mais de trigonometria, nos
permite concluir que as correntes instantâneas no capacitor (iC) e no indutor (iL) são dadas, respectivamente,
através das equações
vC = VC ⋅ cos(ω ⋅ t )
(15)
v L = −VL ⋅ sen(ω ⋅ t ) .
(16)
e
Estas são exatamente as equações que fornecem a corrente instantânea num capacitor e num indutor num circuito
RLC paralelo. Note o sinal negativo na equação da tensão instantânea vL no indutor (?!).
Da discussão acima, deve ficar claro que os valores instantâneos da corrente no resistor, no indutor e no
capacitor, num circuito RLC paralelo, somam-se algebricamente de modo a fornecer a corrente total c.a.
instantânea i do gerador, pois a corrente instantânea é (naturalmente) uma grandeza escalar, de modo que a
primeira lei de Kirchhoff é aplicável, o que nos fornece
3
i = ∑ i j = i R + iC + i L .
(17)
j =1
Agora, pela Figura 4.2-c, percebe-se claramente que as amplitudes de corrente no resistor, no indutor e
no capacitor somam-se vetorialmente de modo a fornecer a amplitude da corrente c.a. do gerador (IP), pois a
amplitude de corrente é tratada como uma grandeza vetorial, de modo que a primeira lei de Kirchhoff não é
aplicável, visto ser esta uma lei referente a grandezas escalares, e não grandezas vetoriais. Ou seja, a amplitude
de corrente no gerador c.a. (IP) obedece a equação vetorial dada por
3 r
r
r
r
r
I P = ∑ I j = I R + IC + IL .
(18)
j =1
Assim, a magnitude do vetor (fasor) amplitude de corrente do gerador c.a. (IP) é, pela Figura 4.2-c, dada pela
equação (7). Em outras palavras, embora isto não seja muito correto, digamos que (18) é a forma vetorial da
primeira lei de Kirchhoff para amplitudes de corrente em circuitos c.a.. Inclusive, note o caráter vetorial (com a
“seta”) nas amplitudes de corrente em (18). A mesma coisa, conforme mencionando anteriormente, vale para os
valores eficazes da corrente c.a., de modo que
3 r
r
r
r
r
I rms = ∑ I j ( rms ) = I R ( rms ) + I C ( rms ) + I L ( rms ) .
(15)
j =1
33
EXEMPLOS
1. Um circuito RLC paralelo consiste de um resistor de 160Ω, um capacitor de 15µF e um indutor de
230mH conectados numa fonte de fem c.a. de 36V de pico que oscila numa freqüência de 60Hz. Sendo
assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito em miliampères (mA).
A corrente de pico no resistor em miliampères (mA).
A corrente de pico no capacitor em miliampères (mA).
A corrente de pico no indutor em miliampères (mA).
A corrente de pico da reatância do circuito em miliampères (mA).
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no capacitor.
A tensão de pico no indutor.
A tensão da reatância do circuito.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Um circuito RLC paralelo consiste de um resistor de 100Ω, um capacitor de 300nF e um indutor de
500mH conectados numa fonte de fem c.a. de 100V de pico que oscila numa freqüência de 60Hz. Sendo
assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito.
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no capacitor.
A tensão de pico no indutor.
A tensão da reatância do circuito.
A corrente de pico no resistor.
A corrente de pico no capacitor.
A corrente de pico no indutor.
A corrente de pico da reatância do circuito.
2. Circuito RL paralelo. Um circuito RL paralelo, conforme o próprio nome sugere, consiste de uma
resistência ôhmica (R) em paralelo apenas com uma indutância (L), além da fonte de f.em. alternada do
tipo senoidal. Como não há capacitância neste circuito (C = 0), a reatância capacitiva do mesmo pode ser
considerada como sendo de valor infinito (XC → ∝) e, consequentemente, a reatância do circuito se
resume ao negativo do valor da reatância indutiva do circuito (X = −XL). Considere um circuito RL
paralelo, o qual consiste de um resistor de 100Ω e um indutor de 500mH conectados em uma fonte de
fem c.a. de 100V de pico a qual, por sua vez, oscila em uma frequência de 60Hz. Sendo assim,
determine:
a) A reatância indutiva do circuito.
34
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito.
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no indutor.
A corrente de pico no resistor.
A corrente de pico no indutor.
3. Circuito RC paralelo. Um circuito RC paralelo, conforme o próprio nome sugere, consiste de uma
resistência ôhmica (R) em paralelo apenas com uma capacitância (C), além da fonte de f.em. alternada
do tipo senoidal. Como não há indutância neste circuito (L = 0), a reatância indutiva do mesmo pode ser
considerada como sendo de valor infinito (XL → ∝) e, consequentemente, a reatância do circuito se
resume ao valor da reatância capacitiva do circuito (X = XC). Considere um circuito RC paralelo, o qual
consiste de um resistor de 100Ω e um capacitor de 300nF conectados numa fonte de fem c.a. de 100V de
pico a qual, por sua vez, oscila na frequência de 60Hz. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito.
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no capacitor.
A corrente de pico no resistor.
A corrente de pico no capacitor, em mili-ampères (mA).
4. Uma bobina de indutância igual a 88mH, um resistor de valor desconhecido e um capacitor de 940nF
são ligados em paralelo e a uma fem c.a., a qual oscila na freqüência de 930Hz. Sabendo-se que o ângulo
de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente é de 75º, qual é o valor do resistor?
5. Num circuito RLC paralelo, uma bobina de indutância igual a 90mH, um resistor de 270Ω e um
capacitor de valor desconhecido são conectados a uma fem c.a., a qual oscila na freqüência de 1kHz.
Sabendo-se que a corrente do circuito está avançada em relação à f.e.m da fonte por um ângulo de
defasagem de 60º em valor absoluto, qual é o valor do capacitor do circuito, em microfarads (µF)?
6. Num circuito RLC paralelo, uma bobina de indutância desconhecida, um resistor de 270Ω e um
capacitor de 1,3µF são conectados a uma fem c.a., a qual oscila na freqüência de 1kHz. Sabendo-se que
a corrente do circuito está atrasada em relação à f.e.m da fonte por um ângulo de defasagem de 60º em
valor absoluto, qual é o valor do indutor do circuito, em mili-henrys (mH)?
7. Num circuito RLC paralelo que consiste de uma fonte de fem c.a. com amplitude de 30V e que opera
numa freqüência de 12kHz, a corrente máxima no indutor é o quádruplo da corrente máxima no
capacitor a qual, por sua vez, é igual a três quartos da corrente máxima no resistor. Além disso, sabe-se
que a corrente máxima do circuito tem uma intensidade de 300mA. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
O ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito.
O valor da resistência.
O valor do capacitor, em nanofarads (nF).
O valor do indutor, em mili-henrys (mH).
35
8. Num circuito RLC paralelo, sabe-se que as amplitudes das correntes medidas sobre o resistor, o
capacitor e o indutor são, respectivamente, de 15mA, 30mA e 40mA. Além disso, a fem c.a. do gerador
deste circuito opera numa freqüência de 400Hz e o valor do resistor é de 10kΩ. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
A amplitude de tensão da fem c.a. do gerador do circuito.
A amplitude de corrente do circuito.
O valor do capacitor do circuito, em nanofarads (nF).
O valor do indutor do circuito.
9. Num circuito RLC paralelo, sabe-se que as amplitudes de corrente medidas no gerador, no capacitor e no
indutor são, respectivamente, de 110mA, 100mA e 15mA. Além disso, a fem c.a. do gerador deste
circuito opera numa freqüência de 60Hz e o valor do capacitor é de 470nF. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
A amplitude de tensão do gerador.
O valor do resistor do circuito, em quilo-ohms (kΩ).
O valor do indutor do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. do gerador e a corrente do circuito.
10. Num circuito RLC paralelo, sabe-se que a tensão c.a. do gerador mede 220V, a qual oscila na freqüência
de 60Hz. A reatância indutiva do circuito vale 2,83kΩ e sua resistência ôhmica é de 8,2kΩ. Sabe-se
também que a corrente do circuito está avançada de 17,86º em relação à fem c.a. do gerador. Sendo
assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
A amplitude de tensão da fem c.a. do gerador do circuito.
A amplitude de corrente do circuito, em miliampères (mA).
A impedância do circuito, em quilo-ohms (kΩ).
A reatância do circuito, em quilo-ohms (kΩ).
O valor do resistor do circuito, em quilo-ohms (kΩ).
O valor do capacitor do circuito, em microfarads (µF).
O valor do indutor do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. aplicada e a corrente do circuito.
11. Um circuito RLC paralelo consiste de um resistor de 300Ω, um capacitor de 3µF e um indutor de 200mH
conectados a um gerador de fem c.a., o qual oscila numa freqüência de 90Hz e é atravessado por uma
corrente c.a. de intensidade igual a 236,54mA. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
A frequência angular da fonte, em radianos por segundo (rad/s).
A reatância indutiva do circuito.
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
A fem c.a. do gerador do circuito.
A amplitude de tensão da fem c.a. do gerador do circuito.
A corrente c.a. do circuito, em mili-ampères (mA).
A amplitude da corrente c.a. do circuito, em mili-ampères (mA).
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente c.a. do circuito.
12. Se somarmos as amplitudes de corrente nos elementos do circuito do exercício 1, a 1ª lei de Kirchhoff é
satisfeita? Justifique sua resposta.
36
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. a) 8.846,43Ω; b) 188,4Ω; c) −192,42Ω; d) 88,74Ω; e) −27,47º; f) 1,13A; g) 100V; h) 100V; i) 100V;
j) 100V; k) 1A; l) 11,3mA; m) 531mA; n) –519,7mA;
2. a) 188,4Ω; b) –188,4Ω; c) 88,33Ω; d) –27,96°; e) 1,13A; f) 100V; g) 100V; h) 1A; i) 0,53A;
3. a) 8.846,43Ω; b) 8.846,43Ω; c) 99,99Ω ≅ 100Ω; d) 0,65°; e) 1A; f) 100V; g) 100V; h) 1A; i) 11,3mA;
4. 1.052,97Ω;
5. 1,3µF;
6. 11mH;
7. a) –66,04º; b) 246,22Ω; c) 40,4 nF; d) 1,09 mH;
8. a) 150V; b) 18,02mA; c) 79,62nF; d) 1,49H;
9. a) 565V; b) 8,1kΩ; c) 100H; d) 50,66º;
10. a) 311,13V; b) 39,86mA; c) 7,81kΩ; d) 25,45kΩ; e) 8,2kΩ; f) 1µF; g) 7,51H; h) 17,86º;
11. a) 565,49rad/s; b) 113,1Ω; c) 589,46Ω; d) −139,95Ω; e) 126,83Ω; f) 30V; g) 42,43V; h) 236,54mA;
i) 334,52mA; j) −65º;
12. Faça você mesmo.
37
5. CAPÍTULO 5 – POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA
A potência instantânea (p) fornecida a um circuito c.a. é dada por
(1)
p = v⋅i
onde v é a tensão instantânea entre os terminais do circuito e i é a corrente instantânea que o atravessa.
Consideraremos primeiramente alguns casos especiais.
Se o circuito consiste unicamente de uma resistência pura R, conforme visto no Capítulo 3, i e v estão em
fase. Obtém-se o gráfico que representa p multiplicando-se, em cada instante, as ordenadas dos gráficos de i e v
na Figura 3.3, do Capítulo 3; ele é o mostrado abaixo, neste capítulo, pela curva cheia da Figura 6.1-a. O produto
v⋅i é positivo quando tanto v como i são positivos ou negativos. Isto é, a energia é fornecida ao resistor em todos
os instantes, qualquer que seja o sentido da corrente, embora a taxa à qual ela seja fornecida não seja constante.
A curva da potência é simétrica em torno de um valor igual à metade de sua ordenada máxima Vp⋅Ip, de
modo que a potência média (Pmed) é dada por
Pmed ( R ) =
VR ⋅ I R
2
(2)
Pode-se também escrever a potência média de (2) como
Pmed ( R ) =
2 ⋅ V R ( rms ) ⋅ 2 ⋅ I R ( rms )
2
,
(3)
donde vemos que
Pmed ( R ) = VR ( rms ) ⋅ I R ( rms ) .
(4)
Além disso, numa resistência R, como VR(rms) = R⋅IR(rms), tem-se:
Pmed ( R ) = R ⋅ I R2 ( rms ) .
(5)
Note que as equações de potência (4) e (5) têm a mesma forma que as equações para um circuito c.c.. Isto foi
comentado ainda no Capítulo 1.
Suponha, a seguir, que o circuito consiste de um capacitor, como na Figura 3.4 do Capítulo 3. A corrente
e a tensão têm uma defasagem de 90º. Quando as curvas de i e v são multiplicadas uma pela outra (o produto v⋅i
é negativo quando v e i têm sinais opostos), obtém-se a curva de potência da Figura 6.1-b, mostrada abaixo, que
é simétrica em relação ao eixo horizontal. A potência média é, assim, nula. Para ver porque isto acontece,
lembre-se que uma potência positiva significa que a energia está sendo fornecida a um dispositivo, e que
potência negativa significa que a energia é fornecida por um dispositivo. O processo que está sendo considerado
é meramente o de carga e descarga de um capacitor. Durante os intervalos em que p é positivo, a energia é
fornecida para carregar o capacitor, e quando p é negativo, o capacitor está descarregando e devolvendo energia
à fonte.
A Figura 6.1-c é a curva da potência para um indutor puro. Da mesma maneira que para um capacitor, a
corrente e a tensão têm uma defasagem de 90º e a potência média é nula. A energia é fornecida para estabelecer
um campo magnético em torno do indutor, sendo devolvida à fonte quando o campo desaparece.
38
Figura 6.1 - Gráficos da corrente i, tensão v e potência p em função do tempo para vários circuitos: (a) potência instantânea
de entrada para um resistor R. A potência média é ½ VI; (b) potência instantânea de entrada para um capacitor C. A potência
média é nula; (c) potência instantânea de entrada para um indutor L. A potência média é nula; (d) potência instantânea de
entrada para um circuito arbitrário. A potência média P é ½VI⋅cos(φ) = Vrms⋅Irms⋅cos(φ). Destaque para o ângulo de fase φ,
entre os mínimos de tensão e corrente do circuito. Nota geral: nestas figuras, temos que V = Vp, I = I p e P = Pmed.
Num circuito RLC, série ou paralelo, a fonte de energia é o gerador de fem c.a.. Da energia que ele
fornece, parte é armazenada no campo elétrico do capacitor, parte é armazenada no campo magnético do indutor
e parte é dissipada como energia térmica no resistor. No estado estacionário, a energia média armazenada no
capacitor e no indutor permanece constante. A transferência líquida de energia ocorre, então, do gerador para o
resistor, como mostra a Figura 6.2, onde é transformada da forma eletromagnética para a forma térmica.
Figura 6.2 – O fluxo de energia no circuito RLC. A energia é fornecida pelo gerador
G. Durante cada metade do ciclo, o capacitor C e o indutor L recebem energia e
repassam-na integralmente à outra metade. Parte dessa energia oscila entre o
capacitor e o indutor. Energia flui do gerador para o resistor R, onde aparece na
forma térmica.
No caso mais geral, de um circuito RLC típico (série ou paralelo), a diferença entre a corrente e a tensão
é de um ângulo φ, tendo-se, a partir de (1), que
p = [ε p ⋅ sen(ω ⋅ t )] ⋅ [ I p ⋅ sen(ω ⋅ t − φ )] ,
(6)
p = ε p ⋅ I p ⋅ sen(ω ⋅ t ) ⋅ sen(ω ⋅ t − φ ) .
(7)
A curva da potência instantânea tem a forma mostrada na Figura 6.1-d. A área sob a parte positiva da
curva é maior que sob a parte negativa, resultando que a potência média efetiva é positiva.
39
A análise precedente mostrou que, quando i e v estão em fase, a potência média é igual a ½ V⋅I e que,
quando i e v estão defasados de 90º, a potência média é nula. É de se esperar, pois, que, no caso geral, quando i e
v diferem por um ângulo φ, a potência média também deva depender desse ângulo φ. Usando-se uma matemática
mais avançada, juntamente com um pouco de trigonometria (o que está além do nosso objetivo, de forma que
será apresentado apenas o resultado final), demonstra-se, a partir de (7), que a potência média ao longo de um
ciclo é dada, em termos das amplitudes de tensão εP, corrente IP, e do ângulo de fase φ, por
Pmed =
εp ⋅Ip
⋅ cos(φ ) .
2
(8)
De forma similar, (8) pode ser dada em termos dos valores eficazes (rms) de tensão e corrente por
Pmed = ε rms ⋅ I rms ⋅ cos(φ ) .
(9)
De (8), ou (9), temos a expressão geral para a potência fornecida a qualquer circuito c.a.. O termo cos(φ)
é denominado fator de potência (F.P.) do circuito. Para uma resistência R, φ = 0º, cos(φ) = 1 e Pmed(R) =
VR(rms)⋅IR(rms). Para um capacitor ou indutor, φ = 90º, cos(φ) = 0 e Pmed(C) = Pmed(L) = 0. Ainda, a potência média é,
muitas vezes, também referida como potência real (PR) ou, mais comumente, potência ativa (PA). De toda a
potência entregue pelo gerador c.a. à carga (circuito), a qual denomina-se potência aparente, ou potência
teórica, ou, ainda, potência total (PT), apenas a potência média é consumida pela carga (especificamente na
resistência ôhmica R) sendo que a outra parte, a qual denomina-se potência reativa (PX), não é consumida, sendo
esta constantemente trocada entre o gerador e as reatâncias (capacitiva e indutiva) do circuito.
Um pequeno fator de potência (um ângulo de atraso ou avanço muito grande), em geral, é indesejável
em circuitos c.a. de potência. Isto porque, para uma dada tensão, precisa-se de uma corrente muito grande para
fornecer uma dada potência, com altas perdas de energia nas linhas de transmissão. Como muitos tipos de
máquinas c.a. têm uma corrente atrasada em relação à fem, esta situação é muito comum. Pode-se corrigí-la,
conectando-se um capacitor em paralelo com a carga. O avanço da corrente no capacitor compensa o atraso no
outro ramo do circuito. O capacitor em si não dissipa energia da rede. Voltaremos a discutir a correção do fator
de potência de um circuito c.a., com maiores detalhes, ao final deste capítulo.
Potência Aparente
Se não incluirmos o fator de potência, cos(φ), na equação (9) da potência média, o qual haveria de
contemplar, devido ao fato de que a corrente e a tensão de um dado circuito c.a. estejam defasadas entre si,
obtemos o valor do que se denomina potência aparente, também denominada potência teórica ou, ainda,
potência total (PT). Ou seja,
PT = ε rms ⋅ I rms .
(10)
Essa potência se mede em volt-ampère (VA). Ainda, a potência aparente pode ser determinada também pelas
relações
2
PT = Z ⋅ I rms
(11)
2
ε rms
.
Z
(12)
e
PT =
40
De forma similar, as equações de (10) a (12) podem ser dadas em termos do valor de pico da fem e da corrente
do circuito por
PT =
εP ⋅ IP
2
,
(13)
PT =
Z ⋅ I P2
2
(14)
PT =
ε P2
.
2⋅Z
(15)
e
É com base no valor desta potência (ou das correntes respectivas) que se faz o dimensionamento das
cablagens e sistemas de proteção das instalações elétricas. Na contratação de fornecimento de energia elétrica, é
normalmente especificada a taxa de potência que depende da potência aparente máxima a ser disponibilizada
pelo fornecedor.
Potência Ativa
Se incluirmos o fator de potência, cos(φ), na equação da potência teórica, (PT), em (10), recuperamos a
equação (9), da potência média (Pmed), também denominada potência ativa ou potência real, que representa a
taxa média da energia elétrica dissipada na carga resistiva ôhmica R do circuito c.a. Esta potência é medida em
watts (W) e se expressa pela relação
Pmed = PT ⋅ cos(φ ) .
(16)
Ainda, a potência ativa pode ser determinada também pelas relações
Pmed = V R ( rms ) ⋅ I R ( rms ) ,
Pmed = R ⋅ I R2 ( rms )
(17)
(18)
e
Pmed =
VR2( rms )
R
.
(19)
De forma similar, as equações de (17) a (19) podem ser dadas em termos do valor de pico da tensão da
resistência ôhmica R e da corrente desta por
Pmed =
VR ⋅ I R
,
2
(20)
41
Pmed =
R ⋅ I R2
2
(21)
Pmed =
VR2
.
2⋅ R
(22)
e
Potência Reativa
Existe também em c.a. outra potência, que é a denominada potência reativa (PX), cuja unidade é o voltampère reativo (VAr), a qual é dada por
PX = PT ⋅ sen(φ ) .
(23)
Numa instalação que apenas possua potência reativa, a potência média tem um valor nulo, visto que não
é produzido nenhum trabalho útil. Diz-se, portanto, que a potência reativa é uma potência devatada (não produz
watts ativos). Na indústria elétrica se recomenda que todas as instalações tenham um fator de potência máximo,
cos(φ) ≅ 1, com o qual sen(φ) será mínimo, isto é, sen(φ) ≅ zero. Portanto, a potência reativa será também
mínima. Ainda, a potência reativa também pode ser determinada pelas relações
PX = V X ( rms ) ⋅ I X ( rms ) ,
(24)
PX = X ⋅ I X2 ( rms )
(25)
e
PX =
V X2( rms )
X
.
(26)
De forma similar, as equações de (24) a (26) podem ser dadas em termos do valor de pico da tensão da reatância
X do circuito e da corrente desta (a corrente reativa) por
PX =
VX ⋅ I X
,
2
(27)
PX =
X ⋅ I X2
2
(28)
e
PX =
V X2
.
2⋅ X
(29)
Ao usarmos algumas das equações acima, de (24) a (29), podemos obter uma potência negativa, o que dependerá
do valor determinado para a reatância X do circuito. O significado de uma potência negativa já foi comentado
42
anteriormente. De qualquer forma, ao usar estas relações, considere o sinal negativo no desenvolver das
questões.
Fator de Potência de um Circuito c.a. e a Relação entre as Potências Total, Média e Reativa
As três potências (teórica, média e reativa) estão relacionadas pela equação
2
PT = Pmed
+ PX2 ,
(30)
que segue o caráter pitagórico discutido anteriormente, nos idos do Capítulo 3, devido à consideração das
amplitudes de tensão, corrente, resistências, impedâncias e reatâncias como vetores, de forma que as potências
média, teórica e reativa também levam o mesmo tratamento vetorial.
Podemos aqui definir o fator de potência (F.P.), dado por cos(φ), como sendo a razão entre a potência
média (Pmed) e a potência teórica (PT), isto é,
F .P. = cos(φ ) =
Pmed
.
PT
(31)
Em outras palavras, o fator de potência é um índice que indica o quanto de uma determinada quantidade de
energia elétrica fornecida pelo gerador c.a. é convertida na forma de energia elétrica útil (líquida). A relação
(31), bem como a (30), é válida tanto para um circuito RLC série quanto para um circuito RLC paralelo.
Observe, de (31), que se aumentarmos a potência reativa de um circuito sem aumentar a potência média,
estaremos aumentando a potência teórica, o que implica em um aumento da corrente c.a. do circuito e, também,
em um acúmulo de energia no(s) indutor(es) do circuito ou, dependendo da natureza deste, no(s) capacitor(es) do
mesmo, o que, conseqüentemente, causará uma redução do fator de potência. Quando o fator de potência for
muito baixo, ou “cair” muito, é possível corrigí-lo pela introdução de indutores ou, dependendo da natureza do
circuito, de capacitores ou “banco de capacitores”. Assim, pode-se reduzir o máximo possível a energia reativa
(devatada) do circuito e, conseqüentemente, elevar o fator de potência para o mais próximo possível da unidade
(nota: unidade = 1 = 100%).
Ainda, ressaltamos anteriormente que a potência teórica (teórica) é medida em volt-ampère (VA) e que a
potência reativa é medida em volt-ampère reativo (VAr), enquanto que a potência real (média) é medida
normalmente em watts (W). Porém, isto é apenas uma maneira que os engenheiros designaram para a medida
das potências teórica e reativa. De qualquer forma, a unidade volt-ampère (VA), da potência teórica, corresponde
ao watt (W); e o mesmo vale para a unidade VAr, da potência reativa, ou seja, o VAr corresponde ao watt.
Assim, temos então que 1W = 1VA = 1VAr.
Fator de Potência e Circuito RLC Série
Combinando as equações (5) e (9) com a relação εrms = Z⋅Irms, demonstra-se que o fator de potência, para
um circuito RLC série, também pode ser dado pelas relações
cos(φ ) =
VR ( rms )
ε rms
,
(32)
a qual também pode ser expressa pelas amplitudes de tensão e fem,
cos(φ ) =
VR
,
εP
(33)
43
e
cos(φ ) =
R
.
Z
(34)
De (34), vemos então que o fator de potência pode ser obtido unicamente em função da resistência
ôhmica R e da impedância Z do circuito. Como a resistência ôhmica R é sempre menor do que a impedância Z,
ou seja, R<Z, em um circuito RLC série não ressonante, o fator de potência será sempre maior que zero e menor
do que a unidade, ou seja, 0<cos(φ)<1. No caso especial de um circuito RLC série ressonante, a impedância Z
será igual a resistência ôhmica R do circuito, ou seja, Z = R, de maneira que teremos cos(φ) = 1 e,
conseqüentemente, φ = 0º. Isto indica que a fem c.a. está em fase com a corrente no circuito.
Ainda, como tg(φ) = sen(φ)/cos(φ), e sendo que anteriormente (Capítulo 3) definimos que a tangente do
ângulo de fase φ equivale à razão entre a reatância X do circuito e a resistência R, demonstra-se também que
sen (φ ) =
X
.
Z
(35)
Fator de Potência e Circuito RLC Paralelo
Como se determina o fator de potência num circuito RLC paralelo? Como a resistência R é sempre maior
do que a impedância Z, ou seja, R>Z, em um circuito RLC paralelo não ressonante, não poderemos usar as
relações de (32) a (35), pois assim teríamos que o fator de potência excederia a unidade, ou seja, 1<cos(φ)<∝.
Isto sugere que tais relações, não funcionam para um circuito RLC paralelo, justamente porque foram obtidas
para o circuito RLC série. Apresentamos, sem demonstrar (mas seguindo uma linha de raciocínio similar àquela
utilizada na seção anterior, para o circuito RLC série), que o fator de potência para um circuito RLC paralelo
também pode ser dado pelas relações
cos(φ ) =
I R ( rms )
I rms
,
(36)
a qual também pode ser expressa pelas amplitudes de corrente,
cos(φ ) =
IR
,
IP
(37)
e unicamente em função da resistência ôhmica R e da impedância Z do circuito pela relação
cos(φ ) =
Z
.
R
(38)
Esta última, (38), está em perfeita concordância para o caso discutido acima, para o circuito RLC paralelo não
ressonante, no qual 0<cos(φ)<1. No caso do circuito RLC paralelo ressonante, onde também temos que Z = R,
constata-se claramente, de (38), que cos(φ) = 1. Ainda, como tg(φ) = sen(φ)/cos(φ), e sendo que anteriormente
(Capítulo 4) definimos que a tangente do ângulo de fase φ equivale à razão entre a resistência R e a reatância X
do circuito, demonstra-se também que
sen (φ ) =
Z
.
X
(39)
44
Vemos que os lados direitos das equações (38) e (39), do circuito RLC paralelo, são, respectivamente, o
inverso dos lados direitos das equações (34) e (35), do circuito RLC série. As relações (1), e aquelas de (10) a
(31), são válidas para ambos os circuitos RLC (série e paralelo), enquanto que as relações de (32) a (35) são
específicas para um circuito RLC série, e as relações (36) a (39) são específicas para um circuito RLC paralelo.
Correção do Fator de Potência
O uso de cargas indutivas nas residências, bem como nas indústrias, é comum. Um motor constitui uma
carga de natureza indutiva. Esta, por sua vez, pode ser monofásica ou trifásica. Consideremos, por simplicidade,
apenas cargas indutivas monofásicas. Devido à resistência ôhmica inerente ao enrolamento que constitui um
motor, este pode ser considerado, em melhor aproximação (no mundo real), como uma resistência ôhmica R
conectada em paralelo com uma indutância pura L. Resumindo: um motor real pode ser esquematizado como um
circuito RL paralelo. Num motor, a resistência ôhmica R está associada ao consumo real de energia elétrica
(ativa) que o mesmo efetua. A indutância pura L, por sua vez, está associada à energia elétrica devatada presente
no motor. Neste circuito, por ser de natureza indutiva, a corrente está atrasada em relação à fem c.a. aplicada.
Em geral, a corrente indutiva, que neste caso constitui (em magnitude) a própria corrente reativa, é alta, em
comparação com a corrente ativa (da resistência ôhmica R) necessária para o trabalho desenvolvido pelo motor.
Isto, em geral, ocasiona um elevado ângulo de fase e, conseqüentemente, um baixo fator de potência.
Na prática, é usual colocar um capacitor (ou um banco de capacitores) em paralelo com o motor, com
vistas a elevar o fator de potência deste (baixando assim o ângulo de fase do circuito). Resumindo: teremos um
circuito RLC paralelo. Para tanto, a taxa média de consumo de energia elétrica do circuito (a potência ativa)
permanece inalterada. Porém, a corrente reativa do circuito decresce (em magnitude) e, conseqüentemente, a
potência reativa e, por conseguinte, a potência aparente (teórica). Conforme visto no Capítulo 4, num circuito
RLC paralelo, a corrente no capacitor está defasada de 180° em ralação à corrente no indutor (conforme pode ser
visualizado no diagrama de fasores; os fasores IC e IL têm a mesma direção, porém, sentidos opostos). Assim, a
corrente reativa corresponde à diferença entre a corrente capacitiva e a indutiva. Em outras palavras, o atraso que
o indutor causa na corrente do circuito é contrabalançado pelo capacitor, o qual adianta a corrente. Logo, o
ângulo de fase do circuito é reduzido e, conseqüentemente, o fator de potência é aumentado. Ainda assim, o
circuito continua a ser predominantemente indutivo. A correção do fator de potência pelo uso de indutores (ou
até mesmo banco de indutores) também pode ser feita. Mas, do ponto de vista prático/técnico, o uso de
capacitores (ou banco destes) é o mais indicado.
A correção do fator de potência é algo um tanto complicado e cuidadoso, matematicamente falando, para
se fazer. Entretanto, do ponto de vista físico, uma coisa deve ser levada em conta nos cálculos para a correção do
fator de potência (seja esta correção no circuito RLC série ou paralelo; e seja usando capacitor ou indutor para a
correção): o SINAL (positivo ou negativo) que a nova reatância X do circuito deve ter. Do Capítulo 3, se o
circuito RLC série for predominantemente indutivo (alto valor de XL), teremos que X > 0 , e a corrente do
circuito estará atrasada em relação à fem c.a. do gerador, de maneira que o ângulo de fase φ assumirá valores
entre 0º e 90º. Em contrapartida, se o circuito for predominantemente capacitivo (alto valor de XC), teremos que
X < 0 , e a corrente do circuito estará avançada em relação à fem c.a. do gerador, de maneira que o ângulo de
fase φ assumirá valores entre −90º e 0º. Isto é,
RLC série:
para X L > X C , temos que X > 0 , VL > VC , VX > 0 e, consequentemente, 0º < φ < 90º .
RLC série:
para X L < X C , temos que X < 0 , VL < VC , VX < 0 e, consequentemente, − 90º < φ < 0º .
Do capítulo 4, se o circuito RLC paralelo for predominantemente indutivo (baixo valor de XL), teremos que
X < 0 , a corrente do circuito estará atrasada em relação à fem c.a. do gerador, de maneira que o ângulo de fase
φ assumirá valores entre 0º e –90º, em contraposição ao circuito RLC série. Em contrapartida, se o circuito RLC
paralelo for predominantemente capacitivo (baixo valor de XC), teremos que X > 0 , e a corrente do circuito
45
estará avançada em relação à fem c.a. do gerador, de maneira que o ângulo de fase φ assumirá valores entre 0º e
+90º, em contraposição ao circuito RLC série. Isto é,
RLC paralelo: para X L < X C , temos que X < 0 , I L > I C , I X < 0 e, consequentemente, − 90º < φ < 0º .
RLC paralelo: para X L > X C , temos que X > 0 , I L < I C , I X > 0 e, consequentemente, 0º < φ < 90º .
Quando determinamos o valor da nova reatância X do circuito, com o fator de potência já corrigido,
geralmente o fazemos por alguma das relações de potência reativa mostradas anteriormente, tais como, por
exemplo, de (23) a (29). Normalmente, em casos de correção do fator de potência, o valor da potência reativa PX
é obtido por (30). Nestes casos, quando determinamos o novo valor da reatância X, usando as relações de (23) a
(29), sempre o obtemos positivo. Isto é de se esperar, pois estas equações, nesses casos, fornecem
“corretamente” apenas a magnitude (módulo, ou valor absoluto!) da reatância X, a qual é uma grandeza
considerada “vetorial (fasorial)”. Assim sendo, estas equações, de (23) a (29), bem como qualquer outra (que
envolva X) à ser usada, não informa o sinal (+ ou –) que a nova reatância X deve ter. Assim sendo, para
determinar corretamente o valor do capacitor ou indutor à ser inserido no circuito (série ou paralelo), para a
correção do fator de potência deste, deve-se fazer o seguinte:
I. Calcula-se o valor da nova reatância X do circuito, usando as equações de (23) a (29), por exemplo, bem
como qualquer outra (que envolva X).
II. Então, verifica-se qual o sinal (+ ou –) da reatância do circuito original (antes da alteração do fator de
potência): caso a reatância original seja positiva, considera-se a nova reatância também positiva; caso a
reatância original seja negativa, considera-se a nova reatância também negativa.
Uma outra coisa importantíssima (para dizer o mínimo) na correção do fator de potência é a escolha do
quê queremos manter inalterado no circuito: a fem c.a. aplicada ou a corrente do circuito?! Para entendermos
isto, observemos a equação (31). Esta equação relaciona a potência ativa, a potência aparente e o fator de
potência. Usando o fator de potência desejado (o valor à ser corrigido), juntamente com a potência ativa do
circuito (a qual permanece inalterada), determinamos a nova potência aparente, que deve ser menor que àquela
do circuito original. A potência aparente pode ser dada pela equação (10), a qual relaciona os valores eficazes da
fem c.a. e da corrente do circuito, ou pela equação (13), a qual relaciona os valores de pico da fem c.a. e da
corrente do circuito. Assim, determinada a nova potência aparente do circuito, após a correção do fator de
potência do mesmo, levemos o resultado para a equação (10) ou (13), conforme a preferência. Então, esse valor
corresponde ao produto da fem pela corrente do circuito. Logo, somos obrigados a escolher: mantermos a fem
original do circuito, e alterarmos a corrente do mesmo? Ou alterarmos a fem do circuito e mantermos a sua
corrente original? Essa escolha é importantíssima, pois a opção de uma ou outra pode acarretar algumas
conseqüências, seja este um circuito do tipo série ou paralelo.
Num circuito série, se optarmos por manter a fem aplicada no circuito, a corrente do mesmo assumirá
um novo valor e, neste caso, será necessário também fazer um ajuste na resistência ôhmica do circuito, através
da inclusão de uma nova resistência em série ou em paralelo com a original. Isto é necessário para manter a
potência ativa do circuito inalterada. Já se optarmos por manter a corrente original do circuito, a fem do mesmo
assumirá um novo valor (menor que o anterior). Neste caso, a resistência ôhmica do circuito deverá permanecer
com o mesmo valor original. Num circuito paralelo, se optarmos por manter a fem aplicada no circuito, a
resistência ôhmica do circuito deverá permanecer com o mesmo valor original. Neste caso, a corrente ativa do
circuito não se altera. Já se optarmos por manter a corrente original do circuito, a fem do mesmo assumirá um
novo valor (menor que o anterior). Neste caso, será necessário também fazer um ajuste na resistência ôhmica do
circuito, através da inclusão de uma nova resistência em série ou em paralelo com a original. Isto é necessário
para manter a potência ativa do circuito inalterada.
Da discussão acima, uma regra pode ser observada. Num circuito série, a grandeza elétrica comum para
os elementos da malha é a corrente elétrica. Se optarmos por alterar o fator de potência desse circuito sem alterar
a grandeza elétrica comum aos componentes, que neste caso é a corrente, não será necessário alterar a resistência
ôhmica do circuito. Num circuito paralelo, a grandeza elétrica comum para os elementos é a tensão. Se optarmos
46
por alterar o fator de potência desse circuito sem alterar a grandeza elétrica comum aos componentes, que neste
caso é a tensão, não será necessário alterar a resistência ôhmica do circuito. Em suma, na correção do fator de
potência, de um circuito série ou paralelo, se optarmos por manter inalterado o valor da grandeza comum aos
elementos do mesmo (seja a tensão ou a corrente; conforme a natureza do circuito), não será necessário alterar a
resistência ôhmica do circuito.
Para o caso especial da correção do fator de potência para motores monofásicos (circuitos RL paralelo;
estudados brevemente no Capítulo 4), e mantendo sua fem c.a. a mesma (antes e após a correção), temos que o
capacitor C a ser usado (introduzido) no circuito pode ser determinado diretamente pela relação
 P
C =  méd2
 ω ⋅ ε rms

 ⋅ [tg (φ D ) − tg (φ A ) ] .


(40)
Na equação (40), Pméd é a potência ativa do circuito (que se mantém a mesma antes e após a correção), ω
é a frequência angular da rede, εrms é a fem c.a. rms da rede, φA é o ângulo de fase do circuito antes da correção
do fator de potência, e φD é o ângulo de fase (novo) depois da correção do fator de potência do circuito. É
importante ressaltar que os ângulos de fase mencionados em (40) devem ser munidos de um sinal negativo (–),
pois conforme discutido, o circuito permanece de natureza indutiva, mesmo após a correção do fator de potência.
EXEMPLOS
1. Deseja-se acionar uma lâmpada de 110Vrms/100W usando uma fonte c.a. de 220Vrms que oscila numa
frequência de 60Hz. Determine o valor do capacitor, em microfarads (µF), juntamente com sua tensão
eficaz, que deve ser ligado em série com a lâmpada para que a mesma seja acionada adequadamente.
Objetivo(s) à determinar: C = ? (µF) e VC(rms) = ?
Considerações:
I) A lâmpada será considerada como uma resistência ôhmica (R), uma vez que a potência dela é dada
em watts e, assim sendo, esta é a unidade (base) referente à potência ativa, sendo esta a potência da
lâmpada (resistência ôhmica). Logo: Pativa = Pméd = PR = 100 W.
II) Como o circuito não tem indutância (L = 0), a reatância indutiva e a tensão indutiva do mesmo serão
nulas (XL = VL = 0).
Resolvendo:
Os dados informados no enunciado do exercício são:
•
•
•
•
•
•
Tipo de circuito: RC série
Pativa = Pméd = PR = 100 W
Vativa(rms) = VR(rms) = 110 V
ε(rms) = 220 V
f = 60 Hz
L = XL = VL = 0
Como o circuito é do tipo série, a corrente será a mesma para todos os elementos contidos na malha,
sendo estes a fonte de f.e.m. alternada, a lâmpada (R) e o capacitor (C). Assim, sabe-se que:
I(rms) = IZ(rms) = Iaparente(rms) = IR(rms) = Iativa(rms) = IC(rms) = IX(rms) = Ireativa(rms)
Com base na potência e tensão da lâmpada, encontra-se o valor eficaz da corrente do circuito. Do Cap.5:
47
Pmed = VR ( rms ) ⋅ I R ( rms )
Então:
PR
VR ( rms )
Pativa = Vativa ( rms ) ⋅ I ativa ( rms )
= I R ( rms ) I R ( rms ) =
100 W
110 V
PR = VR ( rms ) ⋅ I R ( rms )
≅ 0,91 A
Logo: I(rms) = IZ(rms) = Iaparente(rms) = IR(rms) = Iativa(rms) = IC(rms) = IX(rms) = Ireativa(rms) ≅ 0,91 A.
Com base nos valores eficazes da f.e.m. alternada da fonte e da tensão da lâmpada, encontra-se o valor
eficaz da tensão reativa do circuito. Do Cap.3, sabe-se que:
ε( rms ) = VR2 ( rms ) + VX2 ( rms )
Então: ε (2rms ) = VR2 ( rms ) + VX2 ( rms ) ε (2rms ) − VR2 ( rms ) = VX2 ( rms ) ε (2rms ) − VR2 ( rms ) = VX ( rms )
Assim: VX ( rms ) = ε (2rms ) − VR2 ( rms ) = ( 220 V) 2 − (110 V ) 2 ≅ 190,53 V
O resultado obtido acima representa a magnitude (= módulo = valor absoluto) do fasor tensão reativa
eficaz do circuito. Do Cap.3, é conhecido que se um circuito RLC série for predominantemente
capacitivo, o mesmo apresentará sua reatância indutiva menor que sua reatância capacitiva e,
consequentemente, a reatância (X) e a tensão reativa (VX) do circuito assumirão valores negativos.
Como o circuito RC série da lâmpada não contém indutâncias, então: VX(rms) = − 190,53 V.
Ainda do Cap.3, para um circuito RLC série é conhecido que: VX ( rms ) = VL( rms ) − VC ( rms ) .
Assim, para determinar o valor eficaz da tensão do capacitor (VC(rms)) do circuito RC da lâmpada, faz-se:
VX ( rms ) = VL( rms ) − VC ( rms ) VX ( rms ) + VC ( rms ) = VL( rms ) VC ( rms ) = VL ( rms ) − VX ( rms )
Então, de acordo com os resultados obtidos anteriormente, tem-se que:
VC ( rms ) = 0 V − ( −190,53 V) VC ( rms ) = 0 V + 190,53 V VC ( rms ) = 190,53 V
Logo, o valor eficaz da tensão alternada no capacitor será de aproximadamente 190,53 V.
Do Cap.2, é conhecido que: VC ( rms ) = X C ⋅ I C ( rms ) .
Então, de acordo com os resultados acima, tem-se que:
VC ( rms )
I C ( rms )
= XC
XC =
VC ( rms )
I C ( rms )
=
190,53 V
0,91 A
Ainda do Cap.2, é conhecido também que: X C =
≅ 209,37 Ω
1
ω ⋅C
48
Assim: X C =
1
1
ω ⋅ C ⋅ XC = 1 C =
ω ⋅C
ω ⋅ XC
Sabendo que a frequência do circuito é de 60 Hz, de acordo com o Cap.1 encontra-se que:
ω = 2 ⋅ π ⋅ f = ( 2) ⋅ (3,14 rad) ⋅ ( 60 Hz ) = 376,8 rad / s
Logo:
C=
1
1
=
≅ 0,000012675 F = 1,2675 × 10 −5 F
ω ⋅ X C (376,8 rad / s) ⋅ ( 209,37 Ω)
Como 1 µF = 1×10−6 F, então: C ≅
0,000012675 F
1 × 10 −6
=
1,2675 × 10 −5 F
≅ 12,68 µF .
1 × 10 −6
Portanto, o valor do capacitor à ser associado em série com a lâmpada para que a mesma ascenda
corretamente será de aproximadamente 12,68 µF.
2. Um motor monofásico pode ser considerado (no mundo real) como uma resistência ôhmica R conectada
em paralelo com uma indutância pura L. A resistência ôhmica R está associada ao consumo real de
energia elétrica (ativa) que o mesmo efetua. A indutância pura L, por sua vez, está associada à energia
elétrica devatada presente no motor. Resumindo: um motor real pode ser esquematizado como um
circuito RL paralelo. Considere um motor monofásico que exige 10kVA quando conectado à uma rede
c.a. de 220V eficazes, a qual oscila em uma frequência de 60Hz. Sabe-se que o fator de potência deste
circuito é de 60%. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
A frequência angular da fonte, em radianos por segundo (rad/s).
O fator de potência do circuito.
O ângulo de fase do circuito.
A potência aparente do circuito, em kVA.
A potência ativa do circuito, em kW.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
A impedância do circuito.
A reatância do circuito.
A reatância indutiva do circuito (Nota: esta é igual, em magnitude, à reatância do circuito).
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A resistência ôhmica R do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
3. No exemplo 2, suponha que seja introduzido um capacitor em paralelo com o motor, com vistas a elevar
o fator de potência deste para 92%. Resumindo: teremos um circuito RLC paralelo. Optou-se por efetuar
a correção do fator de potência deste circuito sem alterar a fem c.a. do mesmo. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
A potência aparente do circuito, em kVA.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
O ângulo de fase do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
A impedância do circuito.
49
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
A reatância do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A reatância capacitiva do circuito.
O valor do capacitor usado na correção do fator de potência do circuito, em microfarads (µF).
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente capacitiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Deseja-se acionar uma lâmpada de 110Vrms/60W usando uma fonte c.a. de 220Vrms que oscila numa
frequência de 60Hz. Determine o valor do capacitor, em microfarads (µF), juntamente com sua tensão
eficaz, que deve ser ligado em série com a lâmpada para que a mesma seja acionada adequadamente.
2. Deseja-se acionar uma lâmpada de 110Vrms/60W usando uma fonte c.a. de 220Vrms que oscila numa
frequência de 60Hz. Determine o valor do indutor, em mili-henrys (mH), juntamente com sua tensão
eficaz, que deve ser ligado em série com a lâmpada para que a mesma seja acionada adequadamente.
3. Um motor monofásico pode ser considerado (no mundo real) como uma resistência ôhmica R conectada
em paralelo com uma indutância pura L. A resistência ôhmica R está associada ao consumo real de
energia elétrica (ativa) que o mesmo efetua. A indutância pura L, por sua vez, está associada à energia
elétrica devatada presente no motor. Resumindo: um motor real pode ser esquematizado como um
circuito RL paralelo. Considere um motor monofásico que consome uma potência de 5kW quando
conectado à uma rede c.a. de 220V eficazes, a qual oscila em uma frequência de 60Hz. Sabe-se que o
fator de potência deste circuito é de 60%. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
A frequência angular da fonte, em radianos por segundo (rad/s).
A potência aparente do circuito, em kVA.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
O ângulo de fase do circuito.
A resistência ôhmica R do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A impedância do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
4. No exercício 3, suponha que seja introduzido um capacitor em paralelo com o motor, com vistas a elevar
o fator de potência deste para 90%. Resumindo: temos um circuito RLC paralelo. Optou-se por efetuar a
correção do fator de potência deste circuito sem alterar a fem c.a. do mesmo. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A potência aparente do circuito, em kVA.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
O ângulo de fase do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
A impedância do circuito.
A reatância do circuito.
50
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
A reatância indutiva do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A reatância capacitiva do circuito.
O valor do capacitor usado na correção do fator de potência do circuito, em microfarads (µF).
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente capacitiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
5. Um motor monofásico pode ser considerado (no mundo real) como uma resistência ôhmica R conectada
em paralelo com uma indutância pura L. A resistência ôhmica R está associada ao consumo real de
energia elétrica (ativa) que o mesmo efetua. A indutância pura L, por sua vez, está associada à energia
elétrica devatada presente no motor. Resumindo: um motor real pode ser esquematizado como um
circuito RL paralelo. Considere um motor monofásico que consome uma potência de 1kW quando
conectado à uma rede c.a., a qual oscila em uma frequência de 60Hz. A corrente eficaz que atravessa o
motor é de 10A. Sabe-se que a defasagem entre a fem c.a. e a corrente c.a. do circuito mede 60°, em
valor absoluto. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
A frequência angular da fonte, em radianos por segundo (rad/s).
O ângulo de fase do circuito.
O fator de potência do circuito.
A potência aparente do circuito, em kVA.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
A fem c.a. eficaz do circuito.
A resistência ôhmica R do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A impedância do circuito.
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
6. No exercício 5, suponha que seja introduzido um capacitor em paralelo com o motor, com vistas a elevar
o fator de potência deste para 85%. Resumindo: teremos um circuito RLC paralelo. Optou-se por efetuar
a correção do fator de potência deste circuito sem alterar a fem c.a. do mesmo. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
A potência aparente do circuito, em kVA.
A potência reativa do circuito, em VAr.
O ângulo de fase do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
A impedância do circuito.
A reatância do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A reatância capacitiva do circuito.
O valor do capacitor usado na correção do fator de potência do circuito, em microfarads (µF).
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente capacitiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
51
7. Um motor monofásico pode ser considerado (no mundo real) como uma resistência ôhmica R conectada
em paralelo com uma indutância pura L. A resistência ôhmica R está associada ao consumo real de
energia elétrica (ativa) que o mesmo efetua. A indutância pura L, por sua vez, está associada à energia
elétrica devatada presente no motor. Resumindo: um motor real pode ser esquematizado como um
circuito RL paralelo. Considere um motor monofásico que exige 10kVA quando conectado à uma rede
c.a. de 220V eficazes, a qual oscila em uma frequência de 60Hz. Sabe-se que o fator de potência deste
circuito é de 50%. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
A frequência angular da fonte, em radianos por segundo (rad/s).
A potência ativa do circuito, em kW.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
O ângulo de fase do circuito.
A resistência ôhmica R do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A impedância do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
8. No exercício 7, suponha que seja introduzido um capacitor em paralelo com o motor, com vistas a elevar
o fator de potência deste para 85%. Resumindo: teremos um circuito RLC paralelo. Optou-se por efetuar
a correção do fator de potência deste circuito sem alterar a fem c.a. do mesmo. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
A potência aparente do circuito, em kVA.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
O ângulo de fase do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
A impedância do circuito.
A reatância do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A reatância capacitiva do circuito.
O valor do capacitor usado na correção do fator de potência do circuito, em microfarads (µF).
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente capacitiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
9. Um motor monofásico (um circuito RL paralelo) consome 5kW de uma rede c.a. de 220V efetivos, a
qual oscila numa frequência de 60Hz. Sabendo-se que o fator de potência desse circuito é de 65%,
determine a capacitância, em microfarads (µF), que, colocada em paralelo com o motor (logo teremos
um circuito RLC paralelo), resultaria num fator de potência igual a 92%?
10. Um motor monofásico (um circuito RL paralelo) consome 3,5kW de uma rede c.a. de 110V efetivos, a
qual oscila numa frequência de 120Hz. Sabe-se que o fator de potência desse circuito passou a ser de
87% após a introdução de um capacitor de 270µF em paralelo com o motor (logo temos um circuito
RLC paralelo). Assim sendo, determine qual era aproximadamente o fator de potência do motor antes da
correção do fator de potência do mesmo.
52
11. Um circuito RL série dissipa 330W de uma rede c.a. de 110V efetivos, a qual oscila numa frequência de
60Hz. Sabe-se que o fator de potência desse circuito é de 60%. Lembrando que a corrente do circuito
está atrasada em relação a fem da rede, pede-se o seguinte:
a) Determine a capacitância, em microfarads (µF), que colocada em série no circuito (logo teremos
um circuito RLC série!), resultaria em um fator de potência igual à unidade (ou seja, 100%).
b) Considerando a situação apresentada no item anterior, qual a potência que seria fornecida pela
rede c.a. no caso do fator de potência ser igual à unidade?
12. Um circuito RLC série e predominantemente indutivo possui uma reatância de
de 2Ω. Assim sendo, determine o fator de potência deste circuito.
3Ω e uma impedância
13. Um circuito RL série, ligado a uma linha de 120Vca, é composto por uma resistência de 12Ω e possui
uma reatância indutiva de 5,3Ω. Sendo assim, determine:
a) A impedância do circuito.
b) A taxa média com que a energia é fornecida ao circuito.
14. Um circuito RL série que opera numa rede de 420Vca, a qual oscila numa frequência de 60Hz, tem uma
resistência ôhmica de 32Ω e uma indutância de 120mH. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A reatância indutiva do circuito.
A impedância do circuito.
A corrente c.a. que atravessa o circuito.
O fator de potência deste circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. e a corrente do circuito.
A taxa média com que a energia é fornecida ao circuito.
15. A impedância de um circuito RL série submetido a uma fem c.a. que oscila na frequência de 100Hz é de
23,1Ω. O ângulo de defasagem entre a corrente do circuito e a fem c.a. é de 30º em valor absoluto.
Sendo assim, determine o valor do indutor deste circuito.
16. Refaça o exercício anterior para o caso dos elementos (R e L) estarem associados em paralelo.
17. Um circuito RLC série ligado numa rede c.a. tem uma resistência (efetiva) de 75Ω e uma impedância de
150Ω. Determine a taxa média de fornecimento de energia elétrica a este circuito sabendo que o mesmo
está conectado numa rede c.a. de 120Vrms.
18. Um gerador c.a. de 220V efetivos fornece 22kVA a um motor c.a. monofásico (um circuito RL paralelo),
de modo que a corrente do mesmo está atrasada de 60º em relação à sua fem. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
O fator de potência do circuito.
A potência ativa do circuito.
A potência reativa do circuito.
A potência aparente do circuito.
19. Um circuito RL série é ligado em 220Vca e consome uma corrente rms de 10A. O ângulo de fase do
circuito é de 25,84º. Sendo assim, determine:
a) O fator de potência do circuito.
b) A potência ativa do circuito.
c) A potência reativa do circuito.
53
d) A potência aparente do circuito.
20. A potência instantânea de uma fonte de fem c.a. pode ser negativa? O fator de potência pode ser
negativo? Sendo assim, explique o significado destes valores/sinais negativos.
21. Conhecendo-se o fator de potência de um circuito RLC (série ou paralelo), pode-se dizer se a fem
alternada aplicada está adiantada ou atrasada em relação à corrente alternada? Em caso positivo, como?
Em caso negativo, por que não?
22. Os engenheiros das usinas elétricas gostam de ter um fator de potência baixo, ou alto, ou não faz
diferença alguma para eles? Justifique sua resposta.
23. O que determina o fator de potência numa linha de transmissão de energia elétrica é uma característica
do gerador da linha, do circuito ao qual a linha está ligada ou de alguma combinação destes elementos?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. 7,6µF/190,53V;
2. 927,81mH/190,53V;
3. a) 376,8rad/s; b) 8,33kVA; c) 6,67kVAr em valor absoluto; d) –53,13°; e) 9,68Ω; f) 7,26Ω; g) –7,26Ω;
h) 19,27mH; i) 5,81Ω; j) 37,87A; k) 22,73A; l) 30,30A; m) –30,30A;
4. a) 5,56kVA; b) 2,42kVAr em valor absoluto (aproximadamente); c) –25,84°; d) 25,25A; e) 8,71Ω;
f) –20Ω; g) 7,26Ω; h) 19,27mH; i) 11,4Ω; j) 232,86µF; k) 22,73A; l) 30,30A; m) 19,3A; n) –11A;
5. a) 376,8rad/s; b) –60°; c) 50%; d) 2kVA; e) 1,732kVAr em valor absoluto (aproximadamente); f) 200V;
g) 40Ω; h) 23,09Ω; i) –23,09Ω; j) 61,29mH; k) 20Ω; l) 5A; m) 8,66A; n) –8,66A;
6. a) 1,176kVA; b) 619,74VAr em valor absoluto (aproximadamente); c) –31,79°; d) 5,88A; e) 34Ω;
f) –64,54Ω; g) 23,09Ω; h) 61,29mH; i) 35,95Ω; j) 73,82µF; k) 5A; l) 8,66A; m) 5,56A; n) –3,1A;
7. a) 376,8rad/s; b) 5kW; c) 8,66kVAr em valor absoluto; d) –60°; e) 9,68Ω; f) 5,59Ω; g) –5,59Ω;
h) 14,83mH; i) 4,84Ω; j) 45,45A; k) 22,73A; l) 39,36A; m) –39,36A;
8. a) 5,88kVA; b) 3,1kVAr em valor absoluto (aproximadamente); c) –31,79°; d) 26,74A; e) 8,23Ω;
f) –15,62Ω; g) 5,59Ω; h) 14,83mH; i) 8,71Ω; j) 304,85µF; k) 22,73A; l) 39,36A; m) 25,26A; n) –14,1A;
9. 203,64µF;
10. 61,86%;
11. a) 151µF; b) 917W;
12. 50%;
13. a) 13,12Ω; b) 1.010,16W ≅ 1,01kW;
14. a) 45,22Ω; b) 55,4Ω; c) 7,58A; d) 58%; e) 54,55º; f) 1846,5W ≅ 1,85kW;
15. 18,41mH;
16. 73,6mH;
17. 48W;
18. a) 50%; b) 11kW; c) 19,05kVAr em valor absoluto; d) 22kVA;
19. a) 90%; b) 1,98kW; c) 959VAr em valor absoluto; d) 2,2kVA;
20. faça você mesmo;
21. faça você mesmo;
22. faça você mesmo;
23. faça você mesmo;
54
6. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE CIRCUITOS RLC EM SÉRIE
1. Considere um circuito RLC série o qual consiste de uma associação mista de resistores, capacitores e
indutores, tal como apresentado no diagrama abaixo. O circuito é conectado em uma fonte de fem c.a.,
cuja tensão instantânea (v) nos terminais da mesma é do tipo senoidal e está ilustrada (para um ciclo de
oscilação) no gráfico abaixo. Sendo assim, determine:
R1 = 160Ω
R2 = 200Ω
R3 = R4 = 10Ω
R5 = 40Ω
R6 = 120Ω
C1 = 40 µF
C 2 = 5,2 µF
C 3 = 12µF
C 4 = C 6 = 10 µF
C 5 = 30 µF
L1 = 16mH
L2 = 5mH
L3 = 2mH
L4 = L6 = 10mH
L5 = 40mH
Circuito RLC série do exercício 1.
Tensão instantânea (ao longo de um ciclo de oscilação) na saída do gerador c.a. do exercício 1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A resistência (ôhmica) total do circuito.
A capacitância total do circuito, em microfarads (µF).
A indutância total do circuito, em mili-henrys (mH).
A tensão de pico nos terminais da fonte.
A tensão de pico à pico nos terminais da fonte.
A tensão eficaz nos terminais da fonte.
55
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
A tensão média ao longo de um ciclo completo de oscilação.
O período de oscilação da tensão alternada em milisegundos (ms).
A freqüência da fonte em hertz (Hz).
A freqüência angular da fonte em radianos por segundo (rad/s).
A equação da tensão instantânea.
A tensão instantânea nos terminais da fonte para três quartos de um ciclo.
A tensão instantânea para um ciclo completo.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. da fonte e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito em miliampères (mA).
A corrente de pico no resistor R1 em miliampères (mA).
A corrente de pico no capacitor C1 em miliampères (mA).
A corrente de pico no indutor L1 em miliampères (mA).
A tensão de pico entre os extremos da malha resistiva (ôhmica) do circuito.
A tensão de pico entre os extremos da malha capacitiva do circuito.
A tensão de pico entre os extremos da malha indutiva do circuito.
O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo? Justifique sua resposta.
2. Um circuito RLC série é conectado a uma rede elétrica de 110V eficazes, a qual oscila na freqüência de
60Hz. A corrente máxima do circuito é de 15,55A, a qual precede a tensão por um ângulo de fase de 60°
em valor absoluto. Sabendo-se que a indutância do circuito é de 50mH, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
A freqüência angular da fonte em radianos por segundo (rad/s).
A tensão de pico da rede elétrica.
A corrente de pico do circuito
A impedância do circuito.
A reatância do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância capacitiva do circuito.
O valor da resistência do circuito.
O valor da capacitância do circuito, em microfarads (µF).
O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo? Justifique sua resposta.
3. Um circuito RLC série consiste de um resistor de 500Ω, um capacitor de 530,52nF e um indutor de
132,63mH conectados em uma fonte de fem c.a., a qual oscila em uma freqüência de 1,2kHz. Como
deverá ser introduzido um capacitor no circuito, de maneira que este seja colocado em série ou em
paralelo com o capacitor de 530,52nF, para que o ângulo de fase do circuito se reduza à metade do
original? Especifique, também, o valor deste novo capacitor.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1. a) 200Ω; b) 8µF; c) 20mH; d) 120V; e) 240V; f) 84,85V; g) zero; h) 25,12ms; i) 39,81Hz;
j) 250,13rad/s; k) v = 120 ⋅ sen(250,13 ⋅ t ) ; l) –120V; m) zero; n) 5Ω; o) 499,75Ω; p) –494,75Ω;
q) 533,64Ω; r) –68° (aproximadamente); s) 224,87mA; t) 224,87mA; u) 224,87mA; v) 224,87mA;
w) 44,97V; x) 112,38V; y) 1,12V; z) Predominantemente capacitivo, pois XL<XC;
2. a) 376,8rad/s; b) 155,56V; c) 15,56A; d) 10Ω; e) 8,66Ω; f) 18,84Ω; g) 10,18Ω; h) 5Ω; i) 260,71µF;
j) Predominantemente indutivo, pois XL>XC;
3. Um capacitor de 275,36nF (aproximadamente) deve ser colocado em série com aquele de 530,52nF.
56
7. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE CIRCUITOS RLC EM PARALELO
1. Um circuito RLC paralelo consiste de
um resistor de 30Ω, um capacitor de
300µF e um indutor de 200mH
conectados em uma fonte de fem c.a.,
cuja tensão instantânea (v) nos
terminais da mesma é do tipo
senoidal e está ilustrada (para um
ciclo de oscilação) no gráfico ao lado.
Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
A tensão de pico nos terminais da fonte.
A tensão de pico à pico nos terminais da fonte.
A tensão eficaz nos terminais da fonte.
A tensão média ao longo de um ciclo completo de oscilação.
O período de oscilação da tensão alternada em milisegundos (ms).
A freqüência da fonte em hertz (Hz).
A freqüência angular da fonte em radianos por segundo (rad/s).
A equação da tensão instantânea.
A tensão instantânea nos terminais da fonte para três quartos de um ciclo.
A tensão instantânea para um ciclo completo.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. da fonte e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito em miliampères (mA).
A corrente de pico no resistor, em miliampères (mA).
A corrente de pico no capacitor, em miliampères (mA).
A corrente de pico no indutor, em miliampères (mA).
A tensão de pico no resistor, em miliampères (mA).
A tensão de pico no capacitor, em miliampères (mA).
A tensão de pico no indutor, em miliampères (mA).
O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo? Justifique sua resposta.
2. Um circuito RLC paralelo é conectado a uma rede elétrica de 110V eficazes, a qual oscila na freqüência
de 60Hz. A corrente máxima do circuito é de 15,55A, a qual segue a fem c.a. do gerador por um ângulo
de fase de 60° em valor absoluto. Sabendo-se que a indutância do circuito é de 25mH, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
A freqüência angular da fonte em radianos por segundo (rad/s).
A tensão de pico da rede elétrica.
A corrente de pico do circuito
A impedância do circuito.
A reatância do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância capacitiva do circuito.
O valor da resistência do circuito.
57
i)
j)
O valor da capacitância do circuito, em microfarads (µF).
O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo? Justifique sua resposta.
3. Um circuito RLC paralelo consiste de um resistor de 500Ω, um capacitor de 530,52nF e um indutor de
132,63mH conectados em uma fonte de fem c.a., a qual oscila em uma freqüência de 1,2kHz. Como
deverá ser introduzido um capacitor no circuito, de maneira que este seja colocado em série ou em
paralelo com o capacitor de 530,52nF, para que o ângulo de fase do circuito se reduza à metade do
original? Especifique, também, o valor deste novo capacitor.
4. Um circuito RLC paralelo consiste de um resistor de 500Ω, um capacitor de 26,53µF e um indutor de
valor desconhecido conectados em uma fonte de fem c.a., a qual oscila em uma freqüência de 1,5kHz.
Qual deverá ser o valor do indutor do circuito, em mili-henrys (mH) e/ou micro-henrys (µH), para que a
reatância desse circuito (paralelo) se reduza à um oitavo do valor de reatância que seria obtida se o
circuito fosse do tipo série? Dica: lembre da fórmula de Bhaskara!
2
Fórmula de Bhaskara para ax + bx + c = 0 :

−b+
x' =
− b ± b 2 − 4ac 
x=
=
2a

x' ' = − b −

b 2 − 4ac
2a
b 2 − 4ac
2a
5. Um circuito RLC paralelo consiste de um resistor de 500Ω, um capacitor de 26,53µF e um indutor de
valor desconhecido conectados em uma fonte de fem c.a., a qual oscila em uma freqüência de 1,5kHz.
Qual deverá ser o valor do indutor do circuito, em micro-henrys (µH), para que a reatância desse circuito
(paralelo) se reduza à metade do valor que seria obtido pela soma (dos valores) das reatâncias indutiva e
capacitiva desse circuito? Dica: lembre da fórmula de Bhaskara!
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1. a) 120V; e) 240V; c) 84,85V; d) zero; e) 25,12ms; f) 39,81Hz; g) 250,13rad/s;
h) v = 120 ⋅ sen(250,13 ⋅ t ) ; i) –120V; j) zero; k) 50,03Ω; l) 13,33Ω; m) 18,17Ω; n) 15,54Ω;
o) 58,8° (aproximadamente); p) 7,72A; q) 4A; r) 9A; s) 2,4A; t) 120V; u) 120V; v) 120V;
w) Predominantemente capacitivo, pois IL<IC;
2. a) 376,8rad/s; b) 155,56V; c) 15,56A; d) 10Ω; e) –11,55Ω; f) 9,42Ω; g) 51,14Ω; h) 20Ω;
i) 52µF (aproximadamente); j) Predominantemente indutivo, pois XL<XC;
3. Um capacitor de 569,21nF (aproximadamente) deve ser colocado em série com aquele de 530,52nF.
4. L = 4,2mH e/ou L = 42,87µH.
5. L = 424,41µH.
58
8. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE OS CAPÍTULOS 1, 2, 3 E 4
1. Considere um circuito RLC série o qual consiste de um resistor de 820 Ω, um capacitor de 4,7 µF e um
indutor de 850 mH conectados em uma fonte de fem c.a., cuja tensão instantânea (v) nos terminais da
mesma é do tipo senoidal, de forma que esta obedece à equação v = 17 ⋅ sen(753,6 ⋅ t ) , sendo os valores
das grandezas desta equação medidos em unidades do SI. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
A tensão de pico nos terminais da fonte.
A tensão eficaz nos terminais da fonte.
A frequência angular da fonte, em radianos por segundo (rad/s).
A frequência da fonte, em hertz (Hz).
O período de oscilação da tensão alternada, em milisegundos (ms).
A tensão instantânea nos terminais da fonte quando se atinge três quartos de um ciclo.
Um eboço do gráfico da tensão (em volts) contra o tempo (em milisegundos) para a onda
senoidal da fonte ao longo de um ciclo.
A reatância indutiva do circuito.
A reatância capacitiva do circuito.
A reatância do circuito.
A impedância do circuito.
O ângulo de fase entre a fem c.a. da fonte e a corrente do circuito.
A corrente de pico do circuito, em miliampères (mA).
A corrente de pico no resistor, em miliampères (mA).
A corrente de pico no capacitor, em miliampères (mA).
A corrente de pico no indutor, em miliampères (mA).
A tensão de pico no resistor.
A tensão de pico no capacitor.
A tensão de pico no indutor.
O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo? Justifique sua resposta.
2. Resolva o exercício anterior para o caso em que a resistência, a capacitância e a indutância estejam
associadas em paralelo e conectadas na mesma fonte de fem c.a. mencionada.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1. a) 17 V; b) 12 V; c) 753,6 rad/s; d) 120 Hz; e) 8,33 ms; f) –17 V; g) Faça você mesmo; h) 640,56 Ω;
i) 282,33 Ω; j) 358,23 Ω; k) 894,83 Ω; l) 23,6°; m) 19 mA; n) 19 mA; o) 19 mA; p) 19 mA; q) 15,58 V;
r) 5,36 V; s) 12,17 V; t) Predominantemente indutivo, pois XL>XC;
2. a) 17 V; b) 12 V; c) 753,6 rad/s; d) 120 Hz; e) 8,33 ms; f) –17 V; g) Faça você mesmo; h) 640,56 Ω;
i) 282,33 Ω; j) 504,84 Ω; k) 429,9 Ω; l) 58,38°; m) 39,54 mA; n) 20,73 mA; o) 60,21 mA; p) 26,54 mA;
q) 17 V; r) 17 V; s) 17 V; t) Predominantemente capacitivo, pois XL>XC;
59
9. MODELO/EXEMPLO DE PROVA COM A MATÉRIA DOS CAPÍTULOS 1, 2, 3 E 4
Aluno(a):____________________________ Turma: 02030353
Data: 09/10/2014
Observações sobre a prova
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
A prova contém oito questões objetivas (verificar frente e verso desta folha E DA OUTRA FOLHA).
Marque com um “X” (com caneta de cor preta ou azul) as respostas na grade de respostas e, também,
de acordo com o código de respostas indicado abaixo (ao lado esquerdo da grade de respostas).
Não rasure na grade de respostas. Toda e qualquer tipo de rasura (incluindo marcas de lápis) será
considerada como ERRO e a prova não será substituída (e isto em hipótese alguma). A prova somente
poderá ser substituída (trocada) caso a mesma apresente falhas de impressão.
Somente as marcações na grade de respostas terão validade para fins de correção e avaliação.
Nada que for escrito na(s) folha(s) de rosto da prova (exceto o nome, turma, data e as marcações na
grade de respostas) será considerado.
Não será corrigida, em hipótese alguma, qualquer prova sem nome.
Peso de cada questão: 1,25 pontos para cada uma das questões.
Código de respostas para marcar na Grade:
Grade de Respostas:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Código:
Somente
Somente
Somente
Somente
Somente
as alternativas I e II são válidas.
a alternativa I é válida.
a alternativa II é válida.
a alternativa III é válida.
a alternativa IV é válida.
Questões:
1 2 3 4 5 6 7 8
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Questões:
1. É correto afirmar que quando os amperímetros e voltímetros são ajustados na escala c.a., os mesmos são
configurados para medirem:
I)
II)
III)
IV)
O valor médio da grandeza alternada do tipo senoidal desejada (seja tensão ou corrente).
O valor eficaz da grandeza alternada do tipo senoidal desejada (seja tensão ou corrente).
O valor de pico da grandeza alternada do tipo senoidal desejada (seja tensão ou corrente).
O valor de pico-à-pico da grandeza alternada do tipo senoidal desejada (seja tensão ou corrente).
2. É correto afirmar que quando um voltímetro for ajustado na escala c.c. para medir uma tensão alternada do tipo
senoidal, o mesmo indicará:
I)
II)
III)
O valor zero para a medida da tensão, pois o valor médio de uma onda senoidal ao longo de um ciclo
completo de oscilação da mesma é igual à zero.
O valor eficaz da medida da tensão, pois como o valor médio de uma onda senoidal ao longo de um
ciclo completo de oscilação da mesma é igual à zero, a leitura do voltímetro c.c. tenta flutuar
positiva e negativamente com amplitudes iguais, de modo que o aparelho indicará o valor eficaz da
medida da tensão.
O valor de pico da medida da tensão, pois o ponteiro de um voltímetro c.c. tenta flutuar positiva e
negativamente com amplitudes iguais. Como a inércia das partes móveis o permite fazê-lo, o
aparelho indicará o valor de pico da medida da tensão.
60
IV)
O valor de pico-à-pico da medida da tensão, pois o ponteiro de um voltímetro c.c. tenta flutuar
positiva e negativamente com amplitudes iguais. Como a inércia das partes móveis o permite fazê-lo,
o aparelho indicará o valor de pico-à-pico da medida da tensão.
3. É incorreto afirmar que:
I)
II)
III)
IV)
A reatância capacitiva é inversamente proporcional à capacitância e à frequência na qual o
dispositivo (capacitor) está submetido.
A reatância indutiva é diretamente proporcional à indutância e à frequência na qual o dispositivo
(indutor) está submetido.
A reatância de um circuito c.a. é a resistência oferecida à passagem de corrente alternada por uma
indutância ou uma capacitância ou, mais especificamente, ambas (capacitância e indutância), em um
circuito elétrico qualquer submetido a uma f.e.m. (força-eletromotriz) alternada.
A impedância constitui uma componente da reatância de um circuito em c.a., sendo que esta última
representa a resistência total de um circuito à passagem da corrente alternada pelo mesmo.
4. É incorreto afirmar que:
I)
II)
III)
IV)
Se um circuito RLC série for predominantemente indutivo, o mesmo apresentará sua reatância
indutiva menor que sua reatância capacitiva e, consequentemente, a corrente c.a. do circuito estará
atrasada em relação à f.e.m. (força-eletromotriz) alternada do gerador, de maneira que o ângulo de
defasagem entre a corrente e a f.e.m. alternada do gerador assumirá valores entre 0º e 90º.
Se um circuito RLC série for predominantemente capacitivo, o mesmo apresentará sua reatância
capacitiva menor que sua reatância indutiva e, consequentemente, a corrente alternada do circuito
estará avançada em relação à f.e.m. (força-eletromotriz) alternada do gerador, de maneira que o
ângulo de defasagem entre a corrente e a f.e.m. alternada do gerador assumirá valores entre −90º e
0º.
Se um circuito RLC paralelo for predominantemente indutivo, o mesmo apresentará sua reatância
indutiva menor que sua reatância capacitiva e, consequentemente, a corrente alternada do circuito
estará atrasada em relação à f.e.m. (força-eletromotriz) alternada do gerador, de maneira que o
ângulo de defasagem entre a corrente e a f.e.m. alternada do gerador assumirá valores entre –90º e
0º.
Se um circuito RLC paralelo for predominantemente capacitivo, o mesmo apresentará sua reatância
capacitiva menor que sua reatância indutiva e, consequentemente, a corrente alternada do circuito
estará avançada em relação à f.e.m. (força-eletromotriz) alternada do gerador, de maneira que o
ângulo de defasagem entre a corrente e a f.e.m. alternada do gerador assumirá valores entre 0º e 90º.
5. O gráfico ao lado ilustra uma tensão
senoidal ao longo de um ciclo completo de
oscilação. Assim sendo, sobre esta onda
senoidal de tensão, é correto afirmar que:
I)
II)
III)
A amplitude de tensão, a tensão
de pico-à-pico e o valor eficaz
de tensão que essa onda senoidal
de tensão apresenta são,
respectivamente, iguais a cem
volts,
duzentos
volts
e
aproximadamente (ou próximo
à) sessenta e um volts.
O período de oscilação da onda senoidal de tensão é menor que quinze mili-segundos.
A frequência de oscilação da onda senoidal de tensão é menor que sessenta hertz. Lembre que: um
segundo corresponde a mil milisegundos (isto é: 1 s = 1.000 ms).
61
IV)
A frequência angular (ou velocidade angular) da onda senoidal de tensão é de aproximadamente
mil e quinhentos radianos por segundo.
6. Considere um circuito RLC série o qual consiste de um resistor de oitocentos e vinte ohms, um capacitor
de quatro mil e setecentos nanofarads e um indutor de oitocentos e cinquenta mili-henrys conectados em
uma fonte de f.e.m. (força-eletromotriz) alternda, cuja tensão instantânea (v) nos terminais da mesma é
do tipo senoidal, de forma que esta obedece à equação v = 17 ⋅ sen(753,6 ⋅ t ) , sendo os valores das
grandezas desta equação medidos em unidades do S.I.. Assim sendo, é correto afirmar que:
I)
II)
III)
IV)
O período de oscilação da tensão alternada do gerador é de aproximadamente 12,33 ms,
considerando que um segundo corresponde a mil milisegundos (isto é: 1 s = 1.000 ms).
A reatância do circuito é de aproximadamente 458,23 Ω.
A impedância do circuito é de aproximadamente 894,83 Ω.
O circuito é predominantemente capacitivo.
7. Considere um circuito RLC paralelo o qual consiste de um resistor de oitocentos e vinte ohms, um
capacitor de quatro mil e setecentos nanofarads e um indutor de oitocentos e cinquenta mili-henrys
conectados em uma fonte de f.e.m. (força-eletromotriz) alternda, cuja tensão instantânea (v) nos
terminais da mesma é do tipo senoidal, de forma que esta obedece à equação v = 17 ⋅ sen(753,6 ⋅ t ) ,
sendo os valores das grandezas desta equação medidos em unidades do S.I.. Assim sendo, é incorreto
afirmar que:
I)
II)
III)
IV)
A reatância do circuito é de aproximadamente 504,84 Ω.
A impedância do circuito é de aproximadamente 429,9 Ω.
O ângulo de defasagem entre a corrente e a f.e.m. alternada do gerador será próximo de
58,38°.
O circuito é predominantemente indutivo.
8. Considere um circuito RLC o qual consiste de um resistor de trezentos ohms e uma bobina com
indutância igual a duzentos mili-henrys. A f.e.m. (força-eletromotriz) alternada do tipo senoidal do
gerador que está conectado ao circuito oscila com uma frequência de noventa hertz. Assim sendo, é
correto afirmar que:
I)
II)
III)
IV)
Se a impedância do circuito for igual a aproximadamente quinhentos e sessenta e três ohms, o
capacitor do circuito será de aproximadamente três microfarads considerando que o circuito
seja do tipo série e que, neste caso, a corrente c.a. do mesmo esteja adiantada em relação à
f.e.m alternada do gerador.
Se a impedância do circuito for igual a aproximadamente cento e vinte e sete ohms, o
capacitor do circuito será de aproximadamente três microfarads considerando que o circuito
seja do tipo paralelo e que, neste caso, a corrente c.a. do mesmo esteja atrasada em relação à
f.e.m alternada do gerador.
No caso do circuito ser do tipo série, o mesmo será predominantemente indutivo.
No caso do circuito ser do tipo paralelo, o mesmo será predominantemente capacitivo.
CBEADDEA
62
10. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE O CAPÍTULO 5
1. Deseja-se acionar uma lâmpada de 110Vrms/150W usando uma fonte c.a. de 220Vrms que oscila numa
frequência de 60Hz. Determine o valor do capacitor, em microfarads (µF), juntamente com sua tensão
eficaz, que deve ser ligado em série com a lâmpada para que a mesma seja acionada adequadamente.
2. Deseja-se acionar uma lâmpada de 110Vrms/150W usando uma fonte c.a. de 220Vrms que oscila numa
frequência de 60Hz. Determine o valor do indutor, em mili-henrys (mH), juntamente com sua tensão
eficaz, que deve ser ligado em série com a lâmpada para que a mesma seja acionada adequadamente.
3. Um motor monofásico pode ser considerado (no mundo real) como uma resistência ôhmica R conectada
em paralelo com uma indutância pura L. A resistência ôhmica R está associada ao consumo real de
energia elétrica (ativa) que o mesmo efetua. A indutância pura L, por sua vez, está associada à energia
elétrica devatada presente no motor. Resumindo: um motor real pode ser esquematizado como um
circuito RL paralelo. Considere um motor monofásico que devata 5kVAr quando conectado à uma rede
c.a. de 220V eficazes, a qual oscila em uma frequência de 60Hz. Sabe-se que o fator de potência deste
circuito é de 60%. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
A frequência angular da fonte, em radianos por segundo (rad/s).
O fator de potência do circuito.
O ângulo de fase do circuito.
A potência aparente do circuito, em kVA.
A potência ativa do circuito, em kW.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
A impedância do circuito.
A reatância do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A resistência ôhmica R do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
4. No exercício 3, suponha que seja introduzido um capacitor em paralelo com o motor, com vistas a elevar
o fator de potência deste para 92%. Resumindo: teremos um circuito RLC paralelo. Optou-se por efetuar
a correção do fator de potência deste circuito sem alterar a fem c.a. do mesmo. Sendo assim, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
A potência ativa do circuito, em kW.
A potência teórica do circuito, em kVA.
A potência reativa do circuito, em kVAr.
O fator de potência do circuito.
O ângulo de fase do circuito.
O valor eficaz da corrente do circuito.
A resistência ôhmica do circuito.
A impedância do circuito.
A reatância do circuito.
A reatância indutiva do circuito.
A indutância do circuito, em mili-henrys (mH).
A reatância capacitiva do circuito.
63
m)
n)
o)
p)
q)
O valor do capacitor usado na correção do fator de potência do circuito, em microfarads (µF).
O valor eficaz da corrente ativa do circuito.
O valor eficaz da corrente indutiva do circuito.
O valor eficaz da corrente capacitiva do circuito.
O valor eficaz da corrente reativa do circuito.
5. Um motor monofásico (um circuito RL paralelo) consome 330W de uma rede c.a. de 110V efetivos, a
qual oscila numa frequência de 60Hz. Sabendo-se que o fator de potência desse circuito é de 60%,
determine a capacitância, em microfarads (µF), que, colocada em paralelo com o motor (logo teremos
um circuito RLC paralelo), resultaria num fator de potência igual a 92%?
6. Um motor monofásico (um circuito RL paralelo) consome 5kW de uma rede c.a. de 220V efetivos, a
qual oscila numa frequência de 60Hz. Sabe-se que o fator de potência desse circuito passou a ser de 92%
após a introdução de um capacitor de 268µF em paralelo com o motor (logo temos um circuito RLC
paralelo). Assim sendo, determine qual era aproximadamente o fator de potência do motor antes da
correção do fator de potência do mesmo.
7. Um motor monofásico (um circuito RL paralelo) consome 3,75kW de uma rede c.a. de 110V efetivos, a
qual oscila numa frequência de 120Hz. Sabe-se que o fator de potência desse circuito era de 42% antes
da introdução de um capacitor de 581µF em paralelo com o motor (logo temos um circuito RLC
paralelo). Assim sendo, determine para quanto se elevou aproximadamente o fator de potência do motor
após a correção do fator de potência do mesmo.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1. 19µF/190,53V;
2. 370,8mH/190,53V;
3. a) 376,8rad/s; b) 60%; c) –53,13°; d) 6,25kVA; e) 3,75kW; f) 5kVAr em valor absoluto; g) 7,74Ω;
h) –9,68Ω; i) 9,68Ω; j) 25,69mH; k) 12,91Ω; l) 28,41A; m) 17,04A; n) 22,73A; o) –22,73A;
4. a) 3,75kW; b) 4,08kVA; c) 1,6kVAr em valor absoluto (aproximadamente); d) 92%; e) –23,07°; f)
18,55A; g) 12,91Ω; h) 11,86Ω; i) –30,25Ω; j) 9,68Ω; k) 25,69mH; l) 14,24Ω; m) 186,43µF; n) 17,04A;
o) 22,73A; p) 15,45A; q) –7,28A;
5. 65,67µF;
6. 58%;
7. 80%;
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