12/05 Material para Estudo da Disciplina de Matemática

Conjuntos numéricos
Prof.ª: Aline Figueirêdo Nascimento
Introdução
É indiscutível que os números exercem
influência marcante no dia a dia dos seres
humanos.
Na economia global, por exemplo, os
indicadores de índices e porcentagens nos
permitem fazer a leitura e a análise dos
resultados alcançados e, consequentemente,
prever possíveis mudanças econômicas e sociais
em nosso planeta.
Retomando os conjuntos
dos números naturais,
inteiros e racionais(Pág. 4)
Os conjuntos numéricos já
estudados são...
Relações aplicadas aos conjuntos
numéricos
• Relação de pertinência
• Relação de inclusão
Conjuntos numéricos
Fração geratriz de uma dízima
periódica
São chamados de dízimas periódicas os números
decimais não exatos que apresentam, na parte
decimal,
algarismos
que
se
repetem
periodicamente e infinitamente.
Por exemplo:
Fração geratriz de
uma dízima periódica
Denomina-se fração
geratriz a fração que
gera ou dá origem a
uma
dízima
periódica.
Exemplos: 
Exemplo:
Nem sempre a parte decimal apresenta apenas
os algarismos do período. Então, o que deve ser
feito quando a dízima apresentar outros
algarismos que não os do período na parte
decimal?
É fácil! Basta estabelecer uma equação e
resolvê-la, conforme os exemplos:
Exemplos:
a) 0,1555...
Algarismo do período: 5
Algarismo não periódico: 1
Fração geratriz procurada: x
x= 0,1555...
Procedimentos:
Exemplos:
b) 3,2111...
Algarismo do período:1
Algarismo não periódico: 2
Fração geratriz procurada: x
x= 3,2111...
Procedimentos:
Exemplos:
c) 0,12333...
Algarismo do período:3
Algarismo não periódico: 1 e 2
Fração geratriz procurada: x
x= 0,12333...
Procedimentos:
O número de ouro: curiosidade ou
coincidência?
Durante anos o homem procurou a beleza
perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram
então o retângulo de ouro. Era um retângulo,
com proporções: o lado maior dividido pelo
lado menor e a partir dessa proporção tudo
era construído. Assim eles fizeram
o Parthenon. A proporção do retângulo que
forma a face central e lateral, a
profundidade dividida pelo comprimento ou
altura, tudo seguia uma proporção ideal de
1,618.
Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides:
cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de
baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de
cima, que era 1,618 maior que a da 3.ª fileira e
assim por diante. Durante milénios, a
arquitetura clássica grega prevaleceu. O
retângulo de ouro era padrão, mas depois de
muito tempo - veio a construção gótica com
formas arredondadas, que não utilizavam o
retângulo de ouro grego.
Mas no ano 1200, Leonardo Fibonacci um matemático
que estudava o crescimento das populações
de coelhos, criou aquela que é provavelmente a mais
famosa sequência matemática, a série Fibonacci.
A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles
aumentavam a partir da reprodução de várias gerações
e chegou a uma sequência, onde um número é igual à
soma dos dois números anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89...
Aí entra a 1.ª "coincidência": a proporção de
crescimento média da série é 1,618. Os números
variam, um pouco acima às vezes, em outras
um pouco abaixo, mas a média é 1,618 exatamente a proporção das pirâmides do Egito
e do retângulo de ouro dos gregos. Então,
essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova
ideia de tal proporção, a ponto de os cientistas
começaram a estudar a natureza em
termos matemáticos e começaram a descobrir
coisas fantásticas.
Por exemplo: - A proporção de abelhas fêmeas
em comparação com abelhas machos numa
colmeia é de 1,618. - A proporção que aumenta
o tamanho das espirais de um caracol é de
1,618. - A proporção em que aumenta o
diâmetro das espirais sementes de um girassol é
de 1,618. - A proporção em que se diminuem as
folhas de uma árvore a medida que subimos de
altura é de 1,618.
E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas
galáxias, as estrelas se distribuem em torno de
um astro principal numa espiral obedecendo
à proporção de 1,618. Por isso, o número phi
ficou conhecido como a divina proporção.
Por que é que os historiadores religiosos
descrevem que foi a beleza perfeita que Deus
teria escolhido para fazer o mundo?
Por volta de 1500, com o retorno do
Renascentismo, a cultura clássica voltou
à moda.
Michelangelo e, principalmente Leonardo da
Vinci, grandes amantes da cultura pagã,
colocaram esta proporção natural em suas
obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe: ele,
como cientista, usava cadáveres para medir a
proporção do seu corpo e descobriu que
nenhuma outra coisa obedece tanto a divina
proporção do que o corpo humano, obra prima
de Deus.
Por exemplo:
- Meça a sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo
até o chão: o resultado é 1,618.
- Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu
cotovelo até o dedo: o resultado é 1,618.
- Meça seus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até a
ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda
dobra: o resultado é 1,618.
- Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho
até o chão. O resultado é 1,618.
- A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua
mandíbula até o alto da cabeça dá 1,618.
- Da sua cintura até a cabeça e depois divida só pelo altura do
tórax: o resultado é 1,618.
Considere sempre erros de medida da régua ou fita métrica, que não são objetos
acurados de medição.
Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela
divina proporção. Coelhos, abelhas,
caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte
e o homem, coisas teoricamente diferentes, são
todas ligadas numa proporção em comum.
Encontramos ainda o número phi em famosas
sinfonias como a 9.ª de Beethoven, e em outras
diversas obras. Então, tudo isto, seria uma mera
coincidência?"
O número de ouro: curiosidade ou
coincidência?
O número de ouro é representado pela
letra fi (ϕ) e é um número irracional. Todo
número cuja representação decimal é
infinita e não periódica é chamada de
número irracional.
O número de ouro: φ
O número de ouro: φ
Um número irracional especial
Um número é denominado de irracional e
pertencerá ao conjunto dos números
irracionais, quando não for possível representálo como quociente entre dois números inteiros
a e b, com b ≠ 0.
Exemplo: Todas as raízes quadradas de números
naturais que não são quadrados perfeitos:
7; 3; 21; √32.
Algumas raízes cúbicas, quartas, entre outras:
3
3
3
4
4
3; 2; 7; 5; 7.
Qual é o animal com mais de 3 e
menos de 4 olhos?
πolho
Chaves quanto você tirou em
Matemática?
Um número irracional especial: 𝝅
Dentre os números irracionais, o mais famoso é
o “pi”, representado pela letra grega 𝝅 , que
tem o seu valor expresso por 3,1415926535...
Números reais
A reunião entre os elementos do conjunto dos
números racionais ( ℚ ) e os elementos do
conjunto dos números irracionais (𝕀) resulta em
um novo conjunto: o conjunto dos números
reais, representado por ℝ.
Números reais
Simbolicamente: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.
Revisando
Conteúdo: Grandezas e medidas
Professora: Aline Figueirêdo.
Ângulos complementares e
suplementares
COMPLEMENTARES: são ângulos na qual a soma
de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um
ângulo é o complemento do outro.
Ex.: 40º e 50o (40+50=90) ou
37o e 53o (37+53=90) ou
20o e 70o (20+70=90) ...
Ângulos complementares e
suplementares
SUPLEMENTARES: são ângulos na qual a soma
de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um
ângulo é o suplemento do outro.
Ex.:
50o
e
130o
(50+130=180)
71o
e
109º
(71+109=180)
80o e 100o (80+100=180) ...
ou
ou
Ângulos congruentes
Ângulos que possuem a mesma medida são
chamados de congruentes. O símbolo de
congruência é ≡ .
O.P.V.
Dois ângulos
congruentes.
opostos
pelo
vértice
são
Bissetriz
Bissetriz é a semirreta com origem no vértice de
um ângulo e que o divide em dois ângulos de
mesma medida (congruentes).
Exemplo 1:
Calcule o valor de x na figura a seguir:
Exemplo 2:
Calcule o valor de x na figura.
Exemplo 3:
Calcule o valor dos ângulos a seguir:
Graus, minutos e segundos
O minuto, cuja notação é ('), é a sexagésima
parte
do
grau,
ou
seja:
1º = 60'
E o segundo, cuja notação é ("), é a sexagésima
parte
do
minuto,
ou
seja:
1' = 60"
Graus, minutos e segundos
Exemplo 1: Transforme 260’ em graus:
Exemplo 2: Transforme 1800” em minutos.
Exemplo 3: Transforme 7º 30’ em minutos.
Referências
• GIOVANNI. CASTRUCI. GIOVANNI JR. A Conquista
da Matemática, 7ª Série. São Paulo; ed. FTD,
2008.
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MACHADO,
Antonio. Matemática e Realidade, 7ª série. São
Paulo; ed. Atual, 2010.
• IMENES. LELLIS. Matemática, 7ª Série. Editora
Ática, 2008.
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fun
dam/geometria/geo-ang.htm#m112b15