Centro de Massa e Momento Linear Disciplina: Mecânica Básica Professor: Carlos Alberto Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com O Centro de Massa “O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto”. ✔ Sistema de partículas cm Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com O Centro de Massa ✔ Sistema de partículas Se x1 = 0 m1 = m 2 m1 > m2 cm Profº Carlos Alberto cm http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com O Centro de Massa ✔ Sistema de partículas Podemos generalizar de duas partículas para um sistema de muitas partículas Em 3D (DEFINIÇÃO: CENTRO DE MASSA) Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com O Centro de Massa ✔ Corpos maciços Para cada componente ✔ Simetrias Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 9.1: (Halliday, p220) Três partículas de massa m 1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse sistema? cm Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 5.15: (Tipler, p148) Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, como mostrado na figura abaixo. 0,2 m 0,2 m 0,4 m 0,8 m Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 5.15: (Tipler, p148) Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, como mostrado na figura abaixo. 0,2 m y m2 0,5 0,2 m1 0,4 0,2 m 0,4 m 0,7 x 0,8 m Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 9.2: (Halliday, p221) A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa. y x Placa P Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 9.2: (Halliday, p221) A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa. y Placa Composta C=R+P CMR CMC CMP Profº Carlos Alberto x http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Encontrando o centro de massa por integração ✔ Barra uniforme y dm = λ dx x dx z Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Encontrando o centro de massa por integração ✔ Anel semicircular y ds = R dθ dθ θ Profº Carlos Alberto x http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Movimento do centro de massa Derivando os dois lados: Derivando novamente os dois lados: 0 Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Movimento do centro de massa “O centro de massa se um sistema se move como uma partícula de massa M = Σm sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema”. Movimento do CM Movimento do corpo (ou sistema de partículas) Movimento das partículas Em Relação ao CM Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 5.16: (Tipler, p152) Um projétil é disparado em uma trajetória tal que o faria aterrizar 55 m adiante. No entanto, ele explode no ponto mais alto da trajetória, partindo-se em dois fragmentos de mesma massa. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos possui uma velocidade instantânea igual a zero e, depois cai na vertical. Onde aterriza o outro fragmento? Despreze a resistência do ar. cm cm Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.14: (Young, p260) James está a uma distância de 20,0 m de Ramon, e ambos estão em pé sobre a superfície lisa de um lago congelado. Ramon possui massa de 60,0 kg e James possui massa de 90,0 kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma caneca contendo a bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Quando James se desloca 6,0 m no sentido da caneca, em que sentido se desloca Ramon e qual é a distância percorrida por ele? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 5.17: (Tipler, p153) Pedro (massa de 80 kg) e Davi (Massa de 120 kg) estão em um barco a remo (massa de 60 kg), em um lago calmo. Davi está próximo à proa, remando, e Pedro está na popa, a 2,0 m de Davi. Davi se cansa e para de remar. Pedro se oferece para remar, e, quando o barco atinge o repouso, eles trocam de lugar. De quanto o barco se move, quando eles trocam de lugar? (Despreze qualquer força horizontal exercida pela água) Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Momento linear (quantidade de movimento) Para uma partícula: (DEFINIÇÃO) No SI, o momento linear tem como unidade kg·m/s (quilograma vezes metro por segundo). ✔ 2ª Lei de Newton “A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual a força resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força”. Para um sistema de partículas: Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Colisão e Impulso ✔ Colisão simples x (DEFINIÇÃO DE IMPULSO) (TEOREMA DO MOMENTO LINEAR E IMPULSO) No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso é N · s (newton vezes segundo). Como N = kg · m/s2, temos: Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Colisão e Impulso ✔ Colisão simples Se a função é conhecida, podemos calcular integrando a função. Se temos um gráfico de em função de t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t. Podemos definir uma força média como sendo a força constante capaz de produzir o mesmo impulso da força de intensidade variável. Isto é: Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.5: (Tipler, p.250) Com um eficiente golpe de karatê, você parte um bloco de concreto. Seja 0,70 kg a massa de sua mão, que se move a 5,0 m/s quando atinge o bloco, parando 6,00 mm além do ponto de contato. (a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre sua mão? (b) Quais são o tempo aproximado de colisão e a força média que o bloco exerce sobre sua mão? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.2: (Young, p.251) Suponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma parede. Ela colide com a parede quando está se movendo horizontalmente da direita para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente da esquerda para direita a 20 m/s. (a) Calcule o impulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão com a parede. (b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache a força horizontal média que a parede exerce sobre a bola durante a colisão. Comumente, o intervalo de tempo durante a qual uma bola de tênis permanece em contato com uma raquete é aproximadamente igual a 0,01 s. A bola visivelmente se achata por causa da enorme força exercida pela raquete. Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 9.5: (Halliday, p230) A figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com um muro de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma velocidade escalar vi = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 30º com o muro. Após a colisão está se movendo com velocidade escalar vf = 50 m/s, ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A massa m do piloto é de 80 kg. (a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido após a colisão? (b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força média que o piloto experimenta durante a colisão? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Questão 33: (Halliday, p250) Quando o cabo arrebenta e o sistema de segurança falha, um elevador cai em queda livre de uma altura de 36 m. Durante a colisão no fundo do poço do elevador a velocidade de um passageiro de 90 kg se anula em 5,0 ms (suponha que não há ricochete nem do passageiro nem do elevador.) Quais são os módulos (a) do impulso e (b) da força média experimentados pelo passageiro durante a colisão? Se o passageiro pula verticalmente para cima com uma velocidade de 7,0 m/s em relação ao piso do elevador quando o elevador está prestes a se chocar com o fundo do poço, quais são os módulos (c) do impulso e (d) da força média (supondo que o tempo que o passageiro leva para parar permaneça o mesmo)? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Conservação do momento linear Vimos que Sistema isolado → Força resultante nula Sistema fechado → # de partículas constante “Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o momento linear total do sistema não pode variar”. Lei de Conservação do Momento Linear Não confunda Momento e Energia!!! Profº Carlos Alberto Momento tem componentes x, y e z! http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 9.6: (Halliday, p.232) Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza com velocidade v = 4,0 m/s em um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois pedaços. Um pedaço, de massa m 1 = 2,0 kg, se move no sentido positivo do eixo x com v1 = 8,0 m/s. Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m 2? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.4: (Young p.255) Um atirador segura um rifle de massa m R = 3,0 kg frouxamente de modo que a arma possa recuar livremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa m B = 5,0 g horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por v B = 300 m/s. Qual é a velocidade de recuo do rifle? Quais são os valores da energia cinética final e do momento linear total final da bala e do rifle? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 9.8: (Halliday, p.233) Ao explodir, uma cabeça-de-negro colocada no interior de um coco vazio de massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, quebra o coco em três pedaços, que deslizam sobre a superfície. Uma vista superior é mostrada na figura abaixo. O pedaço C de massa 0,30M, tem uma velocidade escalar final vfC = 5,0 m/s. (a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M? (b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.6: (Young, p.257) Dois robôs em combate deslizam sobre uma superfície sem atrito conforme mostra a figura 'a'. O robô A, com massa 20 kg, move-se com velocidade 2,0 m/s paralelamente ao eixo Ox. Ele colide com o robô B, com massa de 12 kg, que está inicialmente em repouso. Depois da colisão, verifica-se que a velocidade do robô A é de 1,0 m/s com uma direção de faz um ângulo α = 30º com a direção inicial (figura 'b'). Qual é a velocidade final do robô B? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Momento e energia cinética em colisões Antes Depois Energia Cinética Conservada Colisão Elástica Perda de Energia Cinética Colisão inelástica Perda Máxima Perfeitamente Perfeitamenteinelástica inelástica Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Colisões inelásticas em uma dimensão ✔ Colisão inelástica unidimensional ✔ Colisões perfeitamente inelásticas unidimensionais Antes Profº Carlos Alberto Depois http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 9.9: (Halliday, p.236) O pêndulo balístico era usado para medir a velocidade dos projéteis antes que os dispositivos eletrônicos fossem inventados. A versão mostrada na figura abaixo era composta por um bloco de madeira de massa M = 5,4 kg, pendurado por duas cordas compridas. Uma bala de massa m = 9,5 g é disparada conta o bloco e sua velocidade se anula rapidamente. O sistema bloco-bala oscila para cima, com o centro de massa subindo uma distância h = 6,3 cm antes de o pêndulo parar momentaneamente no final de uma trajetória em arco de circunferência. Qual é a velocidade da bala antes da colisão? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.9: (Young, p.261) Um carro compacto com massa de 100o kg está se deslocando do sul para o norte em linha reta a uma velocidade de 15 m/s quando colide contra um caminhão de massa 2000 kg que se desloca de oeste para leste a 10 m/s. Felizmente, todos os ocupantes usavam cinto de segurança e ninguém se feriu, porém os veículos se engavetaram e passaram a se deslocar, após a colisão, como um único corpo. A seguradora pediu para você calcular a velocidade dos carros unidos após a colisão. Qual é a sua resposta? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Colisões Elásticas Antes Depois Pela conservação do momento: Pela conservação da energia cinética: Não é Solúvel!!! Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Colisões elásticas em uma dimensão ✔ Casos particulares: i) Massas iguais Trocam velocidade ii) Alvo em repouso (a) Profº Carlos Alberto (b) http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.13: (Tipler, p.258) Um bloco de 4,0 kg, movendo-se para direita a 6,0 m/s, sofre uma colisão elástica frontal com um bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 m/s (figura). Encontre as velocidades finais dos dois blocos. Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.12: (Young, p.266) A situação descrita na figura abaixo é uma colisão elástica entre dois discos de hóquei sobre uma mesa de ar sem atrito. O disco A possui massa m A = 0,500 kg e o disco B possui massa mB = 0,300 kg. O disco A possui velocidade inicial de 4,0 m/s no sentido positivo do eixo Ox e uma velocidade final de 2,0 m/s cuja direção é desconhecida. O disco B está inicialmente em repouso. Calcule a velocidade final vB2 e os ângulos α e β indicados na figura. Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.5: (Young, p.256) Dois cavaleiros se deslocam em sentidos contrários em um trilho de ar linear sem atrito (figura 'a'). Depois da colisão (figura 'b'), o cavaleiro B se afasta com velocidade final de +2,0 m/s (figura 'c'). Qual a velocidade final do cavaleiro A? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Exemplo 8.7: (Young, p.259) Suponha que na colisão descrita no Exemplo 8.5 os dois cavaleiros não sejam rebatidos, mas permaneçam colados após a colisão. As massas e as velocidades são as mesmas do Exemplo anterior. Calcule a velocidade final v 2x, comum dos dois corpos depois da colisão, e compare a energia cinética inicial com a energia cinética final. Exemplo 8.10: (Young, p.264) Repetimos a experiência do trilho de ar do Exemplo 8.5, porém agora adicionamos para-choques de molas ideais nas extremidades dos cavaleiros para que as colisões sejam elásticas. Quais são as velocidades de A e de B depois da colisão? Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com