ANÁLISE NODAL ( ou MÉTODO DOS NÓS)

12/05/2014
CIRCUITOS ELÉTRICOS A
ANÁLISE NODAL ( ou MÉTODO DOS NÓS)
Professor: Paulo Cícero Fritzen
E-mail: [email protected]
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curso de Engenharia Industrial Elétrica - Ênfase em Eletrotécnica
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 MÉTODO DOS NÓS (Abordagem Geral)
O método dos nós utiliza a lei de Kirchhoff para correntes.
Um nó é definido como uma junção de dois ou mais ramos.
Se escolhermos um nó qualquer do circuito de referência (ponto de
potencial zero ou terra) os demais nós do circuito irão ter um potencia
fixo em relação a esta referência.
Para um circuito com N nós irão existir (N – 1) nós com um potencial
fixo em relação ao nó de referência escolhido.
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 MÉTODO DOS NÓS (Abordagem Geral)
1. Determine o número de nós no circuito.
2. Escolha um nó de referência e rotule cada nó restante com um valor
de tensão: V1 , V2 e assim por diante.
3. Aplique a lei de Kirchhoff para correntes a todos os nós, exceto o de
referência. Suponha que todas as correntes desconhecidas saem do nó
para aplicar a lei de Kirchhoff a cada nó.
NOTA: Não se deixe influenciar pelo sentido que uma corrente
desconhecida possa ter tido em outro nó. Cada nó deve ser tratado como
uma entidade isolada, independentemente da aplicação da lei de
Kirchhoff para a corrente a outros nós.
4. Resolva as equações resultantes para obter as tensões dos nós.
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 EXEMPLO 1
- Utilizando a Abordagem Geral do Método dos Nós, encontre a tensão no nó e
as correntes que percorrem cada ramo do circuito dado?
Respostas: V1 = 20 V;I1 = - 0,667 A;I2 = 1,667 A.
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 EXEMPLO 2
- Utilizando a Abordagem Geral da Análise Nodal para encontrar as tensões
nos nós do circuito dado?
Respostas: V1 = 37,818 V; V2 = 32, 727 V;
I8Ω = IR1= 3,273 A; I4Ω = IR2= 1,273 A I10Ω = IR3= 3,273 A.
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 EXEMPLO 3
- Determine as tensões nodais para o circuito dado?
Respostas: V1 = 6 V; V2 = - 6 V; I2Ω = IR1= 3 A;
I6Ω = IR2= 1 A; I12Ω = IR3= 1 A.
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 MÉTODO DOS NÓS (Abordagem Padronizada)
1. Escolha um nó de referência e associe um valor de tensão aos (N- 1)
nós restantes do circuito.
2. O número de equações necessárias para a solução é igual ao número
das tensões definidas, (N-1). A coluna 1 de cada equação é formada pela
soma das condutâncias ligadas a nó de interesse, multiplicada pela
tensão associada ao nó.
3. Precisamos considerar agora os termos comuns, que são sempre
subtraídos da primeira coluna. É possível haver mais de um termo
comum se a tensão do nó de interesse possuir um elemento comum com
mais de uma outra tensão de nó. Cada termo é o produto da condutância
em comum pela outra tensão de nó associada à mesma condutância.
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 MÉTODO DOS NÓS (Abordagem Padronizada)
4. A coluna à direita da igualdade é a soma algébrica das fontes de
corrente ligadas ao nó de interesse. Uma fonte de corrente recebe o sinal
positivo se fornece corrente a um nó, e o sinal negativo se extrai a
corrente do nó.
5. Resolva as equações lineares simultâneas resultantes para obter as
tensões nodais desejadas.
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 MÉTODO DOS NÓS (Abordagem Padronizada)
 Exemplo para Explicação
- Escreva as equações nodais para o circuito a seguir?
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 MÉTODO DOS NÓS (Abordagem Padronizada)
 Exemplo para Explicação (Continuação)
Passo 1: A figura é refeita com as tensões pertinentes assinaladas.
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 MÉTODO DOS NÓS (Abordagem Padronizada)
 Exemplo para Explicação (continuação)
Passo 2 a 4:
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 EXEMPLO 1
- Utilizando a Abordagem Padronizada do Método dos Nós, encontre a tensão
no resistor de 3 ohms do circuito dado?
Resposta: V3Ω = 1,101 V
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 EXEMPLO 1
Solução: Convertendo as fontes e escolhendo os nós temos:
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 EXEMPLO 1
Solução (continuação):
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 EXEMPLO 2
- Escreva as equações nodais e encontre a tensão entre os terminais do resistor
de 2 ohms do circuito dado?
Resposta: V2Ω = 10,667 V
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 EXEMPLO 2
- Solução:
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 SUPERNÓS
Há ocasiões em que existem fontes de tensão no circuito ao qual desejamos
aplicar o método dos nós. Em tais casos podemos converter a fonte de tensão
em uma fonte de corrente (se existir um resistor em série) ou resolver o
circuito utilizando o conceito de supernó.
Para resolver por supernó, comece associando um tensão de nó a cada nó
independente do circuito, incluindo as fontes de tensão como se fossem
resistores ou fontes de corrente. A seguir, remova as fontes de tensão
(substituindo-as por circuitos fechados, ou seja, curtos-circuitos) e aplique a
lei de Kirchhoff para tensões a todos os nós restantes do circuito.
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 SUPERNÓS
Qualquer nó que inclua o e feito de elementos ligados somente a outros
nós é considerado outro supernó (pois irá possuir um número adicional
de termos). .
Relacione então os nós às fontes de tensão do circuito e resolva as
equações resultantes para obter as tensões de nó.
O exemplo a seguir ilustrará melhor o conceito de supernó.
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 EXEMPLO 1
- Usando o conceito de Supernós determine as tensões V1 e V2 do circuito abaixo?
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 EXEMPLO 1
Solução: Substituindo a fonte de tensão de 12V por um curto-circuito como
mostra o circuito abaixo. O resultado é um supernó ao qual a LKC pode ser
aplicada.
Deixe os outros nós em seus
lugares e use-os para definir
as correntes que saem dessa
região do circuito. A
corrente I3 deixa o supernó
em V1 e entra no mesmo
supernó em V2, assim ela
deve aparecer duas vezes
quando aplicarmos a LKC.
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 EXEMPLO 1
Solução:
Relacionado as tensões nodais à fonte de tensão:
O que resulta no seguinte sistema de duas equações e duas incógnitas:
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 EXEMPLO 1
Solução:
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 CIRCUITOS EM PONTE
O circuito em ponte pode aparecer em uma das três formas das Figura a seguir:
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 CIRCUITOS EM PONTE
Para fins didáticos, vamos examinar o circuito da Figura abaixo usando
o método das malhas e o método dos nós.
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 CIRCUITOS EM PONTE
Método das malhas:
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 CIRCUITOS EM PONTE
Método dos nós:
V1 = 8V; V1 = 2,667V e V3 = 2,667V
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 CIRCUITOS EM PONTE
Como V5Ω = 0V, podemos inserir um curto no lugar deste ramo da ponte se
afetar o comportamento do circuito. Pela lei de ohm V= I.R = I.(0) = 0V. No
circuito da Figura abaixo, um curto-circuito substitui o resistor R5, e a
tensão entre os terminais de R4 pode ser determinada.
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 CIRCUITOS EM PONTE
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 CIRCUITOS EM PONTE
Concluímos, através do método das malhas, que I5Ω = 0A, o que é equivalente
ao circuito aberto que aparece na Figura abaixo.
Novamente, pela lei de ohm, I= V/R=0/(∞Ω)=0A. A tensão entre os terminais
do resistor R4 pode ser novamente determinada e comparada com o resultado
anterior. O circuito é redesenhado após combinar os elementos em série como
mostra a Figura abaixo.
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 CIRCUITOS EM PONTE
A condição V5Ω = 0V ou I5Ω = 0A existe somente para uma relação particular
entre os resistores do circuito.
Agora deduziremos esta relação usando o circuito da Figura a seguir.
Dizemos que um circuito em ponte está equilibrado quando a condição I=0Aou
V=0V é satisfeita.
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 CIRCUITOS EM PONTE
Se V=0V (curto-circuito entre a e b), então
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 CIRCUITOS EM PONTE
Além disso, quando V=0V,
Se fizermos I=0A, então I3=I1 e I4=I2 e a equação acima se tornará
Substituindo I1, temos
Ou, reagrupando, temos
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 CIRCUITOS EM PONTE
Esta conclusão mostra que se a razão entre R1 e R3 for igual a razão entre R2 e
R4 , a ponte estará equilibrada, e I=0A ou V=0V. Um método para memorizar a
fórmula é indicado na figura abaixo.
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