Calculando a Integral Gaussiana

Calculando a Integral Gaussiana
+∞
Z
−αx2
e
I=
dx
é o mesmo que
I
Z
2
e−αy dy
I=
−∞
−∞
+∞
Z
−αx2
+∞
2
e−αy dy
dx.
−∞
−∞
Z +∞
Z +∞
2
2
e−αx
eαy dxdy
=
−∞
−∞
Z
Z +∞ Z +∞
−αx2 −αy 2
e
e
dxdy =
=
2
+∞
Z
e
=
−∞
−∞
+∞
Z
−∞
+∞
e−α(x
2 +y 2 )
dxdy
−∞
A região de integração desta última integral dupla é todo o plano xy. Mudando para
coordenadas polares, temos r2 = x2 + y 2 , rdrdθ = dxdy e, neste caso, a região de
integração torna-se todo o plano rθ. Assim,
Z
2
+∞
Z
+∞
−α(x2 +y 2 )
e
I =
−∞
−∞
Z
2π
Z
dxdy =
0
+∞
2
e−αr rdrdθ
0
E agora fazendo mais uma mudança de variável tomando u = r2 , temos du = 2rdr,
isto é, rdr =
du
.
2
Assim, quando r = 0, tem-se u = 0 e quando r tende para infinito, u
também tende para infinito. Logo,
I
2
Z
=
=
=
=
=
=
=
r
Logo, I =
2π
Z
+∞
du
e−αu dθ
2
0
0
Z 2π
Z b
du lim
e−αu
dθ
b→+∞
2
0
0
Z
Z b
1 2π
−αu
e du dθ
lim
2 0 b→+∞ 0
Z
h 1
ib
1 2π
−αu
lim − e
dθ
2 0 b→+∞
α
0
Z 2π
1
−
lim [e−αu ]b0 dθ
2α 0 b→+∞
Z 2π
1
−
lim (e−αb − e0 )dθ
2α 0 b→+∞
Z 2π
Z 2π
1
1
1 h i2π
1
π
−
(−1)dθ =
1dθ =
θ
=
(2π − 0) =
2α 0
2α 0
2α
2α
α
0
π
.
α
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