unknown_parameter_value

PROFº ERIVELTON - MATEMÁTICA
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita
aparece em expoente.
Exemplos de equações exponenciais:
1) 3x =81 (a solução é x=4)
2) 2x-5=16 (a solução é x=9)
3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)
4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos
importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
a m  a n  m  n (a  1 e a  0)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) 3x=81
Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34
E daí, x=4.
2) 9x = 1
Resolução: 9x = 1  9x = 90 ; logo x=0.
x
81
3
3)   
256
4
x
81
3
Resolução :   

256
4
x
x
4
34
3
3
3
   4       ; então x  4.
4
4
4
4
4) 3 x  4 27
3
4
Resolução : 3  27  3  3  3  3 ; logo x 
x
4
x
4
3
x
3
4
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5) 23x-1 = 322x
Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10,
de onde x=-1/7.
6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.
Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:
32x–6.3x–27=0  (3x)2-6.3x–27=0
Fazendo 3x=y, obtemos:
y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos  y’=-3 e y’’=9
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:
y’=-3  3x’ = -3  não existe x’, pois potência de base positiva é positiva
y’’=9  3x’’ = 9  3x’’ = 32  x’’=2
Portanto a solução é x=2
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável
aparecendo em expoente.
A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada
função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR
(reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Temos 2 casos a considerar:
 quando a>1;
 quando 0<a<1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de
y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
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x
y
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de
y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x
y
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
Nos dois exemplos, podemos observar que
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é
positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.
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Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1
0<a<1
f(x) é crescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm
mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm
sentidos diferentes)
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a
incógnita aparece em expoente.
Exemplos de inequações exponenciais:
1) 3 x  81 (a solução é x  4)
2) 2 2x-2  2 x
x
2
1
(que é satisfeita para todo x real)
3
4
4
3)     
(que é satisfeita para x  -3)
5
5
4) 25 x - 150.5 x  3125  0 (que é satisfeita para 2  x  3)
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Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos
importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma
base;
2º) aplicação da propriedade:
a>1
0<a<1
a > a  m>n
a > an  m<n
(as desigualdades têm mesmo sentido)
(as desigualdades têm sentidos
diferentes)
m
n
m
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
1) 4 x 1  4 x  4 x 1 
 11
4
Resolução :
4x
 11
A inequação pode ser escrita
 4 x  4 x .4 
.
4
4
Multiplica ndo ambos os lados por 4 temos :
4 x  4.4 x  16.4 x  11 , ou seja :
(1  4  16).4 x  11  -11.4 x  11 e daí, 4 x  1
Porém, 4 x  1  4 x  4 0.
Como a base (4) é maior que 1, obtemos :
4 x  40  x  0
Portanto S  IR - (reais negativos)
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é
chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto
IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).
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GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Temos 2 casos a considerar:
 quando a>1;
 quando 0<a<1.
Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada
caso:
3) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de
y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x
y
1/4
-2
1/2
-1
1
0
2
1
4
2
4) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de
y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x
y
1/4
2
1/2
1
1
0
2
-1
4
-2
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Nos dois exemplos, podemos observar que
d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1;
f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1
0<a<1
f(x) é crescente e Im=IR
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm
mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IR
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm
sentidos diferentes)
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
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Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em
ambos.
Exemplos de equações logarítmicas:
7) log3x =5 (a solução é x=243)
8) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)
9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)
10) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)
Alguns exemplos resolvidos:
1) log3(x+5) = 2
Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5
log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto
solução é S={4}.
2) log2(log4 x) = 1
Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0
log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então
log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto
solução é S={16}.
3) Resolva o sistema:
log x  log y  7

3. log x  2. log y  1
Resolução: condições de existência: x>0 e y>0
Da primeira equação temos:
log x+log y=7 => log y = 7-log x
Substituindo log y na segunda equação temos:
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>
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3
=> log x =3 => x=10
Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:
log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.
Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto
solução é S={(103;104)}.
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em
ambos.
Exemplos de inequações logarítmicas:
1) log2x > 0 (a solução é x>1)
2) log4(x+3)  1 (a solução é –3<x1)
Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos
importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma
base;
2º) aplicação da propriedade:
a>1
0<a<1
logam > logan  m>n>0
logam > logan  0<m<n
(as desigualdades têm mesmo sentido)
(as desigualdades têm sentidos
diferentes)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) log2(x+2) > log28
Resolução:
Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1)
Como a base (2) é maior que 1, temos:
x+2>8 e, daí, x>6 (S2)
O conjunto solução é S= S1  S2 = {x  IR| x>6}.
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Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está representado
logo abaixo no desenho:
2) log2(log3x)  0
Resolução:
Condições de existência: x>0 e log3x>0
Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim:
log2(log3x)  log21
Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x  1.
Como log33 = 1, então, log3x  log33 e, daí, x  3, porque a base (3) é
maior que 1. As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x 
IR| x  3}.
Limites
Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores
maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
x
y = 2x + 1
1,5
4
1,3
3,6
1,1
3,2
1,05
3,1
1,02
3,04
1,01
3,02
x
y = 2x + 1
0,5
2
0,7
2,4
0,9
2,8
0,95
2,9
0,98
2,96
0,99
2,98
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Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende
para 1 (x
1), y tende para 3 (y
3), ou seja:
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x
1). Nem é preciso que x
assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)
3), dizemos que o limite de f(x) quando x
1 é 3,
embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
se, quando x se aproxima de a (x
a), f(x) se aproxima de b (f(x)
b).
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1
tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no
caso, y
3. Logo, o limite de f(x) é 3.
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Escrevemos:
Se g: IR
IR e g(x) = x + 2,
g(x) =
entanto, ambas têm o mesmo limite.
(x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)
Propriedades dos Limites
1ª)
O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Exemplo:
2ª)
O limite do produto é o produto dos limites.
Exemplo:
f(x) em x = 1. No
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3ª)
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
Exemplo:
4ª)
Exemplo:
5ª)
Exemplo:
6ª)
Exemplo:
7ª)
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Exemplo:
8ª)
Exemplo:
Limites
Limites Laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são
iguais, ou sejas:

Se

Se
Continuidade
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições
são satisfeitas:
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


Propriedade das Funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

f(x)

f(x) . g(x) é contínua em a;




g(x) é contínua em a;
é contínua em a
.
Limites envolvendo infinito
Conforme sabemos, a expressão x
(x tende para infinito) significa que x assume
valores superiores a qualquer número real e x
(x tende para menos infinitos), da
mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo:


a)
, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.

b)
, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.

c)
, ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero
por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
ou
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


d)
, ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores
menores que zero, y tende para menos infinito
Limite de uma função polinomial para

Seja a função polinomial

Demonstração:


Mas:


Logo:
. Então:


De forma análoga, para

Exemplos:
, temos:

Derivadas
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente
trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de
y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
da função no ponto x0.
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y' , dy/dx ou f ' (x).
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A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:
Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante
Derivada da potência
Portanto:
Soma / Subtração
Produto por uma constante
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Derivada do produto
Derivada da divisão
Potência de uma função
Derivada de uma função composta
Integrais
Integrais indefinidas
Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa
da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.
Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou
antiderivada de f(x).
Exemplos:
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1. Se f(x) =
, então
é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas
de f'(x) = g(x) = x4 é
.
2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x)
= 3x2 é f(x) = x3.
3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de
g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.
Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para
3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma
constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real.
Propriedades das integrais indefinidas
São imediatas as seguintes propriedades:
1ª.
ou diferença das integrais.
2ª.
, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma
, ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
3ª.
, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
Integração por substituição
Seja expressão
.
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou
, ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
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,
admitindo que se conhece
.
O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
INTEGRAIS DEFINIDAS
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a
até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
onde:

a é o limite inferior de integração;

b é o limite superior de integração;

f(x) é o integrando.
Se
representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para
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Se
representa a área entre as curvas, para
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A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é
uma das formas de se apresentar a integral definida.
De forma geral, para
, a área limitada por f(x) e o eixo x,
é dada por
, que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de largura
cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base:
Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x0=a, x1, x2,...,xn=b,
obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2), ...., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-1, xi) tomemos um ponto
arbitrário hi.
Seja
De acordo com a figura, os retângulos formados têm área
e
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Então, a soma da áreas de todos os retângulos é:
que nos fornece um valor aproximado da área considerada.
Aumentando o número n de subintervalos
, tal que
tenda a zero
e o número n
de subintervalos tenda a infinito
, temos as bases superiores dos retângulos e a curva
praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada.
Simbolicamente, escrevemos:
Exemplo:
Seja a área entre y = x e o eixo x, para
:
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Esta área é dada por:
Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Dividindo o
intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um terá largura
.
Sejam, então, os pontos
Como f(x) = x, então
.
.