01 - Ressonância série

CIRCUITOS RESSONANTES
1
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
PRÁTICA DE LABORATÓRIO DE TELECOMUNICAÇÕES
PROF: WANDER RODRIGUES - 3 o e 4 o MÓDULOS DE ELETRÔNICA - 2003
EXPERIÊNCIA No 2
TÍTULO: CIRCUITOS RESSONANTES
Os circuitos que apresentam uma variação marcante em suas características de resposta sobre uma faixa de freqüência são chamados de circuitos sintonizados ou circuitos ressonantes, e esse fenômeno é conhecido como ressonâ ncia.
Os circuitos sintonizados são usualmente utilizados em todas as situações onde existem a necessidade de discriminação entre sinais de diferentes freqüências. Em rádio, ou TV, os circuitos sintonizados são utilizados para separar os
sinais das estações transmissoras.
01 - Ressonância série
Investigaremos o tão conhecido fenômeno da ressonância série.
Considere o circuito série da FIG. 01. A impedância da parte à direita dos
terminais ab é:
1 
Z ab = R L + j ωL −

ωC 

Equação 01
Em uma freqüência angular ω r o termo reativo será igual a zero e a impedância, com característica puramente resistiva. Esta condição é conhecida como
ressonância série, e ω r ou ω o ou fr é a sua freqüência de ressonância angular ou fre-
CEFET-MG
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2
qüência de ressonância.
Figura 01 - Circuito Série.
Na forma polar, a expressão geral para a impedância, "olhando" a partir
dos terminais ab, é:

1 

Z ab = R L2 +  ω L −
ω C 

2

1 

  ω L −
ω C  
−1  
tg


RL




Equação 02
e a corrente será:
I=
I=
E
(Z g + Z ab )
E
Rg + RL + j (ω L ) −
Equação 03
1
ωC
Se a resistência do gerador (Rg = 0), então:
I=
E
Z ab
Da equação 01 podemos ver que Zab exibirá uma impedância mínima
igual a RL ohms. Se a fonte de impedância Rg é puramente resistiva, como indicado,
então a corrente está em fase com a tensão aplicada.
CEFET-MG
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3
Se Rg é diferente de zero ele pode ser adicionado a RL para fornecer um
circuito equivalente total Rt, como segue:
Rt = RL + R g
Equação 04
A freqüência de ressonância série pode ser expressa em termos dos parâmetros do circuito igualando-se o termo reativo da equação 01 a zero, como segue:
ωL −
1
=0
ωC
ω2 LC − 1 = 0
ω2 =
1
LC
Equação 05
ω = ωr = ωo =
1
LC
f = fr = fo =
1
Equação 06
Equação 07
2 π LC
Nota-se que ωr é independente da resistência do circuito e depende apenas dos valores de L e de C. O resistor RL representa a resistência total entre os
pontos ab. Isto inclui a resistência CC do enrolamento mais a resistência CA que
depende das perdas no núcleo e do efeito Skin ou peculiar.
Uma representação da maneira pela qual jXL, -jXC e j(X L-X C) variam com
a freqüência está mostrada na FIG. 02. Para ωr , a distância positiva X é igual à distância negativa X, e a reatância resultante é zero. A maneira pela qual a corrente varia com a freqüência é a conhecida Curva de Ressonância, mostrada na FIG. 03. A
corrente é máxima para ωr , porque Zab é mínima e igual a RL, se Rg = 0.
CEFET-MG
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Figura 02 - Variação da reatância com a freqüência.
Figura 03 - Curva de Ressonância.
CEFET-MG
4
CIRCUITOS RESSONANTES
5
02 - Largura de faixa de um circuito ressonante série
Seria interessante termos algum meio de descrever a inclinação da Curva
de Ressonância, uma vez que isso indicaria com que precisão poderíamos selecionarmos uma freqüência desejada dentre as freqüências adjacentes. O método usado está baseado nas seguintes considerações: Na ressonância, a potência dissipada
em um circuito ressonante está em um máximo. Existirão então duas freqüências,
uma de cada lado de fr , onde a potência dissipada é a metade da potência na ressonância. Essas duas freqüências são chamadas freqüência superior (f2) e freqüência
inferior (f1) de meia potência. Lembre-se que, quando falarmos de potência, estamos
nos referindo à potência real que é dissipada nos elementos resistivos.
Para fr :
Pr = I r2 x Rt
Em f2
P2 =
Todavia,
I r2 x Rt
I x Rt =
2
Pr
2
2
2
I2 =
Ir
= 0,707 x I r
2
De maneira similar podemos mostrar que para f1,
I1 =
Ir
= 0,707 x I r
2
Agora pode ser desejável determinar a largura de faixa do circuito sintonizado pela inspeção dos parâmetros, ao invés de medidas diretas em um circuito
real. Podemos facilmente estabelecer as proporções seguintes, uma vez que temos
desenvolvida a relação entre I na freqüência de ressonância, I r e I na freqüência de
meia potência I 12. O índice 12 é usado para designar um ponto de meia potência
CEFET-MG
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ocorrendo em ω1 e ω2.
I 12
Ir
=
1
2
E
I12
Ir
=
1
=
2
Rt2 + X 122
E
Rt
Rt
Equação 08
Rt2 + X 122
R2
1
= 2 t 2
2 Rt + X 12
Resolvendo para a relação entre X12 e Rt, obtemos:
X 12 = ± Rt
Notamos que a reatância resultante é igual à resistência resultante nos
pontos de meia potência. Isso também nos mostra que o ângulo de fase é de mais
ou menos 45o. Para ω2, o circuito comporta-se como indutivo e o ângulo de fase é
45o enquanto que para ω1 a reatância resultante é capacitiva e a corrente avança
45o em relação à tensão. A reatância resultante pode ser expressa em termos de L,
C e ω como segue:
X 12 = ω12 L −
1
ω12 C
= ± Rt
ω122 LC − 1 = ± ω12 Rt C
LCω122 ± Rt Cω12 − 1 = 0
CEFET-MG
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7
Portanto
ω12 =
± Rt C ± Rt2 C 2 + 4LC
2 LC
Uma vez que o radical é visivelmente muito maior que RtC, o caso onde o
radical é precedido por um sinal negativo resultará em uma freqüência negativa.
Uma freqüência negativa é sem importância para nós e nesse caso é desconsiderado. Com apenas o sinal positivo antes do radical, temos duas freqüências possíveis:
ω12 =
± Rt C + Rt2 C 2 + 4LC
2 LC
As duas raízes são então:
2π f 1 = ω1 =
2π f 2 = ω2 =
− Rt C + Rt2 C 2 + 4 LC
2 LC
Rt C + Rt2 C 2 + 4LC
2 LC
Temos agora três fórmulas desenvolvidas, que nos permitem determinar a
freqüência de ressonância e as freqüências de meia potência, em termos dos parâmetros do circuito. A faixa de freqüência entre ω1 e ω2 é denominada Largura de
Faixa, Bw. O que significa que Bw = ω2 - ω1. Uma palavra de atenção nesta oportunidade: a quantidade Rt inclui as resistências do gerador e da bobina. A resistência da
bobina varia com a freqüência, devido ao efeito Skin etc., o que significa que Rt devida a RL também varia com a freqüência. O valor de RL não será necessariamente
o mesmo em f1 , fr , ou f2.
Embora a resistência CA da bobina varie com a freqüência, a relação entre a reatância e a resistência da bobina permanece constante aproximadamente
dentro da largura de faixa, na maioria dos casos. Como RL aumenta com a freqüên-
CEFET-MG
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8
cia, da mesma forma que XL, a relação de XL para RL permanece aproximadamente
constante. A quantidade XL/R L é conhecida como sendo o Q da bobina, ou QL e
permite-nos analisar de forma conveniente o circuito sintonizado. Enquanto os fabricantes de bobinas não têm comumente gráficos de RL versus freqüência, as curvas
de QL versus freqüência são facilmente disponíveis.
Vejamos se podemos relacionar as freqüências de ressonância e de meia
potência diretamente com os parâmetros do circuito. Se multiplicarmos ω1 e ω2, o
resultado é:
ω1ω2 =
Rt2 C 2 + 4 LC − Rt2 C 2
1
=
2
2
4L C
LC
Mas ωr = 1
LC
; Portanto
ω1ω2 = ωr2
Ou f 1 f 2 = f r 2 . Isto é o mesmo que escrever
f1
f
= r
fr
f2
Equação 09
O termo largura de faixa, como temos usado até agora, não nos diz real-
mente muito, a menos que a freqüência de ressonância seja especificada. Por
exemplo, se você dissesse que a largura de faixa de um circuito ressonante série é
de 100 Hz, poderia assegurar que o circuito é também de características aguda de
sintonia? Certamente, não. Se fr é 500 Hz, 100 Hz seria uma grande porcentagem
de fr , resultado em uma curva achatada de resposta, baixa seletividade. Se fr fosse
1 MHz, a sintonia seria muito aguda. Portanto, o que realmente necessitamos como
um indicador de mérito, para julgarmos a seletividade de um circuito sintonizado, é a
relação de largura de faixa com a freqüência de ressonância. Esta relação algumas
vezes referida por unidade de largura de faixa ou apenas por largura de faixa
CEFET-MG
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(Bw). Podemos, assim, definir:
ω2 − ω1
f − f1
= 2
= por unidade de Bw
ωr
fr
Equação 10
e ω2 − ω1 = ∆ω como largura de faixa.
Portanto, vamos desenvolver uma relação simples entre a expressão anterior e os parâmetros do circuito. Mostramos que:
ω2 =
ω1 =
ωr =
Rt C + Rt2 C 2 + 4LC
Equação 11
2 LC
− Rt C + Rt2 C 2 + 4LC
Equação 12
2 LC
1
LC
Equação 13
Em geral, f2 - fr é diferente de fr - f1. Ou seja, as freqüências de meia po-
tência não são igualmente espaçadas em relação à freqüência de ressonância. Se
todavia, o Q total do circuito (Qt) é 10, o erro é desprezível e as freqüências de meia
potência podem ser consideradas igualmente espaçadas de fr . Portanto se conhecermos o Q do circuito, podemos escrever, quando Qt ≥ 10:
ω2 = ωr +
Bw
ω
= ωr + r
2
2Qt
Equação 14
ω1 = ωr −
Bw
ω
= ωr − r
2
2Qt
Equação 15
Se o Q do circuito é cerca de 10 ou mais, a tensão através de L ou C será
também máxima em ωr e apresentará uma curva de resposta de freqüência similar
CEFET-MG
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10
aquela da corrente. A mesma largura de faixa, Q e outras relações podem ser usadas. Por exemplo, o Q do circuito pode ser avaliado medindo pontos de tensão igual
a 0,707 da tensão máxima.
03 - AUMENTO DA TENSÃO RESSONANTE:
Um fenômeno interessante e útil relacionado com os circuitos ressonantes
série é o grande aumento da tensão que ocorre através de L e C para ωr quando Qr
é grande. Podemos provar este fato da seguinte maneira.
A amplitude da tensão através do capacitor é Ec = I.X C, mas na ressonâ ncia I = I r = E/R. Portanto, Ecr = E.X Cr / R, mas para ωr , XCr = XLr ou
ECr = EXLr / R = EQtr ,
Equação 16
onde Qtr é o Q do circuito na ressonância.
Notavelmente, a tensão no indutor ou capacitor na ressonância pode ser
Qtr vezes maior do que a tensão aplicada. Se uma tensão de 10 Volts é aplicada a
um circuito ressonante série tendo um Qtr = 100, a tensão no indutor ou capacitor
será de 1000 Volts. Quando circuitos desse tipo são projetados, a tensão de trabalho
do capacitor deve ser determinada nessa base. Realmente, ωr não é exatamente a
freqüência para a qual EL ou Ec é um máximo, mas a diferença é pequena, se Qtr é
maior ou igual a 10. A freqüência exata para a qual Ec é um máximo é:
ω = ωr 1 −
1
Qtr2
Equação 17
que resulta aproximadamente abaixo de ωr . Se Qtr = 10, essa freqüência é essencialmente a mesma que ωr e a tensão máxima do capacitor será aproximadamente
igual à tensão do capacitor na ressonância.
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A tensão através da bobina na ressonância ( EL ) é complicada pelo fato
que L tem uma resistência ( RL ) associada. Portanto, usaremos ZL ao i nvés de XL.
Z L = R L2 + (ωL)
2
uma vez que RL não é usualmente especificada, mas QL é especificada, podemos
escrever:
 R 2 + ω2 
Z L = ω2L  L 2 L 
 ωL 
1
+1
QLr2
Z L = ωL
E Lr = I r Z Lr =
E Lr = EQtr
EωrL
R
1
+1
QLr2
1
+1
QLr2
E Lr = EQtr quando QLr ≥ 10
Equação 18
A freqüência exata para a qual a tensão da bobina é máxima é ligeiramente superior a e é dada por:
ω=
ωr
1−
Equação 19
1
2Qtr2
outra vez, se Qtr é maior ou igual a 10, a tensão da bobina pode ser considerada
máxima para ωr .
Uma nota de alerta: Sempre que você fizer qualquer cálculos envolvendo
o Q da bobina nas proximidades de ωr , esteja certo de usar o valor de Q correspon-
CEFET-MG
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12
dendo a ωr . QL pode variar largamente sobre uma grande faixa de freqüências, e
portanto, é melhor medir o Q da bobina para a freqüência de interesse, ou usar os
dados do fabricante, que podem representar QL versus freqüência.
04 – ANTI-RESSONÂNCIA PARALELA
Investigaremos, em seguida, o fenômeno da ressonância paralela, ou anti-ressonância, como ele é algumas vezes chamado. O circuito da FIG. 04 ilustra
completamente um circuito geral anti-ressonante.
A impedância “vista”, olhando a partir dos terminais de entrada pode variar muito, dependendo do Q dos circuitos indutivos e capacitivos. Para freqüências
abaixo da freqüência de ressonância, a impedância do ramo indutivo é pequena e
uma grande corrente fluirá através da bobina. A corrente através do ramo capacitivo
será pequena, porque XC é grande para baixas freqüências. A corrente da linha fluindo nos terminais é, portanto, grande. Em altas freqüências, o ramo indutivo oferece
uma alta impedância, mas o ramo capacitivo tem uma baixa impedância, novamente, a corrente da linha é relativamente alta. Qualquer freqüência intermediária, a impedância de entrada será maior e a corrente da linha será mínima. Essa não é necessariamente a mesma freqüência para a qual a corrente está em fase com a tensão aplicada. Se Q for baixo, da ordem de 5, mesmo assim, o erro está em torno de
1,0 % e, portanto, a impedância máxima será considerada como que ocorrendo à
mesma freqüência, que resulta em um fator de potência unitário. Então para uma
determinada freqüência que nós definimos como a freqüência anti - ressonante (far ),
a impedância vista a partir dos terminais de entrada é puramente resistiva. Nosso
primeiro objetivo é determinar como esta freqüência está relacionada com os parâmetros do circuito.
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Figura 04 - Circuito ressonante paralelo.
Uma vez que estamos tratando com um circuito paralelo, é mais conveniente trabalhar com as admitâncias.
Yen =
1
1
1
1
1
=
+
=
+
Z en Z L Z C RL + jX L RC − jX C
Racionalizando cada termo, obtemos:
Yen =
Rl − jX L RC + jX C
+ 2
R L2 + X L2
RC + X C2
Separando, e então agrupando as componentes resistivas e reativa,
 R
  X

R
X
Yen =  2 L 2 + 2 C 2  + j  2 C 2 − 2 L 2 
 RL + X L RC + X C   RC + X C R L + X L 
Para Yen ser puramente resistiva, a componente reativa (susceptância ) de Yen deve
ser nula. Portanto, vamos igualar a susceptância a zero e resolver para aquele valor
de ω, para o qual a afirmação anterior é verdadeira.
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XC
X
− 2 L 2 =0
2
R + X C RL + X L
2
C
X C (RL2 + X L2 ) − X L (RC2 + X C2 ) = 0
R L2 + ω2 L2
1 

− ωL RC2 + 2 2  = 0
ωC
ωC 

RL2 + ω2 L2 − ω2 LC
ω2 C 2 RC2 + 1
=0
ω2 C 2
ω2 C 2 RL2 + ω4 L2 C 2 − ω2 LC(ω2 C 2 RC2 + 1) = 0
Fatorando ω2C fora de cada termo, temos:
CRL2 + ω2 L2 C − L(ω2 C 2 RC2 + 1) = 0
Expandindo e coletando os termos,
ω2 L2 C − ω2 LC 2 RC2 + CRL2 − L = 0
ω2 =
L − CRL2
L − CRL2
=
L2 C − LC 2 RC2 LC L − CRC2
ω = ωAR =
(
1
LC
)
L − CRL2
L − CRC2
Equação20
Nota-se que a freqüência anti-ressonante paralela é realmente dependente das resistências do circuito. Nos circuitos série, a freqüência de ressonância
era independente das resistências do circuito. A equação 20 é bastante interessante.
Ela indica que a ressonância pode ser estabelecida não apenas variando ω, L ou C,
mas também pelo controle de RL ou RC. Isso, entretanto, raramente é feito na prática, visto que RL e RC tendem a deteriorar a seletividade do circuito.
CEFET-MG
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15
Na maioria dos circuitos para comunicações, a resistência no ramo capacitivo é desprezível e a do ramo indutivo é pequena se o Q da bobina é razoavelmente alto. Então, L será usualmente maior do que CRL2 ou CRC2 , e a equação 20 se
reduz a:
ωAR =
1
LC
que é a mesma do circuito ressonante série. Se CRL2 ou CRC2 forem maiores do que
L, a quantidade sob o radical será negativa, o que resulta em um valor imaginário de
ωAR. Isto é alguma coisa que não podemos gerar fisicamente e portanto, não tem
outro significado, a não ser o de que não existirá a condição de ressonância em
qualquer freqüência. Se RL = R C , a quantidade sob o radical é igual a 1 e, porta nto,
ωAR =
1
LC
para este caso. Se RL igualar a RC e também igualar a
L C , ωAR é indeterminado
e o circuito aparece resistivo para todas as freqüências.
Em circuitos anti-ressonantes práticos, a resistência no ramo capacitivo é
usualmente desprezível e a equação 20 reduz-se a:
ωAR =
1
LC
L − CRL2
L
que pode ser manipulada em:
ωAR =
1
LC
L2 − LCRL2
L2
CEFET-MG
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Elevando ao quadrado ambos os lados e substituindo a freqüência ressonante série
ωr por 1
LC , obteremos:
L2 −
2
ωAR
= ωr2
1 2
RL
ωr2
L2

R2
2
ωAR
= ωr2  1 − 2 L 2
 ωr L



e desde que ωr L RL = QL , temos:
ωAR = ωr 1 −
1
QL2
Equação 21
que indica que as freqüências ressonantes série e paralela são quase idênticas
quando QL é grande nas proximidades da ressonância.
Note que o valor de QL na equação 21 está baseado no Q da bobina para
ωr e não para ωAR. Uma expressão ligeiramente diferente para ωAR é obtida se o Q
da bobina para ωAR é introduzido. Elevando ao quadrado ambos os lados temos:
ω
2
AR
1
=
LC
 L2 − LCR 2 


L2


Substituindo ωr2 por 1 LC e separando o termo entre parênteses em dois termos,
 L2
1 R2 
ωar2 = ω2R  2 − 2 2 
 L ωr L 
2
Multiplicando numerador e denominador do termo R 2 L2 por ωAR
CEFET-MG
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
ω2 R 2
2
ωAR
= ωr2 1 − 2 AR2 2
 ωr ωAR L

ω2
2
ωAR
= ωr2  1 − 2 AR 2
 ωR QL
17






onde QL agora é o Q da bobina determinado para ωAR . Resolvendo para ωAR, obtemos
ωAR =
ωr
1+
Equação 22
1
QL2
Comparando as equações 21 e 22, vemos que, embora o Q da bobina
para ωr possa diferir daquele para ωAR, a freqüência anti-ressonante ωAR é ainda essencialmente igual a ωr se QL está em torno de 10 ou mais.
Uma interpretação física das condições do circuito para ωAR pode ser obtida da figura 04. A corrente em cada ramo é determinada pela impedância deste
ramo. A corrente no ramo capacitivo (I C) adiantará da tensão aplicada de um ângulo
θL. Podemos também resolver I L através de uma componente em fase e outra em
quadratura. I L.cos θL e IL.sen θL, respectivamente. Para ωAR, as amplitudes e os ângulos de fase de I L e I C não precisam ser os mesmos, uma vez que RL e RC podem
ser diferentes. As componentes em quadratura I C.sen θC e I L.sen θL se cancelam, o
que resulta em uma corrente total em fase de I C.cos θC mais I L.cos θL. A impedância
vista "olhando" a partir dos terminais de entrada da figura 04 para ωAR é então uma
quantidade finita igual à tensão aplicada dividida pela corrente resultante em fase.
Quando o Q de cada ramo é alto, de forma que a reatância do ramo é
muito maior que a resistência no mesmo ramo do circuito, as correntes em quadratura serão muito maiores que as correntes em fase. Isso está ilustrado na figura 05,
CEFET-MG
CIRCUITOS RESSONANTES
18
diagramas de corrente. A corrente resultante em fase para ωAR é entretanto baixa, o
que significa que a impedância de entrada na anti-ressonância é mais alta que o
mais alto Q do circuito. Para ωAR, as correntes do circuito podem ser bastante grandes, mas a sua soma vetorial, se Q é alto, resulta em uma corrente de linha pequena.
Figura 05 - Diagramas de Corrente.
05 - CIRCUITO ANTI-RESSOANTE PRÁTICO
A FIG. 06 ilustra um circuito anti-ressonante prático comumente usado em
trabalhos de comunicação. Temos desenvolvido a equação 21, que expressa a freqüência ressonante da FIG. 04. Isto, com RC = 0, é o mesmo que a FIG. 06 uma vez
que de nossos objetivos primários é obter experiências na manipulação e interpretação das equações com números complexos, vamos iniciar de leve a nossa análise
da FIG. 06. Vamos primeiro verificar a equação 21.
CEFET-MG
CIRCUITOS RESSONANTES
19
Figura 06 - Circuito anti-ressonante prático
Yen =
1
1
1
=
+
Z en R L + jX L − jX C
Yen =
RL − jX L
1
+j
2
2
XC
RL + X L
Yen =
 1
RL
X
+ j 
− 2 L 2
2
R + XL
 X C RL + X L
2
L



Yen = G + jB
R L2 + X L2 − X L X C
RL
Yen = 2
+j
RL _ X L2
X C RL2 + X L2
(
)
Equação 23
Para Zen ser puramente resistiva, a componente reativa de Yen deve ser igual a zero.
Isto é:
R L2 + X L2 − X L X C
=0
X C RL2 + X L2
(
)
a expressão anterior é verdadeira quando o numerador é zero ou
CEFET-MG
CIRCUITOS RESSONANTES
RL2 + X L2 − X L X C = 0
Resolvendo para o valor de ω que faz a expressão igual a zero,
RL2 + ω2 L2 −
ω2 =
ωL
=0
ωC
L
R L2
1
RL2
−
=
−
L2 C L2
LC L2
ω = ωAR =
RL2
1
−
LC L2
Isto pode ser manipulado na forma da equação 21 se fazermos novamente
ωr2 =
ωAR
1
ωL
e QL =
.
LC
RL
ωr2 RL2
= ω − 2 2
ωr L
2
r
ωAR = ωr2 −
ωr2
QL2
ωAR = ωR 1 −
1
QL2
que verifica a equação 21.
CEFET-MG
20
CIRCUITOS RESSONANTES
21
06 - IMPEDÂNCIA DE ENTRADA NA RESSONÂNCIA
A impedância para ωAR, "vista" olhando a partir dos terminais de entrada
da FIG. 05, é facilmente determinada examinando-se a equação 23. Para ωAR, a
componente reativa de Yen é zero, o que faz a admitância de entrada igual a G. Por
outro lado, Zen = Z AR = R AR = 1/G; onde RAR é a impedância anti-ressonante.
R AR =
R L2 + X L2
RL
 R L2

 1 


 +1
2  +1
XL 
QL2 


=
=
RL
1
QL X L
X L2
Todas as reatâncias são tomadas para ωAR.

1 
R AR = X L QL 1 + 2 
 QL 
Equação 24
se QL é grande, digamos 10 ou mais,
Rar ≈ X L QL
Podemos expressar RAR em termos de XC resolvendo a equação do circuito prático
anti-ressonante para XC em termos de XL e podemos, em conseqüência, obter:
RL2 + X L2 − X L X C = 0
X L2 + RL2
XC =
=
XL

1
X C = X L 1 + 2
 QL
R L2
X L2
1
XL
1+



Equação 26
CEFET-MG
CIRCUITOS RESSONANTES
22
Da equação 26 vemos que XC não pode mais igualar a XL em ωAR, mas a
diferença é pequena se QL é grande. Resolvendo para XL a equação 26, obtemos:


1
XL = XC 

1
1+ 2
QL







Equação 27
e substituindo na equação 24, resulta
R AR ≈ X C QL
Equação 28
A equação 28 pode ser usada para expressar RAR diretamente em termos dos parâmetros do circuito como segue:
R AR = X C QL =
ωar L
L
=
ωar CRL RL C
Equação 29
Da equação 29, formas adicionais úteis expressando RAR podem ser derivadas, por
exemplo:
R AR =
X C X L X C2
X2
≈
≈ L = QL2 RL
RL
RL
RL
Equação 30
Se a resistência está presente no ramo capacitivo, ela poderia ser adicionada a RL
quando determinamos RAR. Por exemplo,
R AR =
XC X L
X C2
L
X L2
=
=
=
(RL + RC )C RL + RC RL + RC RL + RC
Equação 31
A equação 31 não é exata, mas é suficientemente precisa quando os fatores de mérito do circuito são em torno de 10 ou mais.
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O Qtotal do circuito paralelo quando a resistência está' presente em ambos
os ramos pode ser tomado como:
Qtotal =
XL
RL + RC
Equação 32
quando Qr é 10 ou mais.
Com a ajuda das várias expressões para RAR pode ser mostrado que as
correntes dos ramos são aproximadamente Qt vezes a corrente da linha para ωAR.
Façamos I s igual à corrente de linha forçada por alguma fonte Eg a partir dos terminais de entrada da FIG. 05. Podemos escrever as seguintes expressões:
Eg
Ig
Eg
Ig
= R AR
= ZL
se Qt é alto, portanto,
I L RAR Qt X L
=
≈
= Qt
Ig
ZL
XL
Equação 33
Desde que X L ≈ X C para ωAR, quando Qt é grande, vemos que:
IC
= Qt
Ig
Equação 34
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Observações Pessoais:
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Questionário da Exp. No 02
Nome: _____________________________________ No _____ Turma: _____
01 - Dado o circuito série abaixo, determine: a freqüência de ressonância, a largura
de faixa, a corrente na ressonância se a tensão de entrada é de 15/0 o V, e a
potência dissipada no resistor de 60 Ω na ressonância.
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02 - Dado o circuito ressonante abaixo, determine: a freqüência de ressonância, a
corrente na ressonância e as duas freqüências de meia potência.
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CIRCUITOS RESSONANTES
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03- Dado o circuito sintonizado paralelo abaixo, determine: a freqüência de antiressonância, a tensão de saída, a corrente na indutância, a potência dissipada
no circuito tanque, a largura de faixa e o fator de mérito do circuito.
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04 - Para o circuito sintonizado paralelo, determine: a freqüência de ressonância, a
corrente no gerador na ressonância, a largura de faixa e o fator de mérito do
circuito, a tensão de saída e a potência dissipada no circuito.
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05 - Represente "eo" versus "freqüência" para o circuito abaixo. Explique a função
do circuito.
Considere: C1 = 0,1 µF
C 2 = 0,02 µF
L 1 = 1H
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L 2 = 0,6H
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06- Projete um circuito de filtro que selecione a freqüência de 10kHz e faça o bloqueio da segunda harmônica, utilizando o princípio da ressonância.
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Guias de Telecomunicações
Wander Rodrigues
CEFET – MG 2003