Primeira lista de exerc´ıcios de´Algebra Linear

Primeira lista de exercı́cios de Álgebra Linear Computacional
Prof. Mauro Rincon
1. Seja P = I − 2wwt a matriz de Householder, tal que wt w = 1. Mostre
que P é simétrica, ortogonal e além disso P 2 = I (ou seja P é uma
projeção ortogonal)
2. Seja a matriz A de ordem m×n. Se rank(A) = m então At A é singular.
Se rank(A) = n então At A é não singular. Ps: Use a decomposição de
valor singular (SVD)
3. Se A de ordem m × n, tem colunas linearmente dependentes, mostre
que At A é singular.
4. Prove as afirmações abaixo se são verdadeiras ou dê um contra- exemplo
se for falso:
(a) O produto de duas matrizes simétrica é simétrica.
(b) A inversa de uma matriz simétrica não singular é uma matriz
simétrica não singular.
(c) Se A e B são matrizes semelhantes de ordem n x n então os autovalores e os autovetores são preservados.
(d) O produto de duas matrizes triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
(e) Uma matriz quadrada A triangular inferior ou superior é singular
se pelo menos um elemento da diagonal é zero.
(f) Se A tem duas colunas iguais então existe pelo menos um valor
singular σ(A) = 0.
(g) Seja P = Pn .Pn1 · · · P2 .P1 , onde Pi i = 1, 2 · · · n são matrizes
ortogonais e simétricas. Então P é ortogonal e simétrica e sua
inversa P −1 é ortogonal e simétrica.
5. Seja A uma matriz de ordem m × n. Mostre que Img(At ) e N ul(A)
são espaços vetoriais e além disso são ortogonais.
6. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define-se a parte simétrica de
1
1
A por, As = (A+At ) e a parte anti-simétrica de por Ans = (A−At ).
2
2
Provar que
(a) A = (As + Ans )
(b) xt Ax = xt As x
7. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Mostre que A definida positiva (xt Ax ≥ 0, ∀x) se e somente se
kxk2A = xt Ax
n
∀x ∈ IRn ,
8. Se Q é uma matriz ortogonal, mostre que kQxk2 = kxk2 , kQAkF =
kAkF e kQAk2 = kAk2 . Dê um contra-exemplo para mostrar que a
transformação ortogonal não é preservada nas normas kAk1 e kAk∞ .
9. Mostre que kAk2 = σ1 e kAk2F = tr(At A) = (σ12 + σ22 + · · · + σr2 ), onde
σ são os valores singulares da matriz A, m × n, e r = min{m, n} e
tr(At A) é o traço da matriz. PS: Use o SVD
10. Mostre a equivalência da normas
(a) kxk∞ ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ ∀x ∈ IRn
√
(b) kxk2 ≤ kxk1 ≤ nkxk2 ∀x ∈ IRn
√
(c) kxk∞ ≤ kxk2 ≤ nkxk∞ ∀x ∈ IRn
√
(d) √1n kAk∞ ≤ kAk2 ≤ mkAk∞ ∀A ∈ IRm×n
√
(e) kAk2 ≤ kAkF ≤ nkAk2 ∀A ∈ IRm×n
11. Seja x e y vetores do IRn e definimos a função ψ(α) = kx − αyk2 .
Mostre que α = xt y/y t y é o ponto de mı́nimo de ψ.
12. Seja A uma matriz simétrica com autovalores λi , correspondentes aos
autovetores ortonormais vi . Mostre que a matriz B = A − λ1 v1 v1t tem
autovalores 0, λ2 , λ3 , · · · λn com os correspondentes autovetores v1 , v2 , v3 , · · · vn .
13. Seja A uma matriz quadrada real de ordem n. Então
(a) A e At tem os mesmos autovalores
(b) A é não singular se e somente se todos os autovalores são diferentes
de zero.
(c) Se A é simétrica então todos os autovalores são reais
(d) A é definida positiva se e somente se todos os autovalores são
positivos.
(e) Se A é simétrica e definida positiva com autovalores λ. Então
0 < λ ≤ kAk
(f) Os valores singulares diferentes de zero da matriz A são a raiz
quadrada dos autovalores não nulos da matriz At A.
(g) Se A é simétrica então os valores singulares de A são os valores
absolutos dos autovalores da matriz A.
14. (Forma diagonal para matriz simétrica): Seja A uma matriz simétrica
de ordem n, com autovalores λ1 , λ2 , · · · λn . Então existe uma matriz
ortogonal Q tal que Qt AQ = D, onde D = diag(λ1 , λ2 , · · · λn )
Ps: Use a decomposição de valor singular (SVD)
15. Seja Q uma matriz m × n com colunas ortonormais.
(a) Mostre que a colunas de Q são Linearmente independentes.
(b) Se m = n, então as colunas de Q formam uma base ortonormal do