TP504_2av2s04

TP504 – Introdução às Comunicações Digitais
2ª Avaliação – 14/10/2004 – 13:30h
Prof. Dayan Adionel Guimarães
Nota:
Aluno(a): _______________________________________________________ Matrícula _______
Prova com consulta, com duração de 2 horas.
A prova contém cinco questões. Confira! Cada questão vale 20 pontos.
A interpretação é parte integrante da avaliação.
Seja organizado(a), pois soluções desorganizadas podem prejudicá-lo(a).
Atenção e boa prova!
1ª questão: A Figura 1 mostra uma estrutura proposta para servir como receptor de um sistema de comunicação digital
em banda-base que utiliza sinalização com M símbolos equiprováveis representados por M formas de onda si(t), i = 1, 2,
..., M de duração T e ortogonais entre si nesse intervalo, com energias Ei iguais. O sinal recebido x(t) = si(t) + w(t) é
correlacionado com as M “réplicas” i(t), i = 1, 2, ..., M dos símbolos transmitidos e a decisão é tomada em favor
daquele que corresponder ao maior dos valores das amostras nas saídas dos correlatores. As funções i(t) são funções
escalonadas de si(t) tal que sua energia seja unitária, ou seja i(t) = si(t)/(Ei1/2). O ruído w(t) possui densidade espectral
de potência de N0/2 W/Hz. Os valores x1, x2, ... , xM são amostras das variáveis aleatórias Xi = Xi + Wi, onde Wi são as
variáveis aleatórias correspondentes às amostras da componente de ruído na saída dos correlatores. Portanto as variáveis
aleatórias Xi têm distribuição gaussiana com médias Xi que dependem da energia de cada forma de onda transmitida e
variâncias idênticas 2 que dependem da intensidade do ruído na entrada do receptor. Pede-se que sejam respondidas as
questões abaixo e que sejam tecidos argumentos de forma a sustentar cada resposta.
a) Esse receptor pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da probabilidade de erro de
símbolo?
b) No receptor, se cada uma das funções-base for multiplicada por uma constante igual a 2, qual será a variância
de ruído das amostras de saída dos correlatores?
c) Na situação proposta no item (b) haverá alteração na taxa de erro de símbolo?
d) Esse receptor pode ser considerado como um receptor que utiliza o critério de decisão MAP?
e) Esse receptor pode ser considerado como um receptor que utiliza o critério de decisão MV?
x1
1(t)
x2
2(t)
xM
M(t)
Figura 1 – Proposta de receptor para uma sinalização com M símbolos ortogonais entre si.
1
2ª questão: A Figura 2 mostra constelações para uma sinalização quaternária. Na Figura 2(a) tem-se a constelação com
energia média por símbolo mínima e com valor 1,974 Joules, e na Figura 2(b) tem-se a constelação translada para um
ponto do espaço euclidiano tal que a energia média por símbolo seja 2,34 Joules. Admita que as probabilidades de erro
de bit para as sinalizações mostradas na Figura 2(a) e 2(b) possam ser estimadas respectivamente por:
BER a 
 E (a)
1
b
erfc 
 N0
2





BER b 

Eb(b )
1
erfc  K

2
N0





Com relação a essa questão, pede-se:
a)
b)
c)
d)
Qual o valor da energia média por bit nas constelações (a) e (b)?
Responda se os símbolos da sinalização em questão são ou não são equiprováveis. Justifique.
Determine o valor de K na expressão de BERb.
Para a mesma BER, determine a diferença entre os valores de Eb/N0, em dB, para os casos (a) e (b).
2
2
2
1
1
1
0
1
2
2
1
0
1
1
2
2
(a)
1
2
(b)
Figura 2 - Constelações para uma sinalização quaternária: (a) com energia mínima (b) com energia não mínima.
3ª questão: Seja uma constelação com M pontos correspondentes aos M símbolos ortogonais e equiprováveis de uma
sinalização N-dimensional em banda-base. A energia média por símbolo é E, a energia média por bit é Eb e a densidade
espectral de potência de ruído é N0. Com relação a esta questão, pede-se:
a) Estime a probabilidade de erro de símbolo média para esta sinalização, em canal AWGN, utilizando o
Limitante de União, em termos da função erfc e também em termos da função Q. Utilize o Limitante de União
que levar ao resultado mais preciso.
b) Determine a relação entre a taxa de erro de símbolo e a taxa de erro de bit.
4ª questão: A Figura 3 mostra a constelação de uma sinalização com 16 símbolos transmitidos com a mesma
probabilidade. A energia média da constelação (energia média por símbolo) é E, a energia média por bit é Eb e a
densidade espectral de potência de ruído é N0. Na literatura pode-se encontrar uma expressão para se estimar, com
bastante precisão, a probabilidade de erro de símbolo média para esta sinalização e para sinalizações com constelação
similares e com outros números de símbolos, em canal AWGN. Tal expressão aproximadamente exata é:


2 
3E
Pe   2 
 erfc 
M 
 2  M  1 N 0




2
onde E 
( M  1) Em
e Em é a menor energia dentre todas as energias individuais dos símbolos da constelação dada.
3
Com relação a essa questão, pede-se:
a) Utilizando o Limitante de União, encontre uma expressão alternativa para que seja estimada a probabilidade de
erro de símbolo para sinalização em pauta.
b) Calcule a relação entre as probabilidades de erro de símbolo estimadas de acordo com o item (a) e de acordo
com a expressão aproximadamente exata.
c) Estime a probabilidade de erro de bit em função da probabilidade de erro de símbolo estimada pela expressão
aproximadamente exata.
d) O valor real de taxa de erro de bit será maior, menor ou igual àquele estimado no item (c)? Justifique.
2
3
1
-3
-1
1
1
3
-1
-3
Figura 3 – Constelação com 16 símbolos.
5ª questão: A Figura 4 mostra a constelação para uma sinalização quaternária com símbolos equiprováveis. A partir da
estrutura genérica do receptor de correlação de máxima verossimilhança, projete um receptor para a sinalização em
questão, simplificando-o ao máximo (de forma que o custo de uma eventual implementação seja o mínimo possível).
Nota: A atribuição de pontuação nessa questão dependerá diretamente da simplificação supracitada.
2
1
2
1
0
1
2
1
2
Figura 4 - Constelações para uma sinalização quaternária.
3