I-projeto do campus - mit

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I-projeto do campus
Programa Sobre Mecânica dos Fluidos
Módulos Sobre Ondas em Fluidos
T. R. Akylas & C. C. Mei
CAPÍTULO SEIS
ONDAS DISPERSIVAS FORÇADAS AO LONGO DE UM CANAL ESTREITO
As ondas de gravidade de superfície linear se propagando ao longo de um canal estreito
revelam um fenômeno interessante. Primeiro, avaliamos as ondas livres se propagando ao longo de
um canal estreito infinito. Damos a solução para este problema como uma sobreposição de modos
de onda e ilustramos os conceitos como a noção de freqüência de corte. Segundo, avaliamos um
canal semi-infinito com ondas forçadas excitadas por um gerador de ondas localizado em uma das
extremidades do canal. Como no caso anterior, o campo de onda gerado pelo gerador de onda pode
ser descrito como uma sobreposição de modos de onda. À medida que o gerador de ondas inicia a
excitação do fluido, uma frente de onda se desenvolve e inicia a propagação ao longo do canal, se a
freqüência de excitação do primeiro canal de modo de onda estiver acima da freqüência de corte. Se
a freqüência de excitação estiver abaixo, a perturbação de onda permanece localizada próximo ao
gerador de onda e, no caso em particular, onde a freqüência de excitação se compara à freqüência
natural de um determinado canal de modos de onda, existe ressonância entre este modo de onda e o
gerador, e a amplitude de onda no gerador aumenta com o tempo.
Efeitos de não-linearidade e dissipação não são levados em consideração. Neste capítulo,
conseguimos e ilustramos com animações a evolução no tempo do deslocamento de superfície livre
ao longo do canal estreito semi-infinito excitado por um gerador de onda em uma de suas
extremidades.
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Propagação de Onda Livre ao Longo de um Guia de Ondas
Estreito.
Consideramos ondas livres se propagando ao longo de um canal infinito de comprimento h e largura
2b. Adotamos um sistema de coordenadas x, y, z onde x e z estão no plano horizontal e y está na
coordenada vertical. O eixo x está ao longo do canal, as paredes laterais estão localizadas em z = ±b
e o fundo é o plano y = –h. A superfície livre está localizada em y = η(x, z, t), o qual é
desconhecido. Presumimos fluxo irrotacional e fluido incompressível tal que o campo de velocidade
possa ser determinado como o gradiente de uma função potencial ø(x, y, z, t), onde t é a
parametrização do tempo. O problema do valor limite linear para propagação de ondas livres é
determinado pelo conjunto de equações
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
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e condições de radiação apropriadas. Este é um problema do valor limite homogêneo que pode ser
resolvido pela técnica de separação de variáveis. Primeiro, supomos que as ondas livres que se
propagam ao longo do canal são dadas como uma sobreposição de ondas monocromáticas planas.
Devido à linearidade do problema de valor limite, precisamos resolvê-lo apenas para um plano de
onda monocromática com freqüência de onda ω. A dependência de tempo é
exp(–iωt),
e agora podemos escrever a função potencial ø(x, y, z, t) e o deslocamento da superfície livre η(x, z,
t) na fórmula
(1.5)
(1.6)
O problema do valor limite dado pelas equações (1.1) a (1.4) considera a fórmula
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
onde eliminamos o deslocamento da superfície livre η(x, z) e reduzimos o problema do valor limite
a um problema do valor limite de uma variável dependente, ø(x, y, z). Em seguida, aplicamos a
técnica de separação de variáveis para resolver o problema do valor limite dado pelas equações
(1.7) a (1.10). Supomos que a função potencial ø(x, y, z) dada como
(1.11)
onde os possíveis valores kz sejam determinados pela condição-limite nas paredes do canal
localizadas em z = ±b, e os possíveis valores da constante k discutidos abaixo. Se substituirmos a
expressão dada pela equação (1.11) pelo problema do valor limite dado pelas equações (1.7) a
(1.10), obtemos um problema Sturm-Liouville (problema do valor limite unidimensional em relação
a uma equação diferencial de segunda ordem) para a função H(y), a qual é dada pelas equações
(1.12)
(1.13)
(1.14)
3
onde Λ2 = –kz2 + k2. A constante Λ representa um conjunto de eigenvalores, que são funções da
freqüência de onda ω, da aceleração da gravidade g e da profundidade h.
Se aplicarmos as condições-limite dadas pela equação (1.10) à função potencial ø(x, y, z),
percebemos que podemos usar tanto cos(kz z) ou sen(kz z) na expressão de ø(x, y, z) dada pela
equação (1.11), mas com um conjunto diferente de possíveis valores para a constante kz. O conjunto
de valores para kz é determinado pela condição-limite (1.10) e a escolha entre cos(kz z) e sen(kz z).
Se considerarmos a dependência de z do potencial ø(x, y, z) dado em função de cos(kz z), a constante
kz tem que assumir os valores
(1.15)
Se considerarmos a dependência z do potencial ø(x, y, z), dado em função de sen(kz z), a constante kz
tem que assumir os valores
(1.16)
A fórmula geral da solução para a equação (1.12) é
(1.17)
mas a condição-limite sobre o fundo dada pela equação (1.14) indica que B = 0. A condição-limite
da superfície livre (y = 0) dá a equação eigenvalor ou relação de dispersão
(1.18)
para a constante Λ. Esta equação de eigenvalor implícita possui uma solução real Λ0 e um conjunto
contável infinito de eigenvalores puramente imaginários iΛl, l = 1,2... Associado a estes
eigenvalores temos as eigenfunções
(1.19)
(1.20)
O termo exp(ikx)(exp(–ikx)) na equação (1.11) acima para ø(x, y, z) representa uma onda se
propagando para a direita (esquerda), caso a constante k seja real ou uma onda infinitesimal direita
(esquerda), caso k seja um número puramente imaginário, ou uma combinação de ambos, caso k
seja complexo. Classificamos a constante k como um número de onda. Já que estamos interessados
nas ondas de propagação livre, precisamos da constante K para ser um número real. O valor desta
constante é dado em função das constantes Λ e kz, de acordo com a equação
(1.21)
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onde os possíveis valores de kz são dados pelas equações (1.15) e (1.16). Os possíveis valores de Λ
são soluções da relação de dispersão dadas pela equação (1.18). Já que desejamos k como um
número real, isto exclui as soluções imaginárias da equação (1.18), então podemos escrever a
equação acima na fórmula
(1.22)
(1.23)
onde anexamos os índices n e m à constante k para deixar claro sua dependência sobre os
eigenvalores kzn e kzm.
Agora, podemos escrever a função potencial ø(x, y, z) na fórmula
(1.24)
e o deslocamento da superfície livre η(x, z) é dado pela equação
(1.25)
onde o valor das constantes Am , An ,Bm e Bn é especificado pelas condições adequadas de radiação.
De acordo com o valor de kzm ou kzn, as constantes km e kn nas equações (1.24) e (1.25)
podem ser reais (modo de propagação de onda) ou números puramente imaginários (modo de onda
infinitesimal). Se fixarmos o valor de kzm ou kzn (fixe o valor de m ou n), para uma determinada
profundidade h, podemos variar a freqüência de onda ω tal que Λ0 > kzm (kzn) ou Λ0 < kzm (kzn).
Quando Λ0 > kzm (kzn), km (kn) for um número real e tivermos um modo de propagação de onda, mas
quando Λ0 < kzm (kzn), necessitamos que km (kn) seja um número puramente imaginário e que o modo
de onda associado a este valor de k seja infinitesimal. Portanto, o valor de freqüência de onda onde
kzm = Λ0(kzn = Λ0) é chamado de freqüência de corte para o modo de onda mth (nth).
Em seguida, traçamos a relação de dispersão dada pela equação (1.18) como uma função do
número de onda k e de profundidade h para os diversos valores de eigenvalores kzm (modos de onda
senoidal na coordenada z) nas figuras 1 e 2. À medida que o valor de kzm aumenta (o valor de m
aumenta), a freqüência de onda assume valores maiores para a gama do número de onda k
considerada. O valor de onda de freqüência em k = 0 para um determinado kzm (determinado m) é a
freqüência de corte para o modo de onda associado ao eigenvalor kzm. Para um valor fixo de kzm, as
freqüências abaixo das freqüências de corte implicam em números de onda puramente imaginários
e o modo de onda associado é exponencialmente decrescente (infinitesimal) ou exponencialmente
crescente. Os modos de onda associados aos números de onda puramente imaginários não
participam da sobreposição que resulta nas soluções de ondas livres. De acordo com as figuras 1 e
2, quanto maior a freqüência de onda, maior o número de modos de onda que participam da
sobreposição que resulta nas soluções de ondas livres.
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Uma outra forma de ver que os modos de onda associados aos números de onda imaginários
(onda abaixo do modo de onda de freqüência de corte) não se propagam é através da velocidade de
grupo do modo de onda. Nas figuras 3 e 4, traçamos a velocidade de grupo para os 10 primeiros
modos de onda associados aos eigenvalores kzm (m de 0 a 9). Para freqüências de onda acima da
freqüência de corte, o modo de onda considerado (valor fixo de kzm) possui um número de onda real
k e velocidade de grupo diferente de zero, conforme podemos observar através das figuras 3 e 4. À
medida que a freqüência de onda se aproxima da freqüência de corte, a velocidade de grupo do
modo de onda considerado se aproxima de zero, de acordo com as figuras 3 e 4. Na freqüência de
corte do modo de onda considerado, sua velocidade de grupo é zero e nenhuma energia é
transportada por este modo de onda para freqüências de onda na freqüência de corte do modo de
onda ou abaixo dela.
Figura 1: Freqüência de onda como uma função do número de onda k para diversos valores do
eigenvalor kzm e profundidade de água h = 100 metros.
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Figura 2: Freqüência de onda como uma função do número de onda k para diversos valores do
eigenvalor kzm e profundidade de água h = 0,1 metros.
De acordo com as figuras 3 e 4, a velocidade de grupo para cada modo de onda possui um
valor máximo, o qual decai à medida que o valor de kzm aumenta (o valor de m aumenta). O
primeiro modo de onda (modo de onda senoidal com kz = 0) possui a máxima velocidade de grupo,
e já que sua freqüência de corte é zero, podemos ter ondas de propagação livre para qualquer
freqüência do canal especificado através de sua profundidade h, sua largura 2b e aceleração de
gravidade g. Acima, observamos os modos de onda com dependência senoidal na coordenada z.
Para os modos de onda com dependência senoidal na coordenada z, o valor absoluto mínimo do
eigenvalor kzn é maior que o valor absoluto mínimo para eigenvalores kzm, o qual é zero. Portanto,
para qualquer freqüência de onda temos ondas de propagação livre ao longo do canal. Para os
modos de onda de co-seno existe uma freqüência de corte mínimo. A propagação deste tipo de
modo de onda é possível apenas por causa das freqüências acima de sua freqüência de corte
mínima.
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Propagação de Onda Forçada ao Longo de um Guia de Ondas
Estreito
Agora, consideramos as ondas forçadas se propagando ao longo de um canal semi-infinito com a
mesma profundidade h e largura 2b, como o canal na seção anterior. O canal semi-inifinito possui
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um gerador de ondas em uma de suas extremidades, o qual gera perturbações de onda que podem ou
não se propagar ao longo do canal. A solução para as ondas forçadas é dada como uma
sobreposição de modos de onda. Os mesmos modos de onda que obtivemos na seção anterior. Os
modos de onda infinitesimais também fazem parte da solução deste caso. Eles estão localizados
próximo ao gerador de onda e descrevem o campo de onda local. Para uma excitação
monocromática, os modos de onda com freqüência de corte abaixo da freqüência de excitação
constituem o campo de propagação de onda, e os modos de onda com freqüência de corte acima da
freqüência de excitação são infinitesimais e permanecem localizados próximo ao gerador de ondas.
A sua sobreposição proporciona o campo de onda infinitesimal.
Figura 3: Velocidade de grupo como uma função do número de onda k para diversos valores do
eigenvalor kzm e profundidade de água h = 100 metros.
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Figura 4: Velocidade de grupo como uma função do número de onda k para diversos valores do
eigenvalor kzm e profundidade de água h = 0,1 metros.
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3
Problema do Valor Limite Inicial.
Levamos em consideração o mesmo sistema de coordenada da seção anterior. O gerador de ondas
está localizado em x = 0 e o canal situado em x > 0. O problema do valor limite linear para ondas
forçadas é semelhante ao problema do valor limite para os problemas de ondas livres. A diferença é
a condição-limite que descreve o efeito do gerador de ondas e o fato de que o canal agora é semiinfinito. O problema do valor limite linear para ondas forçadas é dado pelo conjunto de equações
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
e o deslocamento da superfície livre η(x, z, t) é relativo à função potencial ø(x, y, z, t), de acordo
com a equação
(3.31)
A função f(t) é uma função de tempo conhecida. Na verdade, escolhemos uma excitação harmônica,
então obtemos
(3.32)
onde ω é a freqüência de excitação. Precisamos também levar em consideração as condições iniciais
do problema do valor limite acima. Elas são dadas pelas equações
(3.33)
(3.34)
onde a condição inicial (3.34) é equivalente a ter uma superfície livre em repouso em t = 0 (η(x, z,
0) = 0). Em seguida, resolvemos o problema do valor limite inicial, o qual será discutido na próxima
seção.
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3.1
Solução do Problema do Valor Limite Inicial.
O primeiro passo para resolver o problema do valor limite inicial dado pelas equações (3.26) a
(3.30) é aplicar a transformação de co-seno na variável x. Isto resulta em uma equação tipo
Helmholtz não-homogênea para a função potencial sob condições-limite homogêneas. Já que a
equação resultante não é homogênea, a solução é dada como uma sobreposição da solução para a
parte homogênea do problema e uma determinada solução que lida com a não-homogeneidade. Para
resolver o problema homogêneo associado, usamos o método de separação de variáveis como na
seção anterior. A solução do problema homogêneo é dada como uma sobreposição de modos nas
variáveis y e z. A solução específica é obtida usando a solução homogênea através do método de
variação dos parâmetros. As constantes da solução homogênea são obtidas por meio de aplicação
das condições-limite na solução completa (soluções homogênea e específica). Em seguida,
detalharemos os passos descritos acima.
Levamos em consideração o par de transformações de co-seno
(3.35)
(3.36)
Se aplicarmos a transformação de co-seno (3.36) ao segundo derivado parcial da função potencial
ø(x, y, z, t) em relação à variável x, obtemos essa
(3.37)
já que supomos que øx → 0 e ø → 0, enquanto x → ∞. O termo øx(0, y, z, t) é especificado pela
condição-limite em x = 0 e dado pela equação (3.30). Em seguida, aplicamos a transformação de coseno ao problema do valor limite inicial dado pelas equações (3.26) a (3.30). Isto resulta no
conjunto de equações
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
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com as condições iniciais dadas pelas equações (3.33) e (3.34) escritas na fórmula
(3.42)
(3.43)
Este é um problema do valor limite inicial não-homogêneo para a função
(transformação de co-seno de ø(x, y, z, t)). Nossa estratégia para resolver este problema de valor
limite inicial é encontrar a forma geral da solução da parte homogênea do problema do valor limite
inicial dada pelas equações (3.38) a (3.41), e uma solução específica para a parte não-homogênea do
problema do valor limite inicial. Para encontrar o valor das constantes da parte homogênea da
solução, aplicamos as condições iniciais e limítrofes à solução completa (homogênea e específica).
Em seguida, levamos em consideração a parte homogênea do problema do valor limite inicial de ,
a qual é dada como sobreposição dos modos de onda obtidas na seção anterior. Então, a solução do
problema homogêneo é semelhante à dada pela equação (1.24). A solução para o problema
homogêneo é
onde Λm2 = k2 + kzm2, Λn2 = k2 + kzn2 e kzn e kzm são dadas respectivamente nas equações (1.16) e
(1.15). Conforme mencionado anteriormente, a solução geral é dada como uma sobreposição da
solução homogênea
esta fórmula
e mais uma solução específica. Supomos que a solução específica possua
Substituímos o potencial
Também submetemos
na equação Helmholtz não-homogênea (3.38) nas variáveis y e z.
(3.44)
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O procedimento acima resulta no conjunto de equações para as amplitudes
e
.
(3.45)
(3.46)
(3.47)
(3.48)
onde
(3.49)
(3.50)
Se resolvermos o conjunto de equações acima e integrá-las em relação à variável y de –h a
0, obteremos as seguintes expressões para as amplitudes
e
, como segue:
(3.51)
(3.52)
(3.53)
(3.54)
onde as funções Gn(y), Hn(y), Gm(y) e Hm(y) são dadas pelas equações
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.58)
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Agora, a solução total
pode ser escrita na fórmula
(3.59)
Na expressão acima, ainda precisamos obter as constantes Am, Bm, Cn e Dn da parte homogênea da
solução. Para tanto, aplicamos as condições-limite (3.39) em y = 0 e (3.40) em y = –h. A condiçãolimite em y = 0 proporciona a equação
(3.60)
Também obtemos uma equação semelhante para Cm. Esta é uma equação diferencial de segunda
ordem não-homogênea, no devido tempo, para a amplitude An. Esta solução é dada como a
sobreposição da solução da parte homogênea da equação e mais uma solução específica, a qual
satisfaz o termo não-homogêneo na equação (3.60). A solução homogênea é dada como
(3.61)
com Ωn2 = gΛn tanh(Λnh). Supomos a solução específica dada na fórmula
(3.62)
Submetemos
(3.63)
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Se substituirmos a fórmula da solução específica, dada pela equação (3.62) dentro da equação
governante (3.61), e levarmos em consideração a fórmula presumida
(3.63), obtemos para as amplitudes
dada pela equação
as expressões
(
(3.64)
(3.65)
onde
(3.66)
Se substituirmos estas expressões para as amplitudes
presumida da solução específica, obtemos
na fórmula
(3.67)
Como resultado, obtemos para An(t) a seguinte expressão
(3.68)
Para a amplitude Cm, obtemos a mesma expressão acima para An(t), porém com um índice m
em vez do índice n. Agora, a função potencial pode ser escrita na fórmula
(3.69)
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que é uma função das constantes desconhecidas
usamos as condições iniciais para
e
. Para obter estas constantes,
dada pelas equações (3.42) e (3.43). Obtemos
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
A fórmula final da função potencial
é dada pela equação
(3.74)
Estamos interessados no deslocamento da superfície livre η(k, z, t), a qual é dada em termos
da função potencial ø(k, y, z, t), de acordo com a equação (3.31). Em seguida, a transformação de
co-seno do deslocamento de superfície livre é dada em termos da transformação de Fourier do
potencial, de acordo com a equação
(3.75)
16
Se aplicarmos esta equação à expressão para
obtemos
dada pela equação (3.74),
(3.76)
3.2
Solução da Integral de Fourier.
Aplicamos aqui a transformação de co-seno inverso à expressão acima para a transformação de coseno do deslocamento de superfície livre. A transformação de co-seno inverso é dada pela equação
(3.36) e a aplicamos à equação (3.76) para obter o deslocamento de superfície livre
(3.77)
As integrantes nas integrais acima possuem aparentemente pólos no plano k complexo para
soluções de números de onda de ω2 – Ωn2 (k) = 0. À medida que Ωn(k) se aproxima de ±ω, temos
esse Ωn(k) sen(ωt) que se aproxima de ω sen(ωt) da mesma forma, então não há singularidade na
integrante e a integral está bem comportada. Para obter o deslocamento da superfície livre
avaliamos numericamente as transformações de co-seno inverso que aparecem na equação (3.77).
Os resultados destas simulações foram usados para gerar animações da evolução do deslocamento
da superfície livre, devido à ação do gerador de ondas sobre o fluido. Essas animações serão
discutidas na próxima seção.
3.3
Resultados Numéricos.
Mostramos aqui os resultados da avaliação numérica das transformações de co-seno inverso que
aparecem na equação (3.77) para o deslocamento da superfície livre. Exibimos a evolução do
deslocamento da superfície livre, no devido tempo, através da avaliação numérica da equação
(3.77). Geramos animações desta evolução devido à ação do gerador de ondas em x = 0. Discutimos
aqui os exemplos e oferecemos links para os filmes associados a estes exemplos.
•
Consideramos que o deslocamento do gerador de ondas coincide como primeiro modo de
onda de co-seno na direção z. A freqüência de excitação está acima da freqüência de corte
para o primeiro modo de onda de co-seno. Com este tipo de excitação, o único modo de
onda que faz parte da solução é o primeiro modo de onda co-seno. Já que o gerador de
ondas funciona a partir do restante do movimento harmônico, ele inicialmente excita todas
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as freqüências de onda e gera um transiente que se propaga ao longo do canal e é seguido
pelo grupo de onda monocromático (o modo de onda de co-seno) com freqüência igual à
freqüência de excitação. O transiente possui uma frente de onda que se propaga com o
máximo de velocidade de grupo possível para este modo de onda de co-seno. Para a
profundidade h = 0,1 metros, a figura 5 ilustra a velocidade de grupo máxima para os
modos de onda de co-seno. A velocidade de grupo máxima possível Cg,max é a velocidade de
. Em seguida, para um
grupo máxima do modo de onda de co-seno com
determinado instante de tempo t, não há perturbação de onda nas posições x > Cg,maxt. O
transiente para um determinado instante t permanece na região Cg,maxt > x > Cg(ω)t, onde Cg
(ω) é a velocidade de grupo do modo de onda de co-seno excitado na freqüência de
excitação ω. Para visualizar a animação associada a este exemplo, clique aqui.
•
Consideramos que o deslocamento do gerador de ondas coincide com o segundo modo de
onda de co-seno na direção z. A freqüência de excitação está abaixo da freqüência de corte
para o segundo modo de onda de co-seno, porém abaixo da freqüência de corte para o
segundo modo de co-seno. Mais uma vez, o gerador de ondas funciona a partir do restante
do movimento harmônico. Todas as freqüências são excitadas inicialmente e desenvolvem
um transiente. O transiente se propaga ao longo do canal, e atrás dele restou apenas o
segundo modo de onda de co-seno, o qual decai exponencialmente, à medida que
avançamos a partir do gerador de ondas, já que nesta freqüência de excitação o modo de
onda de co-seno é infinitesimal. Igualmente, o transiente possui uma frente de onda que se
propaga com a velocidade de grupo máxima possível para o segundo modo de onda de coseno. Para visualizar a animação associada a este exemplo, clique aqui.
•
Consideramos que o deslocamento do gerador de ondas coincide como primeiro modo de
onda de co-seno na direção z. A freqüência de excitação está exatamente na freqüência de
corte. Novamente, o gerador de ondas funciona a partir do restante do movimento
harmônico e inicialmente todas as freqüências de onda são excitadas, desenvolvendo um
transiente que se propaga ao longo do canal. Ele possui uma frente de onda que se propaga
com a velocidade de grupo máxima possível Cg,max para o restante do modo de onda de coseno. Atrás do transiente, nos resta o primeiro modo de onda de co-seno, já que ele é o
único modo de onda excitado pelo gerador de ondas. A velocidade de grupo deste modo de
onda em sua freqüência de corte é zero, portanto não há propagação de energia ao longo do
canal depois que a parte do transiente da solução já estiver longe do gerador de ondas. Já
que a energia não pode ser emitida a partir do gerador de ondas, visualizamos a amplitude
da onda crescer com o tempo próximo ao gerador de ondas. Neste caso, o modo de onda de
co-seno ressoa com o gerador de ondas. Para visualizar a animação associada a este
exemplo, clique aqui.
•
Agora, o gerador de ondas é uma função linear na direção z (F(z) = z). Mostramos a
evolução da perturbação devido à ação do gerador de ondas. Consideramos todos os modos
que fazem parte da solução. Na verdade, consideramos apenas um número finito de modos
de onda de seno e co-seno. À medida que o número de onda kzm ou kzn associado aos modos
de onda aumenta, sua amplitude diminui. Portanto, somente um número finito de modos de
onda é significativo. Mais uma vez, o gerador de ondas funciona a partir do restante do
movimento harmônico. Inicialmente, possuímos um transiente que se propaga ao longo do
canal. Ele possui uma frente de onda que se propaga com a velocidade de grupo máxima
possível, que é a velocidade de grupo máxima para o primeiro modo de onda de co-seno.
Antecedendo a frente de onda (x > Cg,maxt para um determinado instante t, onde Cg,max é a
velocidade de grupo máxima para o primeiro modo de onda de co-seno), não temos
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nenhuma perturbação de ondas. Para um dado instante t, o transiente permanece na região
Cg,maxt > x > Cg(ω)t, onde Cg(ω) é a velocidade de grupo do primeiro modo de onda de coseno em freqüência de excitação ω. Por trás desta região, temos uma solução de estado
estacionário. Para visualizar a animação associada a este exemplo, clique aqui.
Figura 5: Velocidade de grupo como uma função do número de onda k para diversos valores do
eigenvalor kzn e profundidade de água h = 0,1 metros. A velocidade de grupo máxima para o
primeiro modo de onda de co-seno (Cg,max) é indicado na figura. A velocidade de grupo máxima
para o segundo modo de onda de co-seno também é indicada.