Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Numérico

Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática
Prof: Lauro Cesar Galvão
Cálculo Numérico
Entrega: junto com a 1a parcial
DATA DE ENTREGA: dia da 1a PROVA (em sala de aula)
Atividades Práticas Supervisionadas (APS)
(EXERCÍCIOS: 10% da 1a parcial)
Conteúdo: Noções básicas sobre Erros, Zeros reais de funções reais, Resolução de
sistemas de equações lineares e Interpolação.
Imprimir esta lista FRENTE/VERSO.
Entregar os exercícios com preenchimento manual.
Escrever de forma clara e objetiva.
De preferencia, utilizar lapis ou lapiseira.
Aluno: .....
PROFESSOR..... Número: ..XX.. Turma: ..XX..
Curitiba – PARANÁ
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
2
1 Exercícios da apostila
Nos exercícios a seguir, determinar o valor de x :
Exercício 1
10112  x10 .
1 0 1 1 
10112  0,1011 2 4    2  3  4   2 4  23 2111
2 2 2 2 
 10112  1110  x 11.
Resolução:
Exercício 2
11,012  x10 .
Resolução:
1
1 1 0 1 
11,012  0,1101 22    2  3  4   22 21 2 3,25
2
2 2 2 2 
 11,012  3,2510  x 3,25.
Exercício 3
403,125  x10 .
4 0 3 1 2 
403,125  0,40312 53    2  3  4  5   53
5 5 5 5 5 
1 2
4 5 2 03  2 10030,20,08103,28
5 5
Resolução:
 403,125  103,2810  x 103,28.
Exercício 4
0,187510  x2 .
Resolução:
0,1875
0,375
0,75
0,5
2
2
2
2
0,3750
0,750
1,50
1,0
 0,187510  0,00112.
Exercício 5
0,610  x2 .
Resolução:
0,6
0,2
0,4
0,8
0,6
2
2
2
2
2
1,2
0,4
0,8
1,6
1,2


 0,610  0,100110012.
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1a APS: Exercícios
Exercício 6
13,2510  x2 .
Cálculo Numérico
3
Resolução:
 a) 1310  ? N 13 e 2  N 
13
2
1
6
2
0
3
2
1
1
 1310  11012.
 b) 0,2510  ?
0,25
0,5
2
2
0,50
 0,2510  0,012.
1,0
Logo: 13,2510  1310  0,2510  11012  0,012  1101,012.
100101,10012  x10 .
Exercício 7
Resolução: 100101,10012  0,1001011001 26
1 
1 0 0 1 0 1 1 0 0
   2  3  4  5  6  7  8  9  10   26
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
 25  2 2 1
1 1
 32410,50,062537,5625
2 24
 100101,10012  37,562510  x 37,5625.
19,3867187510  x4 .
Exercício 8
Resolução:
 a) 1910  ? N 19 e 4  N 
19
4
3
4
4
0
 1910  1034.
1
 b) 0,3867187510  ?
0,38671875
0,546875
0,1875
0,75
4
4
4
4
1,54687500
2,187500
0,7500
3,00
 0,3867187510  0,12034.
 Logo: 19,3867187510  1910  0,3867187510  1034  0,12034  103,12034.
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1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Exercício 9
Transforme a medida 35 h 48 min 18 seg para minutos.
4
DICA: 35:48,1860  x10 min .
18
 35 48 18 
35:48,1860  0,35:48:18 60 2    2  3   60 2  3560  48 
60
 60 60 60 
 2100  48  0,3  2148,3
 35:48,1860  2148,310.
 35 h 48 min 18 seg = 2148,3 min .
Resolução:
Exercício 10
Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos.
DICA: 35,80510  x60 .
Resolução:
 a) 3510  ? N 35 e 60  N 
 3510  3560.
 b) 0, 80510  ?
0,805
0,3
60
60
48,300
 0, 80510  0,48:1860.
18,0
 Logo: 35,80510  3510  0, 80510  3560  0,48:1860  35,48:1860.
 35,805 h  35 h 48 min 18 seg .
Exercício 11
11000112  x10 .
1 1 0 0 0 1 1 
11000112 0, 1100011 27    2  3  4  5  6  7   27
2 2 2 2 2 2 2 
6
5
 2  2 21  99
 11000112  9910  x 99.
Resolução:
Exercício 12
11111112  x10 .
1 1 1 1 1 1 1 
11111112 0, 1111111 27    2  3  4  5  6  7   27
2 2 2 2 2 2 2 
 26  25  2 4  23  2 2 21  127
 11111112  12710  x 127.
Resolução:
Exercício 13
10101012  x10 .
1 0 1 0 1 0 1 
10101012 0, 1010101 27    2  3  4  5  6  7   27
2 2 2 2 2 2 2 
 26  2 4  2 2 1  85
 10101012  8510  x 85.
Resolução:
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1a APS: Exercícios
Exercício 14
101,00112  x10 .
Cálculo Numérico
5
1 0 1 0 0 1 1 
101,00112  0, 1010011 23    2  3  4  5  6  7   23
2 2 2 2 2 2 2 
1 1
 2 2 1 3  4  5  0,125  0,0625  5  0,1875  5,1875
2 2
Resolução:
 101,00112  5,187510  x 5,1875.
0,01111112  x10 .
Exercício 15
1 1 1 1 1 1 
0,01111112  0, 111111 21    2  3  4  5  6   21
2 2 2 2 2 2 
1 1 1 1 1 1
 2 3 4 5 6 7
2 2 2 2 2 2
 0,25  0,125  0,0625  0,03125  0,015625  0,0078125  0,4921875
Resolução:
 0,01111112  0,492187510  x 0,4921875.
1,0100112  x10 .
Exercício 16
1 0 1 0 0 1 1 
1,0100112  0, 10100112   2  3  4  5  6  7  2
2 2 2 2 2 2 2 
1 1 1
1 2  5  6  1  0,25  0,03125  0,015625  1,296875
2 2 2
Resolução:
 1,0100112  1,29687510  x 1,296875.
Nos exercícios seguintes, converter os números para a base binária, determinando o
valor da variável x :
Exercício 17
3710  x2 .
Resolução:
N 37 e 2  N 
37
2
1
18
2
0
9
2
1
4
2
0
2
2
0
1
 3710  1001012
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1a APS: Exercícios
Exercício 18
234510  x2 .
6
Cálculo Numérico
N 2345 e 2  N 
Resolução:
2345
2
1
1172
2
0
586
2
0
293
1
2
146 2
0
73 2
1 36 2
0 18 2
0
9 2
1 4 2
0 2 2
0 1  234510  1001001010012
Exercício 19
Determine x com 36 dígitos: 0,121710  x2 .
Resolução:
0,1217
0,2434
0,4868
0,9736
0,9472
0,8944
0,7888
0,5776
0,1552









0,2434
0,4868
0,9736
1,9472
1,8944
1,7888
1,5776
1,1552
0,3104
0,3104
0,6208
0,2416
0,4832
0,9664
0,9328
0,8656
0,7312
0,4624









0,6208
1,2416
0,4832
0,9664
1,9328
1,8656
1,7312
1,4624
0,9248
0,9248
0,8496
0,6992
0,3984
0,7968
0,5936
0,1872
0,3744
0,7488









1,8496
1,6992
1,3984
0,7968
1,5936
1,1872
0,3744
0,7488
1,4976
0,4976
0,9952
0,9904
0,9808
0,9616
0,9232
0,8464
0,6928
0,3856









0,9952
1,9904
1,9808
1,9616
1,9232
1,8464
1,6928
1,3856
0,7712
 0,121710  0,0001111100100111101110110010111111102.
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1a APS: Exercícios
Exercício 20
Determine x com 8 dígitos: 2,4710  x2 .
Resolução:
7
Cálculo Numérico
 a) 210  ? N 2 e 2  N 
2
2
0
1
 210  102.
 b) 0, 4710  ?
0,47
0,94
0,88
0,76
0,52
0,04
0,08
0,16
0,32









0,94
1,88
1,76
1,52
1,04
0,08
0,16
0,32
0,64
 0, 4710  0,011110002.
Logo: 2,4710  210  0, 4710  102  0,011110002  10, 011110002.
Utilizando o método da bissecção, determinar um valor aproximado para 5 ,
com erro inferior a 102 .
Resolução: Determinar 5 é equivalente a obter o zero positivo da função f (x) = x 2 5.
Exercício 21
Sabe-se que o intervalo [2,3] contém este zero e a tolerância neste caso é  = 10 2 . Assim,
a quantidade mínima de iterações para se obter a resposta com a precisão exigida é:
log(3  2)  log102
log( b  a)  log 
log 1  2 log 10
0  2 1
 n
 n
 n

n
log2
log 2
log 2
log 2
 n  6,643856. Como n deve ser intero, tem-se n 7.
n
a
x
f (a )
f (x)
b
1
2,0
2,5
3,0


2
2,0
2,25
2,5


3
2,0
2,125
2,25


4
2,125
2,1875
2,25


5
2,1875
2,21875
2,25


6
2,21875 2,234375
2,25


7
2,234375 2,2421875
2,25


Portanto
f (b )







( b  a )/2
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,03125
0,015625
0,0078125
5 2,24218750,0078125
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8
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Exercício 22
Um tanque de comprimento L tem uma secção transversal no formato de um
semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do topo, o
ℎ
volume V da água é: 𝑉 = 𝐿 ∙ [0,5 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 2 arcsen (𝑟 ) − ℎ√(𝑟 2 − ℎ2 )]. Supondo que L10 ft,
r1 ft e V12,4 ft3, encontre a profundidade da água no tanque com precisão de 0,01 ft.
r
h

h
Resolução: Para calcular a profundidade rh da água, substitui-se os valores de r, L e V na
expressão anterior para obter a equação arcsen(ℎ) + ℎ√1 − ℎ2 + 1,24 − 0,5𝜋 = 0 cuja
raiz é h. Assim, deve-se calcular o zero da função 𝑓(ℎ) = arcsen(ℎ) + ℎ√1 − ℎ2 +
1,24 − 0,5𝜋, com precisão de 𝜀 = 10−2. Para isto, primeiramente isola-se o zero desta
função num intervalo da seguinte forma.
Pode-se construir uma tabela de valores para 𝑓(ℎ) e analisar os sinais:
h
0
1
1
𝑓(ℎ)



Como f (0)  f (1)  0 , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de 𝑓(ℎ)
no intervalo [0,1].
Agora determina-se o número de iterações necessárias para se obter a precisão exigida:
n
log1  log102
log( b  a)  log 
n


 n 6,643856
log2
log 2
Logo são necessárias n = 7 iterações.
n
a
f (a)
f (h)
h
b
1
0
0,5
1


2
0
0,25
0,5


3
0
0,125
0,25


4
0,125
0,1875
0,25


5
0,125
0,15625
0,1875


6
0,15625 0,171875
0,1875


7
0,15625 0,1640625 0,171875


Assim, h 0,16406250,0078125 e a profundidade r  h
aproximadamente 1(0,1640625) ft .
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f (b)
(ba)/2
0,5

0,25

0,125

0,0625

0,03125

0,015625

0,0078125

da água solicitada é
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1a APS: Exercícios
9
Cálculo Numérico
6
Encontrar o zero de f (x)  e  x  4 com precisão   10 , utilizando o
método do ponto fixo.
Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:
x
3
2
1
f (x)



Como f (3)  f (2)  0 , conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de
f (x) no intervalo [3,2].
Procurando uma função de ponto fixo adequada pode-se fazer:
x
Exercício 23
2
e x  x 2  4 0  x 2  e x  4  x   e x  4  ( x)   e x  4
Procura-se agora, o extremo do intervalo I=[3,2] mais próximo do zero  de 𝑓(𝑥): Para
(3  (2))
isto, calcula-se o ponto médio do intervalo I=[3,2]: x̂ 
 2,5 e (xˆ ) 
2
( 2,5)   e 2,5  4  2,02042. Como x̂ < (xˆ ) , isto é x̂ 2,5 < (xˆ )  (2,5) 
2,02042, então  está entre x̂ 2,5 e 2, ou seja, 2 é o extremo de I mais próximo de
. Desta forma, iniciando o processo recursivo pelo ponto x0  2, garante-se que todos
os termos da seqüência aproximadora pertencerão ao intervalo I =[3,2].
Logo, utilizando ( x)   e x  4
convergente para o zero  de f (x) .
n
xn
0
1
2
3
4
2
2,0335524
2,0324541
2,0324895
2,0324884
a partir de
x0  2, gera-se uma seqüência
xn1
xn1  xn
2,0335524
2,0324541
2,0324895
2,0324884
2,0324884
0,0335524 > 10-6
0,0010983 > 10-6
0,0000354 > 10-6
0,0000011 > 10-6
0 < 10-6
Portanto, x = 2,0324884.
Encontrar a solução para a equação x = cos x com precisão   10 6 utilizando
o método de Newton-Raphson.
Resolução: x  cos x  cos x  x  0  f ( x)  cos x  x
Exercício 24
𝜋
Tome 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑥 e considere que o zero da função está no intervalo fechado [0, 2 ].
cos(𝑥 )−𝑥𝑛
𝑛 )−1
𝑛
A fórmula recursiva de Newton para este caso fica: 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − − sen(𝑥
para 𝑛 ≥ 0.

4
ou x̂ 0,785398163398 e  x̂  0,739536133515. Pela observação 5 concluímos que
𝑥0 = 0, pois  x̂  < x̂ .
n
xn1
xn
xn1  xn
Agora deve-se escolher 𝑥0 convenientemente: Pode-se verificar que o ponto médio x̂ 
0
1
2
3
4
0
1
0,750363868
0,7391128909
0,7390851333
1
0,750363868
0,7391128909
0,7390851333
0, 7390851332
1 > 10-6
0,249636132 > 10-6
0,011250978 > 10-6
0,000027757 > 10-6
0,0000000001 <10-6
Portanto, x = 0,739085133.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
10
Cálculo Numérico
Comparação entre os métodos
Nos exercícios seguintes, considerando cada método especificado, determine uma
aproximação para o zero da função.
Pelo método da Bissecção, determine uma aproximação para x (1,2) da
2
função 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 − cos 𝑥 com aproximação 1  10 4 tal que ( b  a )/2 1 .
Resolução:
n
a
x
b
f (a ) f ( x ) f (b )
( b  a )/2
Exercício 25
1
1
1,5
2
-
+
+
0,5
2
1
1,25
1,5
-
-
+
0,25
3
1,25
1,375
1,5
-
-
+
0,125
4
1,375
1,4375
1,5
-
-
+
0,0625
5
1,4375
1,46875
1,5
-
+
+
0,03125
6
1,4375
1,453125
1,46875
-
+
+
0,015625
7
1,4375
1,4453125
1,453125
-
-
+
0,0078125
8
1,4453125
1,44921875
1,453125
-
+
+
0,00390625
9
1,4453125
1,447265625
1,44921875
-
-
+
0,001953125
10
1,447265625
1,448242188
1,44921875
-
+
+
0,000976563
11
1,447265625
1,447753906 1,448242188
-
+
+
0,000488281
12
1,447265625
1,447509766 1,447753906
-
+
+
0,000244141
13
1,447265625
1,447387695 1,447509766
-
-
+
0,00012207
-
+
+
6,10352E-05
14
1,447387695 1,44744873
Logo, x 1,44744873
1,447509766
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LAURO
11
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Exercício 26
Pelo método do Ponto Fixo ou Aproximações Sucessivas, determine uma
2
aproximação para 𝑥̅ (1,2) da função 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 − cos 𝑥 com aproximação 𝜀1 = 𝜀1 = 10−4
tal que |𝑓(𝑥𝑛 )| < 𝜀1 ou |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 | < 𝜀2 . Utilize 𝑥0 1,5.
Resolução:
f ( x ) e  x  cos x
2
f ( x )0  e  x  cos x  x  x 0
2
1( x ) cos x  e  x  x  1 ' ( x )1 em (1,2)
2
2( x ) cos x  e  x  x   2 ' ( x )1 em (1,2)
2
2
 𝜙(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝑥
n
xn
0
1,5
1
xn1
 𝑥𝑛+1 = 𝜙(𝑥𝑛 )
| xn1  xn |
| f ( xn1 )|
1,465337977 0,034662023
0,01154599
1,465337977
1,453791987
0,004075472
2
1,453791987
1,449716515 0,004075472 0,001466938
3
1,449716515
1,448249577 0,001466938 0,000531683
4
1,448249577
1,447717894 0,000531683 0,000193187
5
0,01154599
Parada
1,447717894 1,447524708 0,000193187 7,02578E-05 |𝑓(𝑥𝑛 )| < 𝜀1
Logo, x 1,447524708.
Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para 𝑥̅ (1,2)
2
da função 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 − cos 𝑥 com aproximação 1   2  10 4 tal que | f ( xn1 )| 1 ou
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 | < 𝜀2 . Utilize 𝑥0 1,5.
Resolução:
Exercício 27
f ( x ) e  x  cos x  f ' ( x )2 x e  x  senx
2
2
e  x  cosx
f ( x)
( x ) x 
 ( x ) x 
 xn1 ( xn )
2
f ' ( x)
 2 xe x  senx
2
n
xn
xn1
| xn1  xn |
| f ( xn1 )|
0
1,5
1,4491235
0,0508765
0,001088623
1
1,4491235
1,447416347 0,001707153 1,32044E-06
Parada
|𝑓(𝑥𝑛+1 )| < 𝜀1
Logo, x 1,447416347.
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LAURO
12
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Exercício 28
Resolver o sistema S 4 com arredondamento em duas casas decimais na matriz
aumentada, utilizando eliminação de Gauss.
 8,7 x1  3,0 x 2
24,5x  8,8x

1
2
S4  A  x  b  
52,3x1  84,0 x 2
21,0 x1  81,0 x 2
Resolução:
Linha
Multiplicador
 9,3x3
 11,5x3
 23,5x3
 13,2 x3
11,0 x 4
45,1x 4
11,4 x 4
21,5x 4
m
 16,4
  49,7
  80,8
  106,3
Matriz Aumentada
B0 
(1)




8,70
3,00
9,30
11,00
16,40
(2)
(0)
= -(
m21
24,50
)/(
8,70
)
24,50
-8,80
11,50
-45,10
-49,70
(3)
(0)
= -(
m31
52,30
)/(
8,70
)
52,30
-84,00
-23,50
11,40
-80,80
(4)
(0)
= -(
m41
21,00
)/(
8,70
)
21,00
-81,00
-13,20
21,50
-106,30
0,00
-17,25
-14,69
-76,08
-95,88
B1 
(2)
(3)
(1)
= -(
m32
-102,03
)/( -17,25 )
0,00
-102,03
-79,41
-54,73
-179,39
(4)
(1)
= -(
m42
-88,24
)/( -17,25 )
0,00
-88,24
-35,65
-5,05
-145,89
0,00
0,00
7,48
395,27
387,72
0,00
0,00
39,49
384,13
344,57
0,00
0,00
0,00
-1702,66
-1702,36
B2 
(3)
(4)
(4)
(2)
= -(
m43
39,49
)/(
7,48
)
B3 
Então A  x  b  U  x  c  [ A  b ]  [ U  c ].
8,7 x1  3,0 x2  9,3x3
 0
 17,25x2  14,69x3
U  x  c  
0
 7,48x3
 0
 0
0
0

11,0 x4
 76,08x4
 395,27x4
 1702,66x4

16,4
  95,88
 387,72
  1702,36
Logo: x  1,01 2,01  1,01 1,00 .
T
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
13
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Exercício 29
Resolva S 4 com arredondamento em duas casas decimais na matriz
aumentada, utilizando eliminação de Gauss com pivoteamento completo.
 8,7 x1  3,0 x 2
24,5x  8,8x

1
2
S4  A  x  b  
52,3x1  84,0 x 2
21,0 x1  81,0 x 2
Resolução:
Linha
Multiplicador
 9,3x3
 11,5x3
 23,5x3
 13,2 x3




11,0 x 4
45,1x 4
11,4 x 4
21,5x 4
m
 16,4
  49,7
.
  80,8
  106,3
Matriz Aumentada
(1)
(0)
= -(
m12
3,00
)/( -84,00 )
8,70
3,00
9,30
11,00
16,40
(2)
(0)
= -(
m22
-8,80
)/( -84,00 )
24,50
-8,80
11,50
-45,10
-49,70
52,30
-84,00
-23,50
11,40
-80,80
B0 
(3)
(4)
(0)
= -(
m42
-81,00 )/( -84,00 )
21,00
-81,00
-13,20
21,50
-106,30
(1)
(1)
= -(
m14
11,41
10,57
0,00
8,46
11,41
13,51
19,02
0,00
13,96
-46,29
-41,24
)/( -46,29 )
B1 
(2)
(4)
(1)
= -(
m44
10,51
)/( -46,29 )
-29,43
0,00
9,46
10,51
-28,39
(1)
(2)
= -(
m11
15,26
)/( -25,11 )
15,26
0,00
11,90
0,00
3,34
(4)
B2 
-25,11
0,00
12,63
0,00
-37,75
(1)
B3 
0,00
0,00
19,58
0,00
-19,60
Então A  x  b  U  x  c  [ A  b ]  [ U  c ].
B0
B
U  xc  1
B2
B3
 52,3x1
 19,02x

1

 25,11x1
 0
 84,0 x2

0

0

0
 23,5x3
 13,96x3
 12,63x3
 19,58x3
 11,4 x4
 46,29x4

0

0
  80,8
  41,24
  37,75
  19,60
Com o cálculo retroativo de B3 para B0 , obtém-se: x  1,00 2,00  1,00 1,00 .
T
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Exercício 30
Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:
14
3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1
{ 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10
4𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5
Resolução:
3 2 4
−1
A = (1 1 2) e 𝑏 = ( 10 )
4 3 2
5
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores:
(0)
𝑚21 =
(0)
𝑎21
(0)
𝑎11
1
(0)
= 3 e 𝑚31 =
(0)
𝑎31
(0)
𝑎11
4
=3
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
3
2
4
𝐿1 → 𝐿1
(1)
2/3 ) 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
𝐴 = (0 1/3
0 1/3 −10/3 𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
2ª coluna
Multiplicador:
(1)
𝑚32 =
(1)
𝑎32
(1)
𝑎22
=1
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
3
2
4 𝐿1 → 𝐿1
(2)
A = (0 1/3 2/3) 𝐿2 → 𝐿2
0
0
−4 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
1
0 0
3
2
4
𝐿 = (1/3 1 0) e 𝑈 = (0 1/3 2/3)
4/3 1 1
0
0
−4
Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:
𝑦1 = −1
𝑦1
𝐿𝑦 = 𝑏 → { 3 + 𝑦2 = 10
4𝑦1
3
+ 𝑦2 + 𝑦3 = 5
3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1
𝑈𝑥 = 𝑦 → {
Exercício 31
𝑥2
2𝑥
−1
𝑦 = (31/3)
−4
31
+ 33 = 3
−4𝑥3 = −4
3
−21
𝑥 = ( 29 )
1
Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:
3𝑥 − 0,1𝑦 − 0,2𝑧 = −1,2
{ 0,1𝑥 + 7𝑦 − 0,3𝑧 = 7,8
0,3𝑥 − 0,2𝑦 + 10𝑧 = 3,5
Resolução:
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
3 −0,1 −0,2
−1,2
7
−0,3) e 𝑏 = ( 7,8 )
A = (0,1
0,3 −0,2 10
3,5
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores:
(0)
𝑚21 =
Cálculo Numérico
15
(0)
𝑎21
𝑎31
𝑎11
𝑎11
𝑚31 =
(0) = 0,0333 e
(0)
= 0,1
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
𝐿1 → 𝐿1
3 −0,1
−0,2
A(1) = (0 7,0033 −0,2933) 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
0 −0,19
10,02
2ª coluna
Multiplicador:
(1)
𝑚32 =
𝑎32
(1)
𝑎22
= −0,0271
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
𝐿1 → 𝐿1
3 −0,1
−0,2
(2)
A = (0 7,0033 −0,2933) 𝐿2 → 𝐿2
0
0
10,0120 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
1
0
0
3 −0,1
1
0) e 𝑈 = (0 7,0033
𝐿 = (0,0333
0,1
−0,0271 1
0
0
Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:
𝑦1 = −1,2
0,0333𝑦
𝐿𝑦 = 𝑏 → {
1 + 𝑦2 = 7,8
0,1𝑦1 − 0,0271𝑦2 + 𝑦3 = 3,5
−0,2
−0,2933)
10,0120
−1,2
𝑦 = ( 7,84 )
3,8327
3𝑥1 − 0,1𝑥2 − 0,2𝑥3 = −1,2
𝑈𝑥 = 𝑦 → {7,0033𝑥2 − 0,2933𝑥3 = 7,84
10,0120𝑥3 = 3,8327
−0,3366
𝑥 = ( 1,1355 )
0,3828
Exercício 32
Considere a matriz.
1 1
A = (2 1
3 2
1
−1)
5
a) Calcule a fatoração LU de A.
b) Usando a fatoração LU, calcule o determinante de A.
Resolução:
a) Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores:
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
𝑚21 =
(0)
𝑎21
(0)
𝑎11
= 2 e 𝑚31 =
Cálculo Numérico
(0)
𝑎31
(0)
𝑎11
16
=3
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
1 1
1 𝐿1 → 𝐿1
(1)
A = (0 −1 −3) 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
0 −1 2 𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
2ª coluna
Multiplicador:
(1)
𝑚32 =
𝑎32
(1)
𝑎22
=1
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
1 1
1 𝐿1 → 𝐿1
(2)
A = (0 −1 −3) 𝐿2 → 𝐿2
0 0
5 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
1 0 0
1
𝐿 = (2 1 0) e 𝑈 = (0
3 1 1
0
1
1
−1 −3)
0
5
b) Sabe-se que A = LU então:
det(A) = det(𝐿𝑈)
det(A) = det(𝐿) ∗ det(𝑈)
det(A) = (1 ∙ 1 ∙ 1) ∗ (1 ∙ (−1) ∙ 5)
det(𝐴) = −5
Exercício 33
Aplicando-se o método da decomposição LU a matriz:
?
A = (4
?
0
3 ?
?
−1 10 8 )
−3 12 11
−2 −5 10
Obtiveram-se as matrizes:
? −1 ? 5
? 0 ? ?
𝐿 = (2 ? ? ? ) e 𝑈 = ( ? 1 ? −2 )
? 0 3 −4
3 0 ? 0
0 ?
0 ? 1 ?
0 10
Preencha os espaços pontilhados com valores adequados.
Resolução:
Iniciamos completando a matriz L com os elementos da diagonal principal, que são igual
a 1, e com os elementos acima da diagonal principal, que são nulos.
1 0 0 0
𝐿 = (2 1 0 0)
3 0 1 0
0 ? 1 1
Também podemos completar alguns elementos da matriz U, abaixo da diagonal principal,
que são nulos.
? −1 ? 5
𝑈 = (0 1 ? −2 )
0 0 3 −4
0 0 0 10
(0)
Com o multiplicador 𝑚21 =
𝑎21
(0)
𝑎11
, podemos calcular os elementos 𝑎11 :
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
𝑚21 =
2=
17
(0)
𝑎21
(0)
𝑎11
4
(0)
𝑎11
(0)
𝑎11 = 2
Comparando a primeira linha das matrizes A e U, completamos a primeira linha dessas
matrizes:
3 5
2 −1
4
−1
10
8)
A=(
? −3 12 11
0 −2 −5 10
2 −1 3 5
𝑈 = (0 1 ? −2)
0 0 3 −4
0 0 0 10
(0)
Com o multiplicador 𝑚31 =
𝑎31
(0)
𝑎11
, podemos calcular os elementos 𝑎31 :
(0)
𝑚31 =
𝑎31
(0)
𝑎11
(0)
𝑎31
3=
2
(0)
𝑎31 = 6
Assim, temos:
3 5
2 −1
A = (4 −1 10 8 )
6 −3 12 11
0 −2 −5 10
(1)
Com os dados obtidos da matriz A podemos calcular o elemento 𝑎23 :
(1)
(0)
(0)
𝑎23 = 𝑎23 − 𝑚21 ∗ 𝑎13
(1)
𝑎23 = 10 − 2 ∗ 3
(1)
𝑎23 = 4
Assim, temos:
2 −1 3 5
𝑈 = (0 1 4 −2)
0 0 3 −4
0 0 0 10
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
2 −1 3 5
4 −2 )
A(1) = (0 1
0 0
3 −4
0 −2 −5 10
Com os dados dessa matriz podemos calcular o multiplicador 𝑚42 :
(1)
𝑎42
𝑚42 = (1) = −2
𝑎22
Assim, temos:
1
0
2
1
𝐿=(
3
0
0 −2
0
0
1
1
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
0
0)
0
1
LAURO
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Resolva o
e 𝜀 = 10 = 0,01.
10x1 

A x  b   x1 
 2x 
 1
Resolução:
Exercício 34
18
sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Jacobi, com 𝑥 0 = 0
−2
2 x2
5 x2
3 x2
 x3  7
 x3   8  x  F  x  d
 10x3  6
2
1

7 

 
 0
 10 
10
10
 1
 8

1
0
  e d   
F  
5
 5
 5
2
3

6 


0
 10
 10 

10
Neste caso a fórmula de recorrência fica:
 ( k 1)
 x1

 ( k 1)
( k 1)
(k )
x
 F  x  d   x2

 ( k 1)
 x3

7  (2 x2( k )  x3( k ) )

10
 8  ( x1( k )  x3( k ) )

5
6  ( 2 x1( k )  3x2( k ) )

10
k
x1(k )
x2(k )
x3(k )
max xi( k )  xi( k 1)
0
0
0
0
-
1
0,7
-1,6
0,6
1,6
2
0,96
-1,86
0,94
0,34
3
0,978
-1,98
0,966
0,12
4
0,9994
-1,9888
0,9984
0,0324
5
0,99792
-1,99956
0,99676
0,01076
6
1,000236
-1,998936
1,000284
0,003524
Com x
(0 )
1i3
 0 0 0 e 0,01, o processo convergiu com 6 iterações para:
T
x  1,000236 1,998936 1,000284 .
T
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Exercício 35
Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, com 𝜀 = 0,01.
10x1  2 x2  x3  7

A x  b   x1  5x2  x3   8
 2 x  3x  10x  6
2
3
 1
19
Resolução:
 ( k 1)
7  (2 x2( k )  x3( k ) )
x

 1
10

 8  ( x1( k 1)  x3( k ) )
 ( k 1)

 x2
5

( k 1)
6  (2 x1
 3x2( k 1) )
 ( k 1)
x

 3
10

k
x1(k )
x2(k )
x3(k )
max xi( k )  xi( k 1)
0
0
0
0
-
1
0,7
-1,74
0,982
1,74
2
0,9498
-1,98636
1,005948
0,2498
3
0,9966772
-2,00052504
1,000822072
0,0468772
4
1,000022801
-2,000168975
1,000046132
0,003345601
1i3
x  1,000023  2,000169 1,000046 .
T
Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, com 𝜀 = 0,05.
5x1  x2  x3  5

A x  b  3x1  4 x2  x3  6
3x  3x  6 x  0
2
3
 1
Resolução:
 ( k 1)
5  ( x2( k )  x3( k ) )

 x1
5

( k 1)
6  (3x1
 x3( k ) )
 ( k 1)

 x2
4

( k 1)
 3x2( k 1) )
 x ( k 1)   (3x1
 3
6

Exercício 36
k
x1(k )
x2(k )
x3(k )
max xi( k )  xi( k 1)
0
0
0
0
-
1
1
0,75
-0,875
1
2
1,025
0,95
-0,9875
0,2
3
1,0075
0,99125
-0,999375
0,04125
1i3
x  1,007500 0,991250  0,999375 .
T
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
20
Cálculo Numérico
2 Exercícios diversos
Exercício 37
Seja a equação f (x)  x  x ln(x) 0.
a) Isole o zero desta função em um intervalo [ a, b ] de extremos inteiros
consecutivos (garanta que o zero está realmente isolado no referido intervalo);
x
f (x)
1

2

3

4

f (x)  x  x ln(x)  f ' ( x )   ln x . Como f ' ( x ) preserva o sinal no
intervalo [2, 3], isto é f ' ( x )  0, x  [2 ,3], tem-se que o zero  está realmente
isolado no referido intervalo ( f (x) é estritamente decrescente em [2, 3]).
O zero procurado está isolado no intervalo [ 2 , 3 ]
b) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método da Bissecção e
a tolerância de  10 4 .
( b  a )/2
n
a
x
b
1
2
2,5
3
+
+
-
0,5
2
2,5
2,75
3
+
-
-
0,25
3
2,5
2,625
2,75
+
+
-
0,125
4
2,625
2,6875
2,75
+
+
-
0,0625
5
2,6875
2,71875
2,75
+
-
-
0,03125
6
2,6875
2,703125
2,71875
+
+
-
0,015625
7
2,703125
2,7109375
2,71875
+
+
-
0,0078125
8
2,7109375
2,71484375
2,71875
+
+
-
0,00390625
9
2,71484375
2,716796875
2,71875
+
+
-
0,001953125
10
2,716796875
2,717773438
2,71875
+
+
-
0,000976563
11
2,717773438
2,718261719
2,71875
+
+
-
0,000488281
12
2,718261719
2,718505859
2,71875
+
-
-
0,000244141
13
2,718261719
2,718383789 2,718505859
+
-
-
0,00012207
14
2,718261719
2,718322754 2,718383789
+
-
-
6,10352E-05
f (a ) f ( x ) f (b )
x  2,718322754
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
21
c) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método de Newton-Raphson
e a tolerância para xn 1  xn de   10 4 .
A fórmula de recorrência é xn1  ( xn ) 
xn
ln xn
xn1  ( xn ) 
xn
ln xn
xn 1  xn
n
xn
0
2,5
2,72839167
0,22839167
1
2,72839167
2,718300513
0,010091157
2
2,718300513
2,718281829
1,86844E-05
3
x  2,718281829
Seja a equação f (x)  e x  4x 2 , e seu zero isolado no intervalo [0,1].
Exercício 38
a) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método do Ponto Fixo,
x
1
com  ( x ) e 2 x0  0,5 e a tolerância para xn 1  xn de  10 4 .
2
x
1
xn1  ( xn )  e 2
2
xn 1  xn
n
xn
0
0,5
0,642012708
0,142012708
1
0,642012708
0,68925717
0,047244462
2
0,68925717
0,705732791
0,016475621
3
0,705732791
0,711570497
0,005837705
4
0,711570497
0,7136505
0,002080003
5
0,7136505
0,714393084
0,000742584
6
0,714393084
0,714658381
0,000265298
7
0,714658381
0,714753186
9,48049E-05
8
x  0,714753186
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
22
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
b) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método de NewtonRaphson e a tolerância para xn 1  xn de  10 4 .
A fórmula de recorrência é xn1  ( xn )  xn  (
e x  4 xn2
n
e x  8 xn
)
n
xn
n
xn 1  xn  (
e x  4 xn2
n
e x  8 xn
xn 1  xn
)
n
0
0,5
0,775901475
0,275901475
1
0,775901475
0,717521703
0,058379773
2
0,717521703
0,71481186
0,002709843
3
0,71481186
0,714805912
5,94753E-06
4
x  0,714805912
1
a 
Mostre que a fórmula xk 1   xk   para determinar
2
xk 
caso especial da iteração de Newton.
Exercício 39
a , com a > 0 é um
f ( x)  x 2  a  f ' ( x )  2 x
f ( xn )
xn2  a
xn 1  xn  (
)  xn 1  xn  (
)  xn 1 
f ' ( xn )
2xn
xn2  a

2 xn
1
a
xn 1  ( xn  )
2
xn
Obtenha uma fórmula semelhante a do exercício anterior para calcular n a ,
com a > 0 e utilize esta fórmula para calcular 3 8 , com x0  1,5 (preencha a tabela até n =3).
Exercício 40
f ( x)  x n  a  f ' ( x)  nx n 1
f ( xn )
xnn  a
( n  1) xnn  a
xn 1  xn  (
)  xn 1  xn  (
)  xn 1 

f ' ( xn )
nxnn 1
nxnn 1
1
a
xn 1  [(n  1) xn  n 1 ]
n
xn
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
23
xn1  ( xn ) 
n
xn
0
1,5
2,185185185
1
2,185185185
2,015250336
2
2,015250336
2,000115115
3
2,000115115
2,000000007
x  2,000000007
Exercício 41
A função f (x )  2 x  cos x possui um zero real  isolado no intervalo
cos x

I  [0, ] . Consideremos o processo iterativo definido por xn 1  ( xn ) com ( x) 
4
2
. Seja x0 o extremo de I mais próximo de  .
a) Verifique se as condições (i), (ii) do teorema 2 estão satisfeitas, isto é:
(i)  e ' são contínuas em I .
De fato, ( x) 
sen x
cos x
e ' ( x)  
são contínuas em I .
2
2
(ii) k  max ' ( x)  1, x  I .
sen x
k  max 

2
xI

sen( )
4  0,36  1
2
b) Determine o extremo do intervalo I mais próximo de  .
O ponto médio do intervalo I é x̂ 

e
8


( xˆ )  ( )  0,4620   0,3927.
8
8
Logo, x0 

é o extremo do intervalo I mais próximo de  .
4
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
.
Cálculo Numérico
24
c) Efetuando arredondamentos na 4a casa decimal obtenha um valor aproximado para
xn1   ( xn ) 
n
xn
0
0,7854
0,3536
1
0,3536
0,4691
2
0,4691
0,446
3
0,446
0,4511
4
0,4511
0,45
5
0,45
0,4502
6
0,4502
0,4502
cosxn
2
x  0,4502
d) Utilizando a fórmula   xn 
k
xn  xn 1 , obtenha um limitante superior
1 k
para o erro cometido na 6a iteração.
  x6 
k
x6  x5 
1 k
  0,4502 
0,36
0,4502  0,4500  0,0001125  0,0002.
1  0,36
Logo   0,4502  0,0002.
Utilizando o usando o método de eliminação de Gauss (forma compacta),
resolver o sistema S 4 abaixo com arredondamento em duas casas decimais, na matriz
aumentada.
Exercício 42
2 x1
x
 1

3x1
4 x1
 2 x2
 x2
 2 x2
 3 x2
 x3  x4
 2 x3  x4
 3x3  2 x4
 2 x3  x4
 7
 1
 4
 12
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
1a APS: Exercícios
Linha
(1)
Multiplicador
B0 
Cálculo Numérico
Matriz Aumentada
2,00 2,00 1,00 1,00 7,00
m
(2)
(0)
= -(
m21
1,00
)/(
2,00
)
1,00 -1,00 2,00 -1,00 1,00
(3)
(0)
= -(
m31
3,00
)/(
2,00
)
3,00 2,00 -3,00 -2,00 4,00
(4)
(0)
= -(
m41
4,00
)/(
2,00
)
4,00 3,00
B1 
(2)
2,00
1,00 12,00
0,00 -2,00 1,50 -1,50 -2,50
(3)
(1)
= -(
m32
-1,00
)/( -2,00 )
0,00 -1,00 -4,50 -3,50 -6,50
(4)
(1)
= -(
m42
-1,00
)/( -2,00 )
0,00 -1,00 0,00 -1,00 -2,00
B2 
(3)
(2)
= -(
m43
(4)
-0,75
0,00 0,00 -5,25 -2,75 -5,25
)/( -5,25 )
B3 
(4)
Assim, x1  1
25
0,00 0,00 -0,75 -0,25 -0,75
0,00 0,00
x2  2
x3  1
0,00
0,14
0,00
x4  0
Utilizando a estratégia de pivoteamento completo (forma compacta), resolver
o sistema S 4 abaixo com arredondamento em três casas decimais, na matriz aumentada.
Exercício 43
2 x1
x
 1

3x1
4 x1
Linha
 2 x2
 x2
 2 x2
 3 x2
 x3  x4
 2 x3  x4
 3x3  2 x4
 2 x3  x4
Multiplicador
 7
 1
 4
 12
m
Matriz Aumentada
(1)
(0)
= -( 2,00 )/( 4,00
m11
)
2,000 2,000
1,000
1,000
7,000
(2)
(0)
= -( 1,00 )/( 4,00
m21
)
1,000 -1,000
2,000
-1,000
1,000
(3)
)
3,000 2,000
-3,000 -2,000
4,000
(4)
(0)
= -( 3,00 )/( 4,00
m31
B0 
4,000 3,000
2,000
1,000
12,000
(1)
(1)
= -( 0,00 )/( -4,50 )
m13
0,000 0,500
0,000
0,500
1,000
(2)
(1)
= -( 1,50 )/( -4,50 )
m23
B1 
0,000 -1,750
1,500
-1,250
-2,000
0,000 -0,250 -4,500 -2,750
-5,000
(2)
= -( 0,50 )/( -2,17 )
m14
B2 
B3 
0,000 0,500
0,000
0,500
1,000
0,000 -1,833
0,000
-2,167
-3,667
0,000 0,077
0,000
0,000
0,154
(4)
(1)
(4)
(1)
Assim, x1  1,00002564
x 2  2,00000000
x3  0,99971799
x 4  0,00046147
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
LAURO
26
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
Exercício 44
Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando o método de GaussJacobi, considerando x (0 )  (0, 0, 0), 0,01 e ITMAX5:
 4 x1  x2

 2 x1  5x2
 3x
 1  x2
 x3 
5
 x3 
0
 6 x3   6,5
k
x1(k )
x2(k )
x3(k )
max xi( k )  xi( k 1)
0
0
0
0
-
1
1,25
0
-1,08333333
1,25
2
1,520833333
0,716666667
-1,70833333
0,716666667
3
1,497916667
0,95
-1,96319444
0,254861111
4
1,503298611
0,991805556
-1,990625
0,041805556
5
1,499704861
0,999444444
-2,00028356
0,009658565
x [
1,499704861 ,
0,999444444 ,
1i3
-2,00028356 ].
Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando o método de GaussSeidel, considerando x (0 )  (0, 0, 0), 0,01 e ITMAX5:
Exercício 45
 4 x1  x2

 2 x1  5x2
 3x
 1  x2
 x3 
5
 x3 
0
 6 x3   6,5
k
x1(k )
x2(k )
x3(k )
max xi( k )  xi( k 1)
0
0
0
0
-
1
1,25
0,5
-1,79166667
1,791666667
2
1,572916667
0,9875
-2,034375
0,4875
3
1,51171875
1,0115625
-2,00778646
0,061197917
4
1,49905599
1,001179688 -1,99972461
0,01266276
5
1,49963623
0,999799414 -1,99978468
0,001380273
x [
1,49963623
,
0,999799414 ,
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
1i3
-1,99978468 ].
LAURO
1a APS: Exercícios
Cálculo Numérico
27
Dado o sistema abaixo:
Exercício 46
kx1  3x2

kx1  6 x2
 x  6x
2
 1
 x3  1
 x3  2
 7 x3  3
a) Usando o critério de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se
tem garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma seqüência
convergente para a solução do sistema.
1 
1
4 4
1
.[ a12  a13 ]  .[ 3  1 ]    1  k >4
k
a11
k 4
2 
5
1
4
1
.[ a21  1  a23 ]  .[ k   1 ]   1
6
a22
6
k
3 
1
4
5 1 4
1
.[ a31  1  a32  2 ]  .[1   6  ]  [  5]  1  k >2
7
k
6 7 k
a33
Logo o critério de Sassenfeld é satisfeito para valores de k >4.
b) Escolha o menor valor inteiro e positivo para k (dentre aqueles encontrados no
item a) e faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtido.
Assim, usando k 5
k
x1(k )
x2(k )
x3(k )
max xi( k )  xi( k 1)
0
0
0
0
-
1
0,2
2
0,048571429
3
0,008530612 0,291666667
x [
0,166666667 0,257142857
0,008530612 ;
0,25
1i3
0,257142857
0,207346939
0,151428571
0,17735277
0,041666667
0,291666667 ;
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
0,17735277 ].
LAURO