Intervalo de Confiança

Intervalo de Confiança
Prof. Herondino S. F.
Grau de Confiança



Qual a temperatura média do corpo humano?
A temperatura média do corpo humano é realmente
37°C.
Na tabela abaixo, tem-se a temperatura de 106 pessoas
obtidas a partir de pesquisas realizadas na Universidade
de Maryland. Utilizando o Excel, obtenhamos os seguintes
valores:



O histograma desta distribuição
A média dos dados obtidos
O desvio padrão
Tabela 1 – Temperatura do Corpo de 106 Adultos Sadios
37,0
37,0
36,7
36,7
37,2
36,9
36,9
36,9
36,9
37,0
37,0
37,1
37,0
36,1
36,1
37,1
36,4
36,5
37,1
36,7
36,7
36,8
36,9
36,3
37,1
36,3
37,2
37,0
37,5
36,4
36,3
36,4
36,8
37,6
37,1
37,4
36,8
36,7
37,0
37,0
36,2
36,9
37,0
36,8
36,7
36,6
36,7
36,9
37,0
37,0
36,6
37,2
35,8
36,4
36,7
36,1
36,4
36,2
36,6
36,9
36,3
36,7
36,4
36,4
36,8
36,9
37,1
37,1
36,6
36,7
36,2
36,3
37,4
36,9
37,0
36,9
36,9
37,0
36,8
37,1
37,1
37,3
37,0
36,6
37,1
36,7
37,1
36,9
37,2
36,9
37,0
36,2
36,6
37,1
37,1
36,4
36,8
37,3
36,6
36,7
36,9
36,6
36,9
36,3
36,7
36,1
Fonte: Triola, 1998
Conceitos Fundamentais




Estimativa pontual – é um valor (ou ponto) único
usado para aproximar um parâmetro populacional.
Exemplo:
“A média amostral X é a melhor estimativa pontual da
média populacional  ”
A partir da Tabela 1, verificamos que a melhor estimativa
pontual da média populacional  de todas as
temperaturas é 36,8ºC.
Conceitos Fundamentais

Intervalo de Confiança (ou estimativa intervalar) é
uma amplitude (ou intervalo) de valores que tem
probabilidade de conter o verdadeiro valor da população.

O Intervalo de Confiança está associado a um grau de
confiança que é uma medida de nossa certeza de que o
intervalo contém o parâmetro populacional.
Conceitos Fundamentais


O grau de confiança utiliza α para descrever uma
probabilidade que corresponde a uma área.
A probabilidade α está dividida entre as duas regiões
extremas.
O Grau de Confiança é a
probabilidade 1-α de o intervalo
de confiança conter o
verdadeiro valor populacional.
Grau de Confiança


São escolhas comuns para o grau de confiança:90% (com
α=0,10), 95%(com α=0,05) e 99%(com α=0,01).
.
Grau de Confiança


Valor Crítico é o número na fronteira que separa os
valores das estatísticas amostrais prováveis de ocorrerem,
dos valores que têm pouca chance de ocorrer.
O número Z / 2 é o valor crítico que é um escore Z com
propriedade de separar uma área de α/2 na cauda direita
da distribuição normal padronizada.
Exemplo

Ache o valor crítico Z / 2 a um grau de confiança 95%.
Exemplo



Ache o valor crítico Z / 2 a um grau de confiança 95%.
Resolução:
Um grau de confiança de 95% equivale a α = 0,05
Exemplo



Ache o valor crítico Z / 2 a um grau de confiança 95%.
Resolução:
Um grau de confiança de 95% equivale a α = 0,05
Exemplo



Ache o valor crítico Z / 2 a um grau de confiança 95%.
Resolução:
Um grau de confiança de 95% equivale a α = 0,05
α/2 = 0,025
α/2 = 0,025
Intervalo de Confiança (n>30)

Intervalo de Confiança (Estimativa Intervalar) para a
Média Populacional µ ( com base em grandes amostras:
>30).
xE    xE

Onde:
E  Z / 2 .


n
x  E são chamados de
Os valores x  E e
limites do intervalo de confiança.
Exemplo:




Para as temperaturas da Tabela 1, temos n=106, x  36,8
e s  0,62 . Para um grau de confiança de 0,95, determine:
a) a margem do erro E
b) o intervalo de confiança para µ
Resolução a):

E  Z / 2 .
n
Exemplo:




Para as temperaturas da Tabela 1, temos n=106, x  36,8
e s  0,62 . Para um grau de confiança de 0,95, determine:
a) a margem do erro E
b) o intervalo de confiança para µ
Resolução a):

E  Z / 2 .
n
0,62
E  1,96 
106
E  Z / 2 .

n
0,62
E  1,96 
106
Exemplo:




Para as temperaturas da Tabela 1, temos n=106, x  36,8
e s  0,62 . Para um grau de confiança de 0,95, determine:
a) a margem do erro E
b) o intervalo de confiança para µ
Resolução a):

E  Z / 2 .
n
0,62
E  1,96 
106
0,62
E  1,96 
 1,96  0,06  0,12
10,29
Exemplo:


b) o intervalo de confiança para µ
xE    xE
36,8  0,12    36,8  0,12
36,66    36,90

Outra forma de expressar seria
  36,8  0,12

Note que a média 36,8ºC se encontra dentro do
intervalo. É provável que o valor correto de µ seja
36,8ºC.
Intervalo de Confiança (n ≤ 30)

Intervalo de Confiança para a Estimativa de µ ( com base
em uma Amostra Pequena(n ≤ 30) e o Desconhecido)
xE    xE

Onde:
s
E  t / 2 .
n
Exemplo:

Com um teste destrutivo as amostras são destruídas no
processo.
Os testes de destruição podem ser
realizados em um produto a qualquer
momento em seu desenvolvimento, desde
o início da pesquisa até quando ele estiver
pronto para ser vendido.
O iPhone 5 saiu quase ileso da
sessão de tortura enquanto o
Galaxy S III teve danos sérios e
parou de funcionar.
Fonte: http://info.abril.com.br/noticias
Exemplo:
Se fosse Responsável
por um teste de
colisão do Dodge Viper,
dificilmente
convenceria o seu
chefe a destruir mais
de 30 carros, a fim de
poder utilizar a
distribuição normal.
Exemplo:
Se fosse Responsável
por um teste de
colisão do Dodge Viper,
dificilmente
convenceria o seu
chefe a destruir mais
de 30 carros, a fim de
poder utilizar a
distribuição normal.
Exemplo:
Suponha que tenha feito teste de colisão
em 12 carros esporte Dodge Viper
(preço de venda: $59.300) sob uma
diversidade de condições que simulam
colisões típicas. A análise de 12 carros
danificados resulta e custo de conserto
que parecem ter distribuição em forma
de sino com média $26.227 e desvio
Padrão amostral $15.873. Determine:
a) A melhor estimativa pontual µ, o
custo médio de conserto de todos
os Dodge Vipers envolvidos em
colisões.
b) A estimativa intervalar de 95% de µ
Referência Bibliográfica
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

BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics
for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London
New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002. 10-13 p.
Walpole, Ronald E et al. Probability & statistics for
engineers & scientists/Ronald E. Walpole . . . [et al.]
— 9th. Ed. ISBN 978-0-321-62911-1.Boston-USA/2011
TRIOLA, Mario F. et al. Introdução a Estatística. 7ª
Edição.Livros Técnicos e Científicos Editora S. A. Rio de
Janeiro,1998.