Resolução - CEM • Centro de Estudos Matemáticos

Erivaldo e Baiano
UFSC
Parte 02
UFSC – 2013 – Análise Combinatória – página 16
49.( F ) Há exatamente 36 anagramas da palavra SORTE em que
duas vogais não estão juntas.
Resolução:
Total de anagramas:
SORTE
P5 = 5!
P5 = 120
Anagramas que não interessam:
Onde as letras O e E estão juntas.
O 1____
S ____
R
T
E ____
2
3 ____
4
____
P2 . P4 = 2! . 4! = 48
Anagramas de interesse: 120 – 48 = 72
UFSC 2013
Resolução:
40.
8¶ = 2¶
4
23¶
4
7¶/4
2
14¶
3
2¶/3
2¶
6¶ =
3
2
7¶/4 =7.(1800)/4= 3150 2¶/3 =2.(1800)/3= 1200
-
+
-
+
+
-
-
+
tg 23¶ + sec 14¶
4
3
- tg 450 - sec 600
- 1 – 1/cos 600
-1 – 2
– 3
INCORRETO
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 16
48.( ) A expressão
Resolução:
é um número inteiro.
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 16
48.( V ) A expressão
é um número inteiro.
Resolução:
13
2
4 5 17 11 4
3
M é um número inteiro.
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 16
48.( V ) A expressão
é um número inteiro.
Resolução:
número número
inteiro inteiro
M é um número inteiro.
UFSC 2013
Resolução:
(-3)
S.I. S.P.D
0.x + 0.y + 0.z = 1
SISTEMA IMPOSSÍVEL – S.I.
INCORRETO
S.P.I
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 16
46.( F ) Numa empresa, existem 7 funcionários, entre eles
Francisco. A direção-geral pediu para formar um grupo de
trabalho com 4 desses funcionários de modo que Francisco
esteja nesse grupo, então o número de maneiras distintas de
formar esse grupo é 35.
Resolução: Funcionários: { A , B , C , D , E , F , G }
F ___ ___ ___
___
UFSC 2013
Resolução:
Como det (A . B) = 0,
então (AB) não admite inversa.
CORRETO
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 16
45.( ) A Agência nacional de Telecomunicações (ANATEL)
determinou a inglusão do dígito 9 à frente de todos os
números de telefone celular do estado de São Paulo. Dessa
forma, cada numero de telefone será constituído de nove
dígitos. Suponhamos que, em uma determinada região,
todos os números de telefone comecem da seguinte forma:
9
8
6
?
?
- ?
?
?
?
Sabendo que os algarismos 9, 8, 6 permanecem fixos na
posição apresentada, e que os números de telefone celular
são formados por dígitos distintos, então nessa região
pode-se fazer 1 000 000 de números de telefone diferentes.
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 16
45.( F )
“Sabendo que os algarismos 9, 8, 6 permanecem fixos na
posição apresentada, e que os números de telefone celular
são formados por dígitos distintos, então nessa região
pode-se fazer 1 000 000 de números de telefone diferentes.”
Resolução:
9
8
6
7
p
6
p
5
p
4
p
3
p
7.6.5.4.3.2 = 5040
2
p
UFSC 2012
36.
Se f : é a função definida por f( x ) = sen x , então f(10) >0 .
Resolução:
1 rad ≅ 600
10 rad ≅ 6000
+
+
-
-
INCORRETO
6000
3600
2400
1
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 15
44.( F ) Jogam-se simultaneamente dois dados, um vermelho
e outro branco. A probabilidade de que a soma dos números
mostrados nas faces de cima seja menor ou igual a 6 é ∕.
Resolução:
Espaço Amostral:
36 pares
Evento:
15 pares
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
5
(1,4) (1,5)
(2,4) (2,5)
(3,4) (3,5)
(4,4) (4,5)
(5,4) (5,5)
(6,4) (6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
UFSC 2012
35. O sistema
é possível e indeterminado.
(-3)
Resolução:
S.I. S.P.D
S.P.I
0.x + 0.y + 0.z = -3
INCORRETO
SISTEMA IMPOSSÍVEL – S.I.
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 15
43.( V ) (11.1!).(22. 2!).(33. 3!) .... (1010.10!) = (10!)11
Resolução:
(11.1!) . (22. 2!) . (33. 3!)
(11.1!) . (22. 2!) . (33. 3!)
1 . 1 . 2 . 2 . 1 . 2 . 3 . 3 . 3 .1 . 2 . 3
( 3! )4
(1.2.3) . (1.2.3) . (1.2.3) . (1.2.3)
( 3! ) . ( 3! ) .
( 3! ) .
( 3! )4
( 3! )
(11.1!).(22.2!) ... (1010.10!)
( 10! )11
UFSC 2012
34.
O sistema
é impossível quando a = 1.
Resolução:
S.I. S.P.D
S.P.I
0.x + 0.y = 0
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO – S.P.I.
INCORRETO
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 15
42.( ) A Figura 5 representa o mapa de uma cidade fict́cia
na qual há nove ruas na direção vertical e cinco ruas na
direção horizontal. Para ir do ponto A até o ponto B, os
deslocamentos permitidos são sempre no sentido OesteLeste (D) e/ou Sul-Norte (C), como exemplificado na Figura 5,
respectivamente, pelas letras D (direita) e C (para cima).
Nestas condições existem 495 caminhos diferentes para ir do
ponto A até o ponto B.
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 15
42.( V ) “existem 495 caminhos diferentes para ir do ponto A
até o ponto B.“
Resolução:
Caminhos possíveis: D D C D D D C C D C D D
C C DDDDDDDDC C
UFSC 2012
38.
Na Figura 1, a reta r é tangente à circunferência λ, de centro no
ponto O(0,0) e raio 1. Para α = π/6 rad as coordenadas do ponto
P são (2/√3, 0) .
Resolução:
CORRETO
UFSC – 2012 – Análise Combinatória – página 14
41.( ) Com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 podemos formar 24
números pares com três algarismos diferen- tes e 24
números ímpares com três algarismos diferentes.
Feito em sala
UFSC – 2012 – Análise Combinatória – página 14
40.( F ) Um número inteiro de 1 a 260 é escolhido
aleatoriamente. A probabilidade de que esse número seja
divisível por 7 é 9/65.
Resolução:
Resultados possíveis:
Resultados de interesse:
E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 260 }
A = { 7 , 14 , 21 , . . . , 259 }
n(E) = 260
n(A) = 37
260
1
Probabilidade:
7
37
UFSC 2012
37.
O Valor da expressão cos36o + cos72o + cos108o + cos144o é zero.
Resolução:
cos 720 = - cos 1080
cos 360 = - cos 1440
CORRETO
UFSC – 2012 – Análise Combinatória – página 14
39.( ) Um número de três algarismos é chamado palíndromo
quando o algarismo das unidades é igual ao algarismo das
centenas. Por exemplo, o número 464 é um palíndromo.
Escolhe-se aleatoriamente um número dentre todos os
números de três algarismos formados pelos algarismos
1, 2, 3, 4 e 5. A probabilidade de o número escolhido ser um
palíndromo é 25%.
Resolução:
Resultados possíveis:
5p . _____
5p . _____
5p = 125
_____
Resultados de interesse:
5p . _____
5p . _____
1p = 25
_____
UFSC – 2012 – Análise Combinatória – página 14
39.( F ) “Escolhe-se aleatoriamente um número dentre todos
os números de três algarismos formados pelos algarismos
1, 2, 3, 4 e 5. A probabilidade de o número escolhido ser um
palíndromo é 25%.”
Resolução:
Resultados possíveis: 125
Resultados de interesse: 25
Probabilidade:
UFSC 2011
 2 5

) Se 
 1 3
31.(
Resolução:
A-1
At
 3 − 5
=
 − 1 2 


=
 2 1


 5 3
, então ( A +
A-1
 2 5


 1 3
–
At )2
+
 3 − 1


−5 2 
=
 14 − 5 


 − 25 9 
 3 − 5


 −1 2 
.
-
 2 1


 5 3
 3 − 1


−5 2 
 14 − 5 


 − 25 9 
CORRETO
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 14
34.( V ) Se “A” é o número de arranjos de 6 elementos tomados
2 a 2; “B” é o número de permutações de 5 elementos e
“C” é o número de combinações de 5 elementos tomados 3 a
3, então A + B – C = 140.
Resolução:
A+B–C
30 + 120 – 10
140
UFSC 2011
33.( ) Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela
equação s(t) = 5.cos(π.t + π/2), em que t está em segundos e s em
metros, então essa função tem período de 2 segundos e seu
conjunto imagem é Im = [- 1, 1]
Resolução:
P = 2¶/m
P = 2¶/ ¶
P= 2
Im = [ a – b, a + b]
Im = [ 0 – 5, 0 + 5]
Im = [ -5, 5]
INCORRETO
SENINHO E COSSENINHO
EU NÃO TENHO CULPA, DE FAZER CURSINHO, TÔ ESTUDANDO PRO
VESTIBULAR
TRIGONOMETRIA, BEM DO SEU JEITINHO, VOCÊ VAI VER NÃO PRECISA
NEM ESTUDAR
QUER SABER O QUE EU VOU LHE ENSINAR, SENO E COSSENO VOCÊ
VAI AMAR
OS DOIS, TEM DOMÍNIO MEU DOCINHO, É REAIS VOCÊ VAI GOSTAR
E TEM A IMAGEM UAI, É BOM DEMAIS, NÃO TEM COMO EU ERRAR
VAI DE a – b até a + b É MACETE NÃO PRECISA NEM PROVAR
E TEM O PERÍODO UAI, É BOM DEMAIS, NÃO TEM COMO EU ERRAR
É 2¶ SOBRE
m , O QUE O m FAZ, O
x ELE VAI MULTIPLICAR
PAR, PAR, TODA FUNÇÃO COSSENO É PAR
IMPÁR, IMPÁR, QUANDO A FUNÇÃO FOR SENO ELA É ÍMPAR
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 14
33.( F ) Suponha que “Chevalier de Mére”, um jogador francês
do Século XVII, que ganhava a vida apostando seu dinheiro em
jogos de dados, decidiu apostar que vai sair um “3” no
lançamento de um dado perfeito de seis faces numeradas de 1
a 6. Com relação a esse experimento, há dois resultados
possíveis: ou sai “3” e Chevalier ganha, ou não sai “3” e ele
perde. Cada um destes resultados—“sai um 3” ou “não sai um
3”—tem a mesma probabilidade de ocorrer.
Resolução:
Resultados possíveis:
Probabilidade de sair 3:
E={1,2,3,4,5,6}
Probabilidade de não sair 3:
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 14
32.( ) O sangue humano pode ser classificado quanto ao
sistema ABO e quanto ao fator Rh. Sobre uma determinada
população “P”, os tipos sanguíneos se repartem de acordo
com as seguintes tabelas:
A
B
AB
O
40%
10%
5%
45%
Grupo
A
B
AB
O
RH+
82%
81%
83%
80%
RH-
18%
19%
17%
20%
Um indivíduo classificado como O Rh negativo é chamado
doador universal. Podemos dizer que a probabilidade de que
um indivíduo, tomado ao acaso na população “P”, seja
doador universal é de 9%.
UFSC – 2011 – Análise Combinatória – página 14
Resolução:
A
B
AB
O
40%
10%
5%
45%
Grupo
A
B
AB
O
RH+
82%
81%
83%
80%
RH-
18%
19%
17%
20%
Um indivíduo classificado como O Rh negativo é chamado doador
universal. Podemos dizer que a probabilidade de que um
indivíduo, tomado ao acaso na população “P”, seja doador
universal é de 9%.
Indivíduo doador universal:
Item correto
Sistema O e Fator RHx
UFSC 2009
22. Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre:
Resolução:
( AB) t = At B t
Obs. : (AB)t = B t A t
INCORRETO
UFSC 2011
30. Se A,B e C são matrizes inversíveis, [(A.B-1)-1.(A.C)]-1.B = C
Resolução:
[(A.B-1)-1.(A.C)]-1.B = C
MATRIZ INVOLUTIVA
[(B-1)-1.A-1).(A.C)]-1.B = C
[B.A-1.A.C]-1.B = C
[B.I.C]-1.B = C
[B.C]-1.B = C
C-1.B-1.B = C
C-1.I = C
C-1 ≠ C
INCORRETO
UFSC – 2010 – Análise Combinatória – página 13
31.( ) Na tabela seguinte está representada a distribuição,
por turno, dos alunos da última fase do curso de Matemática de
uma universidade.
Diurno
Noturno
Mulheres
9
4
Homens
5
2
Três alunos do curso são escolhidos ao acaso para formarem a
comissão de formatura. A probabilidade de que a comissão seja
composta por duas pessoas do noturno e uma do diurno é de
7/38.
UFSC – 2010 – Análise Combinatória – página 13
31.( V ) “Três alunos do curso são escolhidos ao acaso para
formarem a comissão de formatura. A probabilidade de que a
comissão seja composta por duas pessoas do noturno e uma do
Diurno
Noturno
diurno é de 7/38.”
Resolução:
Resultados possíveis:
Mulheres
9
4
Homens
5
2
Interesse:
(2N) e (1D)
Probabilidade:
UFSC 2010
27. Sabendo que tgx = 5 e que π < x < 3π , então cosx = 26 .
2
26
Resolução:
Dica: perceba que o intervalo correspondente, pertence ao 3°
quadrante, onde os valores de cosseno são negativos, logo a questão
já estaria errada.
Resolvendo a questão, monte um triângulo retângulo, sabendo que
tgx=5.
h² = 5² +1²
CA = 1 . 26 = 26 = − 26
cos
x
=
h² = 26
26
h
26 26 26
h
h
=
26
x 1
5
cosseno no 3° quadrante é negativo
INCORRETO
UFSC 2010
27.( ) Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão
aritmética, então o valor numérico do cosseno do maior ângulo agudo
é 3.
5
É aquele que está oposto ao maior cateto.
Resolução:
5k
α 3k
cosα = CA = 3k = 3
h 5k
5
4k
CORRETO
UFSC – 2010 – Análise Combinatória – página 13
29.( F ) O número de gabaritos possíveis para um teste de
10 questões, com as alternativas de Verdadeiro ou Falso por
questão, é de 20.
Resolução:
Gabaritos possíveis:
2p . ____
2p =
2p . ____
____
2p . ____
2p . ____
2p . ____
2p . ____
2p . ____
2p . ____
2p . ____
1ª
2ª
3ª
4ª 5ª
6ª
7ª
8ª
9ª 10ª
210 = 1024
UFSC – 2010 – Análise Combinatória – página 13
28.( F ) Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no
Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram:
Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul,
Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais
poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e
bronze são em número de 56.
Resolução: ARRANJO, então resolveremos por PFC.
_____
8p . _____
7p . _____
6p = 336
ouro
prata
bronze
UFSC 2009
26.( ) O sistema linear
x + y + z = 1 .(-5)
3x + 3y + 3z = 3
5x + 5y + 5z = 9







0.X + 0.Y + 0.Z = 4
x + y + z =1
3x + 3y + 3z = 3 é possível e indeterminado
5x + 5y + 5z = 9







S.I. S.P.D
S.P.I
INCORRETO
TÁ na HORA , TÁ na HORA
Tá na hora , tá na hora
De sistemas estudar
No S.P.D não vai dar zero
Se for S.P.D
S.P.I. Todos vão dar
Uma solução eu vou achar
No S.I. só o principal,
Mas se for S.P.I
Infainite vai dar
ninguém consegue calcular
E se for o S.I.
S.P.D. , S.P.I.
ÔH , ÔH , ÔH
Ninguém consegue calcular
S.P.D. ,
S.P.I.
3X
3X
ÔH , ÔH , ÔH
Se você for bem tanso você vai se
confundir
Se você for bem tanso você
vai se confundir
UFSC – 2010 – Análise Combinatória – página 13
27.( F ) Formados e colocados em ordem alfabética o
anagramas da palavra AMOR, a posição correspondente à
palavra ROMA é a 23ª.
Resolução:
Total de anagramas da palavra AMOR:
A última palavra em ordem alfabética é:
R ___
O ___
M ___
A
___
P4 = 4! = 24
UFSC 2006
15.Se sen(a) = 1/3, então
Resolução:
+ +
- -
sen (25¶ + a) – sen (88¶ - a) = 2/3
- sen a – (- sen a) = 2/3
0 ≠ 2/3
INCORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 13
26.( V ) Um dado (cubo de seis faces congruentes) perfeito,
cujas faces estão numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes
sucessivamente. A probabilidade de que o produto dos
pontos obtidos seja maior que 12 é de 13/36.
Resolução:
1
2
3
4
5
6
Espaço Amostral:
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
36 pares
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
Evento:
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
13 pares
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
UFSC 2008
02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ -1.
Resolução:
A=
0
y
1
x 1
-1 0
z 0
Uma matriz admite inversa se, e somente se
o determinante é diferente de zero.
(1 – y.z).(1) ≠ 0
(1 – y.z) ≠ 0
-
y.z ≠ 1
CORRETO
UFSC 2008
04. A matriz transposta de B é Bt =
1 y
x 0
-1
.
1
Resolução:
-1
B=
y
1
1
0
x
Bt =
-1
1
y 1
0 x
Matriz Transposta: Quem é linha vira coluna
e quem é coluna vira linha
INCORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 13
25.( F ) Um casal pretende ter 3 filhos. A probabilidade de
serem dois meninos e uma menina é de 33,33%.
Resolução:
e
e
x
x
H,H,M
H,M,H
M,H,H
Portanto:
37,5%
UFSC 2007 – Página 14
17.( ) Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no
quadro-negro: “Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação de θ
graus para vencer um desnível de 4m. Qual será o comprimento da rampa?” Mas, o
professor já havia apagado os valores de sen θ e cos θ, restando apenas tg θ =√2/5.
Eugênio usou seus conhecimentos de trigonometria e determinou que o
comprimento da rampa é 10√2 m.
Resolução:
cat.op.
O comprimento da
S
tgθ =
cat.adj.
O
rampa é a hipotenusa do
y
H
triângulo. A hipotenusa é
4
C
2 4
sempre o maior lado.
=
θ
A
5 x
Como um dos catetos já
H
x
mede 10√2 a hipotenusa
T
20
não pode ser 10√2.
x=
O
2
A
2
tgθ =
5
x = 10 2
INCORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 13
24.( V ) A probabilidade de sair um REI, ou uma DAMA, ou um
VALETE quando retiramos uma carta de um baralho de 52
cartas é de 3/13.
Resolução:
Num baralho completo temos 4 reis, 4 damas e 4 valetes.
Total de cartas:
52
Cartas de interesse:
12
Probabilidade:
UFSC 2007 – página 14
16.( ) A figura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha
que vai ser usada nessa construção necessita de um ângulo de inclinação de 30°
para o telhado. Portanto, a altura x do telhado para se obter a inclinação desejada é
de 4 3 metros.
3
Resolução:
x
30o
S
O
H
C
A
H
T
O
A
cat.op.
tg30 =
cat.adj.
o
4
4
3 x
=
3 4
x=
4 3
3
8m
CORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 13
23.( F ) O número de anagramas da palavra SINTOMA que
começam por “SI” e terminam por “MA” é 480.
Resolução:
SINTOMA
S . _____
I . _____ . _____ . _____ . _____
M . _____
A
_____
P3 = 3!
P3 = 6
UFSC 2006
1) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Se K = (kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por Kij = 22i+j para i<j e Kij =
i² + 1 para i ≥ j, então K é uma matriz inversível.
Resolução:
a11 a12
A=
a21 a22
2 16
=
5 5
det A = 10 – 80 = - 70 ≠ 0
Logo, A é inversível.
CORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 13
22.( V ) Há 648 números de três algarismos distintos
compreendidos entre 100 e 999.
Resolução:
9p . ______
9p . ______
8p = 648
______
C
D
U
UFSC 2006
02. Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é
a matriz nula.
Resolução:
A.B = O
|A.B|= | O |
|A |. | B|= | O |
|A |=0 ou | B|= | O |
INCORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 13
21.( V ) O total de números pares que se obtém permutando
os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180.
Resolução:
1 . ___
2 . ___
2 . ___
5 . ___
5 . ___
5 . ___
___
6
fixo
1 . ___
2 . ___
5 . ___
5 . ___
5 . ___
6 . ___
___
2
fixo
Total:
60 + 120 = 180
UFSC 2006
04. Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5x7 e 7x5. Se R = M.P,
então a matriz R² tem 625 elementos.
Resolução:
M5 x 7 . P7 x 5 = R5x 5
R2 = R5 x 5 .R5 x 5
elementos.
terá como resultado uma matriz 5 × 5, portanto com 25
INCORRETO
UFSC 2006
08. Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal
principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt).
Resolução:
Quando calculamos a transposta de uma matriz quadrada, a diagonal principal não
se altera.
Observe o exemplo:
a b
d e
g h
c
f
i
tr(L) = a + e + i
a
b
c
d
e
f
g
h
i
tr(Lt) = a + e + i
CORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 13
20.( F ) Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e
dez enfermeiros. Com esse número de profissionais
é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada
uma de um médico e quatro enfermeiros.
Resolução:
5 médicos e 10 enfermeiros
1 médicos e 4 enfermeiros
x
5 x 210 = 1050
UFSC 2006 – página 13
9) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
12.( ) Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a
3m de uma parede plana evertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do
poste na parede e esta sombra tem 17m de altura. Se a altura do poste é de
20m, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é
de 45º.
Resolução :
3
20
450
3
17
CORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 13
19.( F ) A partir de 12 pontos distintos marcados numa
circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se
três desses pontos.
Resolução:
A
B
L
C
K
D
J
E
I
F
G
H
UFSC 2006 – Página 13
11.( ) Para ser verdadeira a desigualdade tg(x).sec(x) < 0, x deve estar
localizado no segundo ou no quarto quadrante.
Resolução :
senx 1
.
<o
cos x cos x
senx
<0
2
cos x
+ +
- -
Sen x < 0, logo x é um ângulo do 30 ou 40
INCORRETO
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 12
18.( F ) Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por
consoante.
Resolução:
Anagrama = Permutação
Á ____
U ____
A
____
G ____
fixo
UFSC 2005 – Página 18
9) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema
Resolução:
Única solução S.P.D :
ΔP ≠ 0
1 2
∆P =
3 6
 X + 2Y = 9

3 X + 6Y = 27
1 2 9
= =
3 6 27
1 1 1
= =
3 3 3
ΔP = 6 – 6 = 0
INCORRETO
S.P.D
S.P.I
S.I.
UFSC – 2009 – Análise Combinatória – página 12
17.( F ) Se três moedas perfeitas distinguíveis forem lançadas
ao ar simultaneamente, então o número de resultados
possíveis é 6.
Resolução:
2p x
2p x 2p
8
UFSC 2005
02. A matriz A = (aij)1x3, tal que aij = i – 3j é A = [-2 -5 -8].
Resolução:
A = (aij) 1x3
A = (a11 a12 a13)
Sendo aij = i – 3j, tem-se:
a11 = (1) – 3 × (1)  a11 = - 2
a12 = (1) - 3 × (2)  a12 = - 5
a13 = (1) – 3 × (3)  a13 = - 8
Portanto A = [- 2
-5
- 8]
CORRETO
UFSC 2005
1 1
04. A soma dos elementos da inversa da matriz
é igual a 2.
0 1
Resolução:
1 1
0 1
A-1 =
|A | = 1
1 −1
0 1
1 + 0 – 1+1 = 1
INCORRETO
UFSC – 2008 – Análise Combinatória – página 12
16.( F ) Para acessar um site da internet, o internauta deve realizar
duas operações: digitar uma senha composta por quatro algarismos
distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda
senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num
alfabeto de 26 letras. O número máximo de tentativas necessárias
para acessar o site é 5960.
Resolução:
8p. . ____
10p. . ____
9p. . ____
7p. = 5040
Senha de algarismos: ____
Senha de letras:
26p. . _____
25p. = 650
_____
O número máximo de tentativas necessárias para acessar o site é:
5040 + 650 = 5690
UFSC 2005
08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se At = -A, sendo At a transposta
da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a matriz
é anti-simétrica.
Resolução:
0 0 1
0 0 0
1 0 0
Como At ≠ - A  Não é anti-simétrica
Como At = A  Matriz simétrica
INCORRETO
UFSC – 2008 – Análise Combinatória – página 12
15.( F ) Observe a figura abaixo. Girando a flecha, a probabilidade
de ela parar na cor branca é 1/12. Para o cálculo da probabilidade
suponha que a flecha não pare sobre as linhas que são fronteiras
comuns.
Resolução:
Tem-se 12 triângulos: 4 brancos, 4 cinzas e 4 pretos
A probabilidade da flecha parar na cor branca é:
UFSC 2005
16. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que P.Q – R
seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.
Resolução:
3
A= 1
2
B=
3
1
2
3x 5
3x 5
6 −1 1
C=
0 1 x
As matrizes dadas possuem as seguintes ordens
6 −1 1
0 1 x
19
6
19
D=
6
A 3x1 B 1X2 C 2X3 D 2X1
Para fazer P.Q – R, devemos tomar na ordem as matrizes :
P (2X3) . Q (3x1) - R (2X1)
P =C Q = A R = D
UFSC – 2008 – Análise Combinatória – página 12
14.( V ) Uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo. A
probabilidade de se obter uma “cara” e um número menor que 4 é de
25%.
Resolução:
Moeda: Cara ou Coroa
Dado: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Probabilidade de se obter:
Uma “cara” e
x
Um número menor que 4
UFSC 2005
Para fazer P.Q – R :
6 −1 1
x
0 1 x
(18 − 1 + 2)
19
(0 + 2 + 2 x )
6
0
2x − 4
2x – 4 = 0
x =2
=
3
1 2
19 0
=
6 0
0
=
0
0
0
CORRETO
UFSC – 2008 – Análise Combinatória – página 12
13.( V ) Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) será formada
por cinco parlamentares indicados pelos três partidos A, B e C, de
acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional.
O partido A tem 10 parlamentares e deve indicar 2 membros, o
partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido
C tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs
diferentes que podem ser formadas é 5040.
Resolução:
Partido C
Partido B
Partido A
10 para 2 vagas
O número de CPIs é:
8 para 2 vagas
45 . 28 . 4 = 5040
4 para 1 vagas
UFSC 2005
32. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições
pode-se afirmar que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e det(B) designam,
respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.
Resolução:
Aplicando determinante aos dois lados da igualdade A = 5B, vem que:
det(A) = det(5B) det(A) = 5.5 × det(B) det(A) = 25 × det (B).
INCORRETO
UFSC – 2008 – Análise Combinatória – página 12
12.( F ) O número de maneiras diferentes de colorir os quatro estados
identificados no mapa abaixo usando as cores verde, vermelho,
amarelo e azul, de modo que cada estado tenha uma cor diferente e
que Santa Catarina só possa ser pintada de verde ou vermelho, é 24.
Resolução:
2p. . ____
2p. . ____
3p. . ____
1p. = 12
____
SC
SP
PR
SC
RS
UFSC 2004
6) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) CORRETA(S).
01. A matriz
1 2 3 0
4 2 5 1
5 4 8 1
3 1 2 0
não possui inversa.
Resolução:
Como |A-1| = 1/ |A| para afirmar que uma matriz não possui inversa, basta mostrar
que o seu determinante é nulo.
Observando que a terceira linha da matriz é a soma da primeira com a segunda,
que nos garante que o seu determinante é nulo. (combinação linear)
CORRETO
02. Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar
solução para ele.
Resolução:
X = 0/0
0.x + 0.y + 0.z = 0
Se um sistema de equações é indeterminado, então ele possui infinitas soluções.
INCORRETO
UFSC – 2007 – Análise Combinatória – página 11
11.( F ) Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma
das retas determinadas pelos seus vértices, a probabilidade de que a reta
passe pelo centro do hexágono é 1/8.
Resolução:
B
Total de retas:
Retas que passam pelo centro:
C
Probabilidade:
D
A
F
E
3
P=
15
1
P=
5
UFSC 2004
04. Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z.
As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em
três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos
produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00, R$
3.000,00.
Resolução:
A tabela pode ser representada por um sistema linear
Como o texto diz que os valores só podem ser os mencionados, teríamos uma
única solução, tornando o sistema S.P.D, logo ΔP ≠ 0, verificando :
1.x + 5. y + 3.z = 35000

4.x + 1. y + 2.z = 15000
5.x + 6. y + 5.z = 50000

1
5
3
∆P = 4
5
1
6
2
5
Como a terceira linha é a soma da primeira com a segunda (combinação linear) o
determinante será nulo, não podendo possuir uma única solução e como a
coluna dos termos independentes também possui combinação linear todas os
determinantes calculados dariam zero tornando o sistema S.P.I, logo com infinitas
INCORRETO
soluções.
UFSC 2004
08. A solução da equação
2 4 1
2 4 x
3 1 2
Resolução:
16 + 12x + 2 -12 – 2x -16 = 0
10x = 10
x=1
CORRETO
= 0 é x = 1.
09. Quando sete pessoas se encontram e todas se cumprimentam, o número de
apertos de mão possível, sem que os cumprimentos se repitam, é 42.
Resolução:
Pessoas: { A , B , C , D , E , F , G }
Total de cumprimentos:
Resultados: A e B = B e A
Combinação
INCORRETO
10. Numa lanchonete há cinco tipos de sucos: laranja, abacaxi, acerola, limão e
morango. Eles são servidos em copos de três tamanhos: pequeno, médio e grande.
Não é permitido misturar sabores. O número de maneiras possíveis de se pedir um
suco é 15.
Resolução:
P.F.C.
5p . ________
3p
________
Sucos
Copos
= 15
CORRETO
UFSC 2004
3) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
9¶/2 4¶/2
¶/2
01. O valor de sen 9¶/2 é 1.
2
Resolução:
Sen 9¶/2 = sen ¶/2 = 1
CORRETO
02. O gráfico da função g(x) = In x² é simétrico em relação ao eixo das
ordenadas.
Resolução:
Simetria em relação ao eixo das ordenadas indica que a função é par,
ou seja, g(x) = g(-x): g(x) = ln x2 e g(-x) = ln (-x)2 = ln x2
CORRETO
07. Se cinco atletas disputam uma prova de corrida de 800 metros, então o
número de resultados possíveis para os dois primeiros lugares, sem que haja
empates, é 10.
Resolução:
Atletas: { A , B , C , D , E }
Total de resultados:
P.F.C.
5p . ___
4p
___
Resultados: A e B  B e A
= 20
Arranjo
INCORRETO
08. Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de
serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos
seus nomes, por exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é 12.
Resolução:
CACI
Permutação
P42 =
4!
2!
CORRETO
UFSC 2004
04. Para todo arco x para o qual as expressões cos x/(1 + tg x) e
cos x) podem ser calculadas, elas fornecem o mesmo valor.
1/(sen x +
Resolução:
cos x
cos x = cos x
=
cos x + senx
(1 + tgx ) (1 + senx )
cos x
cos x
cos 2 x
=
cos x + senx
2
cos x
1
≠
cos x + senx senx + cos x
INCORRETO
06. Um grupo formado por 4 rapazes e uma senhorita vai visitar uma exposição de
arte. Um dos rapazes é um perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da
sala de exposições sem que a senhorita já o tenha feito. Considerando que a
entrada é de uma pessoa por vez, então haverá 72 diferentes possibilidades para a
ordem de entrada do grupo.
Resolução:
4p ___
3p ___
2p ___
1p = 24
S ___
___
3p ___
2p ___
2p ___
S ___
1p = 12
___
3p ___
3p ___
2p ___
S ___
1p = 18
___
3p ___
2p ___
1p ___
S ___
1p = 6
___
Total: 60
INCORRETO
UFSC 2004
08. Para todo arco x vale sen x² + cos x² = 1 e |sen x| + |cos x| ≥ 1 e pode ocorrer
senx + cosx = 0.
Resolução :
sen x² + cos x² = 1
(relação fundamental)
|sen x| + |cos x| ≥ 1
|sen x|2 + 2. |sen x|.|cos x| + |cos x|2 ≥ 12
2.|sen x|.|cos x| ≥ 0
|sen x.cos x| ≥ 0
1
COSX
|SENX – COS X|<1<SENX + COS X
Senx + Cosx > 1
senx + cosx = 0
sen 1350 + cos 1350 = 0
SENX
CORRETO
UFSC 2004
16. A imagem da função y = 3.cos x é o intervalo [-3,3].
Resolução :
Y = a + b.cos(m.x + n)
Im = [ a – b, a + b ]
Im = [ 0 – 3, 0 + 3 ]
Im = [- 3, 3 ]
CORRETO
03. O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra
BRASIL, que começam com B e terminam com L, é 24.
Resolução:
P.F.C.
2p. ___1p.
B ___4p.
___
___ 3p.
___ ___
24
L
Correto
04. Um time de futebol de salão é formado por 5 jogadores. Dispondo de 8
jogadores, podemos formar 64 times de futebol de salão.
Resolução:
C pn = C n,p
C n ,p =
n!
p!.(n − p)!
Incorreto
UFSC 2003
08) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) CORRETA(S).
01. O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.
Resolução:
Se A é quadrada de ordem 12 (A 12x12 ), então ela terá 12 x 12 = 144
elementos.
INCORRETO
02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.
Resolução:
O produto de duas matrizes, A e B, será possível quando o número de colunas de
A for igual ao número de linhas de B.
INCORRETO
UFSC 2003
X
04. A soma das raízes da equação 4
X
X
X
X = 0 é 8.
4
4
X
Resolução:
x³ + 4x² + 16x – 4x² – 4x² – 4x² = 0
x³ – 8x² + 16x = 0
x(x² – 8x + 16) = 0
x=0
ou
x² – 8x + 16 = 0
0+4+4=8
CORRETO
UFSC 2003
08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.
S.P.D
S.P.I
S.I.
Resolução:
A matriz quadrada pode não ter inversa (det A = 0) e, se
possuir inversa, ela será única. A . A-1 = I
INCORRETO
16. O sistema
Resolução:
S.P.I
ΔP = O
ΔP =
3x − 2 y = 0

x + y = 0
3 −2
1 1
é indeterminado.
ΔP = 3 + 2
ΔP = 5
3 −2 0
=
=
1 1
0
ΔP ≠ O
→ S.P.D
INCORRETO
02. A solução da equação Ax, 3 = 4 . Ax, 2 é 6.
Resolução:
A n,p = A pn
A n ,p
n!
=
(n − p)!
A x , 3 = 4. A x , 2
x!
x!
= 4.
( x − 3)!
( x − 2)!
S={6}
Correto
UFSC 2003
Questão 02 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Sen x ≤ x para todo x Є [ 0, ¶/2 ]
Resolução:
01. Representando y = sen x no plano cartesiano
Representando y = x no plano cartesiano
temos sen x ≤ x, para x Є [ 0, ¶/2 ]
¶/2
CORRETO
1
¶/2
-1
¶
2¶
UFSC 2003
02. Sen x + cos x ≥ 1 para todo x Є [ 0,¶/2 ]
Resolução:
02.
Sen x + cos x ≥ 1
(Sen x + cos x)2 ≥ (1)2
Sen2x + 2.senx.cosx + cos2x ≥ 1
1
2.senx.cosx ≥ 0
SENX
Sen2x ≥ 0, como x Є [ 0, ¶/2 ]
COSX
+ +
- -
CORRETO
|SENX – COS X|<1<SENX + COS X
Senx + Cosx > 1
UFSC 2003
04. Para qualquer arco x pertencente à interseção dos domínios das funções
trigonométricas vale a igualdade cosec2x/cotg2x = sec2x.
Resolução:
1
2
2
1
cos ec x
2
sen
x
=
sec
x
=
=
2
2
cos x cos 2 x
cot g x
2
sen x
CORRETO
UFSC 2003
08. Os gráficos das funções f1(x) = sen x e f2(x) = 5sen x se interceptam
numa infinidade de pontos.
Resolução:
f1(x) = sen x
f2(x) = 5.sen x
Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que se
interceptam em infinitos pontos:
5
1
¶
2¶
3¶
-1
CORRETO
-5
UFSC 2003
16. Os gráficos das funções g1(x) = cosx e g2(x) = 3 + cosx não possuem
ponto em comum.
Resolução:
g1(x) = cosx
g2(x) = 3 + cosx
Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que nunca
se interceptam :
4
3
2
1
¶
-1
2¶
3¶
CORRETO
UFSC 2003
32. Os gráficos das funções h1(x) = sen x e h2(x) = sen (x+1) se interceptam
numa infinidade de pontos.
Resolução:
h1(x) = sen x
h2(x) = sen (x+1)
Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que se
interceptam em infinitos pontos:
1
¶
-1
2¶
3¶
CORRETO
01. A solução da equação (x + 3)! + (x + 2)! = 8 . (x + 1)! é 0 (zero).
Resolução:
(x + 3)! + (x + 2)! = 8 . (x + 1)!
(x + 3).(x + 2).(x + 1)! + (x + 2).(x + 1)! = 8 . (x + 1)!
x2+ 5x + 6 + x + 2 = 8
x2+ 6x = 0
x = 0 ou x = -6 (não serve)
Correto
Erivaldo e Baiano
FIM