Aula 15 - Problemas de Otimização

1. Resolução de problemas de
otimização
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Exemplo 1: Determinação do Volume Máximo
Um industrial deseja construir uma caixa
aberta de base quadrada e área de superfície de
108 polegadas quadradas, conforme a figura a
seguir. Que dimensões darão uma caixa com volume
máximo?
Problemas de Otimização
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
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Problemas de Otimização
1. Resolução de problemas de
otimização
1.Resolução de problemas de otimização
2.Exemplos
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1. Resolução de problemas de
otimização
1. Resolução de problemas de
otimização
Solução:
Uma das aplicações mais comuns do Cálculo é
a determinação de valores ótimos (máximos ou
mínimos). Antes de delinear um método geral para
resolver problemas de otimização, apresentamos
um exemplo.
Como a base da caixa é quadrada, o volume é
V = x 2h
Equação fundamental
Esta
equação
é
chamada
equação
fundamental porque dá a fórmula da grandeza a
ser otimizada.
3
6
1
1. Resolução de problemas de
otimização
1. Resolução de problemas de
otimização
A área da superfície da caixa é:
Ao estudar o Exemplo 1, é importante
compreender a questão básica formulada. Alguns
estudantes têm dificuldades com problemas de
otimização porque se apressam em resolvê-los
utilizando uma fórmula padronizada. Por exemplo,
no Exemplo 1, devemos ter em mente que há
infinitas caixas abertas com 108 polegadas
quadradas de área de superfície.
S = (área da base) + (área dos quatro lados)
108 = x 2 + 4 xh
Equação secundária
Como devemos otimizar V, é conveniente
expressar V como função de uma única variável.
Para isto, resolvamos a equação secundária em
relação a h em termos de x, obtendo
h=
108 − x 2
4x
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1. Resolução de problemas de
otimização
Substituindo
teremos:
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1. Resolução de problemas de
otimização
na
equação
fundamental,
Devemos começar a resolver o problema
perguntando que forma básica parece dar o volume
máximo. A caixa deve ser alta, cúbica ou achatada?
Podemos mesmo tentar calcular alguns volumes,
conforme a figura a seguir, para ver se intuímos
quais devem ser as dimensões ótimas.
 108 − x 2 
1 3
V = x 2h = x 2 
 = 27 x − x
4
 4x 
Função de uma única variável
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1. Resolução de problemas de
otimização
1. Resolução de problemas de
otimização
(6, 108)
120
Antes de achar que valor de x dá um valor
máximo para V, devemos determinar o domínio
viável da função, isto é, que valores de x têm
sentido no problema. Como x deve ser não-negativo
e a área da base (A = x2) é, no máximo, 108,
podemos concluir que o domínio viável é
0 < x < 108
11
V = 27 x −
100
x3
4
Volume
80
60
40
Domínio viável
20
Aplicando as técnicas descritas anteriormente, podemos determinar que esta função tem
um máximo absoluto quando x = 6 polegadas e h = 3
polegadas.
0
0
9
2
4
6
x
8
10
12
12
2
1. Resolução de problemas de
otimização
1. Resolução de problemas de
otimização
Nota: Ao aplicar a Etapa 5, recorde que, para
Lembre-se de que você só estará em
condições de começar a resolver um problema de
otimização quando o tiver identificado claramente.
Uma vez entendido o que se pede, pode-se então
começar a cogitar de um método para resolver o
problema.
determinar o máximo ou o mínimo de uma função
contínua f em um intervalo fechado, devemos
comparar os valores de f em seus pontos críticos
com os valores de f nas extremidades do intervalo.
O maior desses valores é o máximo procurado, e o
menor deles é o mínimo.
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1. Resolução de problemas de
otimização
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2. Exemplos
Há várias etapas na resolução do Exemplo 1.
A primeira consiste em esboçar um diagrama e
atribuir símbolos a todas as grandezas conhecidas
e a todas as grandezas desconhecidas. A segunda
etapa é escrever uma equação fundamental para a
grandeza a ser otimizada. Estabelece-se então uma
segunda equação, que usamos para reescrever a
equação fundamental como função de uma única
variável. Finalmente, aplica-se o cálculo para
determinar o valor ótimo. Essas etapas acham-se
esquematizadas a seguir.
Exemplo 2: O produto de dois números positivos é
288. Minimize a soma do segundo número com o
dobro do primeiro.
Solução
1. Sejam x o primeiro número, y o segundo e S a
soma a ser minimizada.
2. Como desejamos
fundamental é
S = 2x + y
minimizar
S,
a
equação
Equação fundamental
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1. Resolução de problemas de
otimização
Diretrizes
Otimização
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2. Exemplos
para
Resolver
Problemas
de
1. Atribuir símbolos a todas as grandezas dadas e
a todas as grandezas a serem determinadas.
Quando cabível, fazer um diagrama.
2. Estabelecer uma equação fundamental para a
grandeza a ser maximizada ou minimizada.
3. Reduzir a equação fundamental a uma equação
com uma única variável independente; isto pode
envolver a utilização de uma equação secundária
que relacione as variáveis independentes da
equação fundamental.
4. Determinar o domínio viável da equação
fundamental, isto é, determinar os valores para
os quais o problema tem sentido.
5. Aplicar o cálculo para o achar o valor máximo ou15
mínimo desejado.
3. Como o produto dos dois números é 288, temos
a seguinte equação secundária:
xy = 288
Equação secundária
288
y=
x
Com este resultado, podemos escrever a
equação fundamental como função de uma variável.
S = 2x +
288
x
Função de uma variável
18
3
2. Exemplos
2. Exemplos
120
4. Como os números são não-negativos, o domínio
viável é
Domínio viável
5. Para achar o máximo de S,
determinando seus pontos críticos.
dS
288
= 2− 2
dx
x
288
0=2− 2
x
x 2 = 144
x = ±12
(12, 48)
60
40
Achar a derivada de S
20
Igualar a derivada a 0
0
Simplificar
Pontos críticos
0
2
4
6
8
10
19
2. Exemplos
x = 12 e y =
14
16
18
20
22
24
22
x
Exemplo 3: Ache os pontos do gráfico de y = 4 – x2
que estão mais próximos de (0, 2).
Solução
1. A figura a seguir indica que há dois pontos à
distância mínima do ponto (0, 2).
288
= 24
x
2. Pede-se minimizar a distância d. Assim, com a
Fórmula da Distância, obtemos uma equação
fundamental.
d = ( x − 0)2 + ( y − 2)2
20
Equação fundamental
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2. Exemplos
2. Exemplos
0 < x < 12
12 < x < ∞
Valor de Teste
x = 11
x = 13
Sinal de dS/dx
dS/dx < 0
dS/dx > 0
S é decrescente
S é crescente
Conclusão
12
2. Exemplos
Escolhendo o valor positivo de x, podemos
concluir, pelo Teste da Derivada Primeira, que S é
decrescente no intervalo (0, 12) e crescente no
intervalo (12, ∞), conforme mostra a tabela
seguinte. Portanto, x = 12 dá um mínimo e os dois
números são
Intervalo
288
x
80
comecemos
Soma
x >0
S = 2x +
100
21
24
4
2. Exemplos
2. Exemplos
d = x 4 − 3x 2 + 4
3,0
3. Recorrendo à equação secundária y = 4 – x2,
podemos escrever a equação fundamental como
função de uma única variável.
Substituir y por 4 - x 2
= x − 3x + 4
4
2,0
Distância
d = x 2 + (4 − x 2 − 2)2
2,5
2
Simplificar
Como d é mínima quando a expressão sob o
radical o é, simplificamos o problema achando o
valor mínimo de
f (x ) = x − 3x + 4
4
1,5
 3 7 1,0
 − ,

 2 4 0,5
 3 7
,


 2 4
0,0
-3,0
2
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
x
25
2. Exemplos
-2,0
28
2. Exemplos
4. O domínio de f é toda a reta real.
f ' (x ) = 4x3 − 6x
Achar a derivada de f
0 = 4x3 − 6x
Igualar a derivada a 0
Exemplo 4: Uma página retangular deve conter 24
polegadas quadradas de impressão. As margens
superior e inferior têm cada uma 1 ½ polegada de
largura. As duas margens laterais têm cada uma 1
polegada. Quais devem ser as dimensões da página
para que seja utilizada a quantidade mínima de
papel?
0 = 2 x(2 x 2 − 3)
Fatorar
Solução
Pontos críticos
1. A figura a seguir exibe um diagrama da página.
5. Para achar o mínimo de f(x), determinemos
primeiro os pontos críticos de f.
x = 0,
3
3
,−
2
2
26
29
2. Exemplos
2. Exemplos
Pelo Teste da Derivada Primeira, podemos
concluir que x = 0 dá um máximo relativo, enquanto
que 3 2 e − 3 2 dão mínimo. Logo, no gráfico de
y = 4 – x2, os pontos que estão mais próximos do
ponto (0, 2) são:
 3 5
, 


 2 2
e
 3 5
 − , 
 2 2
27
30
5
2. Exemplos
2. Exemplos
2. Chamando A a área a ser minimizada, a equação
fundamental é
A = ( x + 3) ⋅ ( y + 2)
Como x = -6 não pertence ao domínio viável,
basta considerarmos o ponto crítico x = 6. Pelo
Teste da Derivada Primeira, decorre que A é
mínimo quando x = 6. Assim, as dimensões da
página devem ser
Equação fundamental
3. A área impressa, interior às margens, é dada por
24 = xy
x + 3 = 6 + 3 = 9 polegadas
Equação secundária
y +2=
Resolvendo esta equação em relação a y, vem
y=
24
x
24
+ 2 = 6 polegadas
6
31
2. Exemplos
34
2. Exemplos
100
Levando este valor na equação fundamental,
obtemos:
 2 x + 30 x + 72 
=

x


72
= 30 + 2 x +
x
( 6, 54 )
60
Equação fundamental
Área
 24

+ 2
A = ( x + 3) ⋅ 
 x

 24 + 2 x 
= ( x + 3) ⋅ 

x


80
40
A = 30 + 2 x +
20
2
72
x
0
Simplificar
0
32
4
8
12
x
16
20
24
35
2. Exemplos
4. Como x deve ser positivo, o domínio viável é
x > 0.
5. Para achar o área mínima, começamos
determinando os pontos críticos de A.
dA
72
=2− 2
dx
x
72
0=2− 2
x
x 2 = 36
x = ±6
Achar a derivada de A
Igualar a derivada a 0
Pontos críticos
33
6