Folhas das aulas práticas

Cálculo Integral
1. Superfı́cies Quádricas
44. Identifique e esboce as seguintes superfı́cies quádricas:
(a) x2 + 2y 2 + z 2 = 1;
(b) x2 + z 2 = 9;
(c) x2 + y 2 + z 2 = −2z;
(d) x2 + y 2 = 4 − z;
(e) (z − 4)2 = x2 + y 2 ;
(f) y = x2 ;
(
z = 2 + y2
(g)
;
x≥2
(h) x2 + y 2 + 9 = 0;
(i) x2 + 2y 2 − z 2 = 1;
(j) x2 − y 2 − z 2 = 9.
45. Represente geometricamente o sólido S definido pelas condições:
(a) x2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2 ;
(b) x2 + y 2 ≤ 4 e x2 + y 2 ≥ (z − 6)2 ;
(c) x2 + y 2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x + y;
(d) 0 ≤ z ≤ 2 e x2 + y 2 − z 2 ≤ 1.
46. Faça o esboço gráfico dos seguintes subconjuntos de R3 :
(a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, e 6x + 3y + 2z ≤ 12};
(b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 6y e x2 + y 2 + z 2 ≤ 36};
p
(c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : 4 + z ≥ x2 + y 2 e 2 − z ≥ x2 + y 2 }.
2. Integral duplo
2.1 Cálculo do integral duplo em coordenadas cartesianas
ZZ
47. Calcule
f (x, y) dA, sendo:
R
(a) f (x, y) = x2 + y 2 e R = [0, 1] x [0, 1];
10
(
(b) f (x, y) =
1−x−y
0
x+y ≤1
x+y >1
se
se
e R = [0, 1] x [0, 1];
(c) f (x, y) = x y − 1 e R a região de R2 definida por y ≥ x2 e x ≥ y 2 ;
(d) f (x, y) = x2 y 2
e R o subconjunto do 1¯o quadrante de R2 determinado por

1
2


 y≥x , y≤x
;



y ≥ x , y ≤ 2x
(e) f (x, y) = |x + y| e R = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1};
(f) f (x, y) = √
1
e
2a − x
R = {(x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − a)2 ≥ a2 , 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a};
48. Inverta a ordem de integração e calcule, nos casos relevantes, os seguintes integrais:
Z 1Z 2
2
(a)
ey dy dx;
0
Z
2x
9
3
Z
(b)
√
0
sin(x3 ) dx dy;
y
Z e Z log x
(c)
y dy dx;
1
0
√
Z
2
Z
(d)
2
4−x
√
2
√
−
−2
Z
2
4−x
√
2
√
r
Z
(e)
dx
0
Z
f (x, y) dy dx;
2rx−x2
f (x, y) dy;
x
1
Z
(f)
x2
Z
3
Z
f (x, y) dy dx +
0
0
3−x
2
f (x, y) dy dx;
1
0
2.2 Cálculo do integral duplo em coordenadas polares
49. Calcule os seguintes integrais passando a coordenadas polares:
ZZ
(a)
x dxdy onde D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x, x ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 9 e x2 + y 2 ≥ 4};
D
11
ZZ
(b)
onde D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4};
dxdy
D
Z
2
√
Z
4−x2
−2
Z
1
3
(x2 + y 2 ) 2 dy dx;
(c)
0
√
Z
1−x2
(d)
p
2
2
e x + y dy dx;
0
0
ZZ
(e)
D
2xy
p
dxdy
(x2 + y 2 ) x2 − y 2
√
y = 0, y =
ZZ
(f)
dxdy
3
x,
3
x2 + y 2 =
1
4
sendo D a região do 1¯o quadrante de R2 limitada por
e x2 − y 2 = 1.
onde D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 2x ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 4 e y ≤
√
3x};
D
ZZ
50. Usando uma mudança de coordenadas conveniente, calcule
xy dxdy
onde
D
D = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y 2 ≤ 4 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨ (4x2 + y 2 ≤ 4 ∧ x ≤ 0 ∧ y ≥ 0)} .
2.3 Algumas aplicações do integral duplo
2.3.1 Áreas de regiões planas
51. Determine, usando integrais duplos, as áreas dos domı́nios planos definidos por:
(a) R = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 6x − x2 e y ≥ x2 − 2x};
(b) R = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ e−x , y ≤ ex e 0 ≤ x ≤ 2 };
(c) R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2x, y ≤
√
3x e y ≥ x};
(d) R = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ x e y ≥ 0};
(e) R = {(x, y) ∈ R2 :
x2
x2 y 2
+ y 2 ≥ 1,
+
≤ 1, y ≤ x, x ≥ 0 e y ≥ 0};
4
4
9
(f) R = {(x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ 4x e y ≥ 2x − 4};
(g) R = {(x, y) ∈ R2 : x + 4y ≤ 5 e xy ≥ 1}.
52. Usando integrais duplos, calcule a área da região plana R definida por
R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, (x − 1)2 + y 2 ≤ 1 e y ≥ 0} .
12
2.3.2 Volumes
53. Usando integrais duplos, calcule o volume dos seguintes subconjuntos de R3 :
(
(a)
(
x2 + y 2 ≤ 1
;
0≤z ≤x+y
(e)

2

 y≥x
(f)
;
x ≥ y2


0≤z≤3
(b) x2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2 ;
 2
x


+ y2 ≤ 1

4
(c)
;



1 ≤ z ≤ 12 − 3x − 4y
(
(d)
2
2
x2 + y 2 ≤ 2z
;
x2 + y 2 + z 2 ≤ 3
(
(z − 16)2 ≤ x2 + y 2
;
x2 + y 2 ≤ 4
(
z ≤ 2 − (x2 + y 2 )
.
y+z ≥2
(g)
2
x +y +z ≤4
;
x2 + y 2 ≤ 2x
(h)
54. Seja E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z 2 ≤ 1, x2 + z 2 ≤ y 2 e 0 ≤ y ≤ 2}. Determine o volume de E
usando integrais duplos.
2.3.3 Áreas de superfı́cies
55. Calcule as áreas das seguintes superfı́cies :
(a) Porção do plano de equação 6x + 3y + 2z = 12 situada no primeiro octante;
(b) Porção do parabolóide de equação x2 + y 2 = 2z situada no interior da superfı́cie cilı́ndrica
x2 + y 2 = 1;
(c) Superfı́cie esférica;
(d) Porção da superfı́cie cónica de equação x2 +y 2 = z 2 situada no interior da superfı́cie cilı́ndrica
de equação x2 + y 2 = 1;
(e) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 4 e x2 + y 2 ≤ z 2 };
(f) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 4 e 0 ≤ z ≤ 3}.
13
3. Integral triplo
3.1 Cálculo do integral triplo em coordenadas cartesianas
ZZZ
56. Calcule
f (x, y, z) dx dy dz , em cada um dos seguintes casos:
V
1
;
(a) V = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z ≤ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0
e f (x, y, z) =
(x + y + z + 1)3
e f (x, y, z) = x y;
(b) V = (x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 4 ∧ z ≤ 2 1 − y 2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0
(c) V = (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 3 − x2 − y 2 ∧ x2 + y 2 ≤ 1
e f (x, y, z) = x + y.
ZZZ
57. Considere o integral triplo I =
x dx dy dz escrito na forma
E
Z
2
Z
√
2 x
√
Z
4x−y 2
2
x dz dy dx
0
0
0
.
(a) Inverta a ordem de integração de modo a que a primeira integração se faça em ordem a
i. x;
ii. y.
(b) Calcule o valor de I.
3.2 Cálculo do integral triplo em coordenadas cilı́ndricas e em coordenadas esféricas
58. Usando uma mudança de variável conveniente calcule os seguintes integrais triplos
ZZZ
1
(a)
3 dV com
2
2
D (1 − x − y ) 2
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2 } ;
ZZZ
1
(b)
3
D
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
dV com
D = {(x, y, z) ∈ R3 : 4 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 9} ;
ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dxdydz com
(c)
D
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ∧ x2 + y 2 + (z − 1)2 ≤ 1} ;
ZZZ
(d)
y dV com
D
p
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ∧ z ≥ − x2 + y 2 } ;
14
ZZZ
(e)
z dV com
D
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z 2 ≤ 2z − x2 − y 2 } ;
59. Considere o integral triplo I escrito na seguinte forma
Z 2π Z 1 Z 2−rcosθ
I=
4r2 sin θ dz dr dθ .
0
0
r2 −1
(a) Calcule o valor de I;
(b) Represente graficamente o domı́nio de integração E;
(c) Escreva I como um integral iterado usando coordenadas cartesianas.
3.3 Aplicação do integral triplo ao cálculo de volumes
60. Usando integrais triplos, calcule o volume das regiões de R3 definidas por:
p
(d) x2 + y 2 ≤ z ≤ x2 + y 2 ;
(a) x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 , r > 0;
(
(
x2 + y 2 ≤ 1
x2 + y 2 + z 2 ≤ 8
(b)
;
(e)
;
−1 ≤ z ≤ 1
z 2 ≥ x2 + y 2
(
(
x2 + y 2 ≤ (z − 1)2
x2 + y 2 + z 2 ≤ 4
(c)
;
(f)
.
0≤z≤1
x2 + y 2 + (z − 2)2 ≤ 4
61. Determine o volume dos seguintes sólidos
(a) V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 2 e x2 + y 2 − z 2 ≤ 1};
(b) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z , x2 + y 2 + z 2 ≤ 3 e y ≥ x}.
4. Integral curvilı́neo
4.1 Cálculo e aplicação ao cálculo do trabalho
Z
62. Calcule
F~ · d~r onde
C
(a) F (x, y) = (x2 − y 2 )ı̂ + x̂ e C é o arco da circunferência de equação x2 + y 2 = 4, orientada
no sentido directo, que vai de A(0, 2) a B(2, 0);
(b) F (x, y, z) = (y + z)ı̂ + (x + z)̂ + (x + y)k̂ e C é o arco da curva de equação
(
y = x2
z = x4
que une os pontos A(0, 0, 0) e B(1, 1, 1) e orientada de A para B;
15
(c) F (x, y, z) = (2x − z)ı̂ + y̂ + xk̂ e C é a curva que se obtem por justaposição do segmento de
recta de extremos (0, 0, 0) e (1, 0, 0) com a curva parametrizada por


 x = cos t
y = sin t , 0 ≤ t ≤ π ;


z = πt
(d) F (x, y, z) = −yı̂ + x̂ + z k̂ e C é a curva definida por
o
n
p
C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1 e z = x2 + y 2 ,
orientada no sentido directo.
63. Calcule os seguintes integrais curvilı́neos:
Z
π π (a)
(y − sin x) dx + cos x dy, onde C é o triângulo de vértices P (0, 0), Q
,0 e R
,1 ,
2
2
C
orientado no sentido positivo;
Z
(b)
(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, onde C é a elipse definida por x2 +y 2 = 1 e x+z = 1.
C
64. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y, z) = xı̂ + 2y̂ − z k̂, no deslocamento
ao longo da curva C definida por:
(
z = y4
, desde (1, 0, 0) a (1, 1, 1) .
x=1
65. Considere as duas superfı́cies de equações
S1 : x2 + 2y 2 + z 2 = 4
e
S2 : z =
√
3,
e seja Γ a linha de intersecção de S1 com S2 . Calcule o trabalho realizado pelo campo
~
G(x,
y, z) = −y 2 ı̂ + xy̂ + (z 2 + 1)k̂,
para deslocar uma partı́cula material ao longo da curva Γ, orientada no sentido directo.
4.2 Campos conservativos. Independência do caminho
Z
ex sin y dx + ex cos y dy, onde C é uma curva entre o ponto P (0, 0), e o ponto Q
66. Calcule
C
Z
67. Calcule
(y − x2 ) dx + x dy, onde
C
C = {(x, y) ∈ R2 : (y = 2x − x2 ∧ 0 ≤ x ≤ 1) ∨ (x + 3y = 4 ∧ 1 ≤ x ≤ 4)}
e está orientada de A = (4, 0) para B = (0, 0) .
16
π π ,
.
2 2
68. Determine
Z a função φ(x), com primeira derivada contı́nua, que se anula para x = 2 e tal que o
integral
2y dx + φ(x) dy é independente do caminho de integração .
C
69. Seja Γ a curva que se obtém por justaposição da curva definida por x2 + y 2 = 4 e
x ≥ 0 e y ≥ 0, orientada de A(0, 2) para B(2, 0), com a curva definida parametricamente por
(
x = 2 − 2t
, t ∈ [0, 1] .
y = 4t2 − 8t
Z
2
ex dx + (1 + y 2 ) dy.
Calcule
Γ
4.3 Teorema de Green
Z
70. Por aplicação do Teorema de Green, calcule o integral
−x2 y dx + xy 2 dy, onde C é a circun-
C
ferência de equação x2 + y 2 = 4, orientada no sentido directo.
71. Sendo
y2
2
2
+2 ,
R = (x, y) ∈ R : x ≥ y e x ≤
2
ZZ
use o Teorema de Green para calcular o integral
y 2 dxdy.
R
Z
72. Seja K =
y dx + ey y 2 dy onde C é a fronteira, orientada no sentido directo, da região plana R
C
determinada pelas condições x ≤ 2 e y 2 ≤ 2(x + 2). Apresente o valor da área de R em função de
K.
73. Considere o campo de vectores definido por
1
F (x, y) =
, x + 1 , (x, y) ∈] − 1, 1 [×R.
arccos x
Calcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma partı́cula desde o ponto A =
0, − 12 até ao ponto B = 0, 12 , ao longo do arco de circunferência definido por
x2 + y 2 =
1
4
x ≥ 0.
e
74. Considere a região plana
R = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x e x2 + y 2 ≤ −2x} .
ZZ
(a) Calcule o valor da constante k dada por k =
y dA.
R
(b) Sendo C a curva com orientação positiva, que é fronteira da região R, mostre que
Z
(x + 2y 2 ) dx + (xy + y 2 ) dy = −3k .
C
17
75. Considere a seguinte região plana
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1 − (x + 1)2 }
e a curva C que é a fronteira de R orientada positivamente.
(a) Usando uma parametrização, calcule,
Z
−x2 dy − y 2 dx .
C
(b) Use o resultado anterior para determinar o volume do sólido
E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R e 0 ≤ z ≤ y − x} .
76. Seja C a curva de equações paramétricas
(
x(t) = a cos t ,
t ∈ [0, 2π]
e
y(t) =
Usando o Teorema de Green, determine a por forma a que
Z
x dx + xy dy = 18 .
C
18
a sin t , t ∈ [0, π]
.
0,
t ∈]π, 2π]