ACENTUAÇÃO GRÁFICA

RESOLUÇÃO PROVA PM
Prof. Daniel Almeida
Matemática
Fala galera!!!
Vamos iniciar a correção da prova da PM.
Antes, gostaria de fazer algumas ressalvas
sobre as questões 15 e 18. O edital poderia ter
sido mais específico sobre o que ele desejava
com “funções e gráficos” e “sistemas de
equações”. Foram cobrados alguns conceitos
na prova que não são habituais de concursos
públicos que trazem um edital “resumido”
quando cita esses dois temas. Isso acabou
gerando dificuldade no momento da preparação
do material e também problemas para os alunos
na resolução dessas duas questões.
Qualquer dúvida me
[email protected]
mandem
no
email
Grande abraço!!!!
Prof. Daniel Almeida
11) Sejam quatro cidades designadas por A, B,
C E D. Considere que há três rodovias que ligam
a cidade A com a cidade B, duas rodovias que
ligam a cidade B com a cidade C e quatro
rodovias que ligam a cidade C com a cidade D.
Se desejarmos ir de A até D, passando pelas
cidades B e C, de quantas formas poderemos
realizar tal percurso?
a) 12
b) 16
c) 24
d) 30
e) 36
V1,A1,P1
V1,A1,P2
V1,A1,P3
V1,A1,P4
V2,A1,P1
V2,A1,P2
V2,A1,P3
V2,A1,P4
V3,A1,P1
V3,A1,P2
V3,A1,P3
V3,A1,P4
V1,A2,P1
V1,A2,P2
V1,A2,P3
V1,A2,P4
V2,A2,P1
V2,A2,P2
V2,A2,P3
V2,A2,P4
V3,A2,P1
V3,A2,P2
V3,A2,P3
V3,A2,P4
24 opções.
ALTERNATIVA LETRA C
12) Considere uma colisão de dois veiculos. Num
sistema de coordenadas cartesianas, as posições
finais destes veiculos após a colisão são dadas nos
pontos A = (2,2) e B=(4,1). Para compreender como
ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória
retilínea que passa pelos pontos A e B. Essa
trajetória é dada pela equação
a) x – y = 0
b) x + y - 5 = 0
c) x – 2y + 2 = 0
d) 2x + 2y – 8 = 0
e) x + 2y – 6 = 0
Resolução:
o
Teste de função do 1 grau em que através de dois
pontos dados devemos encontrar a equação da reta.
Resolução:
Questão que envolve um problema de raciocínio
lógico(contagem), vamos observar o esquema:
Como uma função do 1º grau tem a forma y = ax + b,
podemos usar os dois pontos para encontrar um sistema
linear.
Ponto A = (2,2), que significa que quando x vale 2 seu
correspondente y também vale 2.
Substituindo na equação temos a equação:
2 = 2a + b
Agora, usando o ponto B = (4,1) e substituindo este ponto
na função genérica temos:
1 = 4a + b
Assim, como ele possui 3 opções de A até B, 2
opções de B até C e 4 opções de C até D, temos 3 x
2 x 4 = 24 opções.
Observe que poderíamos ter resolvido também
destrinchando as opções. Chamaremos os três
caminhos em vermelho de V1, V2 e V3, os azuis de
A1 e A2 e os pretos de P1,P2, P3 E P4.
Assim, teríamos
Atualizada 09/02/2010
Finalmente, formamos o sistema linear:
2𝑎 + 𝑏 = 2
4𝑎 + 𝑏 = 1
Isolando b na primeira equação, b = 2 – 2a, e
substituindo na segunda equação:
4a + (2 – 2a) = 1
2a = -1
a = -1/2
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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Matemática
Substituindo o valor de a, na equação b = 2 – 2a, temos
b = 2 – 2(-1/2)
b=2+1
b=3
Assim, nossa equação fica,
1
𝑦=− 𝑥+3
2
Multiplicando a equação inteira por 2
2𝑦 = −𝑥 + 6
Colocando todos os temos na esquerda:
𝟐𝒚 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎
Resolução:
Teste de trigonometria no triângulo retângulo.
Aqui utilizaremos duas ferramentas, as relações
trigonométricas no triângulo retângulo
Letra e
Um segundo método resolutivo seria substituir os
pontos dados nas equações das alternativas e
observar se elas verificam os dois pontos.
Ex:
Testando letra E
Ponto A = (2,2)
𝒔𝒆𝒏 𝒙 =
𝑪𝑶
𝑯𝑰𝑷
𝒄𝒐𝒔 𝒙 =
𝑪𝑨
𝑯𝑰𝑷
𝒕𝒈 𝒙 =
𝑪𝑶
𝑪𝑨
𝟐𝒚 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎
2.2 + 2 – 6 = 0 ------ Verifica
E os valores de seno, cosseno e tangente dos
ângulos notáveis
Ponto B = (4,1)
Relação/aarco
𝟐𝒚 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎
SENO
2.1 + 4 – 6 = 0 ------ Verifica
COSSENO
Assim, como os dois pontos verificam, assinalamos
letra E.
TANGENTE
13) Uma torre de observação é construida em
uma região plana. Um bombeiro precisa
determinar a altura h da torre. Ele observa a
torre sob um ângulo de 60º, a partir de um ponto
P, situado a d metros desta. Partindo de P, ao se
afastar da torre por mais 10 metros, passa a vêla sob um ângulo de 45º. Qual a altura da torre,
em metros?
30º
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑
45º
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
60º
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
Separando o triângulo em 2 temos:
Usando tangente no triângulo menor:
𝒕𝒈 𝟔𝟎𝒐 =
𝟑=
2
Atualizada 09/02/2010
𝒉
𝒅
𝒉
𝒅
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𝟑
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𝟏 −𝟗
𝟑 𝟑𝟓
𝟏
𝟖
−
𝒉
𝒅=
𝟑
Agora, utilizando tangente no triângulo maior
temos:
=
𝟑
𝟑𝟓
𝟏
𝟖
+
Matemática
𝟑
𝟖
𝟐𝟒
= 𝟑𝟓 . 𝟏 =𝟑𝟓
LETRA A
15) Considere as alternativas.
𝒕𝒈 𝟒𝟓𝒐 =
𝒉
𝟏𝟎 + 𝒅
I. A funcão logarítmica na base 2, 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙 ,
para x > 0, é sempre positiva.
o
Substituindo o valor de tg 45 e de “d”, temos
𝟏=
𝒉
𝟏𝟎 +
𝒉
𝟑
III. A função cosseno, 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 , para x > 0, é
sempre positiva.
Passando o 𝟏𝟎 +
𝟏𝟎 +
𝒉
𝟑
II. A funcão logarítmica natural, 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 ,
para x > 0, é sempre crescente.
𝒉
𝟑
IV. A função tangente, 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙 , para
𝟎 < 𝒙 < 𝝅/𝟐, é sempre crescente.
, multiplicando:
=𝒉
Resolução:
Tirando o mmc.
I. A funcão logarítmica na base 2, 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙 ,
para x > 0, é sempre positiva.
𝟏𝟎 𝟑 + 𝒉 = 𝒉 𝟑
Isolando 𝒉 =
𝟏𝟎 𝟑
𝟑−𝟏
Afirmativa Falsa.
. ----- Letra A
Obs. Questão similar na apostila, teste 4 da
página 48.
Podemos observar que f(x) não é positiva para
todos os valores de x. Basta observar por exemplo
que quando x vale 1/2 o valor de f(1/2) é igual a -1.
II. A funcão logarítmica natural, 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 ,
para x > 0, é sempre crescente.
𝟏 𝟏
𝟏
−𝟐.
𝟑 𝟕
𝟓
−
14) O valor de
Afirmativa Verdadeira.
Como 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2,718 … 𝑥 e quando a base do
logaritmo é maior que 1 a função é crescente
podemos assinalar verdadeira.
𝟎,𝟏𝟐𝟓
a) 24/35
III. A função cosseno, 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 , para x > 0, é
sempre positiva.
b) 2
Afirmativa Falsa.
c) 36/35
Neste caso, utilizaremos algumas noções de
trigonometria no ciclo. Como, a função cosseno é
negativa no 2º e no 4º quadrante, então ela nem
sempre é positiva.
d) 7/8
e) 9/35
Resolução:
Questão
cálculos
𝟏 𝟏
𝟏
− −𝟐.
𝟑 𝟕
𝟓
𝟎,𝟏𝟐𝟓
de
matemática
básica.
Vamos
aos
IV. A função tangente, 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙 , para
𝟎 < 𝒙 < 𝝅/𝟐, é sempre crescente.
Afirmativa Verdadeira.
𝟏 𝟏 𝟐
− −
𝟕 𝟓
= 𝟑𝟏𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
Atualizada 09/02/2010
=
𝟏 𝟓−𝟏𝟒
−
𝟑 𝟑𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
Neste caso, também utilizaremos algumas noções
de trigonometria no ciclo. Como, a função tangente
aumenta conforme aumenta “x” no primeiro
quadrante então a afirmação é verdadeira.
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d = (n-2)(n-3)
ALTERNATIVA LETRA B
Obs. Vale ressaltar que esta questão foge um
pouco do escopo do edital, pois este citava,
“relações trigonométricas” e não funções
trigonométricas. Mesmo assim, não podemos
ganhar um recurso pois o edital cita em outro
ponto “Funções e gráficos”.
Se fossemos tratar o “Funções e gráficos” como
qualquer função matemática possível teríamos que
trabalhar função do 1º grau, 2º grau, outras
polinomiais de grau maior que 2, exponencial,
logarítimica, composta, inversa, par, impar, seno,
cosseno,
tangente,
secante,
cossecante,
cotangente, entre outras. Isso acabaria tornando
qualquer curso preparatório impraticável pois teria
que ser utilizada uma carga horária gigantesca pra
esses assuntos.
16) Um serralheiro precisa estimar o custo de
estrutura de alumínio no formato de polígonos.
Essas estruturas poligonais devem ter barras
diagonais para reforçá-las. O custo da estrutura
metálica depende do número de barras
diagonais. O número de diagonais d de um
polígono de n lados é doda por uma função
quadrática. Vejamos, o triângulo tem n = 3 lados
e d = 0 diagonais, o quadrado tem n = 4 lados e
d = 2 diagonais, o pentágono tem n = 5 lados e d
= 5 diagonais e assim por diante. Generalizando,
em um polígono de n lados, o número de
diagonais é dado por:
Testando
n=3
d=0
0 = (3-2)(3-3) ------- verifica
Testando
n=4
d=2
2 = (4-2)(4-3)-------- verifica
Testando
n=5
d=5
5 = (5-2)(5-3) -------- não verifica
Assim, concluimos que não pode ser letra “c”.
Vamos testar letra “d”.
𝑑=
𝑛(𝑛 − 3)
2
Testando
n=3
d=0
0=
3(3−3)
2
----- verifica
Testando
n=4
d=2
2=
4(4−3)
2
------ verifica
Testando
n=5
d=5
5=
5(5−3)
2
-------- verifica
Assim, concluimos que a fórmula do número de
diagonais de um polígono convexo é dada por
𝑛(𝑛−3)
𝑑=
.
Resolução:
2
Teste que pode ser facilmente resolvido testando
as respostas. Basta substituirmos os valores do
enunciado,
n=3
d=0
n=4
d=2
n=5
d=5
Observe que não testaremos nas letras “a” e “e”
pois estas representam funções de 3º e 1º graus
respectivamente e o enunciado informou que
estaríamos tratando de uma função quadrática (2º
grau).
Alternativa letra D
17) Três números estão em uma progressão
aritmética (PA) crescente. O produto dos três é
66 e a soma deles é 18. Determine o próximo
termo dessa progressão aritmética.
Vamos verificar, por exemplo, os valores na letra
“c”.
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Resolução:
Somando as duas equações temos:
Vamos tomar a PA (a1, a2, a3), que também pode
ser representada por (x- r, x , x+r).
6𝑎𝑥 − 6𝑥 = 6 − 2𝑏
Colocando 6x em evidência
Assim, temos que a1 + a2 + a3 = 18, então x – r + x
+ x+ r = 18
3x = 18 ----- x = 6.
Então, se o termo médio vale 6 temos, usando o
produto do enunciado,
(x – r)(x)(x + r) = 66
(6 – r)(6)(6 + r) = 66
(6 – r)(6 + r) = 66/6
(6 – r)(6 + r) = 11
6𝑥(𝑎 − 1) = 6 − 2𝑏
Finalmente podemos observar que se o valor de a
for 1 então o 6x será multiplicado por zero e não
teremos incógnita pra descobrir. Assim, o valor de a
deve ser diferente de 1.
ALTERNATIVA LETRA D.
Como dois números inteiros multiplicados resultam
em 11 temos
(6 – r)(6 + r) = 11
1 . 11 = 11
Obs. Outro teste em que a UEL pecou na
colocação do edital. O edital diz “sistemas de
equações” e não discussão de sistemas de
equação segundo parâmetros. A questão podia ser
resolvida desta forma que fizemos acima e/ou
usando noções de discussão de sistema.
Assim, 6 – r = 1 e 6 + r = 11
Temos então os 3 primeiros termos ( a1, a2, a3 ) = (
1, 6, 11)
É facil observar que a razão é 5, então seu 4º termo
será a4 = 17
19) Considere uma placa de trânsito na forma de
um hexágono regular com lados de l centímetros.
Sabe-se que um hexágono regular de lados l é
formado por seis triângulos equiláteros de lados l.
Como a leitura desta sinalização (placa) depende
da área A da placa, temos que, em função do
comprimento l, é dada por:
Alternativa letra E
18) Considere o sistema linear a seguir:
2𝑎𝑥 + 2𝑦 = 2
3𝑥 + 3𝑦 = 𝑏
Para quais valores dos parâmetros a e b o sistema
tem solução x e y única?
Resolução:
Neste teste bastava que o aluno soubesse a
fórmula do hexágono que, como visto em sala, é 6
vezes a área de um triângulo equilátero, assim:
Resolução:
Observe o sistema
2𝑎𝑥 + 2𝑦 = 2
3𝑥 + 3𝑦 = 𝑏
𝐴=
Vamos multiplicar as equações 1 e 2 por (3) e (-2)
respectivamente para “zerar” o y.
6𝑎𝑥 + 6𝑦 = 6
−6𝑥 − 6𝑦 = −2𝑏
Atualizada 09/02/2010
6𝑙 2 3
4
Dividindo o numerador e o denominador por 2
temos:
𝐴=
3𝑙 2 3
2
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Deixando o 𝑙 2 multiplicando no final temos:
𝐴=
3 3 2
𝑙
2
ALTERNATIVA LETRA B
20) Qual deve ser o capital inicial que um
cidadão deve aplicar em um fundo de renda fixa,
que utiliza o sistema de juros compostos e que
rende 20% ao ano, de modo que ele tenha R$
1440,00 ao final de dois anos?
a) R$ 960
b) R$ 975
c) R$ 1000
d) R$ 1003
e) R$ 1010
Resolução:
Mesmo de juros compostos, este teste pode ser
resolvido por porcentagem.
Observe o esquema
Assim, se R$ X ---- 100% então R$ Y corresponde
a 120%
Se sobre os 120% que é o percentual de Y,
aumentarmos 20% novamente vamos para 144%
Assim, se R$ 1440 equivale a 144% e R$ X
equivale a 100%, fazendo regra de três temos X =
R$ 1000.
ALTERNATIVA LETRA C
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