+ + - - v - DECOM

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Capítulo 4
Métodos de Análise
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4.1 Análise Nodal
Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de
equações.
Análise nodal:
• 
Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
• 
Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
• 
Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência
(tensão de nó).
• 
Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós
sejam positivas em relação ao nó de referência.
• 
Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior
número de ramos conectados.
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Análise nodal (continuação):
• 
Nó de referência possui potencial zero (terra).
• 
Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
• 
As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os
mesmos.
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Exemplo:
v1
1
v12
+
v2
–
2
+
+
v23
v13
–
–
3
Tensões de nó: v1 e v2
v12 = v1 – v2
v13 = v1 – 0 = v1
v23 = v2 – 0 = v2
Referência
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Exemplo:
v1
1
ig1
v2
R2
2
i2
i1
i3
R1
ig2
R3
Referência
3
1
R2
2
R1 R3
ig1
ig2
3
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Parênteses:
1
v1
R
i
v2
+ v -
+
+
2
v2
v1
-
3
v = v1 − v2
i=
v v1 − v2
=
R
R
i=
v
= G(v1 − v2 )
R
Permitem escrever as equações de nós por inspeção direta em função das
tensões dos nós.
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v1
1
ig1
v2
R2
i1
2
i2
i3
R1
R3
ig2
3
Lei de Kirchhoff de correntes:
Nó 1:
i1 + i2 − ig1 = 0 ou em termos de tensões: G1v1 + G2 (v1 − v2 ) − ig1 = 0
Nó 2: − i2 + i3 + ig 2 = 0 ou em termos de tensões: G2 (v2 − v1 ) + G3v2 + ig 2 = 0
Rearranjando as equações segundo as correntes que saem e as correntes
que entram nos nós:
G1v1 + G2 (v1 − v2 ) = ig1
(G1 + G2 )v1 − G2v2 = ig1
G2 (v2 − v1 ) + G3v2 = −ig 2
− G2v1 + (G2 + G3 )v2 = −ig 2
Exibem uma simetria ⇒ equações por inspeção
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v1
1
ig1
v2
G2
i1
2
i2
i3
G1
G3
ig2
3
Corrente que entra no nó 1.
(G1 + G2 )v1 − G2v2 = ig1
Valor negativo da condutância
conectada ao nó 2.
Soma das condutâncias
conectadas ao nó 1
Corrente que entra no nó 2.
− G2v1 + (G2 + G3 )v2 = −ig 2
Soma das condutâncias
conectadas ao nó 2
Valor negativo da condutância
conectada ao nó 1.
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Generalizando:
Em circuitos contendo somente condutâncias e fontes de correntes, a lei de
Kirchhoff de correntes pode ser aplicada ao k-ésimo nó, com a tensão de nó vk,
como se segue:
•  no lado esquerdo das equações, o coeficiente das outras tensões de nó
são os valores das condutâncias existentes entre estes nós e o nó k,
com o valor negativo.
•  No lado direito das equações, ficam as correntes que fluem para o nó k,
devido às fontes.
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Exemplo:
G1
v1
v2
v3
G2
G3
ig1
ig2
v4
Por inspeção:
− G1v1 + (G1 + G2 + G3 )v2 − G2v3 − G3v4 = ig1 − ig 2
Pela lei de Kirchhoff de correntes:
G1(v2 − v1 ) + G2 (v2 − v3 ) + G3 (v2 − v4 ) + ig 2 = ig1
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4.2 Um Exemplo
v1
2
v2
1S
i
v3
2S
3
1
7A
3S 5A 3S
1S
4S
4
Nó 1 (por inspeção): (3 + 1) ⋅ v1 − 1⋅ v2 = 7 − 5 ⇒ 4v1 − v2 = 2
Nó 1 (por Kirchhoff): 1⋅ (v1 − v2 ) + 3 ⋅ v1 + 5 = 7 ⇒ 4v1 − v2 = 2
Nó 2 (por inspeção): − 1v1 + 6v2 − 2v3 = 5
Nó 3 (por inspeção):
− 2v2 + 7v3 = 17
17 A
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Resolução simultânea das 3 equações:
• 
Regra de Cramer (determinantes).
• 
Regra de eliminação de Gauss.
Solução usando Regra de Cramer:
⎧4v1 − v2 = 2
⎪
⎨− v1 + 6v2 − 2v3 = 5
⎪− 2v + 7v = 17
⎩
2
3
2
5
v1 =
4
Δ = −1
−1
0
6 − 2 = 145
0 −2
v2 =
7
v3 =
0
6 −2
17 − 2
145
−1
4
−1
2
7
=
145
= 1 [V ]
145
=
290
= 2 [V ]
145
0
5 −2
0 17
145
7
4
−1
2
−1
6
5
0 − 2 17 435
=
= 3 [V ]
145
145
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Valor da corrente i:
(
) (
)
i = 2 ⋅ v2 − v3 = 2 2 − 3 = −2 #$A%&
Observação: As equações dos nós são simétricas.
4v1 − 1v2 + 0v3 = 2
− 1v1 + 6v2 − 2v3 = 5
0v1 − 2v2 + 7v3 = 17
Coeficiente de v2 na primeira equação é igual ao de v1 na segunda.
Coeficiente de v3 na primeira equação é igual ao de v1 na terceira.
Coeficiente de v3 na segunda equação é igual ao de v2 na terceira.
Explicação: condutância entre os nós 1 e 2 = condutância entre os nós 2 e 1,
condutância entre os nós 1 e 3 = condutância entre os nós 3 e 1, etc.
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Resolução pela regra de eliminação de Gauss:
⎧4v1 − v2 = 2
⎪
⎨− v1 + 6v2 − 2v3 = 5
⎪− 2v + 7v = 17
⎩
2
3
" 4 −1 0 2 %
$
'
−1
6
−2
5
$
'
$ 0 −2 7 17 '
#
&
a) 1ª linha + 2ª linha × 4:
" 4 −1 0 2 %
$
'
$ 0 23 −8 22 '
$ 0 −2 7 17 '
#
&
d) 2ª linha + 3ª linha × 8:
" 4 −1 0 2 %
$
'
$ 0 23 0 46 '
$ 0 0 1 3 '
#
&
b) 2ª linha + 3ª linha × 23/2:
" 4 −1
0
2 %
$
'
0
23
−8
22
$
'
$ 0 0 145 2 435 2 '
#
&
c) 3ª linha ÷ 145/2:
" 4 −1 0 2 %
$
'
0
23
−8
22
$
'
$ 0 0
1 3 '
#
&
e) 2ª linha ÷ 23:
" 4 −1 0 2 %
$
'
0
1
0
2
$
'
$ 0 0 1 3 '
#
&
f) 1ª linha + 2ª linha:
! 4 0 0 4 $
#
&
0
1
0
2
#
&
# 0 0 1 3 &
"
%
g) 1ª linha ÷ 4:
! 1 0 0 1 $
#
&
# 0 1 0 2 &
# 0 0 1 3 &
"
%
v1 = 1 [V]
v2 = 2 [V]
v3 = 3 [V]
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4.3 Circuitos Contendo Fontes de Tensão
Não se pode escrever as equações utilizando o processo simplificado pois as
correntes que fluem pelas fontes de tensão não são conhecidas.
Exemplo 1:
v1
v2
G1
G4
G2
vg1
v3
G5
v4
– +
vg2
G3
G6
Note que:
vg1 = v1
vg2 = v5 – v4
v5
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v1
v2
G1
nó generalizado
ou
super nó
G4
G2
vg1
nó generalizado
ou
super nó
v3
G5
v4
v5
– +
vg2
G3
G6
Lei de Kirchhoff de corrente se aplica também em nós generalizados.
Nó v2: (G1 + G2 + G4 )v2 − G1v1 − G2v3 − G4v5 = 0
Nó v3: (G2 + G3 + G5 )v3 − G2v2 − G5v4 = 0
Nó generalizado vg2: G4 (v5 − v2 ) + G5 (v4 − v3 ) + G6v5 = 0 (correntes que deixam o nó)
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Exemplo 2:
v1 =v + 3
v2 = 20 V 6 kΩ
v
3V
+ –
+
20 V
+
–
2 kΩ
v
4 kΩ
6 mA
–
Nó generalizado superior:
v + 3− 20 v + 3 v
+
+ =6
6
2
4
⇒
v = 8 !"V#$
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Exemplo 3:
vg
v1
G1
G3
vg
+
–
v2
G2
β(v1- v3)
v3
G5
G4
Aplicando Lei de Kirchhoff de corrente nos nós, obtemos:
Nó v1:
(G1 + G2 + G3 )v1 − G1vg − G2v2 − G3v3 = 0
Nó v2:
(G2 + G5 )v2 − G2v1 = −β(v1 − v3 )
Nó v3:
(G3 + G4 )v3 − G3v1 = β(v1 − v3 )
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Exemplo 4:
v1
+
vx
-
2V
+
–
1Ω
+
–
2Ω
1Ω
v4
9A
3iy
v3
iy
2Ω
2vx
v
v −v
Nó v4: − x + 9 + 4 3 = 0
2
1
v1 = 2 [V]
v2 – v3 = 3iy
v3 = – 3iy + v2 = – 5iy
v1 – v4 = vx
v4 = – vx + v1 = 2 – vx
v2 = – 2iy
v2
Nó generalizado:
v2 − v1
v −v
− i y − 2vx + 3 4 = 0
1
1
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Substituindo as tensões:
v
v −v
− x +9+ 4 3 =0
2
1
v2 − v1
v −v
− i y − 2vx + 3 4 = 0
1
1
Resolvendo: v x = 4 !"V#$
(
)
2 − vx − − 5i y
v
− x +9+
=0
2
1
− 2i y − 2
1
− i y − 2vx +
i y = −1 "#A$%
v2 = – 2iy = 2 [V]
v3 = – 5iy = 5 [V]
v4 = 2 – vx = – 2 [V]
− 3vx + 10i y = −22
− 5i y − (2 − vx )
1
=0
− vx − 8i y = 4
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4.4 Circuitos Contendo Amplificadores Operacionais
Nós são facilmente identificáveis para o método nodal mas os laços não são.
Exemplo: Fonte de tensão controlada por tensão.
v1
v
R1
v = v1
Equação do nó v:
v2
+
-
R2
v1 v1 − v2
+
=0
R1
R2
⎛ R ⎞
v2 = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟v1 = µ ⋅ v1
R1 ⎠
⎝
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Exemplo: Obter v2.
v1
G4
G1
v3
G3
Evitar usar este
nó, pois a corrente
do op-amp é difícil
de determinar!!!
G5
0V
v2
-
+
G2
Nó v3:
(G1 + G2 + G3 + G4 )v3 − G1v1 − G4v2 = 0
Correntes no nó inversor do op-amp: G3v3 + G5v2 = 0
(G1 + G2 + G3 + G4 )⎜⎜ − G5v2 ⎟⎟ − G1v1 − G4v2 = 0
⎛
⎞
⎝
G3 ⎠
v2 =
Gv
v3 = − 5 2
G3
− G1G3v1
G5 (G1 + G2 + G3 + G4 ) + G3G4
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4.5 Análise de Malhas ou de Laços
Análise de Malhas:
•  aplica-se a Lei de Kirchhoff das Tensões em volta de um percurso
fechado (malha) de um circuito.
•  análise de circuitos planares.
Malha é um laço que não contém elementos dentro de si.
R6
Exemplo:
R1
1
R4
R3
R2
2
+ –
vg1
+
–
vg2
3
R5
malha 1: R1, R4 e R3
malha 2: R2, R3, R5 e vg1
R7
malha 3: R5, R4, R6, vg2 e R7
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Exemplo:
I1
I2
R1
R2
I3
vg1
+
-
i1
R3
i2
+
-
vg2
As correntes nos elementos são: I1, I2 e I3
Lei de Kirchhoff das tensões na malha 1:
R1I1 + R3I3 = vg1
Lei de Kirchhoff das tensões na malha 2:
R2I2 – R3I3 = –vg2
A corrente através de um elemento é a soma algébrica das correntes de malha.
Em R1 temos I1 = i1
Em R2 temos I2 = i2
Em R3 temos I3 = i1 – i2
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R1
vg1
+
-
i1
R2
R3
i2
+
-
vg2
Equações de malha do circuito:
R1i1 + R3(i1 – i2) = vg1
R2i2 + R3(i2 – i1) = –vg2
Rearranjando:
(R1 + R3 )i1 – R3 i2 = vg1
Soma das resistências
da 1ª malha × i1
Valor negativo da
resistência comum a
2ª malha × i2
– R3 i1 + (R2 + R3 )i2 = –vg2
Obs: Só vale se as correntes de malha tiverem o mesmo sentido!
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Exemplo:
R6
(R1 + R3 + R4 )i1 − R3i2 − R4i3 = 0
R1
i1
R4
R3
R2
i2
+
–
vg2
i3
R5
R7
(R2 + R3 + R5 )i2 − R3i1 − R5i3 = vg1
(R4 + R5 + R6 + R7 )i3 − R4i1 − R5i2 = −vg 2
+ –
vg1
Determinante para se obter as correntes pela regra de Cramer:
Δ=
R1 + R3 + R4
− R3
− R4
− R3
R2 + R3 + R5
− R5
− R4
− R5
R4 + R5 + R6 + R7
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4.6 Circuitos Contendo Fontes de Corrente
Análise das malhas é mais fácil.
R5
Exemplo:
vg
Restrições:
i1 − i2 = ig1
+
–
i1
ig1
R1
i3
i3 = −ig 2
Remover as fontes de corrente para
R3
i2
obter uma malha adequada para a 3ª
equação.
ig2
R4
R2
R6
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R5
vg
+
–
i1
R1
i3
R3
i2
R2
R6
R4
Lei de Kirchhoff de tensões:
R1(i1 − i3 ) + R2 (i2 − i3 ) + R4i2 + R3i2 = vg
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Exemplo: Correntes de malha
2A
i2
4Ω
38 V
+
–
i2 = −2 A
i3 − i1 = 5 A
4(i1 − i2 ) + 1(i3 − i2 ) + 3i3 = 38
1Ω
5A
i1
i3
i1 = 1 A
i3 = 6 A
3Ω
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Resolvendo usando correntes de laço (determinar a corrente que desce por R3):
2A
ia
4Ω
38 V
Inspeção: ia = 2 A
ib = 5 A
+
–
1Ω
5A
ib
ic
3Ω
Lei de Kirchhoff das tensões:
4(ia − ib + ic ) + 1(ia + ic ) + 3ic = 38
4(2 − 5 + ic ) + 1(2 + ic ) + 3ic = 38
ic = 6 A
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Exemplo: Análise de laços
1Ω
a
+
vx
2V
+
–
i1
2Ω
9A
i2 = 2vx
i3 = i y
v
2(i1 + i4 ) = vx ⇒ i4 = x − 9
2
+
–
i4
1Ω
b
i1 = 9 A
d
f
iy
3iy
c
i2
2Ω
2vx
i3
e
Imaginando fontes de corrente abertas:
Laço abcda: vx + 1(i4 ) − 3i y + 1(i2 + i3 + i4 ) = 0
Laço afeda:
2 + 2(i3 ) + 1(i2 + i3 + i4 ) = 0
vx = 4 V
i y = −1 A
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4.7 Dualidade
Similaridade entre pares de equações:
Lei de Ohm:
v = R i
!
! !
i = G v
Resistores em série e em paralelo:
Rs
"
Gp
R1 + R2
"
"
= G1 + G2
=
+ ! +
Rn
"
+ ! + Gn
Dualidade entre corrente e tensão, resistência e condutância, série e paralelo.
Além disso, curto circuito e circuito aberto também são duais, pois:
v = 0
!
!
i = 0
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Exemplo: Circuitos duais
R1
vg
+
-
R2
i1
(R1 + R2 )i1 − R2i2 = vg
R3
i2
− R2i1 + (R2 + R3 )i2 = 0
Circuito dual:
G2
v1
v2
(G1 + G2 )v1 − G2v2 = ig
ig
G1
G3
− G2v1 + (G2 + G3 )v2 = 0
Valores numéricos de v1 e
v2 são iguais aos de i1 e i2.
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Existe ainda a dualidade:
•  nó e malha.
•  nó de referência e região de contorno da parte externa ao
circuito (malha externa).
R1
G1
vg
+
-
G2
R2
R3
ig
G3