Considerações sobre o Teorema de Zermelo sobre a - PUC-Rio

Considerações sobre o Teorema
de Zermelo sobre a determinância
de jogos assemelhados ao Xadrez
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
O Jogo de Xadrez é Determinado
No jogo de Xadrez, ou as brancas podem forçar
uma vitória, ou as pretas podem forçar uma
vitória, ou ambas forçam um empate
Todo jogo (finito) de informação perfeita tem um
equilíbrio (puro). Este equilíbrio é
encontrado via “indução para trás” (Kuhn 1953)
Folclore
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
Um Pouco da História sobre Teoria dos Jogos e Xadrez 1
Zermelo 1913 – Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels
5o Congresso de Matemáticos (Cambridge).
König
1927 – Über eine Schulussweise aus dem Endlichen ins Unendliche.
Acta Sci. Math.
Kalmár 1928 – Zur Theorie der abstrakten Spiele. Acta Sci Math. Utiliza indução transfinita
Caracterizam o conceito de posição ganhadora
Von Neumann 1928 – Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen
Caracteriza a interação entre as estratégias dos jogadores
1- Jogo de Informação Perfeita
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
Teorema de Zermelo
“Em um jogo de Xadrez, dado que um jogador está em uma posição vencedora
quantos movimentos levará para que ele ganhe ??”
==> Não mais que o número de posições do jogo (estados do tabuleiro).
O que é uma posição vencedora ??
Ur(q) =
q
Ur(q) =
q1
q2
∪ Ur(q)
q3
≤ r
U pode forçar uma vitória em
no máximo r movimentos
se e somente se Ur(q)≠∅
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
Observações:
1- Se r ≤ r’ então Ur(q) ⊆ Ur’(q)
2- U*(q) = Ur(q) tal que r tem valor mínimo ρq.
3- Para todo q, ρq < τ ≤ s, onde s+1 é o número de posições (estados do
tabuleiro) diferentes.
Teorema de Zermelo:
U*(q) ≠∅ é condição suficiente e necessária para que q seja posição vencedora
Prova:
[U*(q) ≠∅]
Seja (q,q1,….,qn) um resultado em U*(q) com n > s
[U*(q)= ∅] Existem Vw(q), conjuntos de sequências de movimentos, onde U
não perde antes de s movimentos, e, todas as alternativas de movimentos para V estão
Representadas.
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
Observações :
1- Se w > w’ então V w(q) ⊆ Vw’(q)
2- Existem infinitos w tais que Vw(q)≠∅ ou estes estão limitados a σ≤τ≤s,
pois se V puder ganhar pode forçar a vitória em τ≤s passos.
3- Fazendo V(q) = Vτ+1 (q) , sabe-se que U pode forçar o empate
se e somente se Vτ+1 (q) ≠∅
U não perde em nenhuma das continuações antes de w passos
q
Vw(q) =
q1
q2
q3
≤ w
Ur(q) ⊆ Vs(q)
Se Ur(q)=∅ então q não é posição vencedora
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
König estende o teorema de Zermelo
Lema: Toda árvore infinita finitamente gerada possui um ramo infinito.
=> Se não há limite (número de passos) para uma posição vencedora então esta
não é vencedora, pois em cada posição só há um número finito de movimentos
para o adversário.
Kalmár e a determinância de jogos assemelhados ao Xadrez
Satz III: Em qualquer jogo J potencialmente infinito assemelhado ao Xadrez, se
O jogador A não pode forçar a vitória então o jogador B garante pelo menos o empate
Corolário: No Xadrez infinito ou as brancas tem uma estratégia vencedora, ou as pretas
tem uma estratégia vencedora ou ambas podem garantir o empate. O jogo tem valor,
é determinado.
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
Teorema: Xadrez finito é determinado se e somente se Xadrez infinito é
determinado
Prova: No Xadrez finito o empate é declarado se uma posição (estado do
tabuleiro) é alcançada pelo menos três vezes a partir do movimento de
um dos jogadores
Constrói-se uma estratégia vencedora a partir do fim do jogo e em
cada passo verifica-se se é possível alcançar todos os subjogos com
estratégia vencedora já definida.
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
Kuhn 1953
Teorema: Todo jogo finito com informação perfeita, de n jogadores, tem um
ponto de equilíbrio.
Prova:
Por indução todo jogo com menos que m nós possui um ponto de equilíbrio
Se r é um nó chance, então combine todos
pontos de equilíbrio dos subjogos Γi;
Senão
o ponto de equilíbrio para r é maximizar
os pontos de equilíbrio de cada um dos
jogadores com relação ao subjogos Γi
r
m nós
Γ1
Ago/2004
Γi
Γk
Prog. Din. , MinMax
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann
Exemplo de uso da “Backwards Induction”
Prop. O jogo “Centipede possui estratégia vencedora”
Ago/2004
Seminário de Teoria dos Jogos
Hermann