Cinemática Cinemática e Cinética de e Cinética de Partículas no

SEM0104 - Aula 12
Cinemática e Cinética de
Partículas no Plano e no Espaço
Prof. Dr. Marcelo Becker
SEM - EESC - USP
Sumário da Aula
– Introdução
– Sistemas de Referência
– Diferença entre Movimentos
– Cinética
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© M. Becker 2009
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Introdução
• Cinemática:estuda os movimentos dos
corpos (não suas causas)
• Cinética ou Dinâmica: estuda os
movimentos focando suas causas e origem
– Análise baseada na geometria do sistema
mecânico
– 3 Leis de Newton
• Inércia
• Variação da Quantidade de Movimento Linear
• Ação e Reação
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Sumário da Aula
– Introdução
– Sistemas de Referência
– Diferença entre Movimentos
– Cinética
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Sistema de Referência Inercial
• Base vetorial com origem pré-definida
• Vetor Posição
r
r
r
r
I rOA = x0 i + y0 j + z 0 k
z
Amplitude do vetor nas direções dos versores
A
rOA
k
O j
y
i
x
EESC-USP
 x0 
r


I rOA =  y0 
 z0 
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Sistema de Referência Inercial
• Vetor Velocidade
– O vetor velocidade absoluta é a derivada do
vetor posição (representado no sistema inercial)
d

(
)
x
 dt 0 
 x&0 


r
d r
d
 y& 


(
)
(
)
v
=
r
=
=
y
I A
I OA
0
0

dt
dt


 d (z )  z&0 
 dt 0 
r
r
r
r
&
&
&0 k
I v A = x0 i + y0 j + z
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Sistema de Referência Inercial
• Vetor Aceleração
– O vetor aceleração absoluta é a 2a derivada do
vetor posição (representado no sistema inercial)
 d2

 2 (x0 )
dt
  &x&0 

2
2
r
r
d
d
 =  &y& 

(
)
(
)
a
r
y
=
=
I A
I OA
 dt 2 0   0 
dt 2
  &z&0 
 d2
 2 (z0 )
 dt

r
r
r
r
&&
&&
z&0 k
I a A = x0 i + y0 j + &
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema de Referência Móvel:
– Pode facilitar a representação de determinados
movimentos complexos (dividindo-os em
movimentos mais simples que se somam para
compor o movimento absoluto)
• Sistema Móvel com Translação Pura
• Sistema Móvel com Rotação Pura
Qq. Movimento é
uma composição
desses dois!...
– Matriz de Transformação de Coordenadas
• Relação entre os sistemas de referência que viabiliza a
passagem de um sistema móvel para o inercial e viceversa...
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Transladando
– Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O
– Sistema Móvel: B1(x1,y1,z1), origem A
B
z1
z
k1
{B1}
IrOA
x1
k
i1
Cursores de ambos sistemas
permanecem sempre paralelos!
B1rAB
A j1
r r r r r r
i , j , k ≡ i1 , j1 , k1
y1
{I}
O j
y
i
x
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Transladando
– Assim:
r
r
 i1  1 0 0  i 
r  
 r

j
=
0
1
0
j
1
r  
 r
k1  0 0 1 k 
 
 
r
r
B1 s = I .I s
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r
r
−1
I s = I .B1 s
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Transladando
– Dado um vetor:
z
k1
{B1}
IrOB
x1
r
I OA
k
{I}
i1
r
r
r
I rOB = I rOA + I . B1 rAB
B
z1
Posição de A
no Sistema Inercial
B1rAB
A j1
O j
y1
y
i
Posição de B
no Sistema Inercial
Posição de B
relativa a A no
Sistema Móvel
x
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Transladando
– Para que a soma seja possível é necessário que
r
o vetor B rAB seja representado no sistema
1
inercial:
B
z1
z
k1
{B1}
IrOB
x1
r
I OA
k
{I}
i1
B1rAB
A j1
O j
y1
r
r
I rAB = I . B1 rAB
y
i
x
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Transladando
– Para calcular a velocidade absoluta:
• Deriva-se o vetor posição com relação ao tempo
– No sistema Inercial:
r
r
d r
d r
( I rOB ) = I rOA + I . B1 rAB
I vB =
dt
dt
r
r
d r
d
d
= ( I rOA ) + (I ).B1 rAB + I . ( B1 rAB )
dt
dt
dt
0
r
r
r
r
= I v A + I .B1 v AB = I v A + I v AB
(
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)
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Transladando
– Para calcular a aceleração absoluta:
• Deriva-se o vetor velocidade com relação ao tempo
– No sistema Inercial:
r
d2 r
d2
( r )= 2
I aB =
2 I OB
dt
dt
(
r
r
I rOA + I . B1 rAB
)
r
r
r
r
= I a A + I .B1 a AB = I a A + I a AB
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O
– Sistema Móvel: B1(x1,y1,z1), origem A
.θ z
z
B
1
k1
{B1}
IrOA
x1
k
i1
Cursores de ambos sistemas
deixam de ser paralelos e
passam a manter uma relação
que depende do ângulo θ
B1rAB
A j1
y1
{I}
O j
y
i
x
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Supondo que o sistema móvel gire em torno de
z1:
.θ z
z
B
1
k1
{B1}
IrOA
x1
k
i1
B1rAB
A j1
y1
 0 
 0 
r 
r& 


Iϖ =  0  Iϖ =  0 
θ&(t )
θ&&(t )
{I}
O j
y
i
x
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Projetando-se os cursores do sistema móvel para
o inercial (forma matricial):
y
y1
j
j1
i1
{I}
{B1} O i
x1
θ
EESC-USP
x
r
 i1   cθ
r  
j
=
−
s
1
r   θ
k1   0
 
r
r
B1 s = Tθ .I s
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sθ
cθ
0
r
0  i 
 r

0  j 
r
1 k 
r
r
−1
I s = Tθ .B1 s
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Como o determinante de Tθ é sempre unitário:
Tθ
y
= Tθ
T
r
r
B1 s = Tθ .I s
y1
j
j1
−1
i1
{I}
{B1} O i
x1
θ
EESC-USP
x
r
r
T
I s = Tθ .B1 s
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Supondo que o sistema móvel gire em torno de
y1:
cθ

Tθ =  0
 sθ
z
z1
0 − sθ 
 0 
r & 

1 0  I ϖ = θ (t )
0 cθ 
 0 
k
k1
i1
{I}
{B1} O i
x1
θ
EESC-USP
x
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Supondo que o sistema móvel gire em torno de
x1:
1 0

Tθ = 0 cθ
0 − sθ
z
z1
k
k1
j1
{I}
{B1} O j
θ&(t )
0
r 


sθ  I ϖ =  0 
 0 
cθ 


y1
θ
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y
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Deve-se observar que a matriz de transformação
Tθ depende do tempo!
T
Tθ
{I}
{B1}
Tθ
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Dado um vetor:
.θ
z
k1
{B1}
IrOB
x1
r
I OA
k
{I}
i1
r
r
r
T
I rOB = I rOA + Tθ . B1 rAB
B
z1
Posição de A
no Sistema Inercial
B1rAB
A j1
O j
y1
y
i
Posição de B
no Sistema Inercial
Posição de B
relativa a A no
Sistema Móvel
x
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Para que a soma seja possível é necessário que
r
o vetor B1 rAB seja representado no sistema
inercial:
.θ z
z
k1
{B1}
IrOB
x1
r
I OA
k
{I}
B
1
i1
B1rAB
A j1
O j
y1
r
r
T
I rAB = Tθ . B1 rAB
y
i
x
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Para calcular a velocidade absoluta:
• Deriva-se o vetor posição com relação ao tempo
– No sistema Inercial:
r
r
d r
d r
T
( I rOB ) = I rOA + Tθ . B1 rAB
I vB =
dt
dt
r
d r
d T r
T d
= ( I rOA ) + (Tθ ).B1 rAB + Tθ . ( B1 rAB )
dt
dt
dt
r
r
r
r
T
T
= I v A + I ϖ × (Tθ .B1 rAB ) + Tθ .B1 v AB
(
EESC-USP
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)
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Assim:
r
r
r
r
r
T
T
I v B = I v A + I ϖ × Tθ .B1 rAB + Tθ .B1 v AB
(
)
r
r
r r
r
I v B = I v A + I ϖ × I rAB + I v AB
EESC-USP
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Para calcular a aceleração absoluta:
• Deriva-se o vetor velocidade com relação ao tempo
– No sistema Inercial:
r
r
d2 r
d2 r
T
( r ) = 2 I rOA + Tθ . B1 rAB
I aB =
2 I OB
dt
dt
r 
d d r
d T r
T d
=  ( I rOA ) + (Tθ ).B1 rAB + Tθ . ( B1 rAB )
dt  dt
dt
dt

(
)
r
r
r
d r
T
T
=
I v A + I ϖ × Tθ .B1 rAB + Tθ .B1 v AB
dt
[
EESC-USP
(
© M. Becker 2009
)
]
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Sistema de Referência Móvel
• Sistema Móvel Girando
– Assim:
r
r
d r
d r
T
( I v A ) + ( I ϖ )× Tθ .B1 rAB
I aB =
dt
dt
r T d
r
d T
+ I ϖ × Tθ .
Tθ
B1 rAB +
dt
dt
(
(
)
d T r
+ I ϖ × Tθ .B1 rAB
dt
2
r
d
d
T
.
r
+
T
B1 AB
θ .
dt
dt 2
)
r
( ) (
( )
)
(
r
B1 rAB
r
r
r&
r
r
r
r
T
T
I a B = I a A + I ϖ × Tθ .B1 rAB + I ϖ × I ϖ × Tθ .B1 rAB
r
r
r
r
r
T
T
T
+ I ϖ × Tθ .B1 v AB + I ϖ × Tθ .B1 v AB + Tθ .B1 a AB
(
(
EESC-USP
)
)
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(
(
(
))
)
27/58
)
Exercício 1
• Imagine que um pistão hidráulico com uma massa m em sua
.
extremidade gire com velocidade angular θ em relação ao
eixo Z (inercial). Um sistema móvel de referência X1Y1Z1,
.
solidário ao pistão gira tb. com uma velocidade angular θ.
Obtenha os vetores posição, velocidade e aceleração do
ponto B nos sistemas inercial e móvel.
Y1
Y
.
B
X1
θ
X
Z = Z1
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Exercício 2
• Imagine o disco principal B girando com velocidade angular
ω constante. Um disco secundário D é montado a uma
distância b em relação ao centro de rotação do disco
principal sobre o suporte C (fixo no disco principal). O centro
do disco secundário encontra-se a uma altura c em relação
ao disco principal e sua rotação p é constante. Deseja-se
calcular a aceleração absoluta de um ponto A no disco
secundário, exatamente no instante em que θ = 0o e o ponto
A encontrar-se na posição vertical em relação ao disco
secundário.
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Exercício 2
• Figura
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Exercício 3
• Imagine uma placa montada sobre um eixo rotativo. Nesta
placa constrói-se um rasgo onde uma partícula A, conectada
a uma mola, executa um movimento retilíneo. O eixo gira
.
..com uma velocidade angular θ(t) e uma aceleração angular
θ(t). A partícula executa movimentos oscilatórios retilíneos s(t)
dentro do rasgo. O rasgo é construído na placa com um
ângulo de inclinação β (fixo). Determine os vetores de
velocidade e aceleração absoluta do ponto A.
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Exercício 3
• Figura
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Exercício 4
• O sistema mecânico mostrado na figura é composto pela
estrutura A, pelo rotor B, pelo braço com massa desprezível C
e pela massa concentrada D. Três sistemas de referência
devem ser utilizados, sendo o 1o Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor,
e o 3o, B2 solidário ao braço C. A velocidade angular do rotor
.
..
é β [rad/s], variando com uma taxa β [rad/s2]. Em um dado
instante os ângulos β e ϕ são diferentes de 0o, e a rotação e
.
aceleração do sistema braço-massa pontual é dada por ϕ e
..
ϕ. Obtenha os vetores posição, velocidade e aceleração
absoluta da massa pontual em D.
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Exercício 4
• Figura
X2
Y2
R
Y=Y1
. ..
β β
B
O
X =X1
O1
C
No instante representado
ϕ
.
ϕ
..
ϕ
X=X1 e Y=Y1
L
D
A
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Sumário da Aula
– Introdução
– Sistemas de Referência
– Diferença entre Movimentos
– Cinética
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Diferenças entre Movimentos
• Movimentos Planos
– Caracterizados por rotações
consecutivas em torno dos mesmos eixos
(Z, Z1, Z2, ...)
– Assim:
.
Iθ1
=
0
0.
θ1
EESC-USP
.
θ
B1 2
=
0
0.
θ2
.
θ =
B2 3
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0
0.
θ3
.
...
θ =
Bn-1 n
0
0.
θn
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Diferenças entre Movimentos
– As matrizes de Transformação têm a
seguinte estrutura:
cosθ1 sinθ1
Tθ1 = -senθ cosθ
1
1
0
0
0
0
1
B1
.
.
.
s = Tθ1 . s
I
.
.
.
cosθn sinθn
Tθn = -senθ cosθ
n
n
0
0
EESC-USP
© M. Becker 2009
0
0
1
Bn
s = Tθn . Bn-1s
37/58
Diferenças entre Movimentos
– Transformação de Coordenadas da base
inercial { I } para a última base móvel {Bn}:
Bn
s= T . s
I
cθn sθn 0
T = -sθ cθ 0
n
n
0
0 1
T =
c(θ1+ ...+θn)
-s(θ1+ ...+θn)
0
EESC-USP
cθ1 sθ1 0
-sθ1 cθ1 0
0
0 1
...
s(θ1+ ...+θn)
c(θ1+ ...+θn)
0
© M. Becker 2009
0
0
1
38/58
Diferenças entre Movimentos
– As velocidades angulares absolutas no
sistema inercial { I } serão:
.
Iω1
.
Iωn
= Iθ1 =
T
0
0.
θ1
.
0
0 .
Iω2 = Iθ1 + Tθ1 . B1θ2 =
.
θ1 + θ2
.
T
T
= Iθ1 + Tθ1 . B1θ2 + ... + Tθ1 ... Tθn-1 .
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T
.
0
0
Bn-1θn = .
.
.
θ1 + θ2 +...+ θn
.
39/58
Diferenças entre Movimentos
Assim, observa-se que em
movimentos planos, as rotações
ocorrem sempre no mesmo eixo,
podendo ser somadas diretamente...
.
.
.
Caso as rotações θ1, θ2, ..., θn sejam
constantes, as respectivas
acelerações angulares serão nulas!
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40/58
Diferenças entre Movimentos
• Movimentos Tri-dimensionais
– Neste caso, as rotações ocorrem
sucessivamente em eixos diferentes (p.e.:
Z, X1, Z2, ...)
– Assim:
.
Iθ1
=
0
0.
θ1
EESC-USP
.
.
θ
B1 2
=
θ2
0
0
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.
θ =
B2 3
0
0.
θ3
41/58
Diferenças entre Movimentos
– As matrizes de Transformação:
cθ1 sθ1 0
Tθ1 = -sθ cθ 0
1
1
0
0 1
Tθ2 =
1 0
0
0 cθ2 sθ2
0 -sθ2 cθ2
cθ3 sθ3 0
Tθ3 = -sθ cθ 0
3
3
0
0 1
EESC-USP
B1
s = Tθ1 . s
I
B2
s = Tθ2 . B s
B3
s = Tθ3 . B s
1
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2
42/58
Diferenças entre Movimentos
– As velocidades angulares absolutas no
sistema inercial { I } serão:
.
Iω1
= Iθ1 =
0
0.
θ1
.
θ. 2.cθ1
Iω2 = Iθ1 + Tθ1 . B1θ2 = θ2.sθ
. 1
θ1
.
.
T
.
.
θ. 2.cθ1 + θ. 3.sθ1 .sθ2
T
T
T
θ2.sθ. 1 - θ.3.cθ1 .sθ2
Iω3 = Iθ1 + Tθ1 . B1θ2 + Tθ1 . Tθ2 . B2θ3 =
θ1 + θ3.cθ2
.
.
EESC-USP
.
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43/58
Diferenças entre Movimentos
Assim, observa-se neste exemplo que em
movimentos 3-D, embora as rotações
fossem apenas nos eixos X e Z (sistemas
móveis), quando vistas no sistema Inercial,
surgem termos em Y...
. .
.
Mesmo que as rotações θ1, θ2, ..., θn sejam
constantes, as respectivas acelerações
angulares, vistas no sistema inercial, NÃO
.. ..
..
serão nulas (Apesar de θ1, θ2, ..., θn serem
nulas...).
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44/58
Diferenças entre Movimentos
– As acelerações angulares absolutas no
sistema inercial { I } serão:
.
Iω1
=
d Iω1
dt
=
0
=
0
..
θ1
.
.
Iω2
=
d Iω2
dt
EESC-USP
=
0
0
0
.
−θ
.θ .sθ1
. 1. 2
θ1.θ2.cθ1
0
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45/58
Diferenças entre Movimentos
.
.
Iω3
=
d Iω3
dt
.
.
.
.
.
−θ
.θ .sθ1 + .θ1.θ
.cθ1.sθ2 + .θ2.θ
.sθ1.cθ2
. 3
. 3
. 1. 2
= θ1.θ2.cθ1 + θ1.θ3.sθ1.sθ2 + θ2.θ3.cθ1.cθ2
. .
−θ2.θ3.sθ2
As acelerações angulares absolutas dos
sistemas B2 e B3 aparecem pois os vetores
velocidade angular variam de direção...
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46/58
Sumário da Aula
– Introdução
– Sistemas de Referência
– Diferença entre Movimentos
– Cinética
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47/58
Cinética
Foca causas e origem de movimentos
Baseia-se nas 3 Leis de Newton:
Primeira Lei de Newton ( Princípio da Inércia):"Um
móvel tende a permanecer em repouso ou em
movimento retilíneo e uniforme se a resultante das
forças que atuam sobre ele for nula."
Segunda Lei de Newton (Princípio Fundamental):
"Se um corpo estiver sujeito a uma resultante não
nula, esta causará uma aceleração proporcional à
sua intensidade."
Sir Isaac Newton
(1642--1727)
(1642
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Terceira Lei de Newton (Princípio da Ação e
Reação): "Para cada força de ação corresponde
uma força de reação com as seguintes
características”:mesma direção; sentidos contrários; e
mesma intensidade.
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Cinética
Primeira Lei de Newton
(Princípio da Inércia):
Se nenhuma força externa for aplicada sob
uma partícula, esta manterá sua
quantidade de movimento linear constante
te
J
=
m
.
v
=
c
I A
I A
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Cinética
Segunda Lei de Newton
(Variação da Quantidade de Movimento Linear):
A Quantidade de Movimento Linear de uma
partícula só pode ser alterada mediante a
aplicação de forças externas
n
Σ F = dt
d
I i
i =1
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IJA
=
d
dt
.
.
m . IvA = m . IvA + m . IvA
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Cinética
Considerando que a variação de massa seja
nula:
n
Σ F = dt
d
I i
i =1
IJA
.
.
= m . IvA + m . IvA
0
n
n
ΣF=
I i
i =1
m . IaA
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ou
Σ
i =1
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Bn
Fi = m . BnaA
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Cinética
Terceira Lei de Newton
(Princípio da Ação e Reação):
Torna possível a construção de Diagramas
de Corpo Livre
2a e 3a Leis juntas tornam possível obter um
conjunto de equações responsável por
descrever o movimento do corpo ao longo
do tempo e obter as forças...
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Cinética
Equações de Movimento:
Equações Diferenciais de 2a Ordem
• Lineares
• Não Lineares
..
x(t) =
.
fç (x(t); x(t))
• Condições Iniciais de Movimento
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.
x(0); x(0)
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Exercício
• A partícula a seguir desloca-se sobre um cano
girando com velocidade angular constante ω.
Pede-se para determinar a equação de
movimento da partícula.
θ2
ω
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Exercício
θ2
• Sistemas de coordenadas...
Y =Y1
A
X2
O
Z
Z1
x(t)
B
θ2
Z2
ω
θ1
X
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Y2
X1
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Exercício
• O sistema mecânico mostrado na figura é composto pela
estrutura A, pelo rotor B, pelo conjunto braço-mola com
massa desprezível C e pela massa concentrada D. Três
sistemas de referência devem ser utilizados, sendo o 1o
Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor, e o 3o, B2 solidário ao conjunto
.
braço-mola C. A velocidade angular do rotor é β [rad/s],
..
variando com uma taxa β [rad/s2]. Em um instante genérico t,
os ângulos β e ϕ são diferentes de 0o, e a rotação do sistema
. ..
braço-mola é dada por ϕ e ϕ. Calcule: (a) as matrizes de
transformação de coordenadas dos sistemas móveis para o
inercial e vice-versa; (b) uma expressão analítica para a
velocidade angular absoluta da base B2 representando-a no
sistema de referência B2;
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Continuação...
(c) Em um dado instante de tempo, o braço C é travado no
ponto O1 e impedido de girar, ficando na posição ϕ0. Determine
uma expressão analítica para a aceleração absoluta da massa
no sistema móvel B2; (d) Calcule as componentes da força
normal entre massa e braço uma mola com constante de
elasticidade k e desprezando-se o atrito entre a partícula e o
braço; (e) Obtenha uma expressão analítica para o movimento
da massa D no sistema móvel de referência assumindo-se como
condições iniciais de movimento: braço travado em O1, L(0) = 0
e L(0) = 0.
.
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Exercício
• Figura
X2
Y2
R
Y=Y1
. ..
β β
B
O
X =X1
O1
L(t)
C
No instante representado
ϕ
.
ϕ
..
ϕ
X=X1 e Y=Y1
L
D
A
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